Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.
Trang 1ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI
MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút Bài 1:( 4 điểm)
+
+
−
+
1 3 6
6 4
3
2
x x x
x
x
: +
− +
−
2
10 2
2
x
x x
a) Rút gọn M
b)Tính giá trị của M khi x =
2 1
Bài 2:(4 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x3 – 5x2 + 8x – 4
b) x11+ + x7 1
c )( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
d )(x2+x+1)(x2+x + 2 ) –12
Bài 3 : (4điểm )
a)Cho hai số thực x, y thoả mãn x3−3xy2 =10 và y3−3x y2 =30
Tính giá trị biểu thức P = x2+y2.
a + + = b c và a + b + c = abc thì
1 1 1
2
a + b + c =
Bài 5) (6 điểm)
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh DE + DF = 2AM
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N Chứng minh N là trung điểm của EF
c) Chứng minh S2
FDC ≥ 16 SAMC.SFNA Bài 6) ( 2 điểm)
Chứng minh
b
c a
b c
a a
c c
b b
a
+ +
≥ + + 22 22 2
2
với mọi số a, b, c khác 0.
Đáp án và biểu điểm
Bài 1:
a) Rút gọn M
+
+
−
+
1 3 6
6 4
3 2
x x x
x
x
: +
− +
−
2
10 2
2
x
x
+
+
−
− +
1 ) 2 ( 3
6 )
2 )(
2 (
2
x x
x x x
x
:
2
6
+
x
) 2 )(
2 (
+
−
x
x
−
2 1
( 2 điểm)
Trang 2b)Tính giá trị của M khi x =
2 1
x =
2
1
2
1
hoặc x =
-2 1
Với x =
2
1
ta cĩ : M =
2
1 2
1
2 3
1
=
3 2
Với x = -
2
1
ta cĩ : M =
2
1 2
1
+ =
2 5
1
=
5
2
( 2 điểm)
Bài 2:
a) ) x3- 5x2 + 8x - 4 = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – 4
= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4)
= ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 ( 1 điểm)
b) x11+ +x7 1= (x11+x10+x9)+( –x10-x9 –x8 )+(x8 +x7 +x6)+( –x6 –x5-x4) +(x5+x4 +x3) +(–x3–x2 –x ) + (x2+x+1)
= x9(x2+x+1) –x8(x2+x+1) +x6(x2+x+1)-x4(x2+x+1) +x3(x2+x+1) +(x2+x+1)
=(x2+x+1)(x9-x8+x6-x4+x3+1) (1 điểm)
c) Ta cĩ : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 - a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) (1 điểm)
d) đặt y= x 2 +x +1 suy ra x 2 + x+ 2= y+1
ta được :M =y(y+1) – 12
=y 2 +y –12 =y 2 -3y +4y –12
=(y-3)(y +4)
Thay y =x 2 +x +1 Ta được :M =(9x 2 +x –2 )(x 2 +x+5)
=(x-1)(x+2)(x 2 +x+5) (1điểm)
Bài 3:
a) Ta có: x3−3xy2 =10 => ( 3 2)2
x − xy = => x6−6x y4 2+9x y2 4 =100 và y3−3x y2 =30 => ( 3 2 )2
y − x y = => y6−6x y2 4+9x y4 2 =900 Suy ra: x6+3x y4 2+3x y2 4+y6 =1000 => ( 2 2)3 2 2
x +y = ⇒x +y = ( 2 điểm )
b) Ta có : 1 1 1 2
a b c+ + =
4 2.a b c
+ +
1 1 1
2
a +b +c = ( 2 điểm)
Bài 5 :
a : Lý luận được : DF DC
AM = MC ( Do AM//DF) (1)
DE BD
AM = BM ( Do AM // DE) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ DE DF BD DC BC 2
( MB = MC) ⇒ DE +
DF = 2 AM ( 2,25điểm)
b: AMDN là hình bành hành
Trang 3E
A
B
F
Ta có NE AE
ND = AB
ND = AC = MC = BM = AB
⇒ NE NF
ND = ND => NE = NF ( 2.25 điểm) c: ∆AMC và ∆FDC đồng dạng
⇒ AMC 2
FDC
= ÷ ∆FNA và ∆FDC đồng dạng
⇒ FNA 2
FDC
= ÷ ⇒ AMC 2
FDC
= ÷ và
2
FNA FDC
= ÷ ⇒ AMC FNA
S S = ND 2
FD
.
2
DM DC
4
1 16
ND DM
FD DC
⇒ S
2 FDC ≥
16 SAMC.SFNA ( Do ( )2
0
x y− ≥ ⇔ ( )2
4
x y+ ≥ xy ⇔ ( )4 2 2
16
x y+ ≥ x y
với x ≥0; y ≥0) ( 1.5 điểm)
Bài 6:
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có:
c
a c
a c
b b
a
c
b
b
2
2 2
2 2
2
2
2
≥
=
≥
+
Tương tự:
a
b a
c c
2
2 2
2
≥
b
c b
a a
2
2 2
2
≥ +
Cộng theo vế tương ứng của các BĐT trên ta có đpcm
