Phương trình tham số giúp cho bài toán tìm điểm trên đường thẳng được quy về một ẩn t giải dễ dàng hơn.. Học trực tuyến tại: www.moon.vn..[r]
Trang 11) Véc tơ chỉ phương, các dạng phương trình đường thẳng
=( ; ; ), 2+ 2+ 2>0
u a b c A B C có phương song song hoặc trùng với (d) được gọi là véc tơ chỉ phương của (d)
(d) đi qua điểm M x y z( 0; 0; 0) và có véc tơ chỉ phương =( ; ; )
u a b c thì có phương trình
+ Phương trình tham số ( ) 00
0
:
= +
= +
+ Phương trình chính tắc ( ):x−x0 = y−y0 = z−z0
d
+ Phương trình tổng quát của đường thẳng: ( ) ( ) : 0
+ + + =
= ∩ ⇒
+ + + =
Trong đó véc tơ chỉ phương của d được xác định bởi ud=n nP;Q
(d) đi qua điểm A và song song với đường thẳng (∆) thì ta chọn cho ud=u∆
(d) đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng (d1), (d2) thì 1 1 2
2
;
→ =
⊥
(d) đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng (α), (β) thì α α; β
β
→ =
⊥
d
d d
(d) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng ∆; song song mặt phẳng (P) thì d d ; P
∆
∆
→ =
⊥
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP u d
cho trước:
a) M(1;2; 3),− u d = −( 1;3;5)
b) M(0; 2;5),− u d =(0;1;4)
c) M(1;3; 1),− u d =(1;2; 1)−
d) M(3; 1; 3),− − u d = −(1; 2;0)
Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước:
a) A(2 3 1; ;− ) (, B 1 2 4; ; ) b) A(1 1 0; ;− ) (, B 0 1 2; ; )
c) A(3 1 5; ;− ) (, B 2 1 1; ;− ) d) A(2 1 0; ; ) (, B 0 1 2; ; )
Ví dụ 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng ∆ cho trước:
a) A(3 2 4; ;− ), ∆≡Ox c)
2 3
5 2
= −
− = +
= −
∆
( ; ; ), : x t
+ − −
3 4
3 1
= +
− = −
= −
∆
( ; ; ), : x t
Ví dụ 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước:
04 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2a) 6 2 2 3 0
( ) :
− + − =
+ − + =
( ) : ( ) :Q P x x y z y z
( ) :
1 0
+ − + =
+ + − =
( ) : ( ) :Q x P x y z y z
Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d 1 , d 2 cho trước:
= − = +
( ; ; ), : x t, : x t
− = − + = − +
− = − − = − +
( ; ; ), : x t , : x
= − + = +
= − = − +
= + = − −
Ví dụ 6: Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng
a) đi qua A(1; 2; –1) và có vectơ chỉ phương là = −(1; 2;1 )
u
b) đi qua hai điểm I(–1; 2; 1), J(1; –4; 3)
c) đi qua M(1; 2; 4) và vuông góc với mặt phẳng (P): 3x – y + z – 1 = 0
d) đi qua M(1; 2; 0) và song song với 2 mặt phẳng (P): 2x – 5y – z + 1 = 0 và (Q): 3x + 4z – 4 = 0
Ví dụ 7: Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng:
a) qua A(3; –1; 2) và song song với đường thẳng ( ): 1 23
= −
∆ = +
= −
b) qua A(4; 4; 1) và song song với hai mặt phẳng (P): x + 2z – 4 = 0, (Q): x + y – z + 3 = 0
c) qua M(1; 1; 4) và vuông góc với hai đường thẳng 1
1 2
= −
= +
= −
− = − = +
−
d
d) qua M(2; 1; 0) và song song với (P): x + 2z = 0 đồng thời vuông góc với ( ) 1 2
:
∆ = =
−
2) Ứng dụng cơ bản của phương trình tham số
Cho đường thẳng ( ) 00
0
:
= +
= +
, nếu điểm M thuộc d thì M x( 0+at y; 0+bt z; 0+ct )
Phương trình tham số giúp cho bài toán tìm điểm trên đường thẳng được quy về một ẩn t giải dễ dàng hơn
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
= +
= −
= +
1
2 2
Tìm điểm M thuộc d sao cho
a) MA= 13; A(2; 1;0 − )
b) MI⊥IA; I(0;1;2 ,) (A 1;2; 2 − )
c) ∆∆∆∆MAB cân tại A, với A(2; 1; 3), B(0; −−−−2; 1)
Trang 3d) ∆ =7 ,
2
MAB
S với A(2; 1; 3), B(0; −−−−2; 1)
Hướng dẫn giải:
Ta có, M∈( )d ⇒M(1+ −t; 2 ; 2t +2 t)
1 0; 2;0
= − ⇒
= ⇔ = ⇔ − + − + + = ⇔ + − = ⇔
= ⇒ −
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán
b) Ta có MI= − −( 1 t;1 2 ; 2 ,+ t − t) IA=(1;1; 4− )
MI⊥IA⇔MI IA= ⇔ − − + + + = ⇔ =t t t t ⇒M
c) Ta có MA= −(1 t;1 2 ;1 2 ,+ t − t) MB= − − − +( 1 t; 2 2 ;1 2t − t)
Theo bài, MA=MB⇔MA2=MB2 ⇔ −(1 t)2+ +(1 2 )t 2+ −(1 2 )t 2= − −( 1 t)2+ − +( 2 2 )t 2+ −(1 2 )t 2
⇔ − + = − + ⇔ = ⇔ = ⇒ −
d) Ta có MA= −(1 t;1 2 ;1 2 ,+ t − t) MB= − − − +( 1 t; 2 2 ;1 2t − t)→MA MB;= −(3 6 ; 2t − +4 ; 1 7t − + t)
MAB
S = MA MB = − t + − + t + − + t = t − t+
= ⇒ −
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán
− thỏa mãn
a) thuộc mặt phẳng (P): x – y + 2z + 2 = 0 Đ/s: M(2; 2; –1)
b) tam giác MAB vuông tại A với A(3; 1; 0), B(2; –1; –3)
c) tam giác MAB cân tại M với A(1; 0; –1), B(4; –2; 3)
2
MAB
S = với A(2; 3; 1) và B(1; –1; –2) Đ/s: M(1; 0; 0)
Ví dụ 3: Tìm điểm M trên đường thẳng
1 2 :
2
= +
=
= −
thỏa mãn
a) thuộc mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0 Đ/s: M(3; 1; 1)
d) IM ⊥ d, với I(3; 0; –4)
Trang 4Ví dụ 4: Tìm điểm M trên đường thẳng
1
z t
= +
= −
=
thỏa mãn
a) thuộc mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0 Đ/s: M(2; –1; 1)
b) x M2 +2y M2 −z M2 =37 Đ/s: M(2; –4; 2)
c) tam giác MAB vuông tại M với A(2; 1; 1), B(1; 1; –10) Đ/s: M(0; 5; –1)
b) tam giác MAB cân tại M với A(1; 1; –3), B(–2; 1; –2) Đ/s: M(2; 1; 0)
c) x M2 +3y M2 −z2M =13 Đ/s: M(–1; 4; 6)
+ − +
∆ x = y = z
Tìm điểm C trên ∆ sao cho:
a) tam giác ABC đều
b) tam giác ABC cân tại A
c) diện tích tam giác ABC bằng 9/2
d) tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất
e) F =x2M −y M2 +z đạt giá trị lớn nhỏ nhất M2
f) CA2 + CB2 đạt giá trị nhỏ nhất