Phương trình vô tỷ (Chuyên đề Bồi dưỡng HSG) - Tài liệu Toán 9

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc.[r]

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ.

I PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA

I-KIẾN THỨC:

1/

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

Bài 3: Giải phương trình: x  4 1  x 1 2  x

HD: Ta có: x  4 1  x  1 2  x  x 4  1 2  x 1  x

2 1 0 (2 1) 2 3 1

x x

x x

x x

Bài 5 Giải phương trình : 3 x x 3x

HD: Đk: 0  x 3 khi đó pt đã cho tương đương: 3 2

Bài 7 Giải phương trình sau : 2  3  2

+ Nếu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2  m2 ≥ 4  m ≤ –2Tóm lại:– Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm x m2 4

2m



 – Nếu –2 < m ≤ 0 hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm

Bài 9 Giải và biện luận phương trình với m là tham số: x2  3 x m

Bài 10 Giải và biện luận theo tham số m phương trình: x  x  m  m

HD: Điều kiện: x ≥ 0

– Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm

– Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x 1) 0    có hai nghiệm: x1 = 0,

1/ x x 1 13  2/ 3 x 34 3  x 3 1  3/ 2x  5 3x 5 2 

1 x x  4  x 1 5/ x 3 5    x 2  6/ x 1   x 7   12 x 7/ x  x 1   x 4   x 9 0   8/ x  2 5 0   9/ 3 = 6x x 2

Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  x2  3x 2  2m x x  2

Bài 4: Cho phương trình: 2

1

x   x m

a) Giải phương trình khi m = 1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 5: Cho phương trình: 2x2 mx 3  x m

a) Giải phương trình khi m=3

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

Bài 6: Giải các phương trình sau:

II-BÀI TẬP:

Bài 1: Giải phương trình: x 2  4x 4 x 8    (1)

HD: (1)  (x 2)  2   8 x  |x – 2| = 8 – xx – 2|x – 2| = 8 – x = 8 – x

– Nếu x < 2: (1)  2 – x = 8 – x (vô nghiệm)

– Nếu x  2 : (1)  x – 2 = 8 – x  x = 5 (thoả mãn) Vậy: x = 5

Bài 2: Giải phương trình: x 2 2 x 1    x 10 6 x 1   2 x 2 2 x 1   (2)

– Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)

Với y = 3  x + 1 = 9  x = 8 (thoả mãn) Vậy: x = 8

Bài 3:Giải phương trình: x 2  2x 5  x  2 3 2x 5  7 2

2

x 

PT  2x 5 2 2  x 5 1   2x 5 6 2  x 5 9 14  

 2x 5 1   2x 5 3 14    2x 5 5   x 15 (Thoả mãn) Vậy:x = 15

Bài 4:Giải phương trình: x2 x1 x 2 x1 2

HD:ĐK:x 1

Pt  x 1 2  x 1 1   x 1 2  x 1 1 2    x 1 1   x 1 1   2

Nếu x 2 pt  x 1 1   x 1 1 2    x 2 (Loại)

Nếu x 2 pt  x 1 1 1    x 1 2   0x 0 (Luôn đúng với x)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S x R |x – 2| = 8 – x 1  x 2

11/ x  6 2 x 2  x 11 6  x 2 1  12/ x 2  2x 5  x  2 3 2x 5  7 213/ x2  2x x2  2x  1 5 0  14/ 2x 4  6 2x 5  2x 4  2 2x 5  4

1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t f x và

chú ý điều kiện của tnếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một

biến tquan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo tthì việc đặt phụ

xem như “hoàn toàn ”

Bài 1 Giải phương trình: x x2  1  x x2  1 2 

HD: Điều kiện: x 1

Nhận xét x x2  1. x x2  1 1 

Đặt t  x x2  1 thì phương trình cĩ dạng: t 1 2 t 1

Ta tìm được bốn nghiệm là: t1,2   1 2 2;t3,4   1 2 3

Do t 0 nên chỉ nhận các gái trị t1  1 2 2,t3  1 2 3

Từ đĩ tìm được các nghiệm của phương trình l: x  1 2 và x  2 3

Cách khác: Ta cĩ thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện

2

2x  6x 1 0 

Ta được: x x2 (  3) 2  (x 1) 2  0, từ đĩ ta tìm được nghiệm tương ứng

Đơn giản nhất là ta đặt : 2y 3  4x 5 và đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt

Từ đó ta tìm được các giá trị của 11 17

Bài 6 Giải phương trình : x2  3 x4  x2  2x 1

HD: x 0 không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được:

y y

x x

Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một

lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải

2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u2 uvv2  0 (1) bằng cách Xét v 0 phương trình trở thành :

Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trìnhbậc hai at2 bt c  0 giải “ nghiệm đẹp”

Bài 1 Giải phương trình :  2  3

phương trình trở thành :-3u+6v=- 3 uv  u 3v Từ đây ta sẽ tìm được x

Bài 3: Giải phương trình sau :2x2  5x 1 7  x3  1(*)

Bài 4 Giải phương trình : 3 2  3

1 5 2

Bài 3 Giải phương trình : 5x2  14x  9 x2  x 20 5  x 1

HD:Đk x 5 Chuyển vế bình phương ta được:

2x  5x  2 5 x  x 20 x 1

Nhận xét : Không tồn tại số  , để : 2x2  5x  2 x2  x 20 x 1

vậy ta không thể đặt :

2

20 1

Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chútnào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát

Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau

Bài 1 Giải phương trình : 2  2  2

Khi đó phương trình trở thnh : x 1t x2  1  x2   1 x 1t  0

Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có  chẵn :

Phương trình trở thành:t2 - (x + 3)t + 3x = 0 (t - x)(t - 3) = 0

3

t x t





  

Nếu t = x 2

Xuất phát từ đẳng thức a b c  3 a3 b3 c3  3a b b c c a        , Ta có

2 2

; 0 1

Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1

5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường

Đặt u x v,  x và tìm mối quan hệ giữa  x và  x từ đó tìm được hệ theo u,v

Bài 1 Giải phương trình: x3 35  x x3  3 35  x3  30

ta tìm được ( ; ) (2;3) (3;2)x y   Tức là nghiệm của phương trình là x {2;3}

Bài 2 Giải phương trình: 2 1 4 41

Ta đưa về hệ phương trình sau:

4 4

2

4

1 1

2 2

Phương trình (1) trở thành u + v = 3

Ta có hệ phương trình

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}

x x

x x

Với điều kiện (*), đặt u  x;v  x

3

2

1 1

v x

u x

2 2

3 3

194 8

3

2

) ( 0 18

194 8

y

a y

y

 (b) vô nghiệm

 (a) có 2 nghiệm

3 2

97 1

; 2

3 2

97

1

2 1

2 2 2 1

1 1

y v

y u y v

y u

Vì u ≥ 0 nên ta chọn

3

3 2

97 1

3

3 2

97 1

97 1

HD:Với điều kiện

18 5

645

18 0

x x

x u

5 64

5 18

82 ) ( 2 4 0

2 2 4

4

v v

uv v

u

v u v

4 0

0 87 32

4

0 ,

0

82 2

2

4

2

2 2

2

P

P P

S P

S

S

v

u v

(2) Với S = 4, P = 29  không tồn tại u và v

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: 1

2

17 5 63 5

x x

5.2 Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :  

2 2

giải hệ này thì đơn giản

Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt yf x  sao cho (2) luôn đúng , y x 2 1  , khi đó ta có phương trình :

x 12  ( x  2 1) 1   x2  2x x 2

Vậy để giải phương trình : x2  2x x 2 ta đặt lại như trên và đưa về hệ

Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :  

2 2

Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng :

xn p a x b n '  '  đặt y n ax b để đưa về hệ , chú ý về dấu của

Ta có phương trình được viết lại là: (x 1) 2  1 2 2  x 1

Đặt y 1  2x 1 thì ta đưa về hệ sau:

2 2

Trừ hai vế của phương trình ta được (x y x y )(  ) 0 

Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x  2 2

Cách 2: Đặt 2x 1  t a 2x 1t2 2at a 2

Chọn a = -1 ta được:t2 - 2t = 2x - 2

kết hợp với đầu bài ta có hệ phương trình:

2 2

Bài 2 Giải phương trình: 2x2  6x 1  4x 5

Với x y  1 0   y  1 x  2x 1  4x 5 (vô nghiệm)

Kết luận: Nghiệm của phương trình là x  2 3

Bài 3: Giải phương trình:x2  x 5 5 

Bài 4: Giải phương trình: 7x2 + 7x = 4 9( 0)

28

x x

Kết hợp với đầu bài ta được hệ phương trình:

2 2

1

2 1

  

Dấu ‘‘=’’ xảy ra  a1 a2   a n

3 GTLN,GTNN của biểu thức:

a/ A = m + f2(x)  m b/ A = M - g2(x)  M

 Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được.

2 1

5 1

Mặt khác:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)2  2

Theo giả thiết dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi:x = 6

Vậy x = 6 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài 5: Giải phương trình: x2  3x 2  x  1 2

Từ (1) và (3) Ta có x = 1 thế vào (2) thoả mãn.Vậy :x = 1

Bài 6:Giải phương trình : x 4x 1 2

x 4x 1



HD: Điều kiện x 1







2 2

x 4x 1 0 (x 2) 3

Với x ≥ 1 thì: Vế trái: x 1   5x 1   vế trái luôn âm

Vế phải: 3x 2  ≥ 1  vế phải luôn dươngVậy: phương trình đã cho vô nghiệm

Ta có: Vế trái ≥ 4  9 2 3 5    Dấu “=” xảy ra  x = –1

Vế phải ≤ 5 Dấu “=” xảy ra  x = –1Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1

Bài 9:Giải phương trình : x 7 2

Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2

Bài 10:Giải phương trình : 6 8 6

3 x   2 x  HD: ĐK: x < 2 Bằng cách thử, ta thấy x = 3

2 là nghiệm của phương trình Ta cần

chứng minh đó là nghiệm duy nhất Thật vậy:Với x < 3

5/ 2x 3  5 2  x  3x2  12x 14 6/ x 2  10  x x2  12x 40

V PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc

Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:

Hướng 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 3: Nhận xét:

 Với x x 0  f x( ) f x( ) 0 k do đó x0 là nghiệm

 Với x x 0  f x( )  f x( ) 0 k do đó phương trình vô nghiệm

 Với x x 0  f x( )  f x( ) 0 k do đó phương trình vô nghiệm

 Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2: Thực hiện theo các bước

Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng f x( )và g(x) có những tính chất trái

ngược nhau và xác định x0 sao cho f x( ) 0 g x( ) 0

Hướng 3: Thực hiện theo các bước:

Ví Dụ 2: Giải phương trình: 3 x 6  3 x 2  3 x 3 0 

HD: nhận thấy x = -2 là một nghiệm của phương trình

Đặt f x   3 x 6  3 x 2  3 x 3

Với x1 x2  f x 1  f x 2 vậy hàm số f(x) đồng biến trên R

Vậy x = -2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích x x A x 0    0 ta có thể giải phương trình

C2: ĐK: x 2;x 1

Nếu x 1 ta chia cả hai vế cho x ta được: x 2  x 1  2 x

Bình phương hai vế sau đó giải phương trình ta tìm được x

Nếu x-2 Đặt t = -x  t 2Thay vào phương trình ta được

2 2

Bình phương hai vế tìm được t

Sau đó tìm ra x

Trong C1 ta đã sử dụng kiến thức liên hợp Còn trong C2 ta vận dụng kiến thức miền xác định về ẩn của phương trình.nhìn chung thì việc vận dụng theo C2 đơn giản hơn

Bài 2 Giải phương trình sau :

Dể dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 3 Giải phương trình sau: x2  12 5 3   x x2  5

Bài 4 Giải phương trình :3 x2  1 x x3  1

Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 3

Bài 5:Giải phương trình sau:

Giải hệ trên ta tìm được x  2

Bài 6:Giải phương trình:

2 2

 

 

HD:ĐK:

9 2 0

x x

Pt  

2 2

x x

2 ( 5 ) 4 )(

x x

4 3 10 3   x  x 2 3 x x. 3x x2  x 1  x x 2   1 x2  x 2

0 864 5

3

x4 + x 2 2005 2005  a b 1 x  1 a b 1 x (a , b > 0)

x  x  x  x  64x6 - 112x4 + 56x2 - 7 = 2 1 x 2

Bài 5: Ký hiệu [x] là phần nguyên của x

Giải phương trình sau:3 1 3 2  3 x31  855

Bài 6:Cho phương trình:x2 6 x 6 x 2 x2 6 x 6 2 x

Gọi tổng các nghiệm của phương trình là S,tính S15

Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

Bài 9:Giải các phương trình sau :

Bài 12: Cho phương trình: 1 x 8  x 1 x 8  x m

a) Giải phương trình với m = 3

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

c) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 13: Cho phương trình: 1 1 2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 14: Cho phương trình:  2  2

2 x  2x  x  2x 3  m 0

a) Giải phương trình với m = 9

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 15:Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

a/ Vế trái có 100 dấu căn

b/ Vế trái có n dấu căn

Bài 17:Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

4 4 4 4 5

x x x  x x x

(Vế trái có 100 dấu căn)

Bài 18:Tìm các số hữu tỉ a và b thoả mãn: 3 2 7 20 3

a b  a b  

Bài 19:Cho hai số x , y thoả mãn: 2  2 

x   x y   y  Tính x + y

Bài 20:Giải phương trình:3 2x  1 3 x  1

Bài 21:Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện:

Bài 23:Giải phương trình nghiệm nguyên: 4y2   2 199  x2  2x

Bài 24:Tìm các số hữu tỉ a và b biết: a 7  b 7  11 7 28 

Bài 25:Giải phương trình: 1 2 2 1