Chuyên đề phương trình đường thẳng trong oxyz

C ả 4 đường thẳng trên đều có véctơ chỉ phương vuông góc với véctơ pháp tuyến của mặt phẳng nên các đường thẳng đó hoặc song song, hoặc chứa trong mặt phẳng.. L ấy một điểm bất kì trên [r]

I KI ẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Vecto ch ỉ phương của đường thẳng

 Định nghĩa:

• Vecto u ≠0

được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu ≠ 0u 

có giá song song hoặc trùng

+Nếu u là một vectơ chỉ phương của ∆ thì ku k ( ≠0)

cũng là một vectơ chỉ phương của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương

+ Nếu u v ,

là cặp vecto không cũng phương, có giá vuông góc với ∆ thì u v , 

là vecto chỉ phương của đường thẳng ∆

II CÁC D ẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Viết phương trình tham số của đường thẳng khi biết tọa độ 1 điểm thuộc đường thẳng và vecto chỉ phương

 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng khi biết tọa độ 1 điểm thuộc đường thẳng và vecto chỉ phương

 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng khi biết phương trình tham số của đường thẳng đó

 Viết phương trình tham số của đường thẳng khi biết phương trình chính tắc của đường thẳng đó

 Viết phương trình tham số (chính tắc) của đường thẳng khi biết tọa độ 2 điểm thuộc đường thẳng

D ẠNG TOÁN 37: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG OXYZ

 Viết phương trình tham số (chính tắc) của đường thẳng qua 1 điểm và vuông góc với 1 mặt phẳng cho trước

 Viết phương trình tham số (chính tắc) của đường thẳng qua 1 điểm và song song với 2 mặt phẳng cho trước

 Viết phương trình tham số (chính tắc) của đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng cho trước

 Viết phương trình tham số (chính tắc) của đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán viết phương trình mặt phẳng trong hệ trục toạ độ Oxyz khi biết điểm

đi qua và một vectơ pháp tuyến

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là u∆ =(1; 4; 2− )

B2: Gọi ( )P là mặt phẳng cần tìm, vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng ( )P nên n P =u∆

B3: Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua điểm M(2;1; 0) và có một vectơ pháp tuyến n P =u∆

T ừ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn C

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là u∆ =(1; 4; 2− )

x y

x y

x y

x y

Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; 0; 1− ) và có

vectơ chỉ phương a=(4; 6; 2− ) Phương trình tham số của ∆ là

A.

2 46

Câu 8 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( ): 31 2

qua M vtcp u

x y

Câu 1 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;3) và B(2; 4; 1− Phương trình chính tắc của )

Câu 2 Trong không gian , cho đường thẳng đi qua điểm và có véctơ chỉ phương là

Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng ?

Lời giải

Ch ọn D

Dễ kiểm tra được điểm không thuộc đường thẳng có phương trình ở đáp án D

Câu 3 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 2;1− ) và mặt phẳng

( )P :x+ +y 2z− = Đường thẳng nào sau đây đi qua 5 0 A và song song với mặt phẳng ( )P ?

Câu 4 Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 2) và mặt phẳng ( )P : 2x− +y 3z+ = Đường 1 0

thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng ( )P có phương trình là

Câu 6 Trong không gian cho mặt phẳng đi qua điểm và có véctơ pháp tuyến là

Mặt phẳng chứa đường thẳng nào trong các đường thẳng sau:

Câu 7 Cho điểm A(1; 2;3) và hai mặt phẳng ( )P : 2x+2y+ + =z 1 0, ( )Q : 2x− +y 2z− =1 0 Phương

trình đường thẳng d đi qua A song song với cả ( )P và ( )Q là

Câu 8 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; 1 ,− ) B(2; 4;3 ,) C(2; 2; 1 − Phương )

trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC Ta có BC=(0;− −2; 4).

Do ∆ song song với BC nên một véc tơ chỉ phương của ∆ là u∆ =(0 1 2; ; ).

Vậy phương trình tham số của đường thẳng ∆ là

Câu 9 Trong không gian tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α :x−3y+ =z 0 và

( ) β :x+ − + =y z 4 0 Phương trình tham số của đường thẳng d là

Suy ra n ( )α ,n( )β  = (2; 2; 4), một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ud (1;1; 2)

= ⇒ loại A

+ Đáp án B tọa độ điểm đi qua là (2;0; 2) không thỏa mãn phương trình ( ) α ⇒ loại đáp án B + Đáp án C tọa độ điểm đi qua là (−2;0; 2) thỏa mãn phương trình ( ) α và ( ) β ⇒ đáp án

đúng C

+ Đáp án D tọa độ điểm đi qua là (2;0; 2− ) không thỏa mãn phương trình ( ) β ⇒ loại đáp án D

Câu 10 Trong hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường vuông góc chung ∆ của hai đường thẳng

Ch ọn B

Ta có : d //(P) nên d′//d Do đó ud′=ud =(3; 4;1− )

( 1;3; 1 )

M − − ∈ d M ′ là hình chiếu vuông góc của M trên ( ) P

Gọi a là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với ( ) P

Khi đó đường thẳng a có phương trình

1 23

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1; 0;1) và

vuông góc với hai đường thẳng 1: 4

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u d = ( 2;1; 2 − ) Gọi đường thẳng cần tìm là ∆

Gọi M a ( ;0;0 ) là điểm thuộc trục Ox mà đường thẳng ∆ đi qua, suy ra MA= −(1 a; 2;3) là

một véc tơ chỉ phương của ∆ Vì đường thẳng ∆ vuông góc với d nên:

+ Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm A M, nên nhận vectơ

Vì đường thẳng ∆ đi qua A(0; 1; 4− ), vuông góc với d và nằm trong ( )P nên đường thẳng ∆

Câu 7 Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(2;1; 1 ,− ) B(−2;3;1) và C(0; 1;3− ) Gọi

d là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng

(ABC) Phương trình đường thẳng d là

Vậy tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm G(0;1;1)

Do đó phương trình đường thẳng d qua G(0;1;1)

x y z

= = và song song với mặt phẳng ( )P :x+ − − = y z 2 0

A

1 2 3

Ta có N = ∆ ∩ ⇒d N(− +2 2 ;1t +t;1− t)

A là trung điểm của MN ⇒M(4 2 ;5− t −t;3+ t)

Mà M∈( )P nên tọa độ M thỏa phương trình ( )P , ta được:

( ) ( ) ( )

2 4 2− t − − + + − = ⇔ = −5 t 3 t 10 0 t 2⇒N(− −6; 1;3 ,) (M 8; 7;1)

Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M và N nên có một vectơ chỉ phương 1 ( )

7 ; 4; 12

Vì ∆ ⊂( )α nên IH ≥IK Do đó, IH nhỏ nhất khi H trùng với K

Để MN lớn nhất thì IH phải nhỏ nhất Khi đó, đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A và K

x t

y t z

x t

y t z

H

Mặt phẳng ( )P đi qua ba điểm 3; 0; 0

E∈ P nên E nằm trong đường tròn giao tuyến của ( )S và ( )P

Giả sử ∆ cắt ( )S tại D và G , F là hình chiếu của K lên ∆ Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với EK, nằm trên ( )P , cắt ( )S tại M và N Ta có KF≤KE ⇒DG≥MN (theo tính

chất mối quan hệ giữa dây cung và khoảng cách từ dây cung tới tâm)

Mà MN không đổi nên DG nhỏ nhất khi và chỉ khi E≡F Khi đó ∆ ⊥KE, ngoài ra

x t

y t z

1 + + = <1 2 6 36 Do đó E

nằm trong mặt cầu ( )S

Gọi ,M N là giao điểm của ∆ và mặt cầu ( )S Khi đó ta có:

x t

y t z

Gọi d 1 là đường thẳng đi qua M và d // d , suy ra 1 d 1 có phương trình:

x

y t z

x y

x t y z

x t y

Thay vào (*) ta được hệ phương trình

2

01

3

1; 0; 04

u= AD=

nên có phương trình là:

210

x t y z

Vậy đường phân giác trong của góc A đi qua điểm A(2;1; 0) và có vectơ chỉ phương là

6

1; 0; 02

u= AD=

nên có phương trình là:

210

x t y z

Vậy đường phân giác trong của góc A đi qua điểm A(2;1; 0) và có vectơ chỉ phương là

1

1; 0; 02

u= AI =

nên có phương trình là:

210

x t y z

suy ra I ( 1;0;3 ) là giao điểm của hai đường thẳng d và 1 d 2

Lấy A(0;1;1)∈ ⇒d1 IA= 6 Gọi B ( 1 2 ; 4 ;3 2 − s − s + s ) ∈ d2sao cho IB= 6

B B

Theo yêu cầu bài toán ta viết phương trình của đường phân giác của góc AIB với B ( 0; 2; 4 − )

(không cần xét trường hợp kia)

Gọi Mlà trung điểm của AB suy ra 0; 1 5;

 

nên có thể chọn u =(2;1;1)

là vectơ chỉ phương của đường phân giác

Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M(2; 2; 3− và ) N(−4; 2;1) Gọi ∆ là

đường thẳng đi qua M, nhận vecto u=(a b c; ; )

làm vectơ chỉ phương và song song với mặt

phẳng ( )P : 2x + + = sao cho khoảng cách từ N đến y z 0 ∆ đạt giá trị nhỏ nhất Biết a , b là

hai số nguyên tố cùng nhau Khi đó a b c+ + bằng:

d N ∆ đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ ∆ đi qua N′, với N′ là hình chiếu của N lên ( )Q

Gọi d là đường thẳng đi qua N và vuông góc ( )P ,

Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua A(−1; 0; 1− ), cắt 1: 1 2 2

x− y− z+

− , sao cho góc giữa d và 2 3 2 3

3 6 14 9

t d

t t

∆ =

+ +Xét hàm số ( ) 2 2

Ta có vtcp của d: u1=(1 1 0; ; ); VTCP của đường thẳng ∆ là u∆ =(0 7 1;− −; )

Góc giữa 2 vecto chỉ phương là : ( ) 1

Dễ thầy d và ∆ và d ' cùng đi qua điểm A(1; 2;3) ' : 1 2 3

Thay điểm (− −4; 10; 2) ở đáp án A vào thấy thỏa mãn Chọn A

Câu 9 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

1 3: 1 41

x t

d y t z

Tọa độ điểm của đáp án B thuộc AI

Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 2; 1), 8 4 8; ;

3 3 3

  Đường thẳng đi qua tâm

đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB ) có phương trình là

Xét bài toán: Cho ∆ABC , g ọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi a , b , c là độ dài các c ạnh Khi đó ta có a IA b IB c IC+ +  =0

Chứng minh Gọi D và E lần lượt là chân các đường phân giác của ABC∆ kẻ từ B và C

Dựng tia Ax song song BD cắt CE tại M Dựng tia Ay song song CE cắt BD tại N

Gọi I a b c ( ; ; ) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB

Áp dụng bài toán trên cho OAB∆ , ta được AB IO OB IA OA IB.+ +  =0 ( )*

3

18