DE THI HOC SINH GIOI MON TOAN 9 2012 2013

Tìm số nguyên m để đồ thị hàm số y x.. Chøng minh AM = AN.[r]

Phòng GD&Đt QuảNG trạch Kì THI CHọN HọC SINH GIỏI huyện

LớP 9 THCS NĂM HọC 2012 – 201 3

MÔN THI: TOáN

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 (2,0 điểm)

1) Cho a, b, c,a b c  không âm thỏa mãn a  b  c  a b c  Chứng minh rằng: 2011a2011b 2011c 2011a b c 

2) Chứng minh bất đẳng thức: ab  c a c    c b c  

(với a > c, b > c, c > 0)

Câu 2 (2,0 điểm)

1) Giải phơng trình x 2 4 x 2x2 5x1

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

M

xy



Câu 3 (2,0 điểm)

1) Cho hàm số y = (m - 3)x + 5 - m có đồ thị (d) Tìm số nguyên m để đồ thị hàm số

song song với đờng thẳng y x  6  2 10 5 3    2  3 1 

2) Cho hàm số bậc nhất ymx2(1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox và trục Oy lần lợt tại A và B sao cho tam giác AOB cân

Câu 4 (3,0 điểm)

1) Cho tam giác cân ABC ( AB = AC; àA< 900 ) Kẻ BK  AC

a) Chứng minh : Aà =2.KBCã

;

=

b) Biết

sin KBC

3

=

, tính sinA

2) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC nhọn Trên đoạn HB, HC lấy hai điểm M, N sao cho góc AMC và góc ANB cùng là góc vuông Chứng minh AM = AN

Câu 5 (1,0 điểm) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho x2 3y 3026

-Hết -Phòng GD&ĐT quảng trạch HƯớNG dẫn chấm Để THI CHọN HọC SINH GiỏI

MÔN TOáN NĂM HọC 2012 - 2013

Đề THI CHíNH THứC

Xét hai trờng hợp xảy ra ta đều có điều phải cm

0,5 0,5

2)

Ta có ab c a c    c b c  

(với a > c, b > c, c > 0)

0,25

2

(luôn đúng với mọi a > c, b > c, c > 0)

0,25

Vậy ab  c a c    c b c  

(với a > c, b > c, c > 0) 0,25

2

1)

2

x   x  x  x (1) ĐKXĐ: 2  x  4

0,25

(1)  2x2 – 5x -1 - x 2  4  x =0

 2x2 – 5x – 3 –( x  2- 1) – ( 4 x -1) = 0 0,25

 (2x + 1)(x-3) -

0

 (x-3)

x

0,25

Vì 2  x  4 nên

x

 x = 3(Thoả mãn ĐK)

Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x =3

0,25

2)

Với điều kiện x 1,y 4 ta có: M =

4

x







0,25

Vớim,n 0  m n2 0 m n 2 mn mn m n

2



Dấu ”=” khi m=n

0,25

Ta có: 1 1 1 1 1

1 1 2

x x



(vì x dơng) Và: 4 1 4 4 1 4 4

4

y y



(vì y dơng)

0,25

Suy ra: M =

4

y x





Vậy giá trị lớn nhất của M là

3

4  x = 2, y = 8(thỏa mãn)

0,25

3 1

Xét hàm số y = (m - 3)x + 5 - m có đồ thị là (d)

Ta có: B  6  2 10 5 3    2  3  3 1 10 5 3      2 2  3 0,25

 3 1 10 5 3   2 2 3

 3 1 2 10 5 3

0,25

Từ đó ta có: (d’) có phơng trình: y = 10x + 1

Ta có: (d)//(d’) khi



0,25

 m 13

2

Vì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nên m khác 0 0,25

Cho y = 0 thì x = -2/m =>



2

m

Cho x = 0 thì y = 2 =>B(0;2)

0,25

Tam giác AOB vuông tại O nên tam giác AOB cân khi OA = OB

Do đó:

*

2

m



(thỏa mãn)

0,25

*

2

m



(thỏa mãn) Vậy m =1, m =-1 thì đồ thị hàm số (1) tạo với 2 trục tọa độ một

tam giác cân

0,25

4 1

a

0,25

Kẻ đờng cao AH => AH là đờng trung tuyến, là phân giác của BAC

=>

  2  1

A C 90 ;KBC C 90    A KBC

Mà BAC 2A   2  BAC 2KBC   0,25

Trong tam giác vuông ABK ta có:

BK BK sin A

AB AC

(1) (vì AB=AC,gt) 0,25

Trong tam giác vuông CBK ta có:

cosKBC cos

2 BC

Trong tam giác vuông CBK ta có:

sin A sin

2 AC 2AC

(Vì BC=2BH)

0,25

Do đó:2sinAcosA 2BK BC BK 2

2 2  BC 2AC AC

Từ (1) và (2) ta có:

sin A 2.sin cos

=

0,25

1

b

Ta có



2

 

 

0,25

Do đó :

sin A 2.sin cos 2

2

0,25

Gọi E là giao điểm của CH và AB, F là giao điểm của BH và AC

áp dụng hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác AMC, ANB ta

có:

AM AF.AC;AN AE.AB(3)

0,25

Các tam giác ABF và ACE đồng dạng nên:AF.AC=AE.AB(4) 0,25

Từ (3) và (4) AM2 AN2  AM AN 0,25

5

Xét y = 0  x2 + 30 = 3026  x2 = 3025 x 55 vi x N   

Xét y > 0  3y ⋮ 3, x2 chia cho 3 d 0 hoặc 1

 x2 3y chia cho 3 d 0 hoặc 1

Mà 3026 chia cho 3 d 2 nên không xảy ra: x2 3y 3026

Vậy nghiệm (x,y) = (55,0)

0,25 0,25 0,25 0,25