AH vuông góc với BC H BC, HI vuông góc với AC IAC.. Qua I kẻ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và D.. Điểm A nằm ngoài đường tròn.. QuaA kẻ hai tiếp tuyến AB và
Trang 1PHỊNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN ĐAM RƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2008 - 2009 MƠN: TỐN
Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề)
Câu 1:(1,5đ) Chứng minh bất đẳng thức :
2 2
2 2 1
a a
Câu 2:(1,5đ) Cho biểu thức :
1
2
Q x x
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức Q có nghĩa?
b) Tìm giá trị lớn nhất của Q khi Q có nghĩa
Câu 3:(1,5đ) Giải phương trình:
x x x x
Câu 4 :(1,5đ) Giải và biện luận hệ phương trình :
m x y
m x m y
Câu 5 : (1,5đ)
a) Thực hiện phép tính : 1x x 11
b) Aùp dụng tính :
A
n n
Câu 6 :(1,5đ) Cho ABC có AB = AC = 9cm, BC = 12cm AH vuông góc với BC (H BC), HI vuông góc với AC (IAC) Tính IC
Câu 7 : (1,5đ) Rút gọn biểu thức
B a a b b ab : (a b) 2 b
Câu 8 :(1,5đ) Cho 2 biểu thức :
M = (8x6- 27) : (4x4 + 6x2 + 9)
N = (y4 – 1) : (y3 + y2 + y + 1)
Tính tỷ số M
N với x=8 ; y= 251 Câu 9: (1,5đ) Cho ABC có góc A bằng 600, AB = 28cm, AC = 35cm Tính BC
Câu 10: (1đ)Tìm số nguyên tố p sao cho 4p+1 là số chính phương
Câu 11: (1,5đ)Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng d sao cho khoảng cách từ O đến d lớn hơn R Xác định A (O), B d sao cho AB là ngắn nhất
Câu 12: (2đ) Cho ABC trung tuyến AM, lấy I BM (I B,M) Qua I kẻ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và D Chứng minh rằng : IE + ID = 2AM Câu 13 : (2đ)Cho (O, R) (R=6cm) Điểm A nằm ngoài đường tròn QuaA kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn sao cho AB vuông góc với AC (B,C là các tiếp điểm) Trên AB và BC lấy điểm D và E sao cho AD = 4cm, AE = 3cm Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm 0
*** Hết ***
Trang 2ĐÁP ÁN (toán 9)
Câu 1: : Chứng minh bất đẳng thức :
2 2
2 2 1
a a
Ta có: 2 2 2 1 1
Aùp dung bất đẳng thức Cauchy ( cô- Si) cho hai số không âm (a2+ 1) và 1 ở tử
Ta có:a2+1+12 2
=> 22 2 2 22 1 2
Câu 2: Cho biểu thức :
1
2
Q x x
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức Q có nghĩa?
b) Tìm giá trị lớn nhất của Q khi Q có nghĩa
TL
a Q có nghĩa <=> (1 – 3x ) ( x + 12) 0 (0,25đ)
Lập bảng xét dấu => 1 1
b Xét biểu thức P = Q 3 Rõ ràng khi P lớn nhất thì Qmax (0,25đ)
P =
3
=> P 54 khi 1-3x = 3x +32 => x = 121
Suy ra giá trị lớn nhất của Q là 5
4 3 hay 5 3
Câu 3: Giải phương trình:
x x x x
TL
Ta viết x + 3 + 4 x 1= x – 1 + 4 x 1 + 4 (0,25đ) Với nhận xét 2
( x1) x 1
Ta có : x- 1 + 4 x 1 + 4 = ( x1)22.2 x1 2 2
=> x + 3 + 4 x 1 = 2
( x 1 2)
Tương tự ta có : x + 8 – 6 x 1 =( x 1 3)2 (0,25đ) Phương trình đã cho trở thành :
( x1 2) ( x1) 3) 5 , x 1
=> x1 2 x1 3 5 , x 1 (0,25đ) Với x 1 3 0 => x – 1 9 => x 10
Phương trình trở thành: x1 2 x1 3 5
Trang 3=> x 1 3 => x = 10 (1) (0,25đ) Với x 1 3 0 => x – 1 < 9 =>x <10
Phương trình trở thành: x1 2 x1 3 5
=> Đẳng thức này nghiệm với mọi x 1 (2) (0,25đ) Từ (1), (2) và điều kiện x 1
=> nghiệm của phương trình đã cho là : 1 x 10 (0,25đ) Câu 4 : Giải và biện luận hệ phương trình :
m x y
m x m y
TL:
Ta có : D = m(2m-5) ; Dx=2m-5 ; Dy=2(2m-5) (0,5đ)
+Với m0 và m5
2 => D0
=> Hệ có nghiệm duy nhất : x = 1
m, y = 2
m (0,25đ) + Với m = 0 => Hệ có dạng 22x y x y 32
Vì 22 11 32
nên hệ vô nghiệm (0,25đ)
+ Với m = 52, hệ có dạng
3
x y
x y
=>
=> Hệ có vô số nghiệm (0,5đ) Câu 5 :
a) Thực hiện phép tính : 1x x 11
b) Aùp dụng tính :
A
n n
TL:
a) 1x x 11(x x x(1)1)x x x( 1 1)
b) Aùp dụng kết quả trên ta có:
x x x x
Vì vậy : 1 1 1
1.2 1 2
2.31 1 12 3
n n n n
Cộng các đẳng thức trên vế theo vế , ta được :
Trang 4A= 1 1 1
1.2 2.3 n n( 1)
=> A = 1 - n 11 = n n1 (0,5đ)
Câu 6 : Cho ABC có AB = Ac = 9cm, BC = 12cm AH vuông góc với BC (H BC), HI vuông góc với AC (IAC) Tính IC
TL:
ABC cân có AH BC => HB = HC = 6cm (0,5đ)
Vì HI AC => HC2 = AC.CI (0,5đ)
=> CI = 2 62 36 4
HC
cm
Câu 7 : Rút gọn biểu thức
B a a b b ab : (a b) 2 b
TL: a a b b ab (a b)( a b)
=> a a b b ab : (a b) a b
a b a b
với a b , a 0, b 0 (0,5đ)
Câu 8 : Cho 2 biểu thức :
M = (8x6- 27) : (4x4 + 6x2 + 9)
N = (y4 – 1) : (y3 + y2 + y + 1)
Tính tỷ số M
N với x=8 ; y= 251
TL:
Ta có : M = 4 6 2 2 2 2 3 2 3 2
x
x x
N = 3 42 3 3 2 2
1
y
Vậy : M N 2x y313
Câu 9: Cho ABC có góc A bằng 600, AB = 28cm, AC = 35cm Tính BC
TL:
Kẻ AH AC =>ABH vuông tại H
Cos 600= AH AB =12 => AH = AB2 = 14cm (0,5đ)
Ta có : CH = 35 – 14 = 21cm (0,25đ)
BH = 282142 588 (0,25đ)
Trang 5BC = BH2CH2 558 441 1029 7 21 cm (0,5đ)
Câu 10: Tìm số nguyên tố p sao cho 4p+1 là số chính phương
TL:
4p + 1 chính phương => 4p + 1 = x2 (0,25đ)
Ta thấy VT lẻ => VP lẻ => 4p + 1 = (2k + 1)2 (k N) (0,25đ)
=> 4p + 1 = 4k2 + 4k + 1
Mà p là số nguyên tố => p=2 ( thử lại chọn) (0,25đ)
Câu 11: Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng d sao cho khoảng cách từ O đến d lớn hơn
R Xác định A (O), B d sao cho AB là ngắn nhất
TL: Ta có OA+ AB OB =>AB OB – OA ( 0,5đ)
Mà OB – OA OI – OH = IH (Không đổi )
=> AB nhỏ nhất khi AB = IH hay AI và B H (0,5đ)
Câu 12: Cho ABC trung tuyến AM, lấy I BM (I B,M) qua I kẻ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và D Chứng minh rằng : IE + ID = 2AM
TL
Vì IE//AM => IE BI
AM BM (1) (0,5đ)
AM // ID => AM ID CM CI ( 2) (0,5đ)
Từ (1) và (2) suy ra
2
IE ID IB CI
AM AM BM CM (0,5đ)
=> IE + ID = 2 AM (0,5đ)
Câu 13 : Cho (O, R) (R=6cm) Điểm A nằm ngoài đường tròn QuaA kẻ hai tiếp tuyến
AB và AC với đường tròn sao cho AB vuông góc với AC (B,C là các tiếp điểm) Trên
AB và BC lấy điểm D và E sao cho AD = 4cm, AE = 3cm Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm 0
TL
Ta có :
SODE = SABOC – SOBD – SOEC – SADE (0,25đ)
= 36- 9 – 6 – 6 = 15(cm2) (0.5đ)
Kẻ OH DE
Ta có SODE = 1
2OH DE (0,25đ)
=> OH = 2SODE : DE ( 0,5đ)
Mà DE = 3242 5(cm) (0,25đ)
= > OH = 2 15: 5 = 6 (cm) = R
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) (0,25đ)
B I
D
A
E