Đề thi Học sinh giỏi môn Toán 9 năm học 2009 2010

a Tứ giác OCAB là hình gì?. b Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E.. Trung tuyến AM cắt BD tại P và trung tuyến CN cắt BE tại Q.. a Chứng minh: Q là trung điểm

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN ĐAM RÔNG Năm học 2009 – 2010

MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (1 đ) Chứng minh rằng nếu x + y + z + t = 0 thì: x3 + y3 + z3 + t3 = 3(xy – zt)(z + t)

Câu 2: (1đ) Cho ABC vuông tại A Chứng minh tg 

2

ABC = AC

AB BC

Câu 3: (1,5 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

Câu 4: (1,5 đ) Cho hai đường thẳng (d1): y = 4x +1 và (d2): y = -2x +3

Viết phương trình đt (d3) biết:

(d3)(d2) và (d3) cắt (d1) tại điểm có tung độ bằng 1

Câu 5: (2 đ) Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác Chứng minh các

bất đẳng thức sau:

a) MA + MB + MC + MD > 1

2(AB + BC + CD DA) b) MA + MB + MC + MD AC + BD Dấu “=” xảy ra khi nào ?

Câu 6: (2 đ) Giải phương trình:

2000 2001 2002 2003 2004

x x x x x

b) 10 5 5 1 9 45 4

x



Câu 7: (1 đ) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của ABC Chứng minh bất đẳng thức:

abc  (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > 0

Câu 8: Cho đường tròn (O) có bán kính OA, dây BC OA tại trung điểm M của OA

a) Tứ giác OCAB là hình gì ? Vì sao ?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E Tính độ dài BE, biết

OB = R

Câu 9: (3 đ) Cho biểu thức 3 3( 2 1)

1

x A

x x x





   a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên

c) Tìm giá trị lớn nhất của A

Câu 10: (2 đ) Cho các hàm số sau:

(d1): y = 2x + 4

(d2): y = x – 3

(d3): y = (m + 1).x – 5

a) Xác định giá trị của m để ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy tại một điểm

b) Vẽ (d1), (d2), (d3) với giá trị m đã tìm

Câu 11: (3 đ) Cho ABC Trên cạnh AC lấy hai điểm D và E sao cho AD = DE = EC Trung tuyến AM cắt BD tại P và trung tuyến CN cắt BE tại Q

a) Chứng minh: Q là trung điểm của trung tuyến CN

b) Chứng minh: PQ // AC

c) Suy ra PQ = 1

2MN và PQ = 3

4DE

*** Hết ***

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 8: Vẽ hình đúng (0,25 đ)

a) Theo giả thiết MO = MA (1)

BC OA nên theo định lý đk và dây ta có : MB = MC (2) (0,25 đ)

Từ (1) và (2) suy ra OBAC là hình bình hành

Vì OAOB

=> OBAC là hình thoi (0,5 đ) b) Do BE là tiếp tuyến của (O) nên BE OB

=> OBE vuông tại B (0,25 đ)

Vì M là trung điểm của OA => OM =1

2R (0,25 đ) Mặt khác OB2 = OM.OE (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

=>

2 1 2

OB R

OM R

(0,25 đ)

Áp dụng ĐL Py ta go trong tam giác vuông OBE

OE OB BE

      (0,25 đ)