a Tứ giác OCAB là hình gì?. b Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E.. Trung tuyến AM cắt BD tại P và trung tuyến CN cắt BE tại Q.. a Chứng minh: Q là trung điểm
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
HUYỆN ĐAM RÔNG Năm học 2009 – 2010
MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1 đ) Chứng minh rằng nếu x + y + z + t = 0 thì: x3 + y3 + z3 + t3 = 3(xy – zt)(z + t)
Câu 2: (1đ) Cho ABC vuông tại A Chứng minh tg
2
ABC = AC
AB BC
Câu 3: (1,5 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
Câu 4: (1,5 đ) Cho hai đường thẳng (d1): y = 4x +1 và (d2): y = -2x +3
Viết phương trình đường thẳng (d3) biết:
(d3)(d2) và (d3) cắt (d1) tại điểm có tung độ bằng 1
Câu 5: (2 đ) Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác Chứng minh các bất
đẳng thức sau:
a) MA + MB + MC + MD > 1
2(AB + BC + CD + DA) b) MA + MB + MC + MD AC + BD Dấu “=” xảy ra khi nào ?
Câu 6: (2 đ) Giải phương trình:
2000 2001 2002 2003 2004
x x x x x
b) 10 5 5 1 9 45 4
x
Câu 7: (1 đ) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của ABC Chứng minh bất đẳng thức:
abc (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > 0
Câu 8: (2đ) Cho đường tròn (O) có bán kính OA, dây BC OA tại trung điểm M của OA
a) Tứ giác OCAB là hình gì ? Vì sao ?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E Tính độ dài BE, biết
OB = R
Câu 9: (3 đ) Cho biểu thức 3 3( 2 1)
1
x A
x x x
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên
c) Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu 10: (2 đ) Cho các hàm số sau:
(d1): y = 2x + 4
(d2): y = x – 3
(d3): y = (m + 1).x – 5
a) Xác định giá trị của m để ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy tại một điểm
b) Vẽ (d1), (d2), (d3) với giá trị m đã tìm
Câu 11: (3 đ) Cho ABC Trên cạnh AC lấy hai điểm D và E sao cho AD = DE = EC Trung tuyến
AM cắt BD tại P và trung tuyến CN cắt BE tại Q
a) Chứng minh: Q là trung điểm của trung tuyến CN
b) Chứng minh: PQ // AC
c) Suy ra PQ = 1
2MN và PQ = 3
4DE
*** Hết ***
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD – ĐT ĐAM RÔNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm học 2009 - 2010
GỢI Ý CHẤM ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 9
Câu 1 (1đ) : Từ x + y + z + t = 0 ==> x + y = - (z + t) (0,25đ)
Nâng lên luỹ thừa bậc ba 2 vế và biến đổi được (0,25đ)
Thay x+y = -(z+t) vào biểu thức trên (0,25đ)
x3+y3+ z3 + t3 = 3(z+t)(xy-zt) (0,25đ)
Câu 2 (1đ) :
Cho ABC vuông tại A Chứng minh tg
2
ABC
= AC
AB BC
Kẻ phân giác BD của góc ABC, ta có
2
Xét tam giác vuông ABD ta có tg
2
ABC = tgABC=AD
Theo tính chất đường phân giác của tam giác ABC ta có
DA AB DA DC DA DC AC
DC BC AB BC AB BC AB BC
DA AB DA DC DA DC AC
DC BC AB BC AB BC AB BC
(2) (0,25đ)
Từ (1) và (2) tg
2
ABC = AC
Câu 3: (1,5 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
g(x) = (x+1)(x+4)(x+2)(x+3) - 24 (0,25đ)
= (x2+5x+4)(x2+5x+6) – 24 (0,25đ)
Đặt y = x2+5x+4 ==> x2 + 5x + 6 = y +2 (0,25đ)
Thay vào g(x) ta được g(x) = (y-4) (y+6) (0,25đ)
Thế y = x2+5x+4 , ta được
g (x) = (x2 + 5x) (x2 + 5x + 10) (0,25đ)
= x(x+5) (x2 + 5x + 10) (0,25đ)
Câu 4: (1,5 đ) Cho hai đường thẳng (d1): y = 4x +1 và (d2): y = -2x +3
Viết phương trình đường thẳng (d3) biết:
(d3)(d2) và (d3) cắt (d1) tại điểm có tung độ bằng 1
TL:
(d1) có a1 = 4 ; b1 = 1
(d2) có a2 = -2; b2 = 3
Ptđt (d3) có dạng y = a3.x + b3
Ta có (d3)(d2)
3 2
1
1
2 1
2
a a
(0,25đ)
Trang 3Khi (d3 ) cắt (d1) Gọi N là giao điểm của (d3 ) và (d1)
Ta có N (d1 ) nên toạ độ của N nghiệm đúng PT(d1)
Vậy N (0; 1)
Mặt khác : N thuộc (d3 ) nên toạ độ của N cũng nghiệm đúng PT(d3)
1 = a3.0 + b3 b3 = 1 (2) (0,25đ)
Từ (1) và (2) ta được PTĐT (d3) là y = 1 1
Câu 5: (2 đ) Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác Chứng minh các bất
đẳng thức sau:
a) MA + MB + MC + MD > 1
2(AB + BC + CD + DA) b) MA + MB + MC + MD AC + BD Dấu “=” xảy ra khi nào ?
TL:
a) Theo BĐT tam giác, từ MAB ta có
MA + MB > AB
Tương tự : MB + MC > BC (0,5đ)
MC + MD > CD
MD + MA > DA
Cộng vế theo vế ta được :
2 (MA + MB + MC + MD) > AB + BC + CA + AD (0,5đ)
==> MA + MB + MC + MD > 1( )
2 AB BC CA AD b) Vì M thuộc miền trong của tứ giác
M có thể thuộc hoặc không thuộc các đường chéo, nên ta có
MB MD BD (2)
MA MB MC MD AC BD
(3)
Trong BĐT (1) dấu “=” xảy ra khi M thuộc AC
Trong BĐT (2) dấu “=” xảy ra khi M thuộc BD
Vậy trong BĐT (3) dấu “=” xảy ra khi MAC và MBD (0,5đ)
Tức là M trùng với giao điểm O của 2 đường chéo AC và BD
Câu 6: (2 đ) Giải phương trình:
2000 2001 2002 2003 2004
x x x x x
b) 10 5 5 1 9 45 4
x
TL:
a) PT đã cho tương đương:
2000 2001 2002 2003 2004
2000 2000 2000 2000 2000
0
2000 2001 2002 2003 2004
2000 2001 2002 2003 2004
2000 2001 2002 2003 2004
Nên Pt đã cho tương đương với x- 2000 = 0 x = 2000 (0,25đ)
Trang 4Vậy S = {2000}
b)
5 0
x
x
(0,25đ)
5
9 9
x
x
x
Câu 7: (1 đ) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của ABC Chứng minh bất đẳng thức:
abc (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > 0
TL:
Đặt b + c – a = x >0
c + a - b = y > 0
a + b – c = z > 0 (0,25đ)
a b c
VT trở thành 1( ) (1 ) (1 )
A y z z x x y (0,25đ)
Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương x,y,z
( ) ( ) ( )
A y z z x x y
)
(0, 5đ)
2 2 2
A x y z A xyz
( ).( ).( ) 0
abc a b c b c a a c b
Câu 8: Vẽ hình đúng (0,25 đ)
a) Theo giả thiết MO = MA (1)
BC OA nên theo định lý đk và dây ta có : MB = MC (2) (0,25 đ)
Từ (1) và (2) suy ra OBAC là hình bình hành
Vì OAOB
=> OBAC là hình thoi (0,5 đ) b) Do BE là tiếp tuyến của (O) nên BE OB
=> OBE vuông tại B (0,25 đ)
Vì M là trung điểm của OA => OM =1
2R (0,25 đ) Mặt khác OB2 = OM.OE (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
=>
2 1 2
OB R
(0,25 đ)
Áp dụng ĐL Py ta go trong tam giác vuông OBE
OE OB BE
(0,25 đ)
Câu 9: (3 đ) Cho biểu thức 3 3( 2 1)
1
x A
x x x
.2 .2 2.
A yz zx xy
Trang 5a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên
c) Tìm giá trị lớn nhất của A
TL:
a) Ta có : 2
3( 1) ( 1) ( 1)
x A
2
3( 1) ( 1).( 1)
x
2
3 1
x
b) A có giá trị nguyên khi x2 + 1 nhận một trong các giá trị 1; 3 là các ước của 3 (0,25đ)
x2 +1 = -1=> Không có giá trị x nào thoả mãn
x2 +1 = 3=> x2 = 2 x 2 (0,25đ)
x2 +1 = -3=> Không có giá trị x nào thoả mãn
Vậy tập hợp cac giá trị của biến x để A có giá trị nguyên là { 2;0; 2} (0,25đ) c) A 23
1
x
vì x2 1 1, x R (0,25đ) Nên A 3, x R (0,25đ)
Vậy A đạy giá trị lớn nhất bằng 3 khi x = 0 (0,5đ)
Câu 10: (2 đ) Cho các hàm số sau:
(d1): y = 2x + 4
(d2): y = x – 3
(d3): y = (m + 1).x – 5
a) Xác định giá trị của m để ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy tại một điểm
b) Vẽ (d1), (d2), (d3) với giá trị m đã tìm
TL:
a Gọi A(xA;yA) là giao điểm của (d1) và (d2)
=> Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:
yA= 2xA + 4 xA + 7 = 0 xA = -7
=> (0,5đ)
yA = xA - 3 yA = xA – 3 yA = -10
Tọa độ của A là A(-7;-10)
Vì A(-7;-10) (d3) nên (d3): y = (m + 1)x – 5
-10 = (m + 1)(-7) – 5 -10 = -7m – 7 – 5
m =
7
2
Vậy, m = 72 thì (d1), (d2), (d3) đồng quy tại A(-7 ;-10)
b Vẽ xác định đúng tọa độ các điểm các đường thẳng đi qua được (1đ)
Câu 11 Vẽ hình ( 0,25đ)
a Nối ND Vì N là trung điểm của AB
D là trung điểm của AE (0,5đ)
Nên ND // BE hay QE // ND
Mà E là trung điểm của CD
Nên Q là trung điểm của CN (0,25đ)
Trang 6b Lí luận như trên => P là trung điểm của AM (0,25đ) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
=> AG = 2/3AM, AP = 1/2AM (0,25đ)
GP = AG – AP = 2/3AM – 1/2AM = 1/6AM
=> :32 41
6
1
AM AM
GA
GP
Chứng minh tương tự :
4
1
GC
GQ
(0,25đ)
GC
GQ
GA
GP
//
(0,25đ)
c PQ//AC
Mà MN//AC => PQ//MN (0,25đ)
Cho ta :
MN PQ
MN
PQ
AM AM
GM
GP MN
PQ
2
1 2
1
3
1 : 6 1
(0,25đ)
PQ = MN
2
1
mà MN AC PQ AC
4
1 2
1
(0,25đ)
Vì PQ AC
4
1
và DE AC
3
1
=> PQ DE
DE
PQ
4
3 4
3
Hết