Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 cấp huyện quỳnh lưu

Tìm GTNN của biểu thức B.. Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB.. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đườ

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 Năm học 2013-2014

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán - Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (2,0 điểm)

A

a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A

b) Đặt B = A + x – 1 Tìm GTNN của biểu thức B

Câu 2: (1,5 điểm)

Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0

Câu 3: (2,5 điểm)

a) Tìm x, y biết : 1x  1y  x y 4

b) Giải phương trình : 2 1 2 1 3

2

x

x x  x x  

Câu 4: (1,0 điểm)

Cho hai số thực x y , 0 CMR :

     

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B) Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng

AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt

AM tại K

a) Chứng minh : 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn

b) Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì sao ?

c) Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O

-Hết -ĐÁP ÁN Câu 1: ( 2,0 điểm)

a) ĐKXĐ: x 0 

A

x x 1 x x 1 x x 1 x x 1

x x 1 x x 1 x x x x 2 x

b) B = A + x – 1= 2 x x 1 x 2 x 1       x 1  2 2  2

Dấu “=” xảy ra  x 1 0    x 1  ( TM ĐKXĐ)

Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1

Câu 2: ( 1,5 điểm)

x – 5xy 6y   1 0   4x  20xy 24y    4 0

(2x 5y) y 4 0 (2x 5y) y 4 (2x 6y)(2x 4y) 1

(x 3y)(x 2y) 1

KQ: (x; y)  ( 5; 2); (5; 2)  

Câu 3: (2,5 điểm)

a) ĐKXĐ: x 0; y 0  

  x y   x   y  

2 2

0

        

1

0

1











x

x x

y y

y

( TM ĐKXĐ)

Vậy (x;y)=(1;1)

     x           x

2



3

2



      x

Nếu x 2  phương trình (*)

      x   x    

 x x  x  x  x   x   x (TM)

      x  x     

Vậy phương trình có nghiệm x=1; x=5

Câu 4: (1,0 điểm)

     

Câu 5: ( 2,0 điểm)

a) Các tam giác AEB, AMB vuông ( vì AB đường

kính) suy ra   0

BEF KMF 90   Gọi C là trung điểm của KF ta có EC CM 1KF

2

Suy ra 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một

đường tròn tâm C

b) Ta có AE vừa là đường cao vừa là phân giác của

tam giác AHK nên AH=AK và HE=EK

EC là đường trung bình của tam giác HKF nên EC

1

2

 HF, mà EC= 1

2

 KF nên HF=KF

K là trực tâm của tam giác FAB nên FK  AB, mà

AH  AB do đó AH//KF suy ra KFE EAH   

  suy ra AH=KF

Do đó AH=AK=KF=EH và AF HK  nên tứ giác

AHFK là hình thoi

c) Vì AHFK là hình thoi suy ra HF//AM, mà AM  BF nên HF  BF (1)

Mặt khác HK là trung trực của AF hay BH là trung trực của AF nên BF=AB=2R (2)

Từ (1) và (2) suy ra HF là tiếp tuyến đường tròn (B; 2R) cố định

C

K

F

E

I

H

M

A