1- §Þnh nghÜa 2- TÝnh chÊt 3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng Phần 2:một số phương phápchứng minh bấtđẳng thức 1-Phương pháp dùng định nghĩa 2- Phương pháp dùng biến đổi tương đương 3-[r]
Trang 1Chuyên đề: Bất đẳng thức
a.mục tiêu:
1-Học sinh nắm vững một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
2-Một số phương pháp và bài toán liên quan đến phương trình bậc hai sử dụng công thức nghiệm sẽ cho học sinh học sau
3-Rèn kỹ năng và pp chứng minh bất đẳng thức
B- nội dung
Phần 1 : các kiến thức cần lưu ý
1- Định nghĩa
2- Tính chất
3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng
Phần 2:một số phương phápchứng minh bấtđẳng thức 1-Phương pháp dùng định nghĩa
2- Phương pháp dùng biến đổi tương đương
3- Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc
4- Phương pháp sử dụng tính chất bắc cầu
5- Phương pháp dùng tính chất tỉ số
6- Phương pháp làm trội
7- Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác
8- Phương pháp đổi biến số
9- Phương pháp dùng tam thức bậc hai
10- Phương pháp quy nạp
11- Phương pháp phản chứng
Phần 3 :các bài tập nâng cao
PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức
1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị
2-Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và bất phương trình
3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyên
Phần I : các kiến thức cần lưu ý
1-Đinhnghĩa
Trang 2
2-tính chất
+ A>B
+ A>B và B >C
+ A>B A+C >B + C
+ A>B và C > D A+C > B + D
+ A>B và C > 0 A.C > B.C
+ A>B và C < 0 A.C < B.C
+ 0 < A < B và 0 < C <D 0 < A.C < B.D
+ A > B > 0 A > B
+ A > B A > B với n lẻ
+ > A > B với n chẵn
+ m > n > 0 và A > 1 A > A
+ m > n > 0 và 0 <A < 1 A < A
+A < B và A.B > 0
3-một số hằng bất đẳng thức
+ A 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ An 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ với (dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ - < A =
+ ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+ ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)
Phần II : một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp 1 : dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B
Ta chứng minh A –B > 0
Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với M
Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng :
a) x + y + z xy+ yz + zx
b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz
c) x + y + z +3 2 (x + y + z)
0 0
A
B
C
A
B A
1
1
0
A B A B
B A B
A
2
Trang 3Giải:
a) Ta xét hiệu
x + y + z - xy – yz - zx
= 2 ( x + y + z - xy – yz – zx)
Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x + y + z xy+ yz + zx
Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu
x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz )
= x + y + z - 2xy +2xz –2yz
=( x – y + z) đúng với mọi x;y;z
Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu
x + y + z +3 – 2( x+ y +z )
= x - 2x + 1 + y -2y +1 + z -2z +1
= (x-1) + (y-1) +(z-1) 0
Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
c) Hãy tổng quát bài toán
giải
=
=
=
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b
2
2
1 (x y) 2 (xz) 2 (yz) 2 0 R
2 2
2
2
3
a
2 2
2
2
a
4
2 4
2a2 b2 a2 abb2
4
4
1 a b 2
2 2
2
2
a
Trang 4b)Ta xét hiệu
=
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát
Tóm lại các bước để chứng minh A B theo định nghĩa
Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bước 2:Biến đổi H=(C+D) hoặc H=(C+D) +….+(E+F)
Bước 3:Kết luận A B
Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99)
Chứng minh m,n,p,q ta đều có
m + n + p + q +1 m(n+p+q+1)
Giải:
(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi
phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương Lưu ý:
2 2
2 2
3
a
9
1 ab 2 bc 2 ca 2
2 2
2 2
3
a
2 2
1 2 2
2
2
n
a a
a n
a a
0 1 4
4 4
4
2 2
2 2
2 2
2
0 1 2 2
2 2
2 2
2 2
0 1 2
0 2
0 2
0 2
m q m p m n m
2 2 2 2
m
m q
m p
m n
1
2
q p n m
Trang 5Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng
hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng
Chú ý các hằng đẳng thức sau:
Ví dụ 1:
Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
a)
b)
c)
Giải:
a)
(bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
b)
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c)
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng:
Giải:
a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y
2AB B A
B
ABC2 A2 B2 C2 2AB 2AC 2BC
3
A B
ab
b
4
2 2
b a ab b
a2 2 1
b c d e
a e d c b
a2 2 2 2 2
ab
b
4
2 2
ab b
4 2 2
4a2 4ab2 0
2 2 0
ab
b
4
2 2
b a ab b
a2 2 1
1 (
2 a2 b2 abab
0 1 2 1
2
0 ) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 2 2
b a ab b
a2 2 1
b c d e
a e d c b
a2 2 2 2 2
4 a2 b2 c2 d2 e2 4abcde
a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4d2 a2 4ac 4c2 0
a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a 2c2 0
a10 b10a2 b2 a8 b8a4 b4
a10 b10a2 b2 a8 b8a4 b4 a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b4 a4b8 b12
a8b2a2 b2a2b8b2 a2 0
Trang 6Chứng minh
Giải:
vì :x y nên x- y 0 x2+y2 ( x-y)
x2+y2- x+ y 0 x2+y2+2- x+ y -2 0
x2+y2+( )2- x+ y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y- )2 0 Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4:
1)CM: P(x,y)=
2)CM: (gợi ý :bình phương 2 vế)
3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
(đề thi Lam Sơn 96-97)
Giải:
Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
gt)
2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương
Nếủ trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc
A/ một số bất đẳng thức hay dùng
1) Các bất đẳng thức phụ:
a)
b) dấu( = ) khi x = y = 0
c)
d)
3)Bất đẳng thức Bunhiacopski
4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép:
y x
y x
2
2 2
y
x
y
x
2
0 1 2 6
9x2y2 y2 xy y ,x yR
c b a c b
a2 2 2
z y x z y x
z y x
1 1
z y x
1 1
z y
1 1
xy y
x2 2 2
xy y
x2 2
xy2 4xy
2
a
b
b
a
n
n
n
a a
a a
3 2 1 3
2
2
2 2 1 1 2 2
2
2 1 2 2
2
2
2 a a n .x x n a x a x a n x n
Trang 7Nếu
Nếu
Dấu bằng xảy ra khi
b/ các ví dụ
ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
(a+b)(b+c)(c+a) 8abc
Giải:
Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ:
Tacó ; ;
(a+b)(b+c)(c+a) 8abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
ví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: (403-1001)
2)Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z
3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR:
4)Cho x ,y thỏa mãn ;CMR: x+y
ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và chứng minh rằng
Giải:
Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c
áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
ví dụ 4:
Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
Giải:
C B A
c b a
3
3 3
C B A c b a cC bB
C B A
c b a
3
3 3
C B A c b a cC bB
C B A
c b a
xy2 4xy
ab2 4ab bc2 4bc ca2 4ac
2
b
a 2
c
b 2
a
c 64a2b2c2 8abc2
9 1 1
c b a
) 1 )(
1 )(
1 (
4 x y z
2
3
c a c
b c b a
0
5
1
1
2 2
2 b c
a
2
b c a c a b
b a
c c a
b c b
2 2 2
c c a
b c b
a c b a b a
c c c a
b b c b
a
3
.
2 2 2 2
2 2
2
3 3
1 2 1
2
1
3 3
3
c c a
b c b
a
3 1
2 2 2
2 b c d a bc b cd d ca
a
Trang 8Ta có
Do abcd =1 nên cd = (dùng )
Mặt khác:
=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
=
Vậy
ví dụ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
tacó ac+bd
mà
ví dụ 6: Chứng minh rằng
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có
3
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất bắc cầu
Lưu ý: A>B và b>c thì A>c
0< x <1 thì x <x
ví dụ 1:
Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
Chứng minh rằng ab >ad+bc
Giải:
Tacó
(a-c)(b-d) > cd
ab-ad-bc+cd >cd
ab b
a2 2 2
cd d
c2 2 2
ab
1
2
1
1
x x
4 )
1 (
2 ) (
2
2 2
ab ab cd
ab c
b a
b c b c d d c a
2 2 2 1 1
bc
bc ac
ac ab
ab
2 2 2
2 b c d a bc b cd d ca
a
2 2 2 2 2
)
a2 b2 c2 d2
b a d b c
a2 b2 2 a2 b2 c2 d2 c2 d2
(ac) 2 (bd) 2 a2 b2 c2 d2
ac bc ab c b
a2 2 2
1 1 1 ) (
1 1
1 a b c a b c
a2 b2 c2a2 b2 c2 2abbcac
a2 b2 c2 abbcac
2
d c b
d c a
0
0
c d b
d c a
Trang 9ab> ad+bc (điều phải chứng minh)
ví dụ 2:
Cho a,b,c>0 thỏa mãn
Chứng minh
Giải:
Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0
ac+bc-ab ( a2+b2+c2)
ac+bc-ab 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có
ví dụ 3
Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Giải:
Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nên ab>0
(1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
Do c <1 nên 1- c >0 ta có
(1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)
=1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
(Điều phải chứng minh)
ví dụ 4
1- Cho 0 <a,b,c <1 Chứng minh rằng
Giải :
Do a < 1 và
1+ > + b
mà 0< a,b <1 > , >
Từ (1) và (2) 1+ > +
Vậy + < 1+
Tương tự +
+
Cộng các bất đẳng thức ta có :
(Chuyên Anh –98 – 99)
Giải:
= a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982
3
5
2 2
2 b c
a
abc c b a
1 1 1 1
2 1
6
5
c b a
1 1 1
abc
1
a c c b b a c
b
a3 2 3 2 3 3 2 2 2
a2 1
1 a2.1 b 0 a2 a2
a2b2 a2
a2 a3 b2 b3
a2b2 a3 b3 3
a b3 a2b2
3
b c3 1 b2c
c 3 a3 1 c2a
a c c b b a c
b
a3 2 3 2 3 3 2 2 2
1998
2 2 2
2 b c d
a
Trang 10rỏ ràng (ac+bd)2
2-Bài tập : 1, Cho các số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003
=1
chứng minh rằng : a + ( đề thi vào chuyên nga pháp 2003- 2004Thanh hóa )
2,Cho a;b;c thỏa mãn :a+b+c=1(?)
Chứng minh rằng: (
Phương pháp 5: dùng tính chấtcủa tỷ số
Kiến thức
1) Cho a, b ,c là các số dương thì
a – Nếu thì
b – Nếu thì
2)Nếu b,d >0 thì từ
`
ví dụ 1 :
Cho a,b,c,d > 0 Chứng minh rằng
Giải :
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
Từ (1) và (2) ta có
Tương tự ta có
1998
bd ad bc ac
ac bd 1998
2 1
2 2003
2 3
2
2 a a
2003
1
0
8 ) 1
1 ).(
1
1 ).(
1
c b
a
1
b
a
c b
c a b
a
1
b
a
c b
c a b
a
d
c d b
c a b
a d
c b
2
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a
a
d c b a
d a c
b a
a c
b
a
a
d c b a
a c
b a
a
d c b a
a
a
d a
d c b a
a b d
c b
b d
c b a
b
d c b a
c b a
d c
c d
c b a
c
Trang 11(6)
cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có
điều phải chứng minh
ví dụ 2 :
Cho: < và b,d > 0 Chứng minh rằng <
Giải: Từ <
Vậy < điều phải chứng minh
ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000
tìm giá trị lớn nhất của
giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử : Từ :
vì a+b = c+d
b, Nếu: b=998 thì a=1 = Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999
Vậy giá trị lớn nhất của =999+ khi a=d=1; c=b=999
Phương pháp 6: Phương pháplàm trội
Lưu ý:
Dùngcác tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn
(*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn :
S =
Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
Khi đó :
S =
(*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn
P =
Biến đổi các số hạng về thương của hai số hạng liên tiếp nhau:
=
d c b a
c d b
a d
d d
c b
a
d
2
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b
a
a
b
a d
c
b
a
d
c d b
cd
2 2
b
a d
c
2
cd b
ab
d
c d
cd d b
cd ab b
2
b
a
d
c d b
cd
2 2
d
b c
a
c
a d
b
c
a d
b
d
b d c
b a c
1
c
a
998
d
b
998
d
b c
d
b c
a
d c
999
1
d
b c
a
999 1
n
u u
u1 2
k
1
k k
u
a1a2 a2 a3 a na n1a1a n1
n
u u
u1 2
k
u
k
u
1
k
k a a
Trang 12Khi đó P =
Ví dụ 1 :
Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng
Giải:
Ta có với k = 1,2,3,…,n-1
Do đó:
Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng:
Giải :
Ta có
Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
1 > 2
………
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
Ví dụ 3 :
Chứng minh rằng
Giải:
Ta có
Cho k chạy từ 2 đến n ta có
1
1 1 3
2 2
1
n n
n a
a a
a a
a a a
4
3 1
2
1 1
1 2
1
n n n
n
n n n k
1 1
2
1 2 2
1
2
1 2
1
2
1 1
n n n
n n
n
1 1
2
1
3
1 2
1
n
k k
k k k
1
2 2
2 1
2 1
3 2
2
2
n n
n 2 1
1
1 1
2
1
3
1 2
1
n
2 1
1 2
n
k k
1 1
1 1
1 1
Trang 13
Vậy
Phương pháp 7:
Dùng bất đẳng thức trong tam giác Lưu ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0
Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a
Ví dụ1: Cho a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng
a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
Giải
a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có
a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b) Ta có a > b-c > 0
b > a-c > 0
c > a-b
Nhân vế các bất đẳng thức ta được
Ví dụ2: (404 – 1001)
1) Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác
Chứng minh rằng
1
1
3
1 2
1
1 1
1 1
3
1 2
1 3
1
2
1 1 2
1
2 2
2 2
2
2
n
n n n
2 1
1 2
n
k k
b a c
c a b
c b a
0
0
0
) (
) (
) (
2 2 2
b a c c
c a b b
c b a a
2 2
2 a (b c)
2 2
2 b (c a)
b
0 )
2
2 c ab
c
a b cb c ac a b
abc
b a c a c b c b a c b a
b a c a c b c b a c b a
.
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
) (
2
2 2
a ca bc