Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB.. Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E.. a Chứng
Trang 1Phòng GD&ĐT Đại Lộc
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014– 2015
Thời gian làm bài : 150 phút (Không kể thời gian phát đề ) Môn : Toán Lớp : 9
Người ra đề : Nguyễn Văn Tiến Đơn vị : THCS Phan Bội Châu
ĐỀ BÀI.
Bài 1: ( 4 điểm) Cho biểu thức
A
a) Rút gọn A
b Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên
Bài 2 (1 điểm): Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với 1, luôn
là số chính phương
Bài 3 (4 điểm) giải phương trình
x 1 x
1 1
x 2 x
1 2
x 3 x
+ +
+ + + +
+ + + + 2) x− −3 2 x− =4 2 x− −4 3
Bài 4: (4điểm)
Chứng minh đẳng thức:
4 4
1 2
a abc
+ −
=
−
với a > 0, b > 0 và abc >2
Bài 5: (4điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B) Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E
a) Chứng minh rằng: ∆DOE là tam giác vuông
b) Chứng minh rằng: AD BE = R × 2
c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ giác ADEB nhỏ nhất
Bài 6 ( 3 điểm)
Cho đường tròn ( O, 15 cm) dây BC = 20 cm các tiếp tuyến của đường tròn tại B và
C cắt nhau tại A Gọi H là giao điểm OA và BC
a Chứng minh rằng: HB = HC
b Tính độ dài OH
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 – 2013.
Môn Toán - Lớp 9 (Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề).
Bµi
1:
4®iÓ
m
1.Cho biểu thức
A
a) Rút gọn A
TXĐ: a≥0;a ≠ 4
3 2
A
A
:
a A
−
=
3 2
A
a
=
−
b) Tìm các số nguyên của a để A là số nguyên
Giả sử a Z∈ Để 3
2
a
−
( a 2)
⇔ − là ước của 3
− = − = −
0,5 1
0,5
1
0,5
0,5
Trang 32(1đ)
Bµi
3:
5 ®
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n, n + 1, n + 2, n + 3 (n ∈ N) ta có :
n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = ()
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
(0,5 đ)
= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
(0,5 đ)
Đặt n2 + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 =
( t + 1 )2 = (n2 + 3n + 1)2
(0,5 đ)
Vì n ∈ N nên n2 + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2) (n + 3) + 1 là một số chính phương
1 x 1 x
1 1
x 2 x
1 2
x 3 x
+ +
+ + + +
+ + +
+
§K x ≥ 0
1
x 3 x 2 x 1
2 x 2
x 1
x 1
+ −
⇔ =
x = 1 thỏa mãn ĐK Vậy PT có nghiệm x = 1
2) x− − 3 2 x− = 4 2 x− − 4 3 (ÑK x: ≥ 4)
0.25 đ
0.25 đ
0.5 đ 0.25 đ 0.25 đ
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25
Trang 44:
4 ®
− − ≥
⇔ − − = − −
− ≥
⇔
− − = − −
− ≥
⇔
− =
⇔ − =
⇔ =
2
4 1,5
4 1,5
4 2
4 2
4 4 8
x
x
x x x x
Vậy x = 8
0,25 0,25
Chứng minh đẳng thức:
4 4
1 2
+ −
=
−
với a > 0, b > 0 và abc >2
VT =
4 4 2
abc
+ −
−
=
4 4
2
a abc
+ −
−
( )
2
2
a abc
−
−
2
2
Bài 5:
4 điểm
+ Hình vẽ đúng (câu a):
+ Theo giả thiết: DA và DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D, nên OD là tia phân giác góc AOM Tương tự: OE là tia phân giác góc MOB
+ Mà AOMˆ vàMOBˆ là hai góc
kề bù, nên DOEˆ = 900 Vậy tam giác DOE vuông tại O
Ý b)
0,25 1
0,25
Trang 5trong tam giác vuông, ta có: DM EM× =OM2 =R2 (1)
+ Mà DM = DA và EM = EB (định lí về 2 tiếp tuyến cắt nhau) (2)
+ Từ (1) và (2) ta có: DA EB R× = 2
Ý c)
+ Tứ giác ADEB là hình thang vuông, nên diện tích của nó là:
2
+ S nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất Mà DE là đường xiên hay
đường vuông góc kẻ từ D đến By, nên DE nhỏ nhất khi DE = DH
(DH vuông góc với By tại H)
Khi đó DE song song với AB nên M là điểm chính giữa của nửa
đường tròn (O) (hoặc OM ⊥AB) Giá trị nhỏ nhất của diện tích đó
là: 2
0 2
Ghi chú: Nếu học sinh không tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích vẫn
cho điểm tối đa
0,25 0,5 0,25 1 0,5
Bµi
6:
3
®iÓ
m
Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận
a Tam giác OBC cân tại O có OH là phân giác của BOCˆ nên
HB = HC
b OH = OB2 −HB2 = 15 2 − 12 2 =9cm
c.Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác OBA ta
có OB2 = OH.OA => OA = 2 152 25( )
9
OB
cm
0,5
1 0,5 1