b Gọi I, K là giao điểm thứ hai của đờng tròn có đờng kính CD với AE, BE.[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS HIỆP THUẬN đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Lớp: 9 (Năm học 2008 -2009) Môn: Toán
Thời gian: 150 phút ( không kể chép đề )
Câu 1:(2 điểm)
cho biểu thức: A = √x −1 − ¿√6
x −7
¿
a) Rút gọn A
b) Biết x = 8 - 4 √3 , Tính giá trị của A
Câu2: ( 2 điểm)
a) Giải phơng trình:
x2 ( x+ 2y) - y2( y+ 2x) = 1991 Với x,y N
Câu3: (2 điểm)
Cho ax3 = by3 = cz3 và 2
x+
2
y+
2
z=2
Chứng minh: √a x2 + ¿b y2 + ¿c z2=√3a+√3b+√3c
Câu 4: ( 3 điểm)
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Các điểm C, D di chuyển trên nửa đờng tròn sao cho góc COD = 900 ( cung AC < cung AD ) Gọi E là giao điểm của các
đờng thẳng AC, BD
a) Tìm quỹ tích của điểm E
b) Gọi I, K là giao điểm thứ hai của đờng tròn có đờng kính CD với AE, BE Chứng minh rằng IK // AB
c) Gọi M là trung điểm của IK, CMR: M là trung điểm của OE
Câu 5: ( 1 điểm )
Chứng minh rằng: 1
√1+
1
√2+
1
√100>10
đáp án
Câu 1: (2đ)
a) Rút gọn
√x − 6 − √6 ĐK {x ≠ 7 x ≥ 1
(0,5đ)
Trang 2A= x −1 −6
√x − 1 − √6 =
√x − 1
¿
−
√x − 1 +¿√6 ( ¿√6 ¿ )
√x − 1 − √6¿
¿
)
= √x − 1 +¿√6 V× √x − 1 − √6 ≠ 0 (0,5®) b) x = 8 - 4 √3
cã x - 1 = 8 - 4 √3 - 1 = 7 - 4 √3 = 3- 2.2 √3 +22
(0,5®)
= ( √3 -2)2
⇒ A =
2
¿
−
¿
( ¿√3 ¿¿ )+√6=2 −
√ ¿
√3 + √6 =2 - √3 + √6
(0,5®)
C©u 2: gi¶i ph¬ng tr×nh
X2( x + 2y) - y2( y+ 2x) = 1991 (x,y N) (1)
(1) ⇔ ( x3 - y3) + ( 2x2y - 2y2x) = 1991
Tõ (2) ⇒ x - y nguyªn d¬ng (do x,y N vµ x - y nguyªn d¬ng
NÕu x2 +3xy +y2 = ( x - y)2 + 5xy ( x - y)2 x - y (0,5®)
Ta cã c¸c íc nguyªn d¬ng cña 1991 lµ 1,11,181, 1991 ⇒ (2) ⇔
(3) {x2
+ ¿ 3 xy + ¿y2 =1991
x − y=1
HoÆc (4) {x2
+ ¿ 3 xy + ¿y2 =181
x − y=1 1 (0,5®)
HÖ PT (3) V« nghiÖm
HÖ PT (4) cã nghiÖm x = 12, y = 1 (t.m) (0,5®) VËy nghiÖm cña hÖ PT lµ x = 12, y = 1
C©u3:
Ta cã √3a x2
+ ¿b y2
+ ¿c z2
=√3 a x3
x +¿
by3
y +¿
cz3
z
Trang 3=
¿ 1
x
¿
+ ¿ 1
y
¿
a x3( ¿ + ¿ 1
z¿ ¿)
3
√a x3
x +¿
bx 3
y +¿
cz 3
z =
❑ √ ¿
= √a x3=x√3a ⇒3
√a=√a x2 + ¿ by2 + ¿ cz2
T¬ng Tù:
3
√b=√a x2 + ¿ by2 + ¿ cz2
3
√c=√a x2 + ¿ by2 + ¿ cz2
3
√a+√3 b+√3c=√3a x2 + ¿ by2 + ¿ cz2.(1
x+
1
y+
1
z)
= 3
√a x2+ by2+ cz2.
(0,5®)
V× ( 1
x+
1
y+
1
z¿=
2
2=1
⇒√3a x2 + ¿ by2 + ¿ cz2−√3a+√3b+√3c=0 ( §PCM) (0,5®)
C©u 4:(3 ®iÓm)
t×m quü tÝch ®iÓm E , Δ BCE vu«ng t¹i C
⇒ gãc CBE = 1
2 gãc COD = 450
⇒ gãc CEB = 450 ⇒ E thuéc cung chøa gãc 450
giíi h¹n cung PQ tõ P vµ Q (AP AB ; BQ AB)
b) gãc OKD = gãc OCD = 450 = gãc AED ( cïng ch¾n cung OD)
⇒ OK // AE ⇒ gãc K1 = I1 (1)
l¹i cã: gãc K1 = gãc C1 ( tg OKIC néi tiÕp ) (2)
gãc c1 = gãc A ( Δ COA c©n ) (3)
Tõ : (1),(2),(3) ⇒ IK//AB
c) Theo chøng minh trªn : OK // AE
chøng minh t¬ng tù OI // BE ⇒ OIEK lµ h×nh b×nh hµnh
Trang 4⇒ trung ®iÓm cña IK còng lµ trung ®iÓm cña OE ( §PCM)
C©u 5: Ta cã
1
√1>
1
√100
1
√2>
1
√100
⋮
1
√100=
1
√1+
1
√100>
100
√100=10 (§PCM) (0,5®)