Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 9 - Tài liệu Toán 9 - hoc360.net

Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và những hằng số.. Nhận xét: Phương pháp giải [r]

CHUYÊN ĐỀ 1: THỰC HIỆN TÍNH VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC

c) x = 2 ; 3 thì Q  Z

Bài 2 : Cho biểu thức P = 1 x

x  1 x  xa) Rút gọn biểu thức sau P

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 1

x x

a) Rút gọn biểu thức sau A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

4 1

Tiết 2:

Bài 5 : Cho biểu thức: A =

2 2

b) Tính giá trị của P với a = 9.

3 x 1 x

x 2 3

x 2 x

19 x 26 x x P

b Tính giá trị của P khi x7 4 3

c Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó

Hướng dẫn :

a ) ĐKXĐ : x  0, x 1 Biểu thức rút gọn :

3 x

16 x P

P  c) Pmin=4 khi x=4

3 P

CHUYÊN ĐỀ 2 : GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

1 Phương pháp chung :

Để giải phương trình chứa dấu căn ta tìm cách khử dấu căn

- Tìm ĐKXĐ của phương trình

- Biến đổi đưa phương trình về dạng đã học

- Giải phương trình vừa tìm được

- So sánh kết quả với ĐKXĐ rồi kết luận nghiệm

2 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ:

a/ Phương pháp1 : Nâng lên luỹ thừa (Bình phương hoặc lập phương 2 vế

0

x

x

Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãnđiều kiện x1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =3

0 1

Ví dụ 3: Giải phương trình: 1  x 2 x  1

 1  x  1  2 x (1)

ĐKXĐ:

0 2

0 1

Phương trình này có nghiệm

2

5 1

7

0 12

0 1

x x x

x x

Bình phương hai vế ta được: x- 4 = 2 ( 12  x)(x 7 ) (3)

Ta thấy hai vế của phương trình (3) đều thoã mãn (2) vì vậy bình phương 2 vế củaphương trình (3) ta được : (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84) 5x2 - 84x + 352 = 0

Phương trình này có 2 nghiệm x1 =

5 44

và x2 = 8 đều thoả mãn (2)

0 2

0 10

0 1

x x x

x x x

0 16 24

9 2

x

x x

0 ) 4 3

x

x x

 x ≤ 4

4 4

3

x x

x x

không thuộc khoảng đang xét

- Nếu 5  x  10 thì (1)  0x = 0 Phương trình có vô số nghiệm

- Nếu x> 10 thì (1)  -5 = 1 phương trinh vô nghiệm

Vậy phương trình có vô số nghiệm : 5  x  10

Bài tập về nhà:

Ta được phương trình mới : y2 + y – 42 = 0  y1 = 6 , y2 = -7 Có nghiệm y =6thoả mãn y> 0

y2 + y -12 = 0 phương trình có 2 nghiệm là y= 3 và y = - 4 (loại)

4 x = 3  x = 81 là nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 1: Giải phương trình: x  10 x 21 = 3 x 3 + 2 x 7 - 6 (1)ĐKXĐ : x  -3

3

0 3

9 7

+ Dùng các phép biến đổi đại số, đưa phương trình về dạng f(x) g(x) ….= 0 Từ

đó ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ;… là những phương trình quen thuộc

+ Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của các phương trình f(x) =

b a

b a

b a

Thay vào phương trình (*) ta có 25 –x2 =

4

49  x2 =

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =

1

3

3

x b

x a

1

3 3

2 2

b a

ab b a

Từ hệ phương trình ta suy ra a –b = 2  b = a – 2

Thay vào hệ phương trình (1) ta đợc : (a -1 )2 = 0  a =1

Từ đó ta được x = 0

Vậy nghiệm của phương trình là : x = 0

- Nếu D = 0 và Dx  0 hoặc Dy  0, thì hệ phương trình vô nghiệm

- Nếu D = Dx = Dy = 0, thì hệ phương trình có vô số nghiệm

rồi trừ từng vế của hai phương trình cho nhau ta được một phương trình dạng:

Ax2 + Bxy + Cy2 = 0 (*)+/ Xét y = 0

- Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của

x và y cho nhau thì mỗi phương trình trong hệ không thay đổi

- Cách giải: (đưa về pt bậc hai)

Ta quy về hệ phương trình biết tổng và tích của hai nghiệm:

Biến đổi các phương trình trong hệ về dạng: x + y và x.y

 Hệ phương trình (I) có nghiệm  Hệ phương trình ẩn S và P có nghiệm thỏamãn (*)

c) Hệ đối xứng loại 2:

- Định nghĩa: Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của

x và y cho nhau thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và phương trình (2)trở thành phương trình (1)

Giải hệ (II) và (III) để tìm nghiệm

II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PT BIỂU THỨC SỐ.

1 Phương pháp thế.

* Cơ sở phương pháp Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình

trong hệ và thế vào phương trình còn lại

* Nhận dạng Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương

trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó

Bài 1 Giải hệ phương trình 2 2 3 2 5 (1)

2 2

Tiết 2:

2 Phương pháp cộng đại số.

* Cơ sở phương pháp Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng,

trừ, nhân, chia ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này làkhả thi hoặc có lợi cho các bước sau

* Nhận dạng Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ

x x x

    Do đó TH 2 không xảy ra

- Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1)

Bài 2 Giải hệ phương trình

* Chú ý

- Cách giải trên có thể áp dụng cho pt có vế trái đẳng cấp bậc cao hơn.

- Cách giải trên chứng tỏ rằng hệ phương trình này hoàn toàn giải được bằng

- Nếu hệ pt có nghiệm là ( ; )x y thì do tính đối xứng, hệ cũng có nghiệm là

- Không phải lúc nào hệ đối xứng loại I cũng giải theo cách trên Đôi khi việcthay đổi cách nhìn nhận sẽ phát hiện ra cách giải tốt hơn

Bài 2: Giải hệ phương trình : 3

III GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1 Giải và biện luận hệ phương trình

Phương pháp giải:

Cách 1: Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai

để được phương trình bậc nhất đối với x

 Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)

 Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ

i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b

- Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm

- Nếu b 0 thì hệ vô nghiệm

ii) Nếu a 0 thì (1)  x = a b , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệphương trình có nghiệm duy nhất

Cách 2: Dùng định thức để giải và biện luận hpt

Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình:

)1(

2

m my x

m y mx

Từ (1)  y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:

4x – m(mx – 2m) = m + 6  (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)

Nếu m2 – 4  0 hay m 2 thì x =

2

3 2 4

) 2 )(

3 2 (

m m

ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4

Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x  R

iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 Hệ vô nghiệm

Vậy: - Nếu m 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (2 23

- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x  R

- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm

Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

4

my x

m y

1 3 )1

(

m y x

m my x m

2 Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải:

 Giải hệ phương trình theo tham số

 Viết x, y của hệ về dạng: n + f (m k ) với n, k nguyên

 Tìm m nguyên để f(m) là ước của k

Ví dụ 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:

1

2

m my x

m y mx

m y mx

2

2 2 2

2 2 4 2

)1 2 )(

2 ( 2 3 2 )4

m my

x

m m

m m y

m

để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m  2

Vậy với m  2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất

2

1

2

3 2 2

1

2 4

)1 2

m

x

m m

m m

m m

4

my x

y mx

Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

2x + y + 382 4



m = 3

HD Giải:

- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m  2

- Giải hệ phương trình theo m

y mx

8

9 4

9 8 )4

( 2

my x

m y

9 8

2

2

m

m x m

m y

- Thay x =

4

32 9

10

4

my x

m y

mx

(m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0,

y > 0

d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương

Bài 2:

1 3 )1

(

m y x

m my x m

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại mộtđiểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy

c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏnhất

y

x

2

4 2 3

a) Giải hệ phương trình khi m = 5

b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1

c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng

9

4

my x

y mx

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)

c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm

9

y mx

my x

a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)

c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi md) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:

x - 3y = 228 3



m - 3

Bài 6:

2 y mx

a) Giải hệ phương trình khi m  2

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn

hệ thức

3 m

m 1 y

9

3

y mx

my x

a) Giải hệ phương trình khi m = 5

b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi mc) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)

d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểmnằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy

CHUYÊN ĐỀ 4: ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ET

Tiết 1:

I Kiến thức cần nhớ

Các ứng dụng thường gặp của hệ thức Vi-ét

1 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

2 Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của pt sao cho không phụ thuộc vào tham số

3 Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm

4 Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

II Nội dung

1 Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phươngtrình :

x  Sx P  (điều kiện để có hai số đó là S2  4P  0 )

Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =  3 và tích P = ab =  4

Vì a + b =  3 và ab =  4 nên a, b là nghiệm của phương trình : x2  3x 4 0 

giải phương trình trên ta được x 1 1 và x 2 4

Vậy nếu a = 1 thì b =  4

nếu a =  4 thì b = 1

Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P

*) Với a b  13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

1 2

*) Nếu a b  11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình:

1 2

*) Nếu a b  11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :

1 2

Tiết 2:

2 Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của pt sao cho 2 nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường

là a  0 và   0)

- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra hệ thức

liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2

Ví dụ 1 : Cho phương trình : m 1x2  2mx m  4 0  có 2 nghiệm x x1 ; 2 Lập hệthức liên hệ giữa x x1 ; 2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

2

1 1

m

x x

m m

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tíchnghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụthuộc vào tham số

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn: Dễ thấy   (4m 1) 2  4.2(m 4) 16  m2  33 0  do đó phương trình đã

cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

3 Tìm giá trị tham số của pt thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

x x

m m

(thoả mãn điều kiện xác định )

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :

3x x  5 x x   7 0

Bài tập áp dụng

x x

m m

4 Xác định dấu các nghiệm của pt bậc 2 (bổ sung trong chuyên đề pt bậc 2)

Cho phương trình: ax2 bx c  0 (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2

nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….

Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:

2x  3m 1 x m  m 6 0  có 2 nghiệm trái dấu

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

2 2

Bài tập:

1 mx2  2m 2x 3m 2  0 có 2 nghiệm cùng dấu

2 3mx2  2 2 m 1x m  0 có 2 nghiệm âm

3.m 1x2 2x m  0 có ít nhất một nghiệm không âm

5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phântích được:

2m 12 8m 4m2 12m 1 (2m 3)2 8 8

3

Ví dụ 2: Cho phương trình : x2  mx m  1 0  Gọi x1 và x2 là các nghiệm củaphương trình Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

B B

B B

5 Cho phương trình x2  (m 1) m 0 Xác định m để biểu thức 2 2

Ex x đạt giátrị nhỏ nhất

CHUYÊN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Tiết 1:

I/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Công thức nghiệm của phương trình: ax 2 + bx + c = 0 ( a  0 )

2 Một số bài toán về nghiệm của phương trình bậc hai

Giả sử phương trình: ax2 + bx + c = 0 ( a  0 ) có hai nghiệm x1; x2 và

x1 + x2 = S, x1.x2 = P thì ta có các bài toán tổng quát sau:

Xét dấu các nghiệm của phương trình:

ax2 + bx + c = 0 (a0) (1)Điều kiện để phương trình (1)

- Có hai nghiệm trái dấu P < 0

- Có hai nghiệm cùng dấu là 0 và P > 0

- Có hai nghiệm cùng dương là 0, P > 0, S > 0

- Có hai nghiệm cùng âm là 0, P > 0, S < 0

*/ Chú ý: Ta lưu ý đến điều kiện a # 0 để phương trình có hai nghiệm

 So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số 

* Số  nằm giữa hai nghệm: x1 <  < x2  a f ( ) 0 

* Số  nằm phía trái của hai nghiệm:  < x1 < x2

0 ( ) 0 2





* Số  nằm phía phải của hai nghiệm: x1 < x2 < 

0 ( ) 0 2

a f S

1 Bài toán 1: Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 (1)

a/ Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b/ Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu

a/ Phương trình (1) có:  ' = (- m)2 – m2 + 1

= m2 – m2 + 1 > 0

 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b/ Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu:

4

0 (4) 0 4 2

a f S

a f S

 Giải (I) ta được: m > - 1

 Giải (II) ta được: m < 3

Vậy với - 1 < m < 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn -2 < x < 4

Tiết 2:

2 Bài toán 2: Cho phương trình: x2 – (a2 + 3 )x +a2 + 2 = 0 (*)

CMR: phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt

HD

Để pt có hai nghiệm dương phân biệt:

0(1)0(2)0(3)

S P

Vậy (1) luôn đúng với mọi a

Ta có: S = x1 + x2 = a2 + 3 3 a Vậy (2) luôn đúng với mọi a

Ta có: P = x1.x2 = a2 + 2  2a Vậy (3) luôn đúng với mọi a

KL: Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt dương với mọi a

Bài 3: Cho phương trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số)

a/ Giải phương trình (1) với m = 3

b/ Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

b)Để PT có 2 nghiệm phân biệt thì m 1 02

Bài 4 Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x 2  mx m 3 0    (1)

a/ Giải phương trình với m = - 2

b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình Tính 2 2 3 3

e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3 Tính nghiệm còn lại

f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m

Giải

a/ Thay m = - 2 vào phương trình (1) ta có phương trình :

2

x 2x 1 0 (x 1) 0

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có : 1 2

( 3m 5)(2m 5) m 3 6m 15m 10m 25 m 3

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt :

x    3 ( 3)  m.( 3) m 3 0       2m 12 0    m 6 

Khi đó : x 1  x 2  m  x 2  m x  1  x 2    6 ( 3)  x 2  3

Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm x1 = x2 = - 3

f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

ac 0 1.(m 3) 0 m 3 0 m 3

Vậy với m < - 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2 Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :

III/ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1.Phương trình chứa ẩn số ở mẫu:

Phương trình (b) có hai nghiệm:x1  1;x2  5

Lưu ý: Tìm miền xác định của phương trình, cuối cùng phải nhận định kết quả và trả lời

b) 2

x 1

1 0

1 2;

2Chú ý: phương trình bậc 3: ax3+ bx2+ cx+ d= 0

Nếu a+ b+ c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x1=1

Nếu a – b + c – d = 0thì phương trình có một nghiệm x1= -1

Với t2 = 1

3=> x2 =1

3 => x= 1

3Vậy phương trình có 4 nghiệm 1 2 3 4

2 2

VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x =1 ; x =- 1

3.2 Phương trỡnh dạng ax 4 +bx 3 +cx 2 ± kbx +k 2 a = 0.(Phương trỡnh hồi quy)

Chúng ta hay gặp dạng phơng trình này ở trờng THCS đó là phơng trình đối xứng.a) Phương phỏp giải:

x = 0 khụng phải là nghiệm của phương trỡnh Chia hai vế của phương trỡnh cho

x2 ta được :

2 2 2

k x t x

k x

2

2 2 2

2 2 2

4 4

4

x x t

x x

2 1

x

x x

x x