HSG TOAN 9 2020 2021 PGD LONG BIEN VONG 2 HN TOAN THCS VN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2 Năm học: 20202021. Môn: TOÁN Câu 1. (6,0 điểm). 1) Giải phương trình: . 2) Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng: 3) Cho các số nguyên thoả mãn điều kiện: . Tính giá trị của biểu thức . Câu 2. (3,0 điểm). 1) Cho là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: chia hết cho . Chứng minh: chia hết cho . 2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên thỏa mãn điều kiện: . Câu 3. ( 3,0 điểm). 1) Cho là hai số thực dương. Chứng minh rằng: . 2) Cho số thực thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức: . Câu 4. (7,0 điểm).Cho tam giác cóba góc nhọn, ba đường cao , , cắt nhau tại . 1) Chứng minh: . = . và . + CHCE= . 2) Chứng minh .cot . 3) Gọi là trung điểm của . Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng , lần lượt tại và . Chứng minh rằng: . Câu 5. (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao? HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2 Năm học: 20202021. Môn: TOÁN Câu 1. (6,0 điểm). 1) Giải phương trình: . 2) Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng: . 3) Cho các số nguyên thoả mãn điều kiện: . Tính giá trị của biểu thức . Lời giải 1) Giải phương trình: . Đặt ĐKXD: . Phương trình trờ thành: . • Ta có (loại) hoặc (thỏa mãn). • Với ta có : hoặc Vậy phương trình có tập nghiệm là . 2) Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng: . Ta có 3) Cho các số nguyên thoả mãn điều kiện: . Tính giá trị của biểu thức . Đặt Ta có: Do là số nguyên có tồng bằng 0 và nên Suy ra: . Câu 2. (3,0 điểm). 1) Cho là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: chia hết cho . Chứng minh: chia hết cho . 2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên thỏa mãn điều kiện: . Lời giải 1) Cho là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: chia hết cho . Chứng minh: chia hết cho . Ta có: Giả sử đều chia dư 1 chia dư 1 (2) Mà (theo giả thiết) (2) Do đó (1) và (2) mâu thuẫn Điều già sử là sai. Trong ba số ít nhất có một số chia hết cho 2 Từ () và () suy ra . 2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên thỏa mãn điều kiện: . Ta có: Tưng tự ta có: Biến đổi phương trình thành: . Mà . Vậy không tồn tại ba số nguyên thỏa mãn điều kiện: . Câu 3. ( 3,0 điểm). 1) Cho là hai số thực dương. Chứng minh rằng: . 2) Cho số thực thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức: . Lời giải 1) Cho là hai số thực dương. Chứng minh rằng: . Ta có: với mọi . . . . 2) Cho số thực thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức: . Ta có . Mà suy ra : . Áp dụng BĐT : với dấu bằng xảy ra khi ta có: dấu bằng xảy ra khi dấu bằng xày ra khi Suy ra . Vậy MinA =2093 khi và chi khi . Câu 4. (7,0 điểm).Cho tam giác cóba góc nhọn, ba đường cao , , cắt nhau tại . 1) Chứng minh: . = . và . + CH.CE= . 2) Chứng minh .cot . 3) Gọi . . là trung điểm của . Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng , lần lượt tại và . Chứng minh rằng: . Lời giải 1) Chứng minh: . = . và . + CH.CE= . Xét tam giác: đông dạng có: chung đồng dạng nên Tương tự: đồng dạng nên Cộng vế với vế hai đằng thức ta được: hay 2) Chứng minh .cot . Chứng đồng dạng Xét vuông tại 3) Gọi là trung điểm của . Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng , lần lượt tại và . Chứng minh rằng: . Chứng minh đồng dạng Chứng minh: đồng dạng Do cân tại Câu 5. (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao? Lời giải Tồng tất cả các số ban đầu trên bảng: . Qua mỗi bước ta thấy tồng giàm đi 2. Lúc đầu tồng sau 99 bước số còn lai sẽ là .  HẾT 

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẬN LONG BIÊN

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2

Năm học: 2020-2021

Môn: TOÁN

Câu 1. (6,0 điểm)

1) Giải phương trình:

4 x − 20 28 3 x + = x − 15 20 x +

2) Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện x y z + + = 0

Chứng minh rằng:

3 3 3 3

x y z + + = xyz

3) Cho các số nguyên a b c ; ;

thoả mãn điều kiện:

( a b − + − + − ) ( b c ) ( c a ) 378 =

Tính giá trị của biểu thức A a b = − + − + − | | | b c | | c a |

.

Câu 2. (3,0 điểm)

1) Cho a b c , ,

là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c + + chia hết cho 12 Chứng minh: )

( ) ( ( ) - 5

P a b b c c a = + + + abc

chia hết cho 12

2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x y z , ,

thỏa mãn điều kiện:

x y z + + = + + + x y z

Câu 3. ( 3,0 điểm)

1) Cho ,x y

là hai số thực dương Chứng minh rằng:

4 0

x y x y

y + x − − y x + ≥

2) Cho số thực x

thỏa mãn 0 < < x 2 Tìm GTNN của biểu thức:

4 100

2021 2

A

x x

= + +

Câu 4. (7,0 điểm).Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, ba đường cao AK, BD, CE cắt nhau tại H

1) Chứng minh: BH.BD= BC

.BKvà BH.BD + CHCE= BC2

2) Chứng minh BH AC = .cot·ABC

3) Gọi M là trung điểm của BC

Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng

BD, CE

lần lượt tại Q

và P Chứng minh rằng: MP MQ =

Câu 5. (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực hiện trò

chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng a b + − 2lên bảng Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẬN LONG BIÊN

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2

Năm học: 2020-2021

Môn: TOÁN

Câu 1. (6,0 điểm)

1) Giải phương trình:

4 x − 20 28 3 x + = x − 15 20 x +

2) Cho ba số thực x y z , ,

thỏa mãn điều kiện x y z + + = 0

Chứng minh rằng:

3 3 3 3

x y z + + = xyz

3) Cho các số nguyên a b c , ,

thoả mãn điều kiện:

( a b − + − + − ) ( b c ) ( c a ) 378 =

Tính giá trị của biểu thức A a b = − + − + − | | | b c | | c a |

.

Lời giải

1) Giải phương trình:

4 x − 20 28 3 x + = x − 15 20 x +

Đặt

2 5 7,( 0) 2 5 7 2.

t = x − + x t ≥ ⇒ − + = x x t

ĐKXD: x ∈ ¡

Phương trình trờ thành:

2

2 3 1 t t = − .

2

1

3

t

t

=





 =



• Ta có

1

3

t = − <

(loại) hoặc t = 1 (thỏa mãn)

• Với t = 1,

ta có :

x − + = ⇔ − + = ⇔ = x x x x

hoặc x = 3

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {2;3}

2) Cho ba số thực x y z , ,

thỏa mãn điều kiện x y z + + = 0

Chứng minh rằng:

3 3 3 3

x y z + + = xyz

Ta có : x y z + + = ⇒ = − + 0 z ( x y )

3 3 3 3 3 ( )3 3 3 3 3 2 3 2 3

VT x y z = + + = + − + = + − − x y x y x y x x y xy y − −

3 ( ) 3

VT = − xy x y + = xyz VP =

3) Cho các số nguyên abc

thoả mãn điều kiện:

( a b − + − + − ) ( b c ) ( c a ) 378 =

Tính giá trị của biểu thức A a b = − + − + − | | | b c | | c a |

.

Đặt a b x b c y c a z − = ; − = ; − = ⇒ + + = x y z 0

Ta có:

3 3 3 378 3 378 126

x y z + + = ⇔ xyz = ⇔ xyz =

Do x y z , ,

là số nguyên có tồng bằng 0 và xyz = 126 ⇒ × × = − × − x y z ( 2) ( 7).9

nên

 = −  = −  = −  = −  =  =

 = − = = − =  = −  = −

 =  = −  =  = −  = −  = −









Suy ra: A a b = − + − + − = | | | b c | | c a | 18

Câu 2. (3,0 điểm)

1) Cho a b c , ,

là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c + + chia hết cho 12 Chứng minh: )

( ) ( ( ) - 5

P a b b c c a = + + + abc

chia hết cho 12

2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x y z , ,

thỏa mãn điều kiện:

x y z + + = + + + x y z

Lời giải

1) Cho a b c , ,

là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c + + chia hết cho 12 Chứng minh: )

( ) ( ( ) - 5

P a b b c c a = + + + abc

chia hết cho 12

Ta có:

( )( )( ) 5

P a b b c c a abc

a b c ab bc ca abc

a b b c c a a b c ab bc ca abc

Giả sử a b c , ,

đều chia 2 dư 1 ⇒ + + a b c chia 2 dư 1 (2)

Mà a b c + + :12 ⇒ + + a b c M 2 (theo giả thiết) (2)

Do đó (1) và (2) mâu thuẫn ⇒ Điều già sử là sai.

⇒ Trong ba số a b c , ,

ít nhất có một số chia hết cho 2 ⇒ 6 abc :12(**)

Từ (*) và (**) suy ra P M 12.

2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x y z , ,

thỏa mãn điều kiện:

x y z + + = + + + x y z

Ta có: x x x x3− = ( )2− = − 1 ( 1) ( 1) :3 x x x +

Tưng tự ta có:

3 :3 ; 3 3

y y − z z − M

( x x3 ) ( y y3 ) ( ) z z3 :3

Biến đổi phương trình thành: ( x x3− + ) ( y y3− + ) ( ) z z3− = 2020

Mà 2020 3 M / .

Vậy không tồn tại ba số nguyên x y z , ,

thỏa mãn điều kiện:

x y z + + = + + + x y z

Câu 3. ( 3,0 điểm)

1) Cho ,x y

là hai số thực dương Chứng minh rằng:

4 0

x y x y

y + x − − y x + ≥

2) Cho số thực x

thỏa mãn 0 < < x 2 Tìm GTNN của biểu thức: A = 2 4 x + 100 x + 2021

Lời giải

1) Cho ,x y

là hai số thực dương Chứng minh rằng:

4 0

x y x y

y + x − y − x + ≥

Ta có:

x y x y xy x y

với mọi x y , > 0

⇒  + − ≥ ÷  + − > ÷

x y x y

y x y x

⇒  + − ÷ + − ≥ ÷

4 0

x y x y

y x y x

⇒ + − − + ≥

2) Cho số thực x

thỏa mãn 0 < < x 2 Tìm GTNN của biểu thức: A = 2 4 x + 100 x + 2021

Ta có

= + + =  + −  +  + ÷ +

Mà 0 < < x 2 suy ra : 2 − > x 0.

Áp dụng BĐT : a b + ≥ 2 ab

với a b , ≥ 0,

dấu bằng xảy ra khi a b = ta có:

100

36 x 120

x

 +  ≥

  dấu bằng xảy ra khi

5 3

x =

4

36(2 ) 24

 + −  ≥

  dấu bằng xày ra khi

5 3

x =

Suy ra

= + + =  + −  +  + ÷ + ≥

Vậy MinA =2093 khi và chi khi

5 3

x =

Câu 4. (7,0 điểm).Cho tam giác ABC

cóba góc nhọn, ba đường cao AK, BD, CE

cắt nhau tại H

1) Chứng minh: BH.BD= BC

.BKvà BH.BD + CH.CE= BC2

2) Chứng minh BH AC = .cot·ABC

3) Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng

BD, CE

lần lượt tại Q

và P Chứng minh rằng: MP MQ =

Lời giải

1) Chứng minh: BH.BD= BC

.BKvà BH.BD + CH.CE= BC2

Xét tam giác: ∆ BHK đông dạng ∆ BCD có: KBH chung

· · 90 .

BKH BDC = = °

BHK

⇒ ∆ đồng dạng ∆ BCD (g.g)

nên

BH BK

BC = BD

BH BD BCBK

Tương tự: ∆ CHK đồng dạng ∆ CBE

nên

CH KC

CH CE BC KC

BC = CE ⇒ × = ×

Cộng vế với vế hai đằng thức ta được:

.

BH BD CH CE BCBK BC KC × + = + ×

hay

2

BH BD CH CE BC BK KC BC × + × = + =

2) Chứng minh BH AC = .cot·ABC

Chứng minh : BEH ∆ đồng dạng ∆ CEA g g ( × ⇒ ) BH CA CE = BE

Xét ∆ BEC vuông tại E ⇒ cot ABC = CE BE

BH BE

ABC BH AC ABC

CA CE

3) Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD, CE

lần lượt tại Q

và P Chứng minh rằng: MP MQ =

Chứng minh ∆ PAH đồng dạng ∆ AMB g g ( ) ⇒ AM PA = AH MB

Chứng minh: ∆ QAH

đồng dạng

( ) QA AH

MAC g g

AM MC

Do

(gt) QA PA

MB MC

AM AM

cân tại M ⇒ MP MQ =

Câu 5. (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực hiện trò

chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng a b + − 2lên bảng Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?

Lời giải

Tồng tất cả các số ban đầu trên bảng: S = + + + … + + 1 2 3 99 100 5050 = . Qua mỗi bước ta thấy tồng giàm đi 2

Lúc đầu tồng S = 5050 sau 99 bước số còn lai sẽ là 5050 2.99 4852 − = .

 HẾT 