Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MN[r]
Trang 1UBND HUYỆN THÁP MƯỜI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập - Tự do – Hạnh phúc
_
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2008-2009
Môn thi : Tóan Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 13/12/2008
I Trắc nghiệm: (5 điểm)
Chọn câu đúng trong các câu hỏi sau:
Câu 1: So sánh hai số thực sau: 8 7 và 7 8
a 8 7 = 7 8 b 8 7< 7 8 c 8 7> 7 8 d 8 7 ≥ 7 8 Câu 2: Tính cạnh MN theo hình bên :
a MN = 12 b MN = 21 c MN = 7 d MN = 21
Câu 3: Giải bất phương trình : 2007 2008
a x > 0 hoặc
x < 2007
2008
b x < 0 hoặc
x > 2007
2008
c x > 0 hoặc
x > 2007
2008
d x < 0 hoặc
x < 2007
2008
Câu 4: Tam giác ABC vuông tại A, có AC = 1
2BC Tính cosB
a cosB = 3 b cosB = 1
2 c cosB = 3
3 d cosB = 3
2
Câu 5: Biểu thức 1
được xác định khi :
a x < 1
2 b x > 1
2
Câu 6: Cho ∆ABC Biết AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm
a ∆ABC là tam giác
cân
b ∆ABC là tam giác vuông
c ∆ABC là tam giác đều
d ∆ABC là tam giác vuông cân
Câu 7: Cho hàm số y = 1 – 0.5x , kết luận nào sau đây là đúng ?
a Hàm số trên
luôn luôn đồng
biến
b Hàm số trên luôn luôn nghịch biến
c Hàm số trên đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0
d Hàm số trên đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
Trang 2Câu 8: Tam giác ABC cân tại A, BC = 12cm, đường cao AH = 4cm Bán kính của đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC là
Câu 9: Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:
(a) Tập hợp các điểm có khỏang
cách đến điểm O cố định bằng
3cm
(d) Có khỏang cách đến điểm O nhỏ hơn hoặc bằng 3cm
(b) Đường tròn tâm O bán kính
3cm gồm tất cả những điểm
(e) cách điểm O một khỏang bằng 3cm
(c) Hình tròn tâm O bán kính 3cm
gồm tất cả những điểm
(f) là đường tròn tâm O bán kính 3cm
(g) có khỏang cách đến điểm O lớn hơn 3cm
Câu 10: Một hình chữ nhật có kích thước là 25cm và 40cm người ta tăng mỗi kích thước của hình chữ nhật thêm x cm Gọi S và P thứ tự là diện tích và chu vi của hình chữ nhật mới tính theo x
a Các đại lượng S là hàm số bậc nhất của x Đúng Sai
b Các đại lượng P là hàm số bậc nhất của x Đúng Sai
II Tự luận: (15 điểm)
Câu 11: Rút gọn biểu thức sau: A = 6 3 2 2 3 2 2 6 3 2 2
Câu 12: Dùng ẩn phụ rút gọn biểu thức sau:
B = 2 2
2005.2007.2010.2011
Câu 13: Cho hàm số y = -2x + 2 có đồ thị (D) và hàm số y = 4
x
có đồ thị (H) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị (D) và (H)
Câu 14: Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 d2 (a c ) 2 (b d ) 2
Câu 15: Cho tam giác ABC có ABC = 60 ; BC = a ; AB = c· 0 (a, c là hai độ dài cho trước) Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó
Hết
Trang 3UBND HUYỆN THÁP MƯỜI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Độc lập - Tự do – Hạnh phúc
_
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2008-2009
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TÓAN
I Trắc nghiệm: (5 điểm)
Mỗi câu chọn đúng được 0.5 điểm
(a) và (f) (b) và (e) (c) và (d)
sai đúng
II Tự luận: (15 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng 3 điểm
chú
A = (3 2 2)(3 2 2) 9 (2 2) 2 1
1.5
12
2005.2007.2010.2011
Đặt x = 2008, khi đó
x 3 x 1 x 2 x 3
x 2 x 3 x 3 x 1 x 1
x 3 x 1 x 2 x 3
1 1 1
3
13
x
x 2 - x - 2 = 0 (x + 1)(x - 2) = 0
x = -1 ; x = 2
Vậy toạ độ giao điểm của (D) và (H) là (-1 ; 4) và (2 ; -2)
1 0.5
0.5 0.5 0.5
3
a 2 + b 2 +c 2 + d 2 +2 (a2 b2 )(c2 d2 ) a 2 +2ac + c 2 + b 2 + 2bd + d 2
(a2 b2 )(c2 d2 ) ac + bd (1)
0.5 0.5
3
Trang 4Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được chứng minh
Nếu ac + bd 0 (1) ( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) a 2 c 2 + b 2 d 2 + 2acbd
a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 a 2 c 2 + b 2 d 2 + 2acbd
a 2 d 2 + b 2 c 2 – 2abcd 0 (ad – bc) 2
0 ( luôn đúng)
b d
0.5 0.5 0.5 0.5
15
Hình vẽ
Đặt AM = x (0 < x < c)
Ta có: MN =AM MN = ax
0 c - x 3
MQ = BM.sin60 =
Suy ra diện tích của MNPQ là:
+ Ta có bất đẳng thức:
2
Áp dụng, ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi: x = c - x x = c
2
2
Vậy: Smax =ac 3
8 khi x = c
2 hay M là trung điểm của cạnh AB
0.25 0.25 0.25
0.5 0.5
0.25 0.25 0.5 0.25
3
Hết
A
P Q
0
60
x