[r]
Trang 1Phòng GD-ĐT Tam D ơng Kỳ thi chọn Học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán Năm học: 2009-2010
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
với xy 0
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x y, biết 2010 2010
.
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Giải phơng trình nghiệm nguyên:
4x 4x 4 8 y 2z
b) Giải phơng trình: (x 5)8x 6101
Câu 3.(1,5 điểm)
Cho n là số nguyên dơng Biết rằng 2n 1 và 3n 1là hai số chính phơng Chứng
minh rằng n chia hết cho 40.
Câu 4 (1,5 điểm)
Cho cỏc số khụng õm x y z, , thỏa món x y z 3. Tỡm giỏ trị lớn nhất của
Câu 5 ( 2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Đờng cao AH, trung tuyến BM và phân giác CD
đồng quy.
a) Chứng minh
b) Tính tỉ số AB
AC
Hết
-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Phòng GD-ĐT Tam D -
đề thi chọn Học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán Năm học: 2009-2010
th nh ph ành ph ần
Đề chính thức
Trang 21 2 điểm
a) Trớc hết ta có nhận xét:
a b a b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0
ab
Ta có:
2
2
0 4
x y
với mọi 0
xy
Do đó
x y
;
Bởi vậy
x y
x y
2
3 x y
-
-b) 2010 2010
2
3 x y 2010 2010
(Điều kiện xy 0)
2
1339
0
2010 x y
0
( thỏa mãn
ĐK)
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
a)
4x 4x 4 8 y 2z
4x 4x 1 8y 2z 5 (2x1) 8y 2z 5 (1)
Vế trái của (1) là một số
0,5
0,5
Trang 3chính phơng lẻ nên chia 8
d 1 (*) Xét vế phải của (1): 8y3
chia hết cho 8 ; 2
2z chia hết cho 8 nếu z
chẵn , chia cho 8 d 2 nếu
z lẻ vế phải chia cho 8
d 5 hoặc 3 (**) Từ (*)
và (**) suy ra phơng trình (1) không có nghiệm nguyên hay phơng trình đã
cho vô nghiệm
- -b) Giải phơng trình:
10
8 (x 5) x 6 1
(2) +) Ta thấy x5;x 6 thỏa mãn phơng trình (2) nên là nghiệm của phơng trình
+) Xét x 5
10
và (x 5)8>0 nên phơng trình (2) vô nghiệm
+) Xét x 6
8
và (x 6)10>0 nên phơng trình (2) vô nghiệm
+ ) Xét 5x6
8
0 x 5 1 (x 5) x 5
;
10
Bởi vậy
10
8 (x 5) x 6 x 5 6 x1
Phơng trình (2) vô
nghiệm
KL: Tập hợp nghiệm của phơng trình là S 5;6
0,25 0,25 0,25
0,5 0,25
3
1,5 điểm
Đặt 2n 1 a2;3n 1 b2
Ta có: nếu x là số chính phơng thì x chia hết cho 5 hoặc x chia cho 5 d 1 hoặc
4
Nếu n (mod 5) thì1
a n (mod 5)
0,5
Trang 4( lo¹i)
n 2 (mod 5) th×
b n (mod 5) ( lo¹i)
n (mod 5) th×3
a n (mod 5) ( lo¹i)
n 4 (mod 5) th×
b n (mod 5) ( lo¹i)
n
chia hÕt cho 5 (1)
2
2n 1 a a lÎ a 2
chia cho 4 d 1
(k N )
b lÎ
Ta cã:
2 2
Do ,a b lÎ nªn n4
n n hoÆc n chia
cho 8 d 4
NÕu n chia cho 8 d 4
2
chia cho 8 d 5 ( v« lý, v× mét sè chÝnh ph¬ng lÎ chia cho 8 d 1)
VËy n (2) Tõ (1) vµ (2) 8
suy ra n chia hÕt cho 40.
0,5
0,5
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky, ta được:
1x 2x (1 1)(1 x 2 )x 2(x1)
Tương tự:
1y 2y (1 1)(1 y 2 )y 2(y1)
1z 2z (1 1)(1 z 2 )z 2(z1)
Bởi vậy
6 2 (3 2)( (1 1 1)(x y z) 6 2 (3 2).3 9 3 2
(Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xky và giả
0,5
0,5
0,5
Trang 5thiết x y z 3).
Vậy maxA 9 3 2 Dấu bằng xảy ra
1
5
cã:
HB MC DA
L¹i cã:
1
MC
MA ( V× M lµ
trung ®iÓm cña AC);
DB BC ( TÝnh chÊt
®-êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c)
Bëi vËy tõ (*) suy ra
(1) -b) ¸p dông hÖ thøc lîng trong tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A ta cã:
2 2
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
2 2
AB
BC
AC
4 4
AB
§Æt
2 2
AB
AC = x 0 Ta cã
ph¬ng tr×nh:
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
A
B
C M
D
H
Trang 6
=0
2
VËy
2
AB AC
==========HÕt========