CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biến

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biếnCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 10 Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biến

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Dạng 10: Các bài toán suy luận rời rạc, bài toán bất biến:

1 Nguyên lí Dirichlet

A Bài toán

Bài 1: Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.

2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng 1

3 Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.

Bài 2: Trước ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không quá 49 cây bút đem tặng cho tất cả

32 bạn học sinh lớp 9A sao cho ai cũng nhận được bút của thầy Chứng minh rằng có một số bạn lớp 9A nhận được bút tổng cộng là 25

B Lời giải

Bài 1: Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.

2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng 1

3 Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.

Lời giải

Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là a ( a>0) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của

AB, BC, CD, DA Gọi d là một đường thẳng bất kỳ trong 2018 đường thẳng đã cho thỏa mãn yêu cầu bài toán Không mất tính tổng quát, giả sử d cắt các đoạn thẳng AD, MP, BC lần lượt tại S, E, K sao cho S CDSK 3S ABKS

Từ S CDSK 3S ABKS ta suy ra được:DS CK 3 AS BK    

2

1

4

  suy ra E cố định và d đi qua E

Lấy F, H trên đoạn NQ và G trên đoạn MP sao cho FN GP HQ a

4

Lập luận tương tự như trên ta có các đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải đi qua một trong bốn điểm cố định E, F, G, H

Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải có ít

nhất 2018

1 505 4

 

  đường thẳng đi qua một trong bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa

là 505 đường thẳng đó đồng quy

Bài 2: Trước ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không quá 49 cây bút đem tặng cho tất cả

32 bạn học sinh lớp 9A sao cho ai cũng nhận được bút của thầy Chứng minh rằng có một số bạn lớp 9A nhận được bút tổng cộng là 25

Lời giải

Gọi ai là số bút mà học sinh thứ I ( trong 32 học sinh ) nhận được ( i = 1,2, ,32) Như vậy

*

i

a  N và a1  a2   a32  49 Ta kí hiệu:

S  a

S  a  a ,

……

S  a  a   a

Với mỗi i   1;2; ;32  ta có : 1  Si  49 ,S i 25 74  ;S i 50 99  ,

75 124

i

S   Xét 128 số gồm: 32 số nhóm (1) là S S1, , ,2 S32 ,

32 số nhóm (2) là S1  25, S2  25, , S32 25,

32 số nhóm (3) là S1  50, S2  50, , S32 50 ,

32 số nhóm (4) là S1  75, S2  75, , S32 75 , Thấy 128 số này lấy giá trị nguyên dương trong phạm vi từ 1 đến 124, theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hai số nào đó trong chúng bằng nhau Vì S1 S2   S32 nên dãy 32 giá trị trong mỗi nhóm ở trên tăng dần kể từ trái qua phải Suy ra tồn tại j i   1 mà

S  k  S  k với k k 1, 2  0,1,2,3  và k1  k2 ( do hai số bằng nhau thì không cùng nhóm)

Vì Sj  Si nên 0  Sj  Si  25  k1  k2 , suy ra k1 k2  1,2,3  Lại có

49

S  S  S  nên 25  k1 k2  49 , suy ra k1 k2  1 Vậy Sj  Si  25 hay

a  a   a  , nghĩa là nhóm gồm các học sinh từ học sinh thứ i  1 đến học sinh thứ j nhận được tổng cộng 25 cây bút

2 Toán rời rạc

A Bài toán

Bài 1: Trên một bảng ô vuông, ở mỗi ô người ta điền toàn bộ dấu + Sau đó thực hiện quá trình đổi

dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) lần lượt theo các bước sau:

Bước 1: Các ô ở dòng thứ i đều được đổi dấu i lần, i 1 2, , ,2019 Bước 2: Các ô ở cột thứ j đều được đổi dấu j 3 1lần, j 1 2, , ,2019

Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong quá trình đổi dấu trên.

Bài 2: Viết lên bảng 2019 số: 1; ; ; ;1 1 1 ; 1

2 3 2018 2019 Từ các số đã viết xoá đi 2 số bất kì x, y rồi

viết lên bảng số

1

xy

x y  ( các số còn lại trên bảng giữ nguyên) Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi bảng chỉ còn lại đúng một số Hỏi số đó bằng bao nhiêu?

Bài 3: Ba bạn A,B,C cùng chơi một trò chơi: Sau khi A chọn hai số tự nhiên từ 1 đến 9 ( có thể

giống nhau ), A nói cho B chỉ mỗi tổng và nói cho C chỉ mỗi tích của hai số đó Sau đây là các câu đối thoại giữa B và C

B nói : Tôi không biết hai số A chọn nhưng chắc chắn C cũng không biết

C nói: Mới đầu thì tôi không biết nhưng giờ thì biết hai số A chọn rồi Hơn nữa , số mà A đọc cho tôi lớn hơn số của bạn

B nói: À, vậy thì tôi cũng biết hai số A chọn rồi

Xem B và C là các nhà suy luận logic hoàn hảo, hãy cho biết hai số A chọn là hai số nào ?

Bài 4: Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác mà

mỗi tam giác đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673 Chứng minh rằng có ít

nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019

Bài 5: Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng sao cho không có hai đường thẳng nào song song và

không có ba đường thẳng nào đồng quy Tam giác tạo bởi ba đường thẳng trong số các đường thẳng

đã cho gọi là tan giác đẹp nếu nó không bị đường thẳng nào trong số các đường thẳng còn lại cắt Chứng minh rằng số tam giác đẹp không ít hơn 674

Bài 6: Cho M là tập tất cả 4039 số nguyên liên tiếp từ 2019 đến 2019 Chứng minh rằng trong

2021 số đôi một phân biệt được chọn bất kì từ M luôn tồn tại ba số phân biệt có tổng bằng

0

Bài 7: Có 15 bạn học sinh nam và 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn Chứng minh rằng

luôn tồn tại một học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều là nữ

Bài 8: Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau (không được chia nhỏ các vật đó)

Bài 9: Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu Đỏ, Xanh, Vàng Chứng

minh rằng tồn tại hai điểm A, B được tô bởi cùng một màu mà AB 1

Bài 10: Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11

phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại Biết các số 101 và 102 thuộc tập hợp A Tìm tất cả các phần tử của tập hợp A

Bài 11: (1.0 điểm) Cho đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn  O Chia 2n đỉnh này thành n

cặp điểm, mỗi cặp điểm này thành một đoạn thẳng (hai đoạn thẳng bất kì trong số n đoạn thẳng được tạo ra không có đầu mút chung)

a) Khi n 4, hãy chỉ ra một cách chia sao cho trong bốn đoạn thẳng được tạo ra không có hai đoạn nào có độ dài bằng nhau

b) Khi n 10, chứng minh rằng trong mười đoạn thẳng được tạo ra luôn tồn tại hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau

Bài 12: Xét một thanh gỗ có hai đầu Một con kiến đi từ đầu này đến đầu kia của thanh gỗ thì mất

5phút Khi đi đến một trong hai đầu thì kiến sẽ rơi xuống đất, Bây giờ giả sử trên thanh gỗ đó có 5 con kiến và đi cùng với tốc độ như vậy nhưng về các hướng khác nhau Nếu có hai con kiến nào đi

ngược hướng và đụng đầu nhau thì chúng lập tức quay ngược lại và đi tiếp

(Giả sử rằng kích thước và thời gian quay đầu của các con kiến là không đáng kể)

1 Hãy lý luận để chứng tỏ rằng tất cảcác con kiến thể nào cũng sẽ rơi hết xuống đất

2 Cần tối thiểu bao nhiêu phút để chắc chắn rằng cả 5con kiến đều rơi hết xuống đất?

Bài 13: Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm

đã cho không lớn hơn 1 Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2019 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1

Bài 14: Xét bảng ô vuông cỡ 10 10 gồm 100 hình vuông có cạnh 1 đơn vị Người ta điền vào mỗi

ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều

có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1 Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng

ít nhất 6 lần

Bài 15: Trong hình vuông cạnh bằng 1 có 2019 điểm phân biệt Chứng minh rằng tồn tại một hình

tròn bán kính bằng 1

91 nằm trong hình vuông đó mà không chứa điểm nào trong 2019 điểm đã cho

Bài 16: Cho dãy gồm 2015 số: 1 1 1 1 1

Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số u, v bất kỳ trong dãy và viết thêm

vào dãy một số có giá trị bằng u v uv   vào vị trí của u hoặc v. Cứ làm như thế đối với dãy mới thu được và sau 2014lần biến đổi, dãy cuối cùng chỉ còn lại một số Chứng minh rằng giá trị của

số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u, v để xóa trong mỗi lần thực hiện việc

biến đổi dãy, hãy tìm số cuối cùng đó

Bài 17: Trường trung học phổ thông A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đoàn

26 – 3 Biết rằng có n đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng một trận) Đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không được điểm nào Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa và tổng số điểm của các đội là

336 Hỏi có tất cả bao nhiêu đội bóng tham gia?

Bài 18: Cho một lớp học có 35 học sinh, các học sinh này tổ chức một số câu lạc bộ môn học Mỗi

học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ Nếu chọn ra 10 học sinh bất kì thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ Chứng minh có một câu lạc bộ gồm ít nhất 9 học sinh

B Lời giải

Bài 1: Trên một bảng ô vuông, ở mỗi ô người ta điền toàn bộ dấu + Sau đó thực hiện quá trình đổi

dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) lần lượt theo các bước sau:

Bước 1: Các ô ở dòng thứ i đều được đổi dấu i lần, i 1 2, , ,2019 Bước 2: Các ô ở cột thứ j đều được đổi dấu j 3 1lần, j 1 2, , ,2019 Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong quá trình đổi dấu trên

Lời giải

Theo quá trình đổi dấu trên thì ô vuông ở dòng i cột j được đổi dấu i3j1lần

Mà i3j1 và i j hai số không cùng tính chẳn lẻ (vì i3j1  i j 2j1là số lẻ)

Do đó những ô vuông ở dòng i cột j mà ij là số lẻ sẽ đổi dấu một số chẵn lần và dấu ở

ô vuông đó vẫn là dấu +, còn những ô vuông ở dòng i cột j mà i j là số chẵn sẽ đổi dấu một số lẻ lần và dấu ở ô vuông đó là dấu –

Mà từ 1 đến 2019 có 1009 số chẵn và 1010 số lẻ nên số cặp  ;i j mà i j bằng 1009.1010+1010.1009=2038180

Vậy số các ô vuông còn lại mang dấu + bằng 2038180

Bài 2: Vi t lên b ng 2019 s : ết lên bảng 2019 số: ảng 2019 số: ố: 1; ; ; ;1 1 1 ; 1

2 3 2018 2019 T các s đã vi t xoá đi 2 s b t kì x, y ừ các số đã viết xoá đi 2 số bất kì x, y ố: ết lên bảng 2019 số: ố: ất kì x, y

r i vi t lên b ng s ồi viết lên bảng số ết lên bảng 2019 số: ảng 2019 số: ố:

1

xy

x y  ( các s còn l i trên b ng gi nguyên) Ti p t c th c hi n thao ố: ại trên bảng giữ nguyên) Tiếp tục thực hiện thao ảng 2019 số: ữ nguyên) Tiếp tục thực hiện thao ết lên bảng 2019 số: ục thực hiện thao ực hiện thao ện thao tác trên cho đ n khi b ng ch còn l i đúng m t s H i s đó b ng bao nhiêu?ết lên bảng 2019 số: ảng 2019 số: ỉ còn lại đúng một số Hỏi số đó bằng bao nhiêu? ại trên bảng giữ nguyên) Tiếp tục thực hiện thao ột số Hỏi số đó bằng bao nhiêu? ố: ỏi số đó bằng bao nhiêu? ố: ằng bao nhiêu?

L i gi i ời giải ải

1

xy z

V i m i t p các s dới mỗi tập các số dương ỗi tập các số dương ập các số dương ố: ương ng x x1; ; 2 x n tùy ý, xét bi u th c:ểu thức: ức:

 1 2 

n

T (1) suy ra m i l n xóa đi 2 s b t kì x; y r i vi t lên b ng s ừ các số đã viết xoá đi 2 số bất kì x, y ỗi tập các số dương ần xóa đi 2 số bất kì x; y rồi viết lên bảng số ố: ất kì x, y ồi viết lên bảng số ết lên bảng 2019 số: ảng 2019 số: ố:

1

xy

x y  các s cònố:

l i trên b ng gi nguyên thì giá tr bi u th c P c a các s trên b ng không đ i ại trên bảng giữ nguyên) Tiếp tục thực hiện thao ảng 2019 số: ữ nguyên) Tiếp tục thực hiện thao ị biểu thức P của các số trên bảng không đổi ểu thức: ức: ủa các số trên bảng không đổi ố: ảng 2019 số: ổi

G i s cu i cùng là ọi số cuối cùng là ố: ố: a ( ) 1 1 1; ; ; ; 1 ; 1

1 2 3 2018 2019

a a



Bài 3: Ba bạn A,B,C cùng chơi một trò chơi: Sau khi A chọn hai số tự nhiên từ 1 đến 9 ( có thể

giống nhau ), A nói cho B chỉ mỗi tổng và nói cho C chỉ mỗi tích của hai số đó Sau đây là các câu đối thoại giữa B và C

B nói : Tôi không biết hai số A chọn nhưng chắc chắn C cũng không biết

C nói: Mới đầu thì tôi không biết nhưng giờ thì biết hai số A chọn rồi Hơn nữa , số mà A đọc cho tôi lớn hơn số của bạn

B nói: À, vậy thì tôi cũng biết hai số A chọn rồi

Xem B và C là các nhà suy luận logic hoàn hảo, hãy cho biết hai số A chọn là hai số nào ?

Lời giải

Khi biết tổng nhưng B nói : Tôi không biết 2 số A chọn nhưng chắc chắn C cũng không biết Do đó ta loại các cặp có tổng bằng 2; 3; 17; 18 là  1;1 , 1;2 , 8;9 , 9;9        vì nếu biết tổng này thì B phải đoán được hai số đó ngay

Ngoài ra, dựa vào việc khẳng định C cũng không biết nên có các trường hợp của tổng sau: TH1: 4 = 1+ 3 = 2 + 2 thì tích có thể bằng 3 = 1.3, C đoán được ngay, Mà B KHẲNG ĐỊNH C CŨNG KHÔNG BIẾT nên trường hợp này loại

TH2: 6 = 1 + 5 = … thì tích có thể bằng 5 = 1.5, C đoán được ngay! Mà B KHẲNG ĐỊNH

C CŨNG KHÔNG BIẾT nên trường hợp này loại

Tương tự đối với các trường hợp tổng là 7 = 2+ 5, 8 = 3+5, 9 = 4+5, 10 = 5+5, 11 = 5+6,

12 = 3+9, 13 =6+7, 14 = 7+7, 15 = 7+8, 16 = 8+8 cũng loại

Do đó, sau khi B phát biểu thì C đoán được tổng của 2 số là 5 ( = 1+4 = 2+3)

Khi đó tích có thể là 4 = 1.4 = 2.2 hoặc 6 = 1.6 = 2.3

Vì C biết tổng bằng 5 và tích 2 số ( bằng 4 hay 6 ) nên suy ra được ngay

C nói : Mới đầu thì tôi không biết nhưng giờ thì biết hai số A chọn rồi Hơn nữa số mà A đọc cho tôi lớn hơn số của bạn Như vậy C biết tích bằng 6 > 5.

Sau đó B cũng biết vì hai số ban đầu có tổng bằng 5 và tích bằng 6

Vậy 2 số A chọn là 2 và 3

Bài 4: Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác mà

mỗi tam giác đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn 673 Chứng minh rằng có ít

nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn 2019

Lời giải

Ta tô màu các đoạn thẳng có đầu mút là 2 trong 12 điểm đã cho:

-Tô đỏ các đoạn thẳng có độ dài nhỏ hơn 673 -Tô xanh các đoạn thẳng còn lại

thì mỗi tam giác có ít nhất một cạnh màu đỏ Ta sẽ chứng minh có ít nhất 2 tam giác có 3 cạnh đều là màu đỏ

+Xét 6 điểm trong 12 điểm đã cho Từ một điểm A nối đến các đoạn thẳng còn lại tạo thành 5 đoạn thẳng, được tô tới hai màu xanh, nên tồn tại 3 cạnh cùng màu Giả

sử đó là AB AC AD, ,

Nếu AB AC AD, , tô đỏ (nét liền, h1) thì tam giác BCD phải có 1cạnh tô đỏ(h1)., chẳn hạn BCthì tam giác ABCcó 3 cạnh tô đỏ(h2) Nếu AB AC AD, , tô xanh (nét

đứt, h3) Do mỗi tam giác phải có ít nhất một cạnh đỏ nên BC CD BD, , và tam giác

BCDcó 3 cạnh đỏ(h1)

Suy ra trong 6 điểm này luôn tồn tại ít nhất một tam giác có 3 cạnh màu đỏ +Xét 6 điểm còn lại, chứng minh tương tự

Vậy trong 12 điểm luôn tồn tại ít nhất 2 tam giác có hai cạnh đều màu đỏ Suy ra tồn tại ít nhất hai tam giác mà chu vi mỗi tam giác bé hơn 2019

(Từ trái qua phải lần lượt là h1,h2,h3,h4)

Bài 5: Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đường thẳng sao cho không có hai đường thẳng nào song song và

không có ba đường thẳng nào đồng quy Tam giác tạo bởi ba đường thẳng trong số các đường thẳng

đã cho gọi là tan giác đẹp nếu nó không bị đường thẳng nào trong số các đường thẳng còn lại cắt Chứng minh rằng số tam giác đẹp không ít hơn 674

Lời giải:

Gọi các đường thẳng đã cho là d d1, , ,2  d2022.Aijlà giao điểm của đường thẳng d và i d j

i j, 1; 2022,ij A; j A n Xét đường thẳng d bất kỳ trong số 2022 đường thẳng đã cho Do không có 3 đường thẳng n

nào đồng quy nên các giao điểmAij( n khác i, j) của các cặp đường thẳng d và i d j không

nằm trên d Do số giao điểm là hữu hạn nên tồn tại một giao điểm gần n d nhất, giả sử là n

ij

A ( nếu có nhiều giao điểm như vậy thì ta chọn 1 giao điểm nào đó)

Ta sẽ chứng minh tam giác A A Aij ni nj là tam giác đẹp.

Nếu tam giác này bị đường thẳng d nào đó trong số 2019 đường thẳng còn lại cắt thì m d m

phải cắt ít nhất một trong hai đoạn A A ,A A ij ni ij nj Giả sử d cắt đoạn m A Aij ni tại điểm Ami thì A gần mi d trái giả thiết n Aijgần d nhất n

Suy ra, với mỗi đường thẳng d luôn tồn tại một tam giác đẹp có cạnh nằm trên n d Trên n

mỗi đường thẳng d , ta chọn một cạnh của tam giác đẹp thì ta thu được 2022 cạnh của tam n

giác đẹp

Vậy số tam giác đẹp không ít hơn 2022:3=674

Bài 6: Cho M là tập tất cả 4039 số nguyên liên tiếp từ 2019 đến 2019 Chứng minh rằng trong

2021 số đôi một phân biệt được chọn bất kì từ M luôn tồn tại ba số phân biệt có tổng bằng

0

Lời giải

Đặt M n x x| Z  ,x 2n1 Ta chứng minh mệnh đề tổng quát: Trong 2n 1 số phân biệt từ tập hợp M , luôn tồn tại ba số phân biệt có tổng bẳng n 0 Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử tồn tại số nguyên dương n sao cho thể chọn ra 2n 1 số phân biệt từ tập hợp M mà trong đó không có ba số phân biệt nào có tổng bằng n 0 Gọi

n là số nhỏ nhất có tính chất như vây Khi đó n 1 ( vì với n 1 thì mệnh đề đúng) Vì n

là số nhỏ nhất làm cho mệnh đề không đúng nên mệnh đề đúng với n 1 Nếu trong các

số được chọn có ít nhất 2n 1 số thuộc M n1 thì do mệnh đề đúng với n 1, sẽ tồn tại ba

số phân biệt trong các số được chọn có tổng bằng 0 Mẫu thuẫn Vậy có tối đa 2n  2 số được chọn thuộc M n1 Suy ra trong bốn số 2 n2, 2 n1, 2n 2, 2n1, có ít nhất ba số được chọn Suy ra 0 không được chọn

 Nếu cả hai số của cặp 2n1, 2n1 được chọn Chia tập

n

1; 2n 2 , 2;2  n 3 , , 1; 2    n2 , ,   n 1, n ta thấy từ mỗi cặp ta chỉ chọn được tối đa một số Suy ra chỉ lấy được tối đa 2 2 n 2 2 n số Mẫu thuẫn

 Nếu chỉ có một số của cặp 2n1, 2n1 được chọn thì theo lí luận ở trên, cặp

2n2, 2n 2 được chọn Không mất tính tổng quát ta giả sử 2n 1 được chọn còn 1 2n không được chọn Lúc này chia các phần tử còn lại thành 2n  5 cặp

1; 2n 3 , 2; 2  n 4 , ,  n 2;n, ( 2; 2  n  3, , n3;n1 , một bộ ba số

n2,n 1, n và một phần tử lẻ cặp là n 1 Từ mỗi cặp ta lấy được tối đa một số, từ bộ ba số ta cũng lấy được tối đa một số Từ đó ta lấy được tối đa

3 2 n 5 1 1 2   n số Mẫu thuẫn

Vậy trong mọi trường hợp đều dẫn đến mẫu thuẩn, tức điều giả sử sai Mệnh đề được chứng minh Áp dụng mệnh đề cho n 1010 ta có điều phải chứng minh

Bài 7: Có 15 bạn học sinh nam và 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn Chứng minh rằng

luôn tồn tại một học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều là nữ

Lời giải

Giả sử tồn tại một cách xếp 30 bạn lên bàn tròn sao cho không có bạn nào ngồi giữa hai bạn

nữ Gọi các bạn theo thứ tự là A A1; ; ;2  A30 Chúng ta chia 30 bạn sang hai bàn tròn gồm

A A1; ; ;3  A29 và A A2; ; ;4  A30 và giữ nguyên thứ tự

Khi đó ở cả hai bàn mới, không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau

 Số bạn nữ ở mỗi bàn sẽ không vượt quá 15

2

Suy ra tổng số bạn nữ ở cả hai bàn nhỏ hơn 15 (trái giả thiết)

Vậy luôn tồn tại một học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều là nữ

Bài 8: Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng bằng nhau (không được chia nhỏ các vật đó)

Giải:

- Nhận xét:

n2 + (n + 5)2 = 2n2 + 10n + 25 = x + 25

(n + 1)2 + (n + 4)2 = 2n2 + 10n + 17 = x + 17

(n + 2)2 + (n + 3)2 = 2n2 + 10n + 13 = x + 13

Lần thứ nhất, chia 6 vật có khối lượng 19992, , 20042 thành ba phần: A + 25, A + 17, A + 13 Lần thứ hai, chia 6 vật có khối lượng 20052, , 20102 thành ba phần: B + 25, B + 17, B + 13 Lần thứ ba, chia 6 vật có khối lượng 20112, , 20162 thành ba phần: C + 25, C + 17, C + 13 Lúc này ta chia thành các nhóm như sau: Nhóm thứ nhất A + 25, B + 17, C + 13; nhóm thứ hai B + 25, C + 17, A + 13; nhóm thứ ba C + 25, A + 17, B + 13 Khối lượng của mỗi nhóm đều bằng A + B + C + 55 gam

Bài 9: Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu Đỏ, Xanh, Vàng Chứng

minh rằng tồn tại hai điểm A, B được tô bởi cùng một màu mà AB 1

Giải:

Giả sử không có 2 điểm nào trong mặt phẳng được tô cùng màu mà khoảng cách giữa chúng là 1 đơn vị độ dài

Xét một điểm O bất kỳ có màu vàng trên mặt phẳng

Vẽ đường tròn O, 3  Lấy một điểm P bất kỳ trên  O

Dựng hình thoi OAPB có cạnh bằng 1 và có đường chéo là OP Dễ thấy OA OB AB AC BC    1

Theo giả thiết, A, B phải tô khác màu vàng và khác màu nhau

Do đó P phải tô vàng Từ đây suy ra tất cả các điểm trên (O) phải tô vàng Điều này trái với giả thiết vì dễ thấy tồn tại hai điểm trên (O) có khoảng cách 1 đơn vị độ dài P/s: Số 1 có thể được thay bởi bất kỳ số thực dương nào

Bài 10: Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11

phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại Biết các số 101 và 102 thuộc tập hợp A Tìm tất cả các phần tử của tập hợp A

Giải:

Giả sử A =a ;a ;a ;a1 2 3; 21 với a ; a ; a ; a   và 1 2 3; 21

a  a  a  a 

Theo giả thiết ta có a1 a2 a3 a  11  a12  a13  a  21

Mặt khác với x; y Z và nếu y x thì y x 1 

Nên từ (1) suy ra a 1 10 + 10 + +10 = 100

mà a1 nhỏ nhất và 101 A  a1=101

Ta có 101 a  12 a2 a13  a3 a  21 a11  100  a12 a2 a13 a3 a  21 a11  100 Kết hợp với (2)

Ta có a1=101 mà 102 A   a2  102

Kết hợp với (3) và (4) suy ra A =101;102;103; ;121 

Bài 11: (1.0 điểm) Cho đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn  O Chia 2n đỉnh này thành n

cặp điểm, mỗi cặp điểm này thành một đoạn thẳng (hai đoạn thẳng bất kì trong số n đoạn thẳng được tạo ra không có đầu mút chung)

a) Khi n 4, hãy chỉ ra một cách chia sao cho trong bốn đoạn thẳng được tạo ra không có hai đoạn nào có độ dài bằng nhau

b) Khi n 10, chứng minh rằng trong mười đoạn thẳng được tạo ra luôn tồn tại hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau

Giải:

Bài 11Ta đánh số 2n đỉnh của đa giác từ 1 đến 2n Khi đó, độ dài của đoạn thẳng nối hai đỉnh

có thể coi tương ứng với số lượng cung nhỏ nằm giữa hai đỉnh đó, cũng chính là chênh lệch giữa hai số thứ tự theo mod n rồi cộng thêm 1 Sự tồn tại hai cặp đoạn thẳng có độ dài bằng nhau trong đề bài tương ứng với việc tồn tại hai cặp đỉnh có sự chênh lệch giữa các số thứ tự bằng nhau theo mod n

a) Ta cần chỉ ra cách chia cặp 8 số từ 1 đến 8 sao cho không có hai cặp nào có chênh lệch giống nhau theo mod 4 Cụ thể là, 1, 4, 2,6 , 3, 5 và 7,8 với các chênh lệch là 3

, 4, 2, 1, thỏa mãn đề bài

b) Gỉa sử tồn tại cách ghép cặp a b1, 1 , a b2, 2 , , a b10, 10 cho các số từ 1 đến 20 sao cho không có hai số nào có cùng số dư khi chia cho 10 Suy ra

1 1 2 2 10 10 0 1 9 mod 10

a b a b  a b    

1 1 2 2 10 10 5 mod 10

a b a b  a b 

Do đó tổng a1 b1 a2 b2  a10b10 là số lẻ Chú ý rằng với mọi x y, nguyên thì

x  y có cùng tính chẵn lẻ với x y Kết hợp với kết quả trên, ta suy ra tổng

a b1, 1  a b2, 2 a b10, 10, cũng lẻ Mặt khác, ta lại có

a b1, 1  a b2, 2 a b10, 10   1 2 20 210 là số chẵn Mâu thuẫn nhận được cho ta kết quả cần chứng minh

Bài 12: Xét một thanh gỗ có hai đầu Một con kiến đi từ đầu này đến đầu kia của thanh gỗ thì mất

5phút Khi đi đến một trong hai đầu thì kiến sẽ rơi xuống đất, Bây giờ giả sử trên thanh gỗ đó có 5 con kiến và đi cùng với tốc độ như vậy nhưng về các hướng khác nhau Nếu có hai con kiến nào đi

ngược hướng và đụng đầu nhau thì chúng lập tức quay ngược lại và đi tiếp

(Giả sử rằng kích thước và thời gian quay đầu của các con kiến là không đáng kể)

1 Hãy lý luận để chứng tỏ rằng tất cảcác con kiến thể nào cũng sẽ rơi hết xuống đất

2 Cần tối thiểu bao nhiêu phút để chắc chắn rằng cả 5con kiến đều rơi hết xuống đất? Giải:

1 Đội cho mỗi con kiến một cái mũ và đánh số 5 chiếc mũ đó (chẳng hạn từ 1 đên 5)

Với hai con kiến đi ngược chiều và gặp nhau thay vì chúng đều quay ngược lại thì chúng chỉ đổi mũ cho nhau và tiếp tục đi theo hướng cũ (Thời gian đổi mũ ko đáng kể do thời gian quay đầu ko đáng kể)