CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 9 Các chuyên đề hình học

CÁC D NG BÀI T P THI HSG TOÁN 9 Ạ Ậ QUA CÁC Đ THI H C SINH GI I Ề Ọ Ỏ

D ng 9: Hình h c: ạ ọ

1 Ch ng minh hai đo n th ng, hai góc b ng nhau, trung đi m ứ ạ ẳ ằ ể

A Bài toán (gi nguyên màu) ữ

Bài 1: Cho hình vuông n i ti p đ ng tròn tâm ộ ế ườ , trên dây cung l y đi m ấ ểsao cho , n i ố c t cung nh ắ ỏ t i ạ Trên cung nh ỏ l y đi m ấ ể sao cho cung nh ỏ b ng cung nh ằ ỏ , n i ố c t dây cung ắ t i ạ Ch ng minh ứ

r ng: ằ là trung đi m c a ể ủ

Bài 2: Cho hai đ ng tròn ườ và c t nhau t i ắ ạ , K dây ẻ c a đ ng trònủ ườ

ti p xúc v i ế ớ và dây c a đ ng tròn ủ ườ ti p xúc v i ế ớ Đ ngườtròn ngo i ti p ạ ế c t đ ng th ng ắ ườ ẳ t i ạ Ch ng minh r ngứ ằ

Bài 3: Cho cân t i ạ , đ ng vuông góc v i ườ ớ t i ạ c t đ ngắ ườ

th ng ẳ t i ạ D ng ự vuông góc v i ớ G i ọ là trung đi mể Ch ng minh r ng ứ ằ

Bài 4: T đi m M n m ngoài đ ng tròn tâm (O; R) V hai ti p tuy n MA, MB v iừ ể ằ ườ ẽ ế ế ớ

đ ng tròn (A, B là các ti p đi m), cát tuy n MPQ không đi qua O (P n m gi a M, Q).ườ ế ể ế ằ ữ

G i H là giao đi m c a OM và AB.ọ ể ủ

a Ch ng minh: ứ

b Tìm đi m E thu c cung l n AB sao cho t ng ể ộ ớ ổ có giá tr nh nh t.ị ỏ ấ

Bài 5: Cho n a ử  đ ng tròn ườ (O), đ ng kính AB = ườ  2R L y đi m M b t kỳ trên n aấ ể ấ ử

đ ng tròn (M khác A và B); các ti p tuy n t i A và M c a n a đ ng tròn (O) c t nhauườ ế ế ạ ủ ử ườ ắ

K G i E là giao đi m c a AM và OK

1) Ch ng minh OE.OK không đ i khi M di chuy n trên n a đ ng tròn.ứ ổ ể ử ườ

2) Qua O k đ ng vuông góc v i AB c t BK t i I và c t đ ng th ng BM t i N ẻ ườ ớ ắ ạ ắ ườ ẳ ạ

Bài 6: Cho đi m M thu c n a đ ng tròn (O) đ ng kính AB ể ộ ử ườ ườ Tia phân giác c a ủ c t AB t i C Qua C v đ ng vuông góc v i AB c t đ ngắ ạ ẽ ườ ớ ắ ườ

th ng AM, BM theo th t D, H Ch ng minh CA = CH.ẳ ứ ự ở ứ

Bài 7: Cho tam giác nh n ABC n i ti p đ ng tròn tâm O G i E, F l n l t là chânọ ộ ế ườ ọ ầ ượ

đ ng cao k t C, B c a tam giác ABC D là đi m đ i x ng c a A qua O, M là trungườ ẻ ừ ủ ể ố ứ ủ

đi m BC, H là tr c tâm tam giác ABC.ể ự

a) Ch ng minh r ng M là trung đi m HD.ứ ằ ể

b) G i L là giao đi m th hai c a CE v i đ ng tròn tâm O Ch ng minh r ng H, Lọ ể ứ ủ ớ ườ ứ ằ

đ i x ng nhau qua AB.ố ứ

Bài 8: Cho hình vuông ABCD c nh b ng 4 Trên hai c nh AB và AD l n l t l y hai đi mạ ằ ạ ầ ượ ấ ể

E, F sao cho EC là phân giác góc BEF Trên tia AB l y K sao cho BK=DF Ch ng minh ấ ứ

r ng CK = CF.ằ

Bài 9: Cho tam giác ABC có ba góc nh n AD, BE, CF là các đ ng cao L y M trên đo nọ ườ ấ ạ

FD, l y N trên tia DE sao cho ấ Ch ng minh MA là tia phân giác c a gócứ ủ

Bài 10: Cho tam giác có theo th t là các đ ng tròn ngo i ti p,ứ ự ườ ạ ế

đ ng tròn n i ti p và đ ng tròn bàng ti p đ i di n đ nhườ ộ ế ườ ế ố ệ ỉ c a tam giác v i các tâmủ ớ

t ng ng là ươ ứ G i ọ là ti p đi m c a ế ể ủ v i ớ , là đi m chính gi a cungể ữ

c a ủ , c t ắ t i đi m ạ ể G i ọ là giao đi m c a ể ủ và là đi mể

đ i x ng v i ố ứ ớ qua O Ch ng minh ứ

Bài 11: Cho ba đi m A, B, C c đ nh n m trên m t đ ng th ng d (đi m B n m gi aể ố ị ằ ộ ườ ẳ ể ằ ữ

đi m A và đi m C) V đ ng tròn tâm O thay đ i nh ng luôn đi qua đi m B và đi m Cể ể ẽ ườ ổ ư ể ể(đi m O không thu c đ ng th ng d) K AM và AN là các ti p tuy n v i đ ng trònể ộ ườ ẳ ẻ ế ế ớ ườtâm O (v i M và N là các ti p đi m) Đ ng th ng BC c t MN t i đi m K Đ ng th ngớ ế ể ườ ẳ ắ ạ ể ườ ẳ

AO c t MN t i đi m H và c t đ ng tròn t i các đi m P và đi m Q (P n m gi a A và Q).ắ ạ ể ắ ườ ạ ể ể ằ ữ

G i D là trung đi m c a HQ, t H k đ ng th ng vuông góc v i MD c t đ ng th ng ọ ể ủ ừ ẻ ườ ẳ ớ ắ ườ ẳ

MP t i E Ch ng minh P là trung đi m c a MEạ ứ ể ủ

B L i gi i (gi nguyên màu) ờ ả ữ

Bài 1: Cho hình vuông n i ti p đ ng tròn tâm ộ ế ườ , trên dây cung l y đi m ấ ểsao cho , n i ố c t cung nh ắ ỏ t i ạ Trên cung nh ỏ l y đi m ấ ể sao cho cung nh ỏ b ng cung nh ằ ỏ , n i ố c t dây cung ắ t i ạ Ch ng minh ứ

r ng: ằ là trung đi m c a ể ủ

L i gi i ờ ả

M A,M B,MA MB   

AMB

G i ọ là giao đi m ể và :

Xét

(g.c.g)

210

1

BF CI BC



Bài 2: Cho hai đ ng tròn ườ và c t nhau t i ắ ạ , K dây ẻ c a đ ng trònủ ườ

ti p xúc v i ế ớ và dây c a đ ng tròn ủ ườ ti p xúc v i ế ớ Đ ng ườtròn ngo i ti p ạ ế c t đ ng th ng ắ ườ ẳ t i ạ Ch ng minh r ngứ ằ

L i gi i ờ ả

G i ọ là tâm đ ng tròn ngo i ti p ườ ạ ế

G i ọ theo th t là giao đi m c a ứ ự ể ủ v i ớ và

Bài 3: Cho c ân t i ạ , đ ng vuông góc v i ườ ớ t i ạ c tắ

đ ng th ng ườ ẳ t i ạ D ng ự vuông góc v i ớ G i ọ là trung

t giác ứ n i ti p đ ng tròn đ ng kính ộ ế ườ ườ

(cùng ph v i ụ ớ )

cân t i ạ

Bài 4: T đi m M n m ngoài đ ng tròn tâm (O; R) V hai ti p tuy n MA, MB v iừ ể ằ ườ ẽ ế ế ớ

đ ng tròn (A, B là các ti p đi m), cát tuy n MPQ không đi qua O (P n m gi a M, Q).ườ ế ể ế ằ ữ

G i H là giao đi m c a OM và AB.ọ ể ủ

a) MPA đ ng d ng ồ ạ MAQ (g.g), suy ra MA2 = MP.MQ (1)

MAO vuông t i A, có đ ng cao AH nên MAạ ườ 2 = MH.MO (2)

T (1) và (2) suy ra MP.MQ = MH.MO hay ừ (*)

MPH và MOQ có góc M chung k t h p v i (*) ta suy ra ế ợ ớ MPH đ ng d ng ồ ạ MOQ(c.g.c) suy ra

Do đó t giác PQOH là t giác n i ti pứ ứ ộ ế = (đpcm)

b)

b) Trên tia đ i c a tia EA l y đi m F sao cho EB = EF hay ố ủ ấ ể EBF cân t i E, suy raạ

Đ t ặ khi đó nên F di chuy n trên cung ch a góc ể ứ d ngựtrên BC

Ta có: Nh v y ư ậ nh nh t khi EA + EB l n nh t hay EA + EF ỏ ấ ớ ấ

l n nh tớ ấ AF l n nh t (**)ớ ấ

G i O’ là đi m chính gi a c a cung l n AB, suy ra ọ ể ữ ủ ớ O’AB cân t i O’ suy ra O’A=O’B (3)ạ

O’EF (c.g.c) suy ra O’B = O’F (4)

T (3) và (4) suy ra O’ là tâm cung ch a góc ừ ứ d ng trên đo n th ng BC (cung đó vàự ạ ẳ

P

O A

B Q

cung l n AB cùng thu c m t n a m t ph ng b AB)ớ ộ ộ ử ặ ẳ ờ

Do đó AF l n nh t khi nó là đ ng kính c a (O’) khi Eớ ấ ườ ủ O’ (***)

T (**) và (***) suy ra E là đi m chính gi a cung l n AB thì ừ ể ữ ớ có giá tr nh nh t.ị ỏ ấ

Bài 5: Cho n a ử  đ ng tròn ườ (O), đ ng kính AB = ườ  2R L y đi m M b t kỳ trên n aấ ể ấ ử

đ ng tròn (M khác A và B); các ti p tuy n t i A và M c a n a đ ng tròn (O) c t nhauườ ế ế ạ ủ ử ườ ắ

K G i E là giao đi m c a AM và OK

1) Ch ng minh OE.OK không đ i khi M di chuy n trên n a đ ng tròn.ứ ổ ể ử ườ

2) Qua O k đ ng vuông góc v i AB c t BK t i I và c t đ ng th ng BM t i N ẻ ườ ớ ắ ạ ắ ườ ẳ ạ

D a vào ự OAK vuông t i A ch ra đ c OE.OK = OAạ ỉ ượ 2 = R2 không đ iổ

b) Ch ng minh đ c: OK // BN (ứ ượ AM)

Ch ng minh đ c:ứ ượ AOK = OBN (g.c.g) OK = BN

Suy đ c OBNK là hình bình hành t đó suy đ c: IN = IOượ ừ ượ

c) Ch ng minh đ c ứ ượ AOK đ ng d ng ồ ạ HBM

H O F

OK OE  OK  OE OK  AB OK

FB BK

HB

AB 

T (3) và (4) suy ra ừ EF // OB //AB (đl Ta let)

Bài 6: Cho đi m M thu c n a đ ng tròn (O) đ ng kính AB ể ộ ử ườ ườ Tia phân giác c a ủ c t AB t i C Qua C v đ ng vuông góc v i AB c t đ ngắ ạ ẽ ườ ớ ắ ườ

th ng AM, BM theo th t D, H Ch ng minh CA = CH.ẳ ứ ự ở ứ

Bài 7: Cho tam giác nh n ABC n i ti p đ ng tròn tâm O G i E, F l n l t là chânọ ộ ế ườ ọ ầ ượ

đ ng cao k t C, B c a tam giác ABC D là đi m đ i x ng c a A qua O, M là trungườ ẻ ừ ủ ể ố ứ ủ

đi m BC, H là tr c tâm tam giác ABC.ể ự

a) Ch ng minh r ng M là trung đi m HD.ứ ằ ể

b) G i L là giao đi m th hai c a CE v i đ ng tròn tâm O Ch ng minh r ng H, Lọ ể ứ ủ ớ ườ ứ ằ

đ i x ng nhau qua AB.ố ứ

T (1) và (2) suy ra AE là phân giác ừ (b)

T (a) và (b) suy ra E là trung đi m HL V y H, L đ i x ng qua AB.ừ ể ậ ố ứ

Bài 8: Cho hình vuông ABCD c nh b ng 4 Trên hai c nh AB và AD l n l t l y hai đi mạ ằ ạ ầ ượ ấ ể

E, F sao cho EC là phân giác góc BEF Trên tia AB l y K sao cho BK=DF Ch ng minh ấ ứ

r ng CK = CF.ằ

L i gi i ờ ả

L

K M H

Ta có: CD = CB, DF = BK, nên

Bài 9: Cho tam giác ABC có ba góc nh n AD, BE, CF là các đ ng cao L y M trên đo nọ ườ ấ ạ

FD, l y N trên tia DE sao cho ấ Ch ng minh MA là tia phân giác c a gócứ ủ

A

D

E F

M

N

H

C D

V y: MA là phân giác c a góc ậ ủ

Bài 10: Cho tam giác có theo th t là các đ ng tròn ngo i ti p,ứ ự ườ ạ ế

đ ng tròn n i ti p và đ ng tròn bàng ti p đ i di n đ nhườ ộ ế ườ ế ố ệ ỉ c a tam giác v i các tâmủ ớ

t ng ng là ươ ứ G i ọ là ti p đi m c a ế ể ủ v i ớ , là đi m chính gi a cungể ữ

c a ủ , c t ắ t i đi m ạ ể G i ọ là giao đi m c a ể ủ và là đi mể

đ i x ng v i ố ứ ớ qua O Ch ng minh ứ

Gi i: ả

G i ọ F là ti p đi m c a đ ng tròn ế ể ủ ườ (I) v i ớ AB.

Bài 11: Cho ba đi m A, B, C c đ nh n m trên m t đ ng th ng d (đi m B n m gi aể ố ị ằ ộ ườ ẳ ể ằ ữ

đi m A và đi m C) V đ ng tròn tâm O thay đ i nh ng luôn đi qua đi m B và đi m Cể ể ẽ ườ ổ ư ể ể(đi m O không thu c đ ng th ng d) K AM và AN là các ti p tuy n v i đ ng trònể ộ ườ ẳ ẻ ế ế ớ ườtâm O (v i M và N là các ti p đi m) Đ ng th ng BC c t MN t i đi m K Đ ng th ngớ ế ể ườ ẳ ắ ạ ể ườ ẳ

AO c t MN t i đi m H và c t đ ng tròn t i các đi m P và đi m Q (P n m gi a A và Q).ắ ạ ể ắ ườ ạ ể ể ằ ữ

G i D là trung đi m c a HQ, t H k đ ng th ng vuông góc v i MD c t đ ng th ngọ ể ủ ừ ẻ ườ ẳ ớ ắ ườ ẳ

MP t i E Ch ng minh P là trung đi m c a ME.ạ ứ ể ủ

Gi i: ả

Ta có: MHE đ ng d ng ồ ạ QDM (g.g)

PMH đ ng d ng ồ ạ MQH (g.g)

ME = 2 MP P là trung đi m ME.ể

2 Ch ng minh quan h vuông góc, quan h song song, ba đi m th ng hàng ứ ệ ệ ể ẳ

P

D F

D H

K

Q P

A Bài toán (gi nguyên màu) ữ

Bài 1: Cho tam giác vuông t i ạ G i ọ là giao đi m các ể

đ ng phân giác trong c a tam giác ườ ủ là trung đi m c a c nh ể ủ ạ Ch ng minh ứ

r ng đ ng th ng ằ ườ ẳ BI vuông góc v i đ ng th ng ớ ườ ẳ MI

Bài 2: Đ có đ c t gi y kh A4 (kích th c x p xể ượ ờ ấ ổ ướ ấ ỉ

B n An ng i ngh ch x p t gi y A4 này theo đ ng th ng ạ ồ ị ế ờ ấ ườ ẳ , r i x p theo ồ ế

đ ng th ng ườ ẳ ( là trung đi m ể ) khi m t gi y ra An ng c nhiên th yở ờ ấ ạ ấhai đ ng th ng ườ ẳ và vuông góc v i nhau Em hãy ch ng minh giúp b nớ ứ ạ

An v đi u đó.ẽ ề

Bài 3: Cho tam giác ABC nh n ( BA < BC) n i ti p trong đ ng tròn ọ ộ ế ườ V đ ng trònẽ ườ

đi qua A và C sao cho c t các tia đ i c a tia AB và CB l n l t t i các đi m thắ ố ủ ầ ượ ạ ể ứhai là D và E G i M là giao đi m th hai c a đ ng tròn ọ ể ứ ủ ườ và đ ng tròn ngo i ti pườ ạ ếtam giác BDE Ch ng minh QM vuông góc BM.ứ

Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nh n n i ti p trong đ ng tròn tâm I G i H là tr c ọ ộ ế ườ ọ ự

tâm c a tam giác ABC Hai đ ng th ng BH, CH c t đ ng tròn (I) l n l t t i haiủ ườ ẳ ắ ườ ầ ượ ạ

đi m P và Q (P khác B và Q khác C).ể

a) Ch ng minh IA ứ ⊥ PQ

b) Trên hai đo n HB và HC l n l t l y hai đi m M, N sao cho AM ạ ầ ượ ấ ể ⊥ MC, AN ⊥ NB

Ch ng minh ∆ AMN cânứ

Bài 5: Cho A là đi m c đ nh n m ngoài để ố ị ằ ường tròn (O) T ừ A k ti p tuy n ẻ ế ế AP và AQ

t i đ ng tròn (ớ ườ P và Q là các ti p đi m) Đ ng th ng đi qua ế ể ườ ẳ O và vuông góc v i ớ OP c tắ

đ ng th ng ườ ẳ OQ t i ạ M.

1/ Ch ng minh r ng: ứ ằ MO = MA

2/ L y đi m ấ ể N trên cung l n ớ PQ c a đ ng tròn (ủ ườ O) sao cho ti p tuy n v i (ế ế ớ O) t iạ

N c t các tia ắ AP, AQ l n l t t i ầ ượ ạ B và C Ch ng minh r ng:ứ ằ

a) không ph thu c vào v trí c a đi m ụ ộ ị ủ ể N.

b) N u t giác ế ứ BCQP n i ti p đ c trong m t đ ng tròn thì ộ ế ượ ộ ườ PQ//BC

Bài 6: Cho tam giác nh n ABC có AB > AC G i M là trung đi m c a BC; H là tr c tâm; ọ ọ ể ủ ự

AD, BE, CF là các đ ng cao c a tam giác ABC Kí hi u (Cườ ủ ệ 1) và (C2) l n l t là đ ng trònầ ượ ườngo i ti p tam giác AEF và DKE, v i K là giao đi m c a EF và BC Ch ng minh r ng: ạ ế ớ ể ủ ứ ằ1) ME là ti p tuy n chung c a (Cế ế ủ 1) và (C2)

ABC A,AB 12cm,AC 16cm.  I

b) Khi , xác đ nh v trí c a đi m M đ ị ị ủ ể ể đ t giá tr nh nh t ạ ị ỏ ấ

Bài 8: Cho đ ng tròn (C ) v i tâm O và đ ng kính AB c đ nh G i M là đi m di đ ngườ ớ ườ ố ị ọ ể ộtrên (C ) sao cho M không trùng v i các đi m A và B L y C là đi m đ i x ng c a O quaớ ể ấ ể ố ứ ủ

A Đ ng th ng vuông góc v i AB t i C c t đ ng th ng AM t i N Đ ng th ng BN c tườ ẳ ớ ạ ắ ườ ẳ ạ ườ ẳ ắ

đ ng tròn (C ) t i đi m th hai là E Các đ ng th ng BM và CN c t nhau t i F.ườ ạ ể ứ ườ ẳ ắ ạ

a) Ch ng minh r ng các đi m A, E, F th ng hàng.ứ ằ ể ẳ

b) Ch ng minh r ng tích AMứ ằ AN không đ i.ổ

c) Ch ng minh r ng A là tr ng tâm c a tam giác BNF khi và ch khi NF ng n nh t.ứ ằ ọ ủ ỉ ắ ấ

Bài 9: Cho n a đ ng tròn tâm O đ ng kính AB ử ườ ườ M t đi m C c đ nh thu c đo n th ngộ ể ố ị ộ ạ ẳ

AO (C khác A và C khác O) Đ ng th ng đi qua C và vuông góc v i AO c t n a đ ngườ ẳ ớ ắ ử ườtròn đã cho t i D Trên cung BD l y đi m M (M khác B và M khác D) Ti p tuy n c a n aạ ấ ể ế ế ủ ử

đ ng tròn đã cho t i M c t đ ng th ng CD t i E G i F là giao đi m c a AM và CD ườ ạ ắ ườ ẳ ạ ọ ể ủ

1 Ch ng minh tam giác EMF là tam giác cân.ứ

2 G i I là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác FDM ọ ườ ạ ế Ch ng minh ba đi m D, I, Bứ ể

th ng hàng.ẳ

3 Ch ng minh góc ABI có s đo không đ i khi M di chuy n trên cung BDứ ố ổ ể

Bài 10: Cho tam giác nh n ọ ABC (AB<AC) n i ti p trong đ ng tròn ộ ế ườ (O) và có tr c tâm làự

H G i ọ D, E, F l n l t là các chân đ ng cao v t ầ ượ ườ ẽ ừ A, B, C c a tam giác ủ ABC.

a) G i ọ K là giao đi m c a hai đ ng th ng ể ủ ườ ẳ EF và BC, g i ọ L là giao đi m c a đ ngể ủ ườ

th ng ẳ AK và đ ng tròn ườ (O) (L khác A) Ch ng minh ứ HL vuông góc v i ớ AK.

b) L y đi m ấ ể M thu c cung nh ộ ỏ BC c a đ ng tròn ủ ườ (O) (M khác B, C) G i ọ N và P l nầ

l t là hai đi m đ i x ng c a đi m ượ ể ố ứ ủ ể M qua hai đ ng th ng ườ ẳ AB và AC Ch ng minh baứ

đi m ể N, H, P th ng hàng.ẳ

Bài 11: Cho đo n th ng AB và đi m E n m gi a đi m A và đi m B sao cho AE < BE V ạ ẳ ể ằ ữ ể ể ẽ

đ ng tròn ườ đ ng kính AE và đ ng trònườ ườ đ ng kính BE V ti p tuy n ườ ẽ ế ếchung ngoài MN c a hai đ ng tròn v i M là ti p đi m thu c ủ ườ ớ ế ể ộ và N là ti p đi m ế ểthu c ộ G i F là giao đi m c a các đ ng th ng AM và BN Ch ng minh r ng ọ ể ủ ườ ẳ ứ ằ

đ ng th ng EF vuông góc v i đ ng th ng AB.ườ ẳ ớ ườ ẳ

Bài 12: Cho đi m M thu c n a đ ng tròn (O) đ ng kính AB ể ộ ử ườ ườ Tia phân giác c a ủ c t AB t i C Qua C v đ ng vuông góc v i AB c t đ ngắ ạ ẽ ườ ớ ắ ườ

th ng AM, BM theo th t D, H G i E là hình chi u vuông góc c a H trên ti p tuy nẳ ứ ự ở ọ ế ủ ế ế

t i A c a (O), F là hình chi u vuông góc c a D trên ti p tuy n t i B c a (O) Ch ng minhạ ủ ế ủ ế ế ạ ủ ứ

E, M, F th ng hàng.ẳ

Bài 13: Cho tam giác nh n ABC n i ti p đ ng tròn tâm O G i E, F l n l t là chânọ ộ ế ườ ọ ầ ượ

đ ng cao k t C, B c a tam giác ABC Ch ng minh r ng EF vuông góc v i AO.ườ ẻ ừ ủ ứ ằ ớ

Bài 14: Cho hình thang vuông ABCD ( ), có DC = 2AB K DH vuông góc v iẻ ớ

AC (H , g i N là trung đi m c a CH Ch ng minh BN vuông góc v i DN.ọ ể ủ ứ ớ

Bài 15: Cho tam giác nh n ABC (AB < AC < BC) n i ti p trong đ ng tròn (O) G i H làọ ộ ế ườ ọgiao đi m c a hai đ ng cao BD và CE c a tam giác ABC ể ủ ườ ủ G i I là đi mọ ể

đ i x ng v i A qua O và J là trung đi m c a BC Ch ng minh r ng ba đi m H, J, I th ngố ứ ớ ể ủ ứ ằ ể ẳhàng

Bài 16: Cho đi m M n m trên n a đ ng tròn tâm O đ ng kính AB = 2R (M khôngể ằ ử ườ ườtrùng v i A và B) Trong n a m t ph ng ch a n a đ ng tròn có b là đ ng th ng AB,ớ ử ặ ẳ ứ ử ườ ờ ườ ẳ

k ti p tuy n Ax Đ ng th ng BM c t Ax t i I; tia phân giác c a ẻ ế ế ườ ẳ ắ ạ ủ c t n a đ ngắ ử ườtròn O t i E, c t IB t i F; đ ng th ng BE c t AI t i H, c t AM t i K Ch ng minhạ ắ ạ ườ ẳ ắ ạ ắ ạ ứ

Bài 17: Cho đ ng tròn tâm O đ ng kính AB; E là m t đi m b t kì thu c đ ng kínhườ ườ ộ ể ấ ộ ườ

AB (E khác A và B) V đ ng tròn (O’) đ ng kính EB, qua trung đi m H c a AE v dâyẽ ườ ườ ể ủ ẽcung CD c a đ ng tròn (O) và vuông góc v i AE, BC c t đ ng tròn (O’) t i I Ch ngủ ườ ớ ắ ườ ạ ứminh r ng: ằ

a) Ba đi m I, E, D th ng hàng ể ẳ

b) HI là ti p tuy n c a đ ng tròn (O’).ế ế ủ ườ

Bài 18: Cho đ ng tròn tâm O có hai đ ng kính AB và MN V ti p tuy n d c a đ ng ườ ườ ẽ ế ế ủ ườtròn (O) t i B Đ ng th ng AM, AN l n l t c t đ ng th ng d t i E và F G i K là ạ ườ ẳ ầ ượ ắ ườ ẳ ạ ọtrung đi m c a FE Ch ng minh r ng AK vuông góc v i MN.ể ủ ứ ằ ớ

Bài 19: Cho tam giác nh n ABC có tr c t p H G i M, N l n l t là chân đ ng cao v t ọ ự ậ ọ ầ ượ ườ ẽ ừ

B và C c a tam giác ABC G i D là đi m thu c c nh BC (D khác B và C), E là giao đi m ủ ọ ể ộ ạ ể

c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác CDM và đ ng tròn ngo i ti p ta giác BDN (E khác ủ ườ ạ ế ườ ạ ếD) Ch ng minh ba đi m A, E, D th ng hàng.ứ ể ẳ

Bài 20: Cho tam giác ABC n i ti p đ ng trònộ ế ườ , là đi m chính gi a c a cung ể ữ ủkhông ch a đi m ứ ể V đ ng tròn ẽ ườ đi qua và ti p xúc v i ế ớ t i ạ , v đ ng ẽ ườtròn đi qua và ti p xúc v i ế ớ t i ạ G i ọ là giao đi m th hai c a đ ng trònể ứ ủ ườ

Bài 22: Cho tam giác có ba góc nh n n i ti p đ ng tròn ọ ộ ế ườ Gi s các đi mả ử ể

c đ nh và ố ị di đ ng trên đ ng tròn ộ ườ sao cho và Đ ngườtrung tr c c a đo n th ng ự ủ ạ ẳ c t ắ và l n l t t i ầ ượ ạ và Đ ng trung tr c c aườ ự ủ

đo n th ng ạ ẳ c t ắ và l n l t t i ầ ượ ạ và

Gi s hai đ ng tròn ngo i ti p tam giác ả ử ườ ạ ế và c t nhau t i ắ ạ và Ch ngứminh ba đi m ể th ng hàng.ẳ

Bài 23: Cho tam giác cân t i ạ n i ti p đ ng tròn ộ ế ườ bán kính

là đi m n m trên c nh ể ằ ạ G i ọ là giao đi m c a ể ủ và đ ng trònườ( khác ), đi m ể là trung đi m đo n th ng ể ạ ẳ G i ọ là đi m chính gi a cungể ữ

l n ớ , c t ắ t i ạ G i ọ là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ườ ạ ế Ch ngứminh r ng ba đi m ằ ể , , th ng hàng.ẳ

Bài 24: Cho đ ng tròn tâm O, đ ng kính BC c đ nh và m t đi m A chuy n đ ng trênườ ườ ố ị ộ ể ể ộ

n a đ ng tròn (A khác B và C) H AH vuông góc v i BC (H thu c BC) Trên n a m tử ườ ạ ớ ộ ử ặ

ph ng b BC ch a A d ng hai n a đ ng tròn tâm P đ ng kính HB và tâm Q đ ngẳ ờ ứ ự ử ườ ườ ườkính HC, chúng l n l t c t AB và AC t i E và F G i I và K l n l t là hai đi m đ iầ ượ ắ ạ ọ ầ ượ ể ố

x ng v i H qua AB và AC Ch ng minh r ng ba đi m I, A, K th ng hàng.ứ ớ ứ ằ ể ẳ

Bài 25: Cho n a đ ng tròn (O;R) đ ng kính AB Trên n a m t ph ng b AB có ch aử ườ ườ ử ặ ẳ ờ ứ

n a đ ng tròn v ti p tuy n Ax v i n a đ ng tròn, trên Ax l y M sao cho AM > R Tử ườ ẽ ế ế ớ ử ườ ấ ừ

M v ti p tuy n MC v i n a đ ng tròn, t C v CH vuông góc v i AB, CE vuông gócẽ ế ế ớ ử ườ ừ ẽ ớ

v i AM Đ ng th ng vuông góc v i AB t i O c t BC t i N Đ ng th ng MO c t CE,ớ ườ ẳ ớ ạ ắ ạ ườ ẳ ắ

CA, CH l n l t t i Q, K, P.ầ ượ ạ

a MB c t CH t i I Ch ng minh KI song song v i ABắ ạ ứ ớ

b G i G và F l n l t là trung đi m c a AH và AE Ch ng minh PG vuông góc v iọ ầ ượ ể ủ ứ ớ

QF

Bài 26: Cho hình vuông ABCD có c nh bạ ằng a N là đi m tùy ý thu c c nh AB G i E làể ộ ạ ọgiao đi m c a CN và DA V tia Cx vuông góc v i CE và c t AB t i F L y M là trungể ủ ẽ ớ ắ ạ ấ

đi m c a EF Ch ng minh: CM vuông góc v i EF ể ủ ứ ớ

Bài 27: Cho hình vuông ABCD có c nh bạ ằng a N là đi m tùy ý thu c c nh AB G i E làể ộ ạ ọgiao đi m c a CN và DA V tia Cx vuông góc v i CE và c t AB t i F L y M là trungể ủ ẽ ớ ắ ạ ấ

đi m c a EF Ch ng minh: NB.DE = aể ủ ứ 2 và B, D, M th ng hàng.ẳ

B L i gi i ờ ả

Bài 1: Cho tam giác vuông t i ạ G i ọ là giao đi m các ể

đ ng phân giác trong c a tam giác ườ ủ là trung đi m c a c nh ể ủ ạ Ch ng minh ứ

r ng đ ng th ng ằ ườ ẳ BI vuông góc v i đ ng th ng ớ ườ ẳ MI

L i gi i ờ ả

Ta có G i ọ E là giao đi m c a ể ủ BI v i ớ AC.

Theo tính ch t đ ng phân giác ta có: ấ ườ

Suy ra:

Bài 2: Đ có đ c t gi y kh A4 (kích th c x p xể ượ ờ ấ ổ ướ ấ ỉ

gi y A4 thông d ng hi n nay.ấ ụ ệ

B n An ng i ngh ch x p t gi y A4 nàyạ ồ ị ế ờ ấtheo đ ng th ng ườ ẳ , r i x p theoồ ế

khi m t gi y ra An ng c nhiên th yở ờ ấ ạ ấhai đ ng th ng ườ ẳ và vuông góc

v i nhau Em hãy ch ng minh giúp b nớ ứ ạ

IEC IMC  IEA IMB

IBM IBA  IBM ,ABE

Mà ( , thu c đ ng tròn tâm ộ ườ )

.Xét vuông t i ạ

Bài 3: Cho tam giác ABC nh n ( BA < BC) n i ti p trong đ ng tròn ọ ộ ế ườ V đ ng trònẽ ườ

đi qua A và C sao cho c t các tia đ i c a tia AB và CB l n l t t i các đi m thắ ố ủ ầ ượ ạ ể ứhai là D và E G i M là giao đi m th hai c a đ ng tròn ọ ể ứ ủ ườ và đ ng tròn ngo i ti pườ ạ ếtam giác BDE Ch ng minh QM vuông góc BM.ứ

L i gi i ờ ả

V tia ti p tuy n Bxẽ ế ế

nh hình v , g i I làư ẽ ọ

tâm đ ng tròn ngo iườ ạ

ti p tam giác BDE, ta cóế

( cùng

ch n cung CB )ắ

( t giácứACED n i ti p)ộ ế

Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nh n n i ti p trong đ ng tròn tâm I G i H là tr c ọ ộ ế ườ ọ ự

tâm c a tam giác ABC Hai đ ng th ng BH, CH c t đ ng tròn (I) l n l t t i haiủ ườ ẳ ắ ườ ầ ượ ạ

đi m P và Q (P khác B và Q khác C).ể

c) Ch ng minh IA ứ ⊥ PQ

d) Trên hai đo n HB và HC l n l t l y hai đi m M, N sao cho AM ạ ầ ượ ấ ể ⊥ MC, AN ⊥ NB

Ch ng minh ∆ AMN cânứ

L i có: ạ (g – g)

Bài 5: Cho A là đi m c đ nh n m ngoài để ố ị ằ ường tròn (O) T ừ A k ti p tuy n ẻ ế ế AP và AQ

t i đ ng tròn (ớ ườ P và Q là các ti p đi m) Đ ng th ng đi qua ế ể ườ ẳ O và vuông góc v i ớ OP c tắ

đ ng th ng ườ ẳ OQ t i ạ M.

1/ Ch ng minh r ng: ứ ằ MO = MA

2/ L y đi m ấ ể N trên cung l n ớ PQ c a đ ng tròn (ủ ườ O) sao cho ti p tuy n v i (ế ế ớ O) t iạ

N c t các tia ắ AP, AQ l n l t t i ầ ượ ạ B và C Ch ng minh r ng:ứ ằ

a) không ph thu c vào v trí c a đi m ụ ộ ị ủ ể N.

b) N u t giác ế ứ BCQP n i ti p đ c trong m t đ ng tròn thì ộ ế ượ ộ ườ PQ//BC

L i gi i ờ ả

1/ Ch ng minh r ng: ứ ằ MO = MA

A1 = O1 và A1 = A2  A2 = O1 MAO cân  MO = MA

2/ L y đi m ấ ể N trên cung l n ớ PQ c a đ ng tròn (ủ ườ O) sao cho ti p tuy n v i (ế ế ớ O) t iạ

N c t các tia ắ AP, AQ l n l t t i ầ ượ ạ B và C Ch ng minh r ng:ứ ằ

a) không ph thu c vào v trí c a đi m ụ ộ ị ủ ể N.

Theo t/c hai tia ti p tuy n ta có … ế ế  AB + AC - BC = … = 2.AP (không đ i)ổ

b) N u t giác ế ứ BCQP n i ti p đ c trong m t đ ng tròn thì ộ ế ượ ộ ườ PQ//BC

N u t giác ế ứ BCQP n i ti p đ c ộ ế ượ  P1 = C1

mà P1 = Q1  C1 = Q1  PQ//BC

Bài 6: Cho tam giác nh n ABC có AB > AC G i M là trung đi m c a BC; H là tr c tâm; ọ ọ ể ủ ự

AD, BE, CF là các đ ng cao c a tam giác ABC Kí hi u (Cườ ủ ệ 1) và (C2) l n l t là đ ng trònầ ượ ườngo i ti p tam giác AEF và DKE, v i K là giao đi m c a EF và BC Ch ng minh r ng: ạ ế ớ ể ủ ứ ằ1) ME là ti p tuy n chung c a (Cế ế ủ 1) và (C2)

L i gi i ờ ả

(Đ i đi m Cổ ể 1 thành C’, C2 thành C’’ cho d đánh máy và v hình)ể ẽ

1) Ta có nên t giác AEHF n i ti p m t đ ng tròn tâm chính là ứ ộ ế ộ ườ(C1) là trung đi m AHể

A

Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nh n n i ti p đ ng tròn (O), H là tr c tâm c a tamọ ộ ế ườ ự ủgiác G i M là m t đi m trên cung BC không ch a đi m A (M không trùng v i B và C).ọ ộ ể ứ ể ớ

G i N và P l n l t là đi m đ i x ng c a M qua các đ ng th ng AB và AC.ọ ầ ượ ể ố ứ ủ ườ ẳ

O

C B

A Đ ng th ng vuông góc v i AB t i C c t đ ng th ng AM t i N Đ ng th ng BN c tườ ẳ ớ ạ ắ ườ ẳ ạ ườ ẳ ắ

đ ng tròn (C ) t i đi m th hai là E Các đ ng th ng BM và CN c t nhau t i F.ườ ạ ể ứ ườ ẳ ắ ạ

a) Ch ng minh r ng các đi m A, E, F th ng hàng.ứ ằ ể ẳ

b) Ch ng minh r ng tích AMứ ằ AN không đ i.ổ

c) Ch ng minh r ng A là tr ng tâm c a tam giác BNF khi và ch khi NF ng n nh t.ứ ằ ọ ủ ỉ ắ ấ

M

C J

b) , nên hai tam giác ACN và AMB đ ng d ng.ồ ạ

Suy ra:

c) Ta có nên A là trong tâm tam giác BNF  C là trung đi m NF (3)ể

M t khác: ặ , nên hai tam giác CNA và CBF đ ng d ngồ ạ

không đ iổNên: NF ng n nh t ắ ấ  CN =CF  C là trung đi m NF (4)ể

(3) và (4) cho ta: A là trong tâm tam giác BNF  NF ng n nh tắ ấ

Bài 9: Cho n a đ ng tròn tâm O đ ng kính AB ử ườ ườ M t đi m C c đ nh thu c đo n th ngộ ể ố ị ộ ạ ẳ

AO (C khác A và C khác O) Đ ng th ng đi qua C và vuông góc v i AO c t n a đ ngườ ẳ ớ ắ ử ườtròn đã cho t i D Trên cung BD l y đi m M (M khác B và M khác D) Ti p tuy n c a n aạ ấ ể ế ế ủ ử

đ ng tròn đã cho t i M c t đ ng th ng CD t i E G i F là giao đi m c a AM và CD ườ ạ ắ ườ ẳ ạ ọ ể ủ

1 Ch ng minh tam giác EMF là tam giác cân.ứ

2 G i I là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác FDM ọ ườ ạ ế Ch ng minh ba đi m D, I, Bứ ể

H F

Suy ra BCFM là t giác n i ti p ứ ộ ế (vì cùng bù v i ớ ).

M t khác ặ (góc n i ti p; góc t o b i ti p tuy n và dây cung cùng ch nộ ế ạ ở ế ế ắ

Suy ra tam giác EMF là tam giác cân t i E.ạ

(Có th nh n ra ngay ể ậ nên suy ra EMF cân)

2) G H là trung đi m c a DF Suy ra ọị ể ủ và

Trong đ ng tròn ườ ta có: và l n l t là góc n i ti p và góc tâm cùng ch n ầ ượ ộ ế ở ắ

Do đó góc ABI có s đo không đ i khi M thay đ i trên cung BD.ố ổ ổ

Bài 10: Cho tam giác nh n ọ ABC (AB<AC) n i ti p trong đ ng tròn ộ ế ườ (O) và có tr c tâm làự

H G i ọ D, E, F l n l t là các chân đ ng cao v t ầ ượ ườ ẽ ừ A, B, C c a tam giác ủ ABC.

a) G i ọ K là giao đi m c a hai đ ng th ng ể ủ ườ ẳ EF và BC, g i ọ L là giao đi m c a đ ngể ủ ườ

th ng ẳ AK và đ ng tròn ườ (O) (L khác A) Ch ng minh ứ HL vuông góc v i ớ AK.

b) L y đi m ấ ể M thu c cung nh ộ ỏ BC c a đ ng tròn ủ ườ (O) (M khác B, C) G i ọ N và P l nầ

l t là hai đi m đ i x ng c a đi m ượ ể ố ứ ủ ể M qua hai đ ng th ng ườ ẳ AB và AC Ch ng minh baứ

2 AD

Do đó 4 đi m ể A, L, F, E cùng n m trên đ ng tròn.ằ ườ

Mà A, E, F n m trên đ ng tròn đ ng kính ằ ườ ườ AH nên L cũng n m trên đ ng tròn đ ngằ ườ ườ

kính AH V y ậ HL vuông góc v i ớ AK.

b)

+ Ta có:

O A

H D F

E

K L

+ T giác ứ DHEC n i ti p nên ộ ế Suy ra

Do đó t giác ứ AHBN n i ti p trong đ ng tròn.ộ ế ườ

Bài 11: Cho đo n th ng AB và đi m E n m gi a đi m A và đi m B sao cho AE < BE V ạ ẳ ể ằ ữ ể ể ẽ

đ ng tròn ườ đ ng kính AE và đ ng trònườ ườ đ ng kính BE V ti p tuy n ườ ẽ ế ếchung ngoài MN c a hai đ ng tròn v i M là ti p đi m thu c ủ ườ ớ ế ể ộ và N là ti p đi m ế ểthu c ộ G i F là giao đi m c a các đ ng th ng AM và BN Ch ng minh r ng ọ ể ủ ườ ẳ ứ ằ

đ ng th ng EF vuông góc v i đ ng th ng AB.ườ ẳ ớ ườ ẳ

O

F

O2 O1

th ng AM, BM theo th t D, H G i E là hình chi u vuông góc c a H trên ti p tuy nẳ ứ ự ở ọ ế ủ ế ế

t i A c a (O), F là hình chi u vuông góc c a D trên ti p tuy n t i B c a (O) Ch ng minhạ ủ ế ủ ế ế ạ ủ ứ

1MEF O EM 90

M A,M B,MA MB   

AMB

Xét vuông t i Mạ

Ch ng minh t ng t ta có ứ ươ ự

Bài 13: Cho tam giác nh n ABC n i ti p đ ng tròn tâm O G i E, F l n l t là chânọ ộ ế ườ ọ ầ ượ

đ ng cao k t C, B c a tam giác ABC Ch ng minh r ng EF vuông góc v i AO.ườ ẻ ừ ủ ứ ằ ớ

L i gi i ờ ả

K ti p tuy n t A c a đ ng tròn tâm (O) suy ra AT ẻ ế ế ừ ủ ườ AO (1)

(góc n i ti p và góc t o b i ti p tuy n và dây cung)ộ ế ạ ở ế ế

T giác EFCB n i ti p ứ ộ ế

T (1) và (2) suy ra EF vuông góc v i AO.ừ ớ

Bài 14: Cho hình thang vuông ABCD ( ), có DC = 2AB K DH vuông góc v iẻ ớ

AC (H , g i N là trung đi m c a CH Ch ng minh BN vuông góc v i DN.ọ ể ủ ứ ớ

Ta có IB  AB; CH  AB (CE  AB) suy ra IB // CH

IC  AC; BH  AC (BD  AC) suy ra BH // IC

Nh v y t giác BHCI là hình bình hành, mà J là trung đi m c a BC (GT)ư ậ ứ ể ủ

 J trung đi m IH.ể

Bài 16: Cho đi m M n m trên n a đ ng tròn tâm O đ ng kính AB = 2R (M khôngể ằ ử ườ ườtrùng v i A và B) Trong n a m t ph ng ch a n a đ ng tròn có b là đ ng th ng AB,ớ ử ặ ẳ ứ ử ườ ờ ườ ẳ

k ti p tuy n Ax Đ ng th ng BM c t Ax t i I; tia phân giác c a ẻ ế ế ườ ẳ ắ ạ ủ c t n a đ ngắ ử ườtròn O t i E, c t IB t i F; đ ng th ng BE c t AI t i H, c t AM t i K Ch ng minhạ ắ ạ ườ ẳ ắ ạ ắ ạ ứ

L i gi i ờ ả

I F

T (2) và (3) ta có ừ AKFH là hình bình hành nên HF // AK Mà suy ra

Bài 17: Cho đ ng tròn tâm O đ ng kính AB; E là m t đi m b t kì thu c đ ng kínhườ ườ ộ ể ấ ộ ườ

AB (E khác A và B) V đ ng tròn (O’) đ ng kính EB, qua trung đi m H c a AE v dâyẽ ườ ườ ể ủ ẽcung CD c a đ ng tròn (O) và vuông góc v i AE, BC c t đ ng tròn (O’) t i I Ch ngủ ườ ớ ắ ườ ạ ứminh r ng: ằ

a) T giác ACED là hình thoi (ứ vì hai đ ng chéo vuông góc ườ

và c t nhau t i trung đi m ắ ạ ể ) => AC // DE

Do đó: , suy ra HI là ti p tuy n c a (O’)ế ế ủ

Bài 18: Cho đ ng tròn tâm O có hai đ ng kính AB và MN V ti p tuy n d c a đ ng ườ ườ ẽ ế ế ủ ườtròn (O) t i B Đ ng th ng AM, AN l n l t c t đ ng th ng d t i E và F G i K là ạ ườ ẳ ầ ượ ắ ườ ẳ ạ ọtrung đi m c a FE Ch ng minh r ng AK vuông góc v i MN.ể ủ ứ ằ ớ

L i gi i ờ ả

Tam giác ABE vuông t i B và BM vuông ạ

góc v i AEớ

Nên ta có AM.AE = AB²

T ng t AN.AF = AB²ươ ự

Suy ra AM.AE = AN.AF

O E

D

C

B A

AM AF

AN AE

MAN

Bài 19: Cho tam giác nh n ABC có tr c t p H G i M, N l n l t là chân đ ng cao v tọ ự ậ ọ ầ ượ ườ ẽ ừ

B và C c a tam giác ABC G i D là đi m thu c c nh BC (D khác B và C), E là giao đi mủ ọ ể ộ ạ ể

c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác CDM và đ ng tròn ngo i ti p ta giác BDN (E khácủ ườ ạ ế ườ ạ ếD) Ch ng minh ba đi m A, E, D th ng hàng.ứ ể ẳ

là tr c tâm c a tam giác ự ủ

Suy ra đi u ph i ch ng minh.ề ả ứ

M O A

D

E x

C B

AGM

 AD AM MI AG AD MI H

H

Bài 22: Cho tam giác có ba góc nh n n i ti p đ ng tròn ọ ộ ế ườ Gi s các đi mả ử ể

c đ nh và ố ị di đ ng trên đ ng tròn ộ ườ sao cho và Đ ngườtrung tr c c a đo n th ng ự ủ ạ ẳ c t ắ và l n l t t i ầ ượ ạ và Đ ng trung tr c c aườ ự ủ

Bài 23: Cho tam giác cân t i ạ n i ti p đ ng tròn ộ ế ườ bán kính

là đi m n m trên c nh ể ằ ạ G i ọ là giao đi m c a ể ủ và đ ng trònườ( khác ), đi m ể là trung đi m đo n th ng ể ạ ẳ G i ọ là đi m chính gi a cungể ữ

l n ớ , c t ắ t i ạ G i ọ là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ườ ạ ế Ch ngứminh r ng ba đi m ằ ể , , th ng hàng.ẳ

, , th ng hàng (đpcm)ẳ

Bài 24: Cho đ ng tròn tâm O, đ ng kính BC c đ nh và m t đi m A chuy n đ ng trênườ ườ ố ị ộ ể ể ộ

n a đ ng tròn (A khác B và C) H AH vuông góc v i BC (H thu c BC) Trên n a m tử ườ ạ ớ ộ ử ặ

ph ng b BC ch a A d ng hai n a đ ng tròn tâm P đ ng kính HB và tâm Q đ ngẳ ờ ứ ự ử ườ ườ ườkính HC, chúng l n l t c t AB và AC t i E và F G i I và K l n l t là hai đi m đ iầ ượ ắ ạ ọ ầ ượ ể ố

x ng v i H qua AB và AC Ch ng minh r ng ba đi m I, A, K th ng hàng.ứ ớ ứ ằ ể ẳ

Bài 25: Cho n a đ ng tròn (O;R) đ ng kính AB Trên n a m t ph ng b AB có ch aử ườ ườ ử ặ ẳ ờ ứ

n a đ ng tròn v ti p tuy n Ax v i n a đ ng tròn, trên Ax l y M sao cho AM > R Tử ườ ẽ ế ế ớ ử ườ ấ ừ

M v ti p tuy n MC v i n a đ ng tròn, t C v CH vuông góc v i AB, CE vuông gócẽ ế ế ớ ử ườ ừ ẽ ớ

v i AM Đ ng th ng vuông góc v i AB t i O c t BC t i N Đ ng th ng MO c t CE,ớ ườ ẳ ớ ạ ắ ạ ườ ẳ ắ

CA, CH l n l t t i Q, K, P.ầ ượ ạ

a MB c t CH t i I Ch ng minh KI song song v i ABắ ạ ứ ớ

b G i G và F l n l t là trung đi m c a AH và AE Ch ng minh PG vuông góc v iọ ầ ượ ể ủ ứ ớ

-Ch ng minh O là tr c tâm tam giác GIP ư ụ

Bài 26: Cho hình vuông ABCD có c nh bạ ằng a N là đi m tùy ý thu c c nh AB G i E làể ộ ạ ọgiao đi m c a CN và DA V tia Cx vuông góc v i CE và c t AB t i F L y M là trungể ủ ẽ ớ ắ ạ ấ

đi m c a EF Ch ng minh: CM vuông góc v i EF ể ủ ứ ớ

B A

CHB

 MAO MAO NOB  90 ;0 CBH MOA 

CH HB HB CHB MAO

* CEF vuông t i C có CM là đ ngạ ườ

trung tuy n nên ế

AEF vuông t i A có AM là đ ng trung tuy n nên ạ ườ ế

CM = AM M thu c đ ng trung tr c c a AC.ộ ườ ự ủ

Vì ABCD là hình vuông nên B, D thu c đ ng trung tr c c a ACộ ườ ự ủ

B, D, M th ng hàng vì cùng thu c đ ng trung tr c c a AC (đpcm).ẳ ộ ườ ự ủ

L i gi i ờ ả

3 Ch ng minh các đa giác đ c bi t ứ ặ ệ

A Bài toán ()

Bài 1: Cho vuông t i ạ Trên tia đ i c a tia ố ủ l y đi m ấ ể sao cho G iọ

l n l t là trung đi m c a ầ ượ ể ủ Đ ng th ng qua ườ ẳ và song song v iớ

c t ắ t i ạ a) Ch ng minh t giác ứ ứ là hình ch nh t.ữ ậ

C

B A

CM 

M

F E

C

B A

D

N



EF 2

b) Ch ng minh ứ

Bài 2: Cho đ ng tròn ườ đ ng kính ườ Đi m ể thu c đ ng tròn ộ ườ Kẻ

, G i ọ theo th t là tâm đ ng tròn n i ti p c a cácứ ự ườ ộ ế ủ, Đ ng th ng ườ ẳ c t ắ l n l t t i ầ ượ ạ

a) Ch ng minh ứ vuông cân

Ch ng minh ứ

Bài 3: Cho hai đ ng tròn ( O ) và ( Oườ / ) ngoài nhau Đ ng n i tâm OOở ườ ố / c t đ ngắ ườtròn ( O ) và ( O/ ) t i các đi m A, B, C, D theo th t trên đ ng th ng K ti p tuy nạ ể ứ ự ườ ẳ ẻ ế ếchung ngoài EF, E ( O ) và F ( O/ ) G i M là giao đi m c a AE và DF; N là giao đi mọ ể ủ ể

c a EB và FC Ch ng minh r ng:ủ ứ ằ

a) T giác MENF là hình ch nh t.ứ ữ ậ

b) MN AD

c)ME.MA = MF.MD

Bài 4: Cho tam giác nh n ọ ABC cân t i ạ A và n i ti p trong đ ng tròn ộ ế ườ (O) đ ng kính ườ AK;

l y đi m ấ ể I thu c cung nh AB c a đ ng tròn ộ ỏ ủ ườ (O) (I khác A, B) G i ọ M là giao đi m c aể ủ

IK và BC, đ ng trung tr c c a đo n th ng ườ ự ủ ạ ẳ IM c t ắ AB và AC l n l t t i ầ ượ ạ D và E Ch ngứminh t giác ứ ADME là hình bình hành.

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông t i A có AB = 6cm, AC = 8cm G i AH là đ ng cao; E vàạ ọ ườ

F l n l t là hình chi u vuông góc c a H trên AB và AC Ch ng minh t giác AEHF làầ ượ ế ủ ứ ứhình ch nh t.ữ ậ

Bài 6: Cho n a đ ng tròn tâm O đ ng kính AB G i C là m t đi m n m trên n aử ườ ườ ọ ộ ể ằ ử

đ ng tròn (O) (C khác A, C khác B) G i H là hình chi u vuông góc c a C trên AB, D làườ ọ ế ủ

đi m đ i x ng v i A qua C, I là trung đi m c a CH, J là trung đi m c a DH.ể ố ứ ớ ể ủ ể ủ

a) Ch ng minh ứ

b) Ch ng minh ứ CJH đ ng d ng v i ồ ạ ớ HIB

c) G i E là giao đi m c a HD và BI Ch ng minh HE.HD = HCọ ể ủ ứ 2

d) Xác đ nh v trí c a đi m C trên n a đ ng tròn (O) đ AH + CH đ t giá tr l n nh t.ị ị ủ ể ử ườ ể ạ ị ớ ấ

Bài 7: Cho n a đ ng tròn (O;R) đ ng kính AB Trên n a m t ph ng b AB có ch aử ườ ườ ử ặ ẳ ờ ứ

n a đ ng tròn v ti p tuy n Ax v i n a đ ng tròn, trên Ax l y M sao cho AM > R Tử ườ ẽ ế ế ớ ử ườ ấ ừ

M v ti p tuy n MC v i n a đ ng tròn Đ ng th ng vuông góc v i AB t i O c t BCẽ ế ế ớ ử ườ ườ ẳ ớ ạ ắ

Bài 1: Cho vuông t i ạ Trên tia đ i c a tia ố ủ l y đi m ấ ể sao cho G iọ

l n l t là trung đi m c a ầ ượ ể ủ Đ ng th ng qua ườ ẳ và song song v iớ

c t ắ t i ạ a) Ch ng minh t giác ứ ứ là hình ch nh t.ữ ậ

L i gi i ờ ả

a) Ta có: M, N l n l t là trung đi m c a AC, ADầ ượ ể ủ

nên MN là đ ng trung bình c a ườ ủ

M N

A

ACD



 ABD  BN AB BDA BAD 

 BNA NBE 900 ANE  NEB

MA MN

ME MA