Ham so bac nhat

c Đi qua một điểm cho trước và và vuông góc với một đường thẳng khác - Với điểm mà đồ thị của hàm số đi qua ta tìm được một phương trình hai ẩn là a , b.. Vì nó vuông với đường thẳng khá[r]

Hàm số bậc nhất

1 Hàm số bậc nhất y ax b

Tập xác định: D

Sự biến thiên:

 a  , hàm số đồng biến trên D 0

 a  , hàm số nghịc biến trên D 0

Bảng biến thiên:

Đồ thị: là đường thẳng song song với đường thẳng y ax

Đặc biệt: hàm số y b là hàm số hằng (hàm hằng), không tăng cũng không giảm, có đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho đường thẳng y ax b  , khi đó hệ số góc của nó là a

Cho hai đường thẳng ( ) :d1 y a x b 1  1, ( ) :d2 y a x b 2  2 Khi đó có các vị trí tương đối sau:

2.1 Hai đường thẳng cắt nhau

Hai đường thẳng d và 1 d cắt nhau khi và chỉ khi 2 a1a2

 

Ví dụ: Hai đường thẳng y x  và 1 y2x cắt nhau vì 1 21 

Đặc biệt:

1 2 1 2 1

2.2 Hai đường thẳng song song nhau

Hai đường thẳng d và 1 d song song nhau khi và chỉ khi 2 a1a2 và b1b2

1 2

1 2

1 2





 







Ví dụ: Hai đường thẳng y2x và 1 y2x 3 là hai đường thẳng song song nhau

2.3 Hai đường thẳng trùng nhau

Hai đường thẳng d và 1 d trùng nhau khi và chỉ khi 2 a1a2 và b1b2

1 2

1 2

1 2









3 Hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối là hàm số có dạng yax b

Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối

0 0

A khi A

A

A khi A









Do đó hàm số yax b được xác định như sau:

0

ax b khi ax b





Tập xác định: D 

Sự biến thiên: Xét trong từng trường hợp như hàm số bậc nhất

Đồ thị của hàm số là hình gồm hai nhánh của hai đường thẳng

4 Các dạng bài tập

4.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Các bước khảo sát hàm số bậc nhất y ax b  :

- Tìm tập xác định

- Xét sự biến thiên của hàm số (xét a  hay 0 a  để kết luận hàm số đòng biến hay nghịch0 biến, vẽ bảng biếng thiên)

- Cho hai điểm đồ thị hàm số đi qua và vẽ đồ thị của hàm số

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y2x1

Giải:

Hàm số y2x1

Tập xác định: D 

Sự biến thiên:

Vì a   nên hàm số đồng biến trên D (hay  đều được).2 0

Bảng biến thiên:

Các điểm đi qua:

Đồ thị:

4.2 Xác định hàm số  y ax b

4.2.1 Đi qua hai điểm

- Với mỗi điểm mà đồ thị của hàm số đi qua ta tìm được một phương trình hai ẩn là a , b

- Kết hợp lại ta được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số

- Giải hệ phương trình đó, tìm được a , b

- Kết luận bài toán

Ví dụ: Xác định hàm số y ax b  , biết đồ thị hàm số đi qua ( 1;0)A  và (1;2)B .

Giải:

Vì đồ thị hàm số đi qua ( 1;0)A  nên ta có:

0a.( 1)   b a b 0

Vì đồ thị hàm số đi qua (1;2)B nên ta có:

2a.1 b a b 2

Ta có hệ phương trình:



Vậy hàm số là y x  1

4.2.2 Đi qua một điểm cho trước và biết hệ số góc

a) Đi qua một điểm cho trước và có hệ số góc là k

- Với điểm mà đồ thị của hàm số đi qua ta tìm được một phương trình hai ẩn là a , b Biết hệ

số góc là k nên a k

- Kết hợp lại ta được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số

- Giải hệ phương trình đó, tìm được a , b

- Kết luận bài toán

Ví dụ: Xác định hàm số y ax b  , biết đồ thị hàm số đi qua (3; 2)A  và có hệ số góc bằng 2

Giải:

Vì đồ thị hàm số đi qua (3; 2)A  nên ta có:

2 a.3 b 3a b 2

Vì đồ thị hàm số có hệ số góc bằng 2 nên ta có:

a 2

Ta có hệ phương trình:



Vậy hàm số là y2x 4

b) Đi qua một điểm cho trước và song song với một đường thẳng khác

- Với điểm mà đồ thị của hàm số đi qua ta tìm được một phương trình hai ẩn là a , b Vì nó

song song với đường thẳng khác nên suy ra a bằng hệ số góc của đường thẳng kia.

- Kết hợp lại ta được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số

- Giải hệ phương trình đó, tìm được a , b

- Kết luận bài toán

Ví dụ: Xác định hàm số y ax b  , biết đồ thị hàm số đi qua (2;3)A và song song với đường thẳng y2x1

Giải:

Vì đồ thị hàm số đi qua (2;3)A nên ta có:

3a.2 b 2a b 3

Vì đồ thị hàm số song song với đường thẳng y2x nên ta có:1

a 2

Ta có hệ phương trình:



Vậy hàm số là y2x 1

c) Đi qua một điểm cho trước và và vuông góc với một đường thẳng khác

- Với điểm mà đồ thị của hàm số đi qua ta tìm được một phương trình hai ẩn là a , b Vì nó

vuông với đường thẳng khác nên suy ra a

- Kết hợp lại ta được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số

- Giải hệ phương trình đó, tìm được a , b

- Kết luận bài toán

Ví dụ: Xác định hàm số y ax b  , biết đồ thị hàm số đi qua ( 1;1)A  và vuông góc với đường thẳng

1 3 2

Giải:

Vì đồ thị hàm số đi qua ( 1;1)A  nên ta có:

1.(1)1abab

Vì đồ thị hàm số song song với đường thẳng

1 3 2

nên ta có:

1

2

Ta có hệ phương trình:

1 2



Vậy hàm số là y2x1

4.3 Tìm tọa độ giao điểm

Tìm giao điểm (nếu có) của hai đường thẳng y a x b 1  1 và y a x b 2  2:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm

a x b a x b

- Thế vào một trong hai hàm số để tìm giá trị y

- Kết luận bài toán

Ví dụ: Tìm giao điểm của hai đường thẳng y3x 5 và y4x 8

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

3x 5 4 x 8 x3

Với x  thì 3 y  4

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là M(3;4)

4.4 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Sử dụng lý thuyết về vị trí tương đối của hai đường thẳng ở phần trên để làm bài tập

Ví dụ: Xác định m để đường thẳng y(m2)x3m 2 song song với đường thẳng y3x 1

Giải:

Đường thẳng y(m2)x3m 2 song song với đường thẳng y3x khi và chỉ khi:1

5

m

Vậy m  thỏa yêu cầu bài toán.5

4.5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối:

0 0

A khi A

A

A khi A









Tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số giống như hàm bậc nhất (Lưu ý chỉ lấy những giá trị 0

y  )

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y2x 1

Giải:

Ta có:





hay

1

2

1

2







Tập xác định: D 

Sự biến thiên:

Hàm số đồng biến trên

1

; 2

 



 Hàm số nghịch biến trên

1

; 2

  

Bảng biến thiên:

Các điểm đi qua

Đồ thị:

4.6 Tìm điểm cố định của họ đường thẳng đi qua

Cho họ đường thẳng y a x b m  m, trong đó a và m b có chứa tham số m Tìm điểm cố định m

mà họ đường thẳng đi qua

Cách giải: ta xem m là ẩn số của phương trình bậc nhất một ẩn, các x , y là các hằng số Ta chuyển thành phương trình bậc nhất với ẩn số là m có dạng Am B  Cho các hệ số0 0

A  , B  Giải hệ 0

0 0

A B









 tìm x , y Kết luận bài toán.

Ví dụ: Tìm điểm cố định của họ đường thẳng y(2m1)x 1 m đi qua.

Giải:

Ta có:

mx m x y

Điểm cố định họ đường thẳng đi qua là nghiệm của hệ phương trình:

1

2

x

y









Vậy điểm cố định mà họ đường thẳng đi qua là

1 1

;

2 2

A 

 

Bài tập: