giao an tu chon toan 9chu de 12

[r]

cH ủ đề nâng cao

CHỦ ĐỀ 1:ÔN TẬP VỀ BẤT ĐẲNG

THỨC ĐẠI SỐ (Tuần 1+2+3-Tiết 1=>6)

Ngày soạn:

Ngày giảng:

A,Mục tiêu :Học xong chủ đề hs có thể đạt được:

-Kiến thức :hs ôn và nắm vững 1 sồ bất đẳng thức đã học cùng tính chất của bất đẳng thức

-Kĩ năng: hs biết vận dụng các bất đẳng thưc và tính chất của ĐT vào giải bài tập

-Thái độ :hs rèn ý thức học tập nghiêm túc ,tính cẩn thận ,chính xác

B, Tài liệu hỗ trợ:

Sgk toán 7 tâpl 1,toán nâng cao và chuyên đề đại số 8,luyện tập toán 9,sbt toán 9 tập 1

C,Nội dung

TI

Ế T 1+2-TU Ầ N 1 Ổ

N ĐỊ NH L Ớ P TIẾT 1:9a

9b

TIẾT 2: 9a

9b

A kiÕn thøc cÇn nhí:

I,Tính chất cơ bản của BĐT:

a) a < b, b < c  a < c b) a < b  a +c < b+ c

c) a< b a.c < b.c (với c > 0) a< b a.c > b.c (với c < 0) d) a < b v c < dà  a+c < b + d

e) 0 < a < b v 0 < c < d à  a.c < b.d f) a b a2n 1 b2n 1 n 

0 < a<b a b a2n b2n n 

g) a b 2n 1a 2n 1b n 

0 a b 2n a 2n b n 

a,b 0

2

a b

II.M Ộ T S Ố B Ấ T Đ Ẳ NG TH Ứ C C Ầ N NH Ớ

1 BĐT Cauchy: (Cô–si) 2 a,b 0

a b

Đẳng thức 2

a b

xảy ra khi và chỉ khi a = b

a, b, c 0 3

 

abc

Dấu = xẩy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bất đẳng thức Cô-si mở rộng:

Cho n số không âm: a1; a2; …; an Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a a   a n

2 Bất đẳng thức chứa dấu gia trị tuyệt đối

a) |x| 0, |x| x, |x| -x b) |x|  a  -a  x  a ( với a > 0) |x|  a  x  -a hoặc x  a c) |a|-|b|  |a+b|  |a| + |b|

3 BĐT Bunhinacôpxki

Cho a, b, x, y là các số thực, ta có:





(a2 b2 x2 y2 (ax + by)2

Đẳng thức xảy ra khi:

x y

Tổng quát: Cho 2n số thực: a a1 , , , ; , , , 2 a b b n 1 2 b n

Ta có:

1 1 2 2

|a b a b   a b n n|  2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

(a a   a n)(b b   b n)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

n n

a

4 BĐT Becnuli

Cho a > -1, n  N* : (1+ + a)n  1 + na

Đẳng thức xảy ra khi a = 0 hoặc n = 1

III,Bài tâp áp dụng Bµi 1 : Cho ab  1 Chøng minh r»ng :

2 2

1 a 1 b 1 ab

Chứng minh:

Ta có : 1 2

1

a

 1 2

1

b

  1 ab

2 (1)

0

        



 

 



     

2

Bất đẳng thức ( 2 ) luôn đúng với mọi ab 1 Do đó bất đẳng thức ( 1 )

được chứng minh

Bài 2

C,T ểM T Ắ T KI Ế N TH Ứ C C Ầ N NH Ớ

-Tớnh chất cơ bản của BĐT

- M ỘT S Ố B ẤT Đ ẲNG TH ỨC C ẦN NH Ớ

- Dạng1: Dùng phép biến đổi tương đương , Dùng định nghĩa

* Ph ươ ng pháp : A  B  A - B  0

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức

đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh đúng

D,H ướng dẫn v ề nhà

- ụn lại ki ến th ức

Ti ết 1:-Làm bài t ập 5,6 s ỏch LT toỏn 9

Ti ết 2: Làm bài t ập 7,8 s ỏch LT toỏn 9

Tự rỳt KN sau 2 tiết dạy

Ngày soạn:

Ngày giảng:

TIẾT 3+4-TUẦN 2

ỔN ĐỊNH LỚP TIẾT 1: 9a

9b

TIẾT 2:9a

9b

I,Ch ữa BT về nhà

Bài 5

Bài 7:

a) Chứng minh 2(a4 + b4) > ab3 + a3b + 2a2b2 với mọi a, b

Ta cú 2(a4 + b4) > ab3 + a3b + 2a2b2

 4(a4 + b4) > 2ab3 + 2a3b + 4a2b2

 (b4 – 2ab3 + a2b2) + (a4 – 2a3b + a2b2) + (3a4 + 3b4 – 6a2b2)  0

 (b2 – ab)2 + (a2 – ab)2 + 3(a2 – b2)2  0 (đung) Vậy bất đẳng thức đó cho đung

Ii,Dạng 2 : Dùng phương pháp phản chứng

* Ph ư ơng pháp :

Giả sử cần phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng Ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với giả thiết để suy ra điều vô lí

Điều vô lí có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái với một

điều đúng ,cũng có thể là sai hay vô lí vì hai điều trái ngược nhau Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng

* Bài tập vận dụng :

Bài 1 : Cho a2 + b2  2 Chứng minh rằng : a + b  2

Chứng minh:

Giả sử a + b > 2, bình phương hai vế (hai vế đều đương ) ta đợc :

a2 + 2ab + b2 > 4 (1)

Mặt khác ta có : 2ab  a2 + b2  a2 + b2 + 2ab  2( a2 + b2 )

Mà 2( a2 + b2)  4 ( giả thiết) , do đó a2 + 2ab + b2  4 mâu thuẫn với (1)

Vậy điều giả sử là sai Vậy a + b  2

Bài 2 : Chứng minh rằng nếu a1a2  2( b1 + b2 ) thì ít nhất một trong hai phương trình

x2 + a1x + b1 = 0

x2 + a2x + b2 = 0 có nghiệm

Chứng minh:

Giả sử cả hai phương trình đã cho vô nghiệm

Khi đó : 1 = a1 - 4b1 < 0

2 = a2 - 4b2 < 0

=> a1 + a2 - 4b1 - 4b2 < 0

 a1 + a2 < 4( b1 - b2 )

Theo giả thiết ta có 2( b1 - b2 )  a1a2 => 4( b1 - b2 )  2a1a2

Do đó : a1 + a2  2a1a2

=> a1 + a2 - 2a1a2  0

=> ( a1 - a2)2  0 ( vô lí )

Vậy ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm

Bài 3 :Chứng minh rằng trong ba bất đẳng thức sau ít nhất có một bất đẳng thức đúng :

a2 + b2 

 2

2

b c

b2 + c2 

 2

2

c a

c2 + a2 

 2

2

b a

Chứng minh:

Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều sai Ta có :

a2 + b2 <

 2

2

b c

(1)

b2 + c2 <

 2

2

c a

(2)

c2 + a2 <

 2

2

b a

(3) Cộng vế với vế (1) , (2) ,(3) ta được :

a2+ b2 + b2 + c2 + a2 + c2 <

 2  2  2

2

 4( a2+ b2 + c2 ) < 2( a2+ b2 + c2 ) + 2ab + 2bc + 2ca

 2a2+ 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca < 0

 ( a2 -2ab + b2 ) + (b2 -2bc + c2 ) + ( a2 -2ac + c2 ) < 0

 ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c ) 2 < 0 ( vô lí )

Vậy trong ba bất đẳng thức trên có ít nhất một bất đẳng thức đúng

Bài 5 :

Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện

ac  2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

a2 4b

 , c2 4d

 Chứng minh:

Giả sử 2 bất đẳng thức : a2 4b

 , c2 4d

 đều đúng khi đó cộng các

vế ta đợc

a2 c2  4 (bd) (1)

Theo giả thiết ta có 4(b+d)  2ac (2)

Từ (1) và (2)  a2 c2 2ac



 hay a c2  0 (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức a2 4b

 và c2 4d

 có ít nhất một các bất đẳng thức sai

C,T OM T Ắ T KI Ế N TH Ứ C C Ầ N NH Ớ

phương pháp phản chứng

Giả sử cần phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng Ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với giả thiết để suy ra điều vô lí

Điều vô lí có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái với một

điều đúng ,cũng có thể là sai hay vô lí vì hai điều trái ngợc nhau Từ đó suy

ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng

D,H ướng dẫn v ề nhà

- ụn lại kiến thức

Tiết 3:-Làm bài tập 5,7 sỏch LT toỏn 9

Tiết 4: Làm bài tập 6,9 sỏch LT toỏn 9

Tự rỳt KN sau 2 tiết dạy

Ngày soạn

Ngày giảng

TIẾT 5,6-TUẦN 3

ỔN ĐỊNH LỚP TIẾT 5: 9a

9b

TIẾT 6: 9a

9b

I,Ch ữa BT về nhà

Bài 5 :

Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0

Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0

Chứng minh:

Giả sử a  0 thì từ abc > 0  a 0 do đó a < 0

Mà abc > 0 và a < 0  cb < 0

Từ ab+bc+ca > 0  a(b+c) > -bc > 0

Vì a < 0 mà a(b +c) > 0  b + c < 0

a < 0 và b +c < 0  a + b +c < 0 trái giả thiết a+b+c > 0

Vậy a > 0 tơng tự ta có b > 0 , c > 0

Bài 6 :

Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện

ac  2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

a2 4b

 , c2 4d

 Chứng minh:

Giả sử 2 bất đẳng thức : a2 4b

 , c2 4d

 đều đúng khi đó cộng các

vế ta đợc

a2 c2  4 (bd) (1)

Theo giả thiết ta có 4(b+d)  2ac (2)

Từ (1) và (2)  a2 c2 2ac



 hay a c2  0 (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức a2 4b

 và c2 4d

 có ít nhất một các bất đẳng thức sai

Bài 7 :

Cho x,y,z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng

Nếu x+y+z >

1 1 1

x yz thì có một trong ba số này lớn hơn 1

Chứng minh:

Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz - xy- yz + x + y+ z -1

1 1 1

x yz ) vì xyz = 1

theo giả thiết x+y +z >

1 1 1

x yz

nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0

Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dơng

Thật vậy nếu cả ba số dương thì x,y,z > 1  xyz > 1 (trái giả thiết)

Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)

Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1

Dạng 3: Dùng bất đẳng thức quen thuộc

* Ph ơng pháp :

Một số bất đẳng thức hay dùng

1) Các bất đẳng thức phụ:

a) x2 y2 2xy





b) x2  y2  xy

dấu( = ) khi x = y = 0 c) xy2  4xy

d)   2

a

b b a

n

n a a a a n

a a

a a

3 2 1 3

2 1











Với 0



i

a

3) Bất đẳng thức Bunhiacopski

 22 2  12 22 2  1 1 2 2 2

2

2 a a n .x x n a x a x a n x n

Bài tập áp dụng:

.Bài 1 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng :

( 1 +

1

a )( 1 +

1

b )( 1 +

1

c )  64

Chứng minh:

Theo bất đẳng thức Cauchy :

( 1 +

1

a ) =

1

a a

 =

2a b c

a

 



2a 2 bc

a





2 a bc a





4 a bc

a

 ( 1 +

1

a )  4

4 2

a bc

Chứng minh tương tự : ( 1 +

1

b )  4

4 2

b ca

( 1 +

1

c )  4

4 2

c ab

Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được :

( 1 +

1

a )( 1 +

1

b )( 1 +

1

c )  43

4

2 2 2

2

) (

c b a abc

( 1 +

1

a )( 1 +

1

b )( 1 +

1

c )  64

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =

1

3 ( đpcm)

Bài 2 : Chứng minh rằng a, b, c là ba số dơng thì:

3

abc

Chứng minh:

Do a>0 ; b >0 ; c >0 nên 0 ; 0 ; 0

4 4

4







a

c c

b b

a

áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

) ( 3 3

.

33 4 4 4 3 3 3 3 4

4

4

dfcm abc c

b a a

c c

b b

a a

c c

b

b

a











( )( )( ) 8 8 ( )

2 2 2

2 2

2y z xyz dfcm x

y x z x z y

xy y

x

xz z

x

yz z

y x



































Bài 3 : Cho x, y thoả mãn: x 1  y2  y 1  x2  1

CMR: x2 y2  1

Chứng minh:

Đặt a =x; b = 1 y 2 ; c= y ; d = 1 x 2

áp dụng bất đẳng thức Bunhiakôpski ta có:

:

y x y

x y

x y

x y

x y

x

y x y

x x

y y

x x

y y

x

,

; 0 1

0 1 ) (

2 ) (

0 1 ) (

2 1

) (

2

) (

2 1

1 1

1

1

2 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2









































































Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x2 + y2 - 1= 0 <=> x2 + y2 = 1 (đfcm)

Bài 4: Chứng minh rằng nếu2 x, y, z là ba số dương thỡ

1 1 1

Khi nào xảy ra đẳng thức ?

Chứng minh:

Ta có: x>0; y>0; z>0

áp dụng BĐT côsi

3

3

1 3 1 1

1

3

xyz z

y

x

xyz z

y

x













  1 1 1 9



















z y x z y

x

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

Bài 5 : Chứng minh rằng: a2b2 b2c2 c2a2 8a b c2 2 2 a b c, ,

Chứng minh :

Ta có : a2; b2; c2 là các số không âm

áp dụng BĐT côsi ta được :

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

8 )

)(

(

_

2

|

| 2 2

2

|

| 2 2

2

|

| 2 2

c b a b c c a b a

bc cb b

c b

c

ac ac c

a c

a

ab ab b

a b

a

x















































D,H ướng dẫn v ề nhà

- ụn lại kiến thức

Tiết 5:-Làm bài tập 10,11 sỏch LT toỏn 9

Tiết 6: Làm bài tập 12,15 sỏch LT toỏn 9+ụn về căn bậc 2

Tự rỳt KN sau 2 tiết dạy

Ch

ủ đề bỏm sỏt

Ch Ủ ĐỀ 2 : CĂN BẬC HAI,CĂN BẬC 3

TU

Ầ N 4- Tiết 7+8 : Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

√A2= |A|

Ngày soạn :

Ngày dạy :

A Mục tiêu:

Kiến thức- Củng cố lại cho học sinh các khái niệm về căn bậc hai , định

nghĩa , kí hiệu và cách khai phơng căn bậc hai một số

rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai đơn giản Cách tìm điều kiện để căn thức có nghĩa

B T à i li ệ u tham kh ả o

SGK,SBT đại số 9 ,luyện tập đại số 9

C Tiến trình dạy - học: Tổ chức lớp:

Tiết 7: 9a

9b:

Tiết 8: 9a

9b:

D,Nội dung

I, Kiến thức cần nhớ

1 Định nghĩa căn bậc hai số học:

x=√a ⇔{x x ≥ 02

=a

2 Điều kiện để √A có nghĩa:

√A có nghĩa  A  0

1 Hằng đẳng thức √A2

=|A| :

Với A là biểu thức ta luôn có: √A2= |A|

II,Bài tập

1 Bài 5: (SBT - 4) So sánh

a) 2 v à √2 +1

Ta có : 1 < 2 ⇒√1<√2⇒1<√2⇒1+1<√2+1 ⇒2<√2+1

c) 2√31 v à 10 Ta có :31 25   31  25  31 5   2 31 10 

2 Bài tập 9: (SBT - 4) (5ph)

Ta có a < b , và a , b  0 ta suy ra : √a+√b ≥ 0 (1)

Lại có a < b  a - b < 0

b

√a−√ ¿

¿

(√a+√b)¿

Từ (1) và (2) ta suy ra : a b  0 a  b

Vậy chứng tỏ : a < b  √a<√b (đpcm)

3 Bài tập 12: (SBT - 5) Tìm x dể căn thức sau có nghĩa:

a) Để - 2x + 3 có nghĩa  - 2x + 3  0  - 2x  -3  x  3

2

Vậy với x  3

2 thì căn thức trên có nghĩa

b,Để căn thức √ 4

x +3 có nghĩa 

4 0 3

x   x + 3 > 0  x > -3

Vậy với x > - 3 thì căn thức trên có nghĩa

2 Bài 14: (SBT - 5) Rút gọn biểu thức

a)

4 +√2 ¿2

¿

¿

√ ¿

b)

3 −√3 ¿2

¿

¿

√ ¿

(vì 3>√3 )

4 −√17 ¿2

¿

¿

√ ¿

(vì √17>4 )

5 Bài 15:(SBT-5) Chứng minh đẳng thức:

Giải: a) √5+2 ¿2

9+4√5= ¿

Ta có : VT = 9 4 5 5 2.2 5 4      ( 5)2 2.2 5 2  2 = √5+2 ¿2= VP

¿

Vậy √5+2 ¿2

9+4√5= ¿ (đpcm)

d) 23 8 7   7 4 

Ta có : VT = 23 8 7   7 = 7 2.4 7 16    7=

2

( 7 4)   7

= 7 4   7  7 4   7 4 VP 

Vậy VT = VP  √5+2 ¿2

9+4√5= ¿ (đcpcm) III,

T ểM T ẮT KI ẾN TH ỨC C ẦN NH Ớ

1 Định nghĩa căn bậc hai số học:

2 Điều kiện để √A có nghĩa:

3,Hằng đẳng thức √A2= |A|

4,Bài tập so sánh , Tìm x dể căn thức sau có nghĩa, rút gọn biểu thức,

chứng minh đẳng thức

IV,

H ớng dẫ nv ề nh à :

- Xem lại các bài tập đã giải , học thuộc định nghĩa , hằng đẳng thức và cách

áp dụng

- Giải tiếp các phần còn lại của các bài tập đã làm

- áp dụng tơng tự giải bài tập 19 , 20 , 21 ( SBT 6 )

T

ự rut KN sau 2 ti ế t d ạ y

TU

Ầ N 5- Ti ết 9+10 : liên hệ giữa phép nhân - phép chia và

phép khai phơng

Ngày soạn :

Ngày dạy :

A Mục tiêu:

Kiến thức - Nắm vững các định lí liên hệ giữa phép nhân, phép chia và

phép khai phơng

Kĩ năng - Vận dụng các công thức thành thạo, áp dụng vào giải các bài

tập có liên quan nh tính toán, chứng minh, rút gọn rèn luyện kĩ năng trình bày

Thai độ- Vận dụng linh hoạt, sáng tạo các công thức đã học về CBH

B T à i li ệ u tham kh ả o

SGK,SBT đại số 9 ,luyện tập đại số 9

C Tiến trình dạy - học: Tổ chức lớp:

Tiết 9: 9a

9b:

Tiết 10: 9a

9b:

D,Nội dung

I, Kiến thức cần nhớ

1 Định lí 1: A B  A B. (Với A, B 0)

2 Định lí 2:

B  B (Với A 0; B >0)

II,Bài tập

1 Bài 1: Rút gọn biểu thức

.

5

a

5

a

2

a

=

2

a (a>0)

b, 9  17 9  17 = 9  17 9   17

= 9 2   172  81 17   64 8  c,

6,8  3, 2  (6,8 3, 2).(6,8 3, 2)    3,6.10  36 6 

d,

36 4

1 5 0,81

100 49 81

64 9 100 =

49.81 64.9 =

49.9 7.3 21

64  8 8

2 Bµi 2: So s¸nh:

a) 16 vµ √15 √17

Tacã : √15.√17=√16 −1 √16+1=√(16 − 1)(16+1) = √162− 1<√162=16 VËy 16 > √15.√17

b) 8 vµ 15  17

Ta cã: 82 = 64 = 32+2 162

 15  172  15 2 15 17 17  

= 32 + 2 15.17

Mµ 2 15.17 =2 16 1 16 1     

= 2 162 1 < 2 162

VËy 8 > 15  17

3 Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh

a) x2 - 5 = 0  x2   5 2  0

5 0

x

   hoÆc x  5 0 

5

x

  hoÆc x  5

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x  5; x  5

b) 4 1  x2  6 0 

 2 1  x2  6  2 1  x  6

 

2 1 x 6

hoÆc 2 1  x 6  2 2  x 6 hoÆc 2 2  x 6

2x 4

   hoÆc  2x 8

 x 2 hoÆc x 4

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x 1 2vµ x 2 4

III,

T ÓM T ẮT KI ẾN TH ỨC C ẦN NH Ớ

1 A B  A B. (Víi A, B 0)

2

B  B (Víi A 0; B >0)