BỘ GIÁO ÁN TỰ CHỌN TOÁN 12 HỌC KÌ II

Bộ giáo án này mình soạn theo chuẩn công văn 129. Để nhằm giúp các bạn có một bộ giáo án đúng theo qui chế của bộ. Đây là bộ giáo án mới nhất của minh, vừa mới soạn để kiểm tra năm học 2015 2016. Ngày soạn:05122015 Tiết:01 HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I.MỤC TIÊU : 1.Kiến thức : Nắm và nhớ định nghĩa toạ độ vectơ, của điểm đối với một hệ toạ độ xác định trong không gian, pt mặt cầu. Khắc sâu các công thức biểu thị quan hệ giữa các vectơ, biểu thức toạ độ của các vectơ, công thức về diện tích, thể tích khối hộp và tứ 2.Kỹ năng : Vận dụng linh hoạt các công thức trong tính toán 3.Thái độ : Rèn luyện tư duy logic II.CHUẨN BỊ: 1.Chuẩn bị của giáo án: soạn giáo án ,đồ dùng dạy học,… 2.Chuẩn bị của học sinh: mang dụng cụ học tập,học bài cũ III.HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC : 1.Ổn định tình hình lớp: Kiểm tra sĩ số (1’) 2.Kiểm tra bài cũ: Không 3.Giảng bài mới +Giới thiệu bài: (1’)Tiết hôm nay ta sẽ ôn tập thông qua hệ thống bài tập +Tiến trình bài dạy

1.Chuẩn bị của giáo án: soạn giáo án ,đồ dùng dạy học,…

2.Chuẩn bị của học sinh: mang dụng cụ học tập,học bài cũ

III.HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC :

1.Ổn định tình hình lớp: Kiểm tra sĩ số (1’)

2.Kiểm tra bài cũ: Không

3.Giảng bài mới

+Giới thiệu bài: (1’)Tiết hôm nay ta sẽ ôn tập thông qua hệ thống bài tập

+Tiến trình bài dạy

TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

10’ HĐ 1: giải bài tập 3 trang

81 sgk nâng cao

y/c nhắc lại công thức

tính góc giữa hai vectơ?

b)

65

138),cos(u v 

15’ HĐ 2: giải bài tập 6 trang

81 sgk

Gọi M(x;y;z), M chia

đoạn AB theo tỉ số k1:

MB k

MA  toạ độ

MB

MA, =? và liên hệ

đến hai vectơ bằng nhau

ta suy ra được toạ độ của

M=?

Y/c các nhóm cùng thảo

luận để trình bày giải

Gọi đại diện một nhóm

lên bảng trình bày, các

nhóm khác chú ý để nhận

xét

Cho các nhóm nhận xét

Gv sửa chữa những sai

Hs lắng nghe gợi ý và trả lời các câu hỏi

Các nhóm thực hiện

Đại diện một nhóm thực hiện

)

;

;(x2 x y2 y z2 z

)(

)(

2 1

2 1

2 1

z z k z z

y y k y y

x x k x x

sót nếu có Lắng nghe và ghi chép

k

ky y y

k

kx x x

1 1 1

2 1

2 1

2 1

Chữết luận 15’ HĐ 3: giải bài tập 8 trang

thảo luận và giải

Gọi đại diện một nhóm

Đại diện một nhóm thực hiện

Nhận xét Lắng nghe và ghi chép

AB

Hs trả lời 2sin5t+ 3cos3t+sin3t=0

Hs thực hiện

Hs trả lời

Z k k a x

k a x

;3cos

;5(sin t t t

OC 

03sin3cos35sin2

AB

)33sin(

5sin  

Z k k t

,32

,424

A, B, C không thẳng hàng

4.Dặn dò học sinh chuẩn bị cho tiết học tiếp theo: (1’)

- Học bài cũ , làm BTVN

IV.RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:

Gv sửa chữa những sai

sót nếu có

Lắng nghe và ghi chép

- Rèn luyện được kỹ năng giải phương trình mũ và lơgarit bằng các phương pháp đã học

3.Thái độ: Tạo cho học sinh tính cẩn thận, ĩc tư duy logic và tổng hợp tốt, sáng tạo và chiếm lĩnh được những kiến thức mới

2.Kiểm tra bài cũ: (5’)

- Nêu các cách giải phương trình mũ và logarit ?

Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

3.Giảng bài mới

+Giới thiệu bài: (1’) Tiết hơm nay ta sẽ ơn tập thơng qua hệ thống các bài tập

+Tiến trình bài dạy

TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

25’ HĐ 1:Bài 2

Nêu phương pháp giải Dạng đặt ẩn số phụ

Logarit hóa Dùng tính đơn điệu Dùng tính đơn điệu Dùng tính đơn điệu Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

- Rèn luyện được kỹ năng giải phương trình mũ và lơgarit bằng các phương pháp đã học

3.Thái độ: Tạo cho học sinh tính cẩn thận, ĩc tư duy logic và tổng hợp tốt, sáng tạo và chiếm lĩnh được những kiến thức mới

2.Kiểm tra bài cũ: Lồng ghép trong lúc dạy

3.Giảng bài mới:

+Giới thiệu bài: (1’)Tiết hơm nay ta sẽ ơn tập thơng qua hệ thống các bài tập

+Tiến trình bài dạy

TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

Dạng đặt ẩn số phụ Dạng đặt ẩn số phụ

Dạng đặt ẩn số phụ Đưa về cùng cơ số

Bµi 7: Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau:

4.Dặn dị hs chuẩn bị cho tiết học tiếp theo: (1’)

Dạng đặt ẩn số phụ

Đưa về cùng cơ số Đưa về cùng cơ số Mũ hóa

Đưa về cùng cơ số

Đưa về cùng cơ số

Dạng đặt ẩn số phụ

Dạng đặt ẩn số phụ Dạng đặt ẩn số phụ

Dạng đặt ẩn số phụ Dạng đặt ẩn số phụ Dạng đặt ẩn số phụ

- Rèn luyện được kỹ năng giải phương trình mũ và lơgarit bằng các phương pháp đã học

3.Thái độ: Tạo cho học sinh tính cẩn thận, ĩc tư duy logic và tổng hợp tốt, sáng tạo và chiếm lĩnh được

2.Kiểm tra bài cũ: Khơng

3.Giảng bài mới:

+Giới thiệu bài: (1’) Tiết hơm nay ta sẽ ơn tập thơng qua hệ thống các bài tập

+Tiến trình bài dạy

TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

Bµi 14: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau:

4.Dặn dò học sinh chuẩn bị cho tiết học tiếp theo: (1’)

- Vận dụng các phương pháp biến đổi để giải hệ phương trình mũ, hệ phương trình lơgarit

- Kỹ năng biến đổi các biểu thức mũ, logarit thành thạo để từ đĩ việc giải hệ phương trình mũ, hệ

phương trình lơgarit được đơn giản

3.Thái độ:

- Tư duy: lơgic, linh hoạt, độc lập, sáng tạo

- Thái độ: cẩn thận, chính xác

II.CHUẨN BỊ:

1.Chuẩn bị của giáo viên: Giáo án, phiếu học tập

2.Chuẩn bị của học sinh: SGK, kiến thức về hàm số mũ, hàm số logarit, TXĐ, TGT của hàm số mũ,

hàm số logarit

III.HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:

1.Ổn định tình hình lớp : (1’) Kiểm tra sĩ số

2.Kiểm tra bài cũ: Khơng

3.Giảng bài mới :

+Giới thiệu bài: (1’) Tiết hơm nay ta sẽ ơn tập thơng qua các hệ thống bài bập

+Tiến trình bài dạy

TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

Cách giải BPT, mũ , logarit Hs theo dõi bài Phương pháp giải bpt logarit

4.Dặn dò học sinh chuẩn bị cho tiết học tiếp theo: (1’)

- Học sinh học và làm BTVN

IV.RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:

- Phát triển tư duy linh hoạt

- Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác

II.CHUẨN BỊ:

1.Chuẩn bị của giáo viên:

- Bài tập sách giáo khoa

- Lập các phiếu học tập

2.Chuẩn bị của học sinh: Biết phân biệt dạng toán dung phương pháp đổi biến số, từng phần III.HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:

1.Ôn định tình hình lớp: (1’) Kiểm tra sĩ số

2.Kiểm tra bài cũ: Không

3.Giảng bài mới

+Giới thiệu bài: (1’) Tiết hôm nay ta sẽ ôn tập lại toàn bộ cách tinh nguyên hàm

+Tiến trình bài dạy

TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

(u.v)’= u’.v + u.v’

 (u )' v dx=

vdx u

u dv = (uv)'dx+v du

u dv = uv -v du

Đ:Đặt u = x, dv = sinxdx Khi đó du = dx, v = -cosx

Ta có :

xdx x

 sin =- x.cosx +cosxdx = - xcosx + sinx + C

 sin =- x.cosx +cosxdx =

- xcosx + sinx + C

- Vd2 :Tìm xe x dx

H: Hãy cho biết đặt u, dv

như thế nào ? Suy ra

- Thông qua vd3, GV yêu

cầu HS cho biết đối với

dx x

dx x

ln = xlnx -  dx

= xlnx – x + C

- Đăt u = lnx, dv = x2dx du =

cos = -t.cost + sint + C Suy ra:

Bg :

Đặt u = x ,dv = ex

dx du = dx, v = ex Suy ra :

dx e

x

1

dx, v = x Khi đó :

dx x

= -2 x.cos x+2sin x+C

Lưu ý cho HS các dạng

thường sử dụng pp từng

phần

dx x x

f

dx x x

f

dx e

f

 ( )ln , đặt u =

lnx,dv =f(x) dx

dx x

- Phát triển tư duy linh hoạt

- Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác

II.CHUẨN BỊ:

1.Chuẩn bị của giáo viên :

- Bài tập sách giáo khoa

- Lập các phiếu học tập

2.Chuẩn bị của học sinh: Biết phân biệt dạng toán dung pp đổi biến số, từng phần

III.HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:

1.Ổn định tình hình lớp: (1’) Kiểm tra sĩ số

2.Kiểm tra bài cũ: (Lồng ghép trong lúc dạy)

3.Giảng bài mới:

+Giới thiệu bài: (1’) Tiết hôm nay ta sẽ ôn tập lại toàn bộ cách tinh nguyên hàm (1’)

+Tiến trình bài dạy

TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

15’ HĐ1: Thông qua nội dung

kiểm tra bài cũ

Giáo viên nhấn mạnh thêm

sự khác nhau trong việc vận

=2

1

du =12

1

u6 + C

= 12

1sin62x + C

x

dx

=3

1

du

=18

1

u6 + C=

18

1sin63

x

dx

=3

x

)

1sin6

37

3x x dx =

=2

1

1

du = 2

13

1(7+3x2) 73x2 +C

Bài 2.Tìm

37

Bg:

Đặt u=7+3x2du=6xdx Khi đó :

37

3x x dx =

=2

1

1

du = 2

13

1(7+3x2) 73x2 +C

Khi đó:

 x lnxdx =

= 3

2

x2

3

3

2

x2

3

- 3

23

=3

2

 tetdt Đặt u = t, dv = et

dt

du = dt, v = etKhi đó: tet

Khi đó:

 x lnxdx =

= 3

2

x2

3

3

2

x2

3

- 3

23

t2=3x-9

2tdt=3dx Khi đó: e 3x9dx

=3

2

 tetdt Đặt u = t, dv = et

dt

du = dt, v = et

= t et- et + c Suy ra:

 e 3x9dx=

3

2

tet - 3

2

et + c

Khi đó: tetdt=tet - e t dt

= t et- et + c Suy ra:

 e 3x9dx=

3

2

tet - 3

Ngày soạn:08/01/2016

Tiết:08 BÀI TẬP ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

I.MỤC TIÊU:

1.Kiến thức:

- Nắm được công thức tính diện tích,thể tích nhờ tích phân

- Biết được một số dạng đồ thị của những hàm số quen thuộc để chuyển bài toán tính diện tích và thể tích theo công thức tính ở dạng tích phân

2.Kỹ năng:

- Biết tính được diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối nhờ tích phân

3.Thái độ:

- Rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận chính xác và thói quen kiểm tra lại bài của học sinh

- Biết qui lạ về quen,biết nhận xét đánh giá bài làm của bạn

- Có tinh thần hợp tác trong học tập

II.CHUẨN BỊ:

1.Chuẩn bị của giáo viên:

- Giáo án,bảng phụ

- PP Gợi mở, vấn đáp, giải quyết vấn đề, hoạt động nhóm

2.Chuẩn bị của học sinh: Học bài và làm các bài tập SGK

III.HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:

1.Ổn định tình hình lớp: (1’) Kiểm tra sĩ số hs

2.Kiểm tra bài cũ: Không

3.Giảng bài mới:

+Giới thiệu bài mới: (1’) Tiết này chúng ta tìm hiểu cách tính tích phân có chứa trị tuyệt đối

+Tiến trình bài dạy

TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

Nghe hiểu nhiệm vụ

TL như nội dung ghi bảng Bảng phụ (có Hvẽ) 1.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;;b], trục Ox và x = a, x = b là

( )

b a

S f x dx

2.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ

thịcủa hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;;b], và x = a, x = b

là b ( ) ( )

a

S  f x g x dx

3.diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị của hai hàm số x = g(y), x = h(y) và hai đường thẳng y = c, y = d là

( ) ( )

d c

+ Yêu cầu đại diện nhóm

lên bảng trình bày lời

giải

+ Nhận nhiệm vụ và thảo luận nhóm

+ Đại diện nhóm lên trình bày lời giải

34b.Diện tích hình phẳng cần tìm là

S x  x  dx đặt t = x2

y = x, y =x2/4, x =0, x =1

y =1, y =x2/4, x =1, x =2

34a

f(x)=1 f(x)=x^2/4 f(x)=x x(t)=2 , y(t)=t f(x)=-x +0.4 f(x)=-x +0.8 f(x)=-x+1.2 f(x)=-x +1.7 f(x)=-x +2.1 f(x)=-x +2.5

1 2 3

y = 1; y = ;

2

x

4 x = 0, x = 2 + S2 là diện tích tam giác OAB

hạn bởi 2 đường cong

x = g(y), x = h(y) và hai

+ y x, y=0, x=0, x=4 +y =6-x, y=0, x=4, x =6

35c

7 6 5 4 3 2 1 -1 -2

B A

O

PT hoành độ giao điểm

Ngày soạn:15/01/2016

Tiết:09 BÀI TẬP TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ

I.MỤC TIÊU:

1.Kiến thức:

- Nắm được công thức tính diện tích,thể tích nhờ tích phân

- Biết được một số dạng đồ thị của những hàm số quen thuộc để chuyển bài toán tính diện tích và thể tích theo công thức tính ở dạng tích phân

2.Kỹ năng:

- Biết tính được diện tích một số hình phẳng

- Thể tích một số khối nhờ tích phân

3.Thái độ:

- Rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận chính xác và thói quen kiểm tra lại bài của học sinh

- Biết qui lạ về quen,biết nhận xét đánh giá bài làm của bạn

- Có tinh thần hợp tác trong học tập

II.CHUẨN BỊ:

1.Chuẩn bị của giáo viên:

- Giáo án,bảng phụ

- PP Gợi mở, vấn đáp, giải quyết vấn đề, hoạt động nhóm

2.Chuẩn bị của học sinh: Học bài và làm các bài tập SGK

III.HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:

1.Ổn định tình hình lớp: (1’) Kiểm tra sĩ số hs

2.Kiểm tra bài cũ: (5’)

Câu hỏi

H1: Phát biểu công thức để tính thể tích của một vật thể ?

H2: Phát biểu công thức tính thể tích vật thể tròn xoay ?

V  f x dx + Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y) liên tục trên đoạn [c;d], Oy và y = c, y = d quay xung quanh trục Oy tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích  2

( )

d c

V  g y dy

3.Giảng bài mới:

+Giới thiệu bài: (1’) Tiết này chúng ta tìm hiểu về thể tích vật thể tròn xoay

+Tiến trình bài dạy

TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

- Gọi đại diện nhóm lên

+ Nghe hiểu nhiệm vụ

+ Thảo luận nhóm để tìm lời giải

+ Cử đại diện trình bày

bảng trình bày lời giải

- chính xác hoá kiến thức

Và hướng dẫn khi cần

+ Nghe hiểu nhiệm vụ

+ Thảo luận nhóm để tìm lời giải

+ Cử đại diện trình bày

39 Thể tích cần tìm là

V = 1 2

0x e dx x (e 2)

   (đvtt) (từngphần)

40) Tính thể tích cần tìm là

2

2 0

IV.RÚT KINH NGHIỆM ,BỔ SUNG:

Phiếu HT1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2

, y = 4x – 4 , y = – 4x – 4 ? Phiếu HT2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ;

2 x

y x y Phiếu HT3 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường

y x, Ox và x = 0, x = 4 quay xung quanh Ox

Phiếu HT4 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

x

y , Ox và x = 0, x = 4 quay xung quanh Ox

Phiếu HT5 : Xđịnh CT thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường

;

2 x

y x y quay xung quanh Ox

GV gọi đại diện từng nhóm trả lời

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x y

Ngày soạn:20/01/2016

Tiết:10 NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN-DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH

I.MỤC TIÊU:

1.Kiến thức: Hệ thống kiến thức chương 3 và các dạng bài cơ bản trong chương

2.Kĩ năng: Củng cố, nâng cao và rèn luyện kỹ năng tính tích phân và ứng dụng tính tích phân để tìm

diện tích hình phẳng, thể tích các vật thể tròn xoay

3.Thái độ: Giáo dục tính cẩn thận, chặt chẽ, logic

II CHUẨN BỊ:

1.Chuẩn bị của giáo viên: Soạn bài, chuẩn bị bảng phụ hệ thống hoá lại các kiến thức cơ bản của

chương và xem lại giáo án trước giờ lên lớp

2.Chuẩn bị của học sinh: Soạn bài và giải bài tập trước khi đến lớp, ghi lại những vấn đề cần trao đổi

III.HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:

1.Ổn định tình hình lớp: (1’) Kiểm tra sĩ số

2.Kiểm tra bài cũ: (5’)

Câu hỏi

- Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên từng khoảng

- Nêu phương pháp tính nguyên hàm

Trả lời Giáo viên treo bảng phụ hệ thống kiến thức và bảng các nguyên hàm

3.Giảng bài mới:

+Giới thiệu bài: (1’) Tiết này chúng ta sẽ tìm hiểu một số ứng dụng của tích phân

+Tiến trình bài dạy

TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

+Cho học sinh xung phong

lên bảng trình bày lời giải

+Học sinh tiến hành thảo luận

f x x

x

 

+Học sinh giải thích về phương pháp làm của mình

Bài1 Tìm nguyên hàm của hàm số:

a

3 2

( ) 2 (1 )( ) 2 ln

1( ) 8

x

 

3 4

2 8( ) 4

+Yêu cầu học sinh nhắc lại

phương pháp đổi biến số

+Giáo viên gọi học sinh

đứng tại chỗ nêu ý tưởng

lời giải và lên bảng trình

bày lời giải

+Đối với biểu thức dưới

dấu tích phân có chứa căn,

thông thường ta làm gì?

ta biến đổi như thế nào để

có thể áp dụng được công

thức nguyên hàm

*Giáo viên gợi ý học sinh

+Học sinh nêu ý tưởng:

a

2

sin(2 1)( )

đổi biến số

10’ HĐ3: Sử dụng phương

pháp nguyên hàm từng

phần vào giải toán

+Hãy nêu công thức

nguyên hàm từng phần

+Ta đặt u theo thứ tự ưu

tiên nào

+Cho học sinh xung phong

lên bảng trình bày lời giải

A x

 )(2 ) 1 21

(1

Đồng nhất các hệ số tìm được A=B= 1/3

1(

152

1ln3

lại về nhà cho học sinh

HS lắng nghe và ghi nhớ Tìm nguyên hàm của hàm số( Áp dụng các công thức trong bảng các

nguyên hàm)

Sử dụng phương pháp đổi biến số vào bài toán tìm nguyên hàm

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần vào giải toán

4.Dặn dò học sinh chuẩn bị tiết học tiếp theo: (1’)

- Về nhà học bài và làm các bài tập còn lại trong SGK

IV.RÚT KINH NGHIỆM,BỔ SUNG:

Ngày soạn: 24/01/2016

Tiết:11 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I.MỤC TIÊU:

1.Kiến thức: Công thức khoảng cách từ 1 điểm tới 1 mặt phẳng

2.Kĩ năng: Nhớ và vận dụng được công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng và áp dụng

vào các bài toán khác

3.Thái độ: Cẩn thận, chính xác trong việc vận dụng công thức, tính toán

II.CHUẨN BỊ:

1.Chuẩn bị của giáo viên: Giáo án, máy chiếu projector, thước

2.Chuẩn bị của học sinh: Dụng cụ học tập, sách, vở,…

III.HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:

1.Ổn định tình hình lớp: (1’) Kiểm tra sĩ số

2.Kiểm tra bài cũ: Không

3.Giảng bài mới:

+Giới thiệu bài: (1’) Tiết này ta tìm hiểu về phương trình mặt phẳng

+Tiến trình bài dạy

7’ Hoạt động 1: Kiểm tra bài

- Học sinh lên bảng làm bài

Câu hỏi kiểm tra bài cũ:

- Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua 3 điểm A(5,1,3) ; B(5,0,4) ; C(4,0,6)

- Xét vị trí tương đối giữa (α) và (β): 2x + y + z + 1 = 0

phẳng trong không gian

GV hướng dẫn sơ lượt cách

chứng minh công thức và

cách ghi nhớ

Cho M(x0,y0) và đường thẳng  : ax + by + c = 0 d( M;  ) = 0 0

0 0 0 0

CBA

DCzByAx,

Md

d((α) ,(β)) = d(A,(α))

HS lên bảng

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa 2 mặt

phẳng (α) : 2x + y + z – 14 = 0 (β): 2x + y + z + 1 = 0