[r]
Trang 1Đáp án HSG Toán 8 Huyện Yên Lạc
Năm học 2011-2012
Câu 1: Từ (1) => (a+b)(b+c)(c+a)=0 a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a
+Nếu a=-b, thay vào (2) ta đợc b=8 Do đó P = 82011
+Nếu b=-c, thay vào (2) ta đợc a=8 Do đó P = 82011
+Nếu c=-a, thay vào (2) ta đợc c=8 Do đó P = 82011
Vậy với a, b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn các điều kiện (1) và (2) thì giá trị
của biểu thức P là 82011
Câu 2: ĐKXĐ : x ± 1, x -6
Ta có : A= (x +1)
2
−( x − 1)2+x2−4 x −1
x2−1 ⋅ x+2009
x +2009
x +6 =1+
2003
x +6
Để A có giá trị nguyên thì 2003 ⋮ x+6
2003 ⋮ x+6 => x+6 {−1 ;1;2003 ;−2003} =>x {−7 ;−5 ;1997 ;− 2009}
( t/m ĐKXĐ)
Vậy để A có giá trị nguyên thì x {−7 ;−5 ;1997 ;− 2009}
Câu 3:
1) Ta có: a3+b3+c3 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)-3abc
Nếu a+b+c =0 thì a3+b3+c3 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc
Ta thấy (4x-2008) +(2009-x)-(3x+1) = (4x-2008) +(2009-x)+(-3x-1) =0
Do đó: (4x-2008)3 +(2009-x)3+(-3x-1)3 = 3(4x-2008)(2009-x)(-3x-1)
Suy ra : (4x-2008)3 +(2009-x)3-(3x+1)3 = 0
(4x-2008)3 +(2009-x)3+(-3x-1)3 =0
3(4x-2008)(2009-x)(-3x-1)=0
x=502 hoặc x=2009 hoặc x=-1/3 Vậy tập nghiệm của phơng trình đã cho là S= {−13 ;502;2009}
2)Xét hiệu : M= (a2+b2+c2+d2+1) –
Suy ra: 4M = 4a2+4b2+4c2+4d2+4 – 4ab-4ac-4ad-4a
= (a2-4a +4) +(a2-4ab+4b2)+(a2-4ac+4c2)+(a2-4ad+4d2)
=(a-2)2+(a-2b)2+(a-2c)2+(a-2d)2
Vì (a-2)2 0; (a-2b)2 0 ; (a-2c)2 0 ; (a-2d)2 0
Nên 4M 0 => M 0
Vậy (a2+b2+c2+d2+1) a(b+c+d+1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=2; b=c=d=1
Câu 4:
a)BC//DE => CFCD= BF
BE => CF2
CD 2 = BF2
BE 2
AB//DF=> AEAD= BE
BF => AE
2
AD2=
BE2
BF2
CD=AD (vì ABCD là hình thoi)
Do đó : CF2
CD2+
AE2
AD2=
CF2+ AE2
BF2
BE2+
BE2
BF2
=> CF2+ AE2= BF4+BE4
BE2BF2 ⋅ AD2
≥2 BE
2
BF2
BE2BF2 ⋅AD2
=2 AD2 (áp dụng Cô-si)
Đẳng thức xảy ra khi và chi khi BE=BF Khi đó AC là đờng trung bình của tam
giác AEF
Vậy khi đờng thẳng d//AC thì CF2+AE2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 lần độ dài
cạnh hình thoi
b) Ta có :
AC=AD=CD => Δ ACD là tam giác đều => ∠ ACD= ∠ CAD =600
E
A
D C
F
d
Trang 2∠ CAE=1800 - ∠ CAD =1800 -600 =1200
∠ ACF=1800 - ∠ ACD =1800 -600 =1200
Do đó ∠ CAE= ∠ ACE(1)
Theo a) ta có CFCD= BF
AE
BE
BF suy ra CFCD= AD
AE hay CFAC= AC
Từ (1) và (2) suy ra Δ ACF ~ Δ EAC
c) Δ ACF ~ Δ EAC => ∠ AFC= ∠ ECA
∠ EOF= ∠ AFC+ ∠ OCF (góc ngoài của tam giác COF)
=> ∠ EOF= ∠ ECA+ ∠ OCF = ∠ ACF=1200
Vậy góc EOF không đổi
Câu 5: A=
A=
n
A=
A=
A=
2
1 1 1 1
A =
2
1005
A=
1005
A=
1005 2013 1007
A= 503
1005
2013