[r]
Trang 1UBND HUYệN YÊN LạC
PHòNG gd & đt
đề thi giao lu hsg năm học 2011-2012
Môn : Toán 6
Thời gian: 90 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: ( 2,5 điểm)
a) Một số tự nhiên chia cho 7 d 5, chia cho 13 d 4 Nếu đem số đó chia cho
91 thì d bao nhiêu?
b) Cho M = 5 + 52 +…+ 5100 Tìm số tự nhiên n biết rằng: 4.M + 5 = 5n
Câu 2: ( 1,5 điểm)
Tìm các số nguyên tố p và q sao cho 7p + q và p.q + 11 cũng là các số nguyên tố
Câu 3: ( 2,5 điểm)
a) Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho:
a + 2b = 48, ƯCLN(a,b) + 3.BCNN(a,b) = 114
b) Tìm các số nguyên n sao cho n2 + 1 chia hết cho n – 1
Câu 4: ( 2,0 điểm)
Cho n đờng thẳng trong đó bất kỳ hai đờng thẳng nào cũng cắt nhau, không có
ba đờng thẳng nào đồng quy Biết rằng tổng số giao điểm là 465 Tìm n
Câu 5: ( 1,5 điểm)
Cho dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu kể từ 1 lập thành từng nhóm nh sau:
(1), (2; 3), (4; 5; 6), (7; 8; 9; 10), (11; 12; 13; 14; 15),… Hãy tìm số hạng đầu tiên của nhóm thứ 100 trong dãy trên
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh không đợc sử dụng các loại máy tính cầm tay.
Trang 2Đáp án Câu 1: ( 2,5 điểm)
a)Gọi a là số tự nhiên chia cho 7 d 5, chia cho 13 d 4
Ta có: a – 5 ⋮ 7 a – 5 + 14 ⋮ 7
=> a – 4 + 13 ⋮ 13 => a+9 chia hết cho 7 và 13
=> a + 9 = 91 k ( k N* )
=> a = 91(k-1) +82
=> a chia cho 91 d 82
Vậy số tự nhiên chia cho 7 d 5, chia cho 13 d 4 Nếu đem số đó chia cho 91 thì
d 82
b)Ta có 5M = 52 + 53 +…+ 5101
5M – M = (52 + 53 +…+ 5101) – (5 + 52 +…+ 5100) = 5101 - 5
=> 4M + 5
Lại có: 4.M + 5 = 5n
=> 5n = 5101 Vậy n = 101
Câu 2: ( 1,5 điểm)
*Với p = q = 2, ta có 7p + q =16 là hợp số
*Với p, q > 3, ta có 7p + q là số chẵn lớn hơn 2 => 7p + q là hợp số
*Với p = 2
+Nếu q = 3, ta có 7p + q = 17 và p.q + 11 =17 đều là số nguyên tố
+Nếu q > 3 thì q có dạng 3k + 1 hoặc 3k +2 ( k là số tự nhiên khác 0) -xét q = 3k + 1, ta có 7p + q = 14 + 3k + 1=3(k + 5) là hợp số
-xét q = 3k + 2, ta có p.q + 11 = 2(3k + 2) + 11 =3(2k + 5) là hợp số
*Với q = 2
+Nếu p = 3, ta có 7p + q = 23 và p.q + 11 =17 đều là số nguyên tố
+Nếu p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k +2 ( k là số tự nhiên khác 0) -xét p = 3k + 1, ta có 7p + q = 7( 3k + 1) + 2=3(7k + 3) là hợp số
-xét p = 3k + 2, ta có p.q + 11 = 2(3k + 2) + 11 =3(2k + 5) là hợp số
Vậy các cặp số nguyên tố cần tìm là (p; q) = (2; 3); (3; 2)
Câu 3: ( 2,5 điểm)
a)Ta có:
BCNN(a,b) chia hết cho a và b nên 3.BCNN(a,b) chia hết cho a + 2b
=> 3.BCNN(a,b) = 48k ( k là số tự nhiên khác 0)
+ Với k =1, ta có 3.BCNN(a,b) = 48 => ƯCLN(a,b) = 114-48= 66 > BCNN(a,b)
điều này vô lí
+Với k =2, ta có 3.BCNN(a,b) = 96 => ƯCLN(a,b) = 114-96=18 => a, b là bội của 18
=>a +2b = 18m ( m là số tự nhiên khác 0)
Mặt khác a + 2b = 48 Do đó 18m = 48 => m =8/3 ( loại)
+Với k 3, ta có 3.BCNN(a,b) 144 (loại)
Vậy không có só tự nhiên a, b thỏa mãn đề bài
b)Ta có : n2 + 1 = n2 – n + n -1 +2 = (n -1)(n+1) + 2
(n -1)(n+1) ⋮ n-1 nên để n2 + 1 ⋮ n – 1 thì 2 ⋮ n-1
=> n-1 {1;− 1;2 ;−2} =>n {0 ;2;3 ;− 1}
Vậy các số nguyên n thỏa mãn đề bài là 0; -1; 2; 3
Câu 4: ( 2,0 điểm)
Có n đờng thẳng trong đó bất kỳ hai đờng thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba
đờng thẳng nào đồng quy Nên mỗi đờng thẳng sẽ cắt n – 1 đờng thẳng tạo ra n – 1 giao điểm Do đó n đờng thẳng thì có n(n-1) giao điểm nhng mỗi giao điểm
đã đợc tính 2 lần Vậy thực tế chỉ có n(n −1)
2 giao điểm Vì bài cho biết tổng
số giao điểm 465 nên ta có: n(n −1)
2 = 465 => n(n-1)=2.465 =930 = 31.31 => n = 31
Vậy n =31
Trang 3Câu 5: ( 1,5 điểm)
Bắt đầu từ nhóm thứ 2 quy luật của dãy là nhóm thứ n có n số hạng, số hạng đầu tiên của nhóm thứ n bằng tổng số số số hạng của n-1 nhóm trớc đó cộng thêm 1 Nhóm 1: - có 1 số hạng
Nhóm 2: - có 2 số hạng – số hạng đầu tiên là 1+1 =2
Nhóm 3: - có 3 số hạng – số hạng đầu tiên là (1+2)+1 =4
Nhóm 4: - có 4 số hạng – số hạng đầu tiên là (1+2+3)+1 =7
Nhóm 5: - có 5 số hạng – số hạng đầu tiên là (1+2+3+4)+1 =11
………
Nhóm n: - có n số hạng – số hạng đầu tiên là :
(1+2+3+4+…+(n-1))+1 = n(n −1)
2 +1 Vậy nhóm thứ 100 có 100 số hạng và số hạng đầu tiên của dãy là: 100 99
2 +1
=4951