Mọi vấn ñề phát sinh trong quá trình chấm phải ñược trao ñổi trng tổ chấm và chỉ cho ñiểm theo sự thống nhất của cả tổ..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn Toán – Bảng A (ñề thi chính thức)
Bài 1
6ñiểm
1 Giao hai tiệm cận I( 1;1)
Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với ñồ thị tại ñiểm có hoành ñộ x0
=>phương trình tiếp tuyến có dạng: 0
0 2
x
0,5
Tiếp tuyến cắt tiệm cận ñứng tại A( 0
0
5 1;
1
x x
+
− ) Tiếp tuyến cắt tiệm cận ngang tại B(2x −0 1;1)
0,5
Ta có 0
x IA
+
− − IB= 2x0 − − 1 1) = 2 x0 − 1
0
6
1
x
−
0,5
Do vậy diện tích tam giác IAB : 1 6
2
S = IA IB=
Gọi p là nửa chu vi ∆IAB => bán kính ñường tròn nội tiếp ∆IAB : r S 6
= =
=> r lớn nhất <= > p nhỏ nhất Mặt khác ∆IAB vuông tại I nên
0,5
2p=IA+IB+AB=IA+IB+ IA +IB ≥2 IA IB + 2IA IB =4 3+2 6
Dấu “ = ” xảy ra <=>IA=IB ⇔(x0−1)2 = ⇔ = ±3 x 1 3 0,5
Với x = −1 3ta có tiếp tuyến d1 : y= − −x 2( 3 1)−
Với x = +1 3ta có tiếp tuyến d2 : y=2( 3 1)+ − x 0,5
2 L =
0
lim
x
x
→
=
7 2
0
lim ( 2012)
x
x
x
→
Ta có L1 = 2
0
→ + = ; L3 =
0
1
Tính L2 =
7
0
lim
x
x x
→
ðặt
7
1 2
2
t
− = => =
Và khi x → 0 thì t → 1
t
Vậy L = 2012. 2 0 4024
− + = −
1
Trang 2Bài 2
3ñiểm
ðiều kiện:
2
2 0 4
x x
x x
+
−
0,5
Với ñ/k ñó phương trình ñã cho tương ñương với
8 +2x−x ; Khi x ∈ [ – 2; 4) thì t ∈ [ 0; 3] (2) Phương trình trở thành : – t2 – mt + 2t – 6 – m = 0 0,5
⇔ 2 2 6
1
m
t
= +
Xét hàm số ( ) 2 2 6; [ ]0;3
1
t
+ ; f’(t) =
2 2
( 1)
t
0,5
f’(t) = 0 ⇔ 4
2
t t
= −
=
Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên ñoạn [ 0 ; 3 ]
f(t)
- 2
–6 9
4
−
0,5
Phương trình ñã cho có nghiệm x∈ [–2; 4) ⇔ Phương trình (2) có nghiệm t∈ [0; 3]
⇔ ðường thẳng y = m cắt ñồ thị hàm số f(t) , t ∈ [ 0; 3 ] ⇔ – 6 ≤ m ≤ – 2
Vậy với – 6 ≤ m ≤ – 2 thi phương trình có nghiệm 0,5
Bài 3
3ñiểm
Ta có:
sin 45 sin
2
x
B C
= o = + ;
; sin
2
r y
B
=
sin
2
r z
C
=
r
A
I
1
Suy ra:
+
+
2 2 2 2
y z a
x
= (1) 1
Trang 3Ngoài ra ñịnh lý hàm cos trong tam giác BIC cho :
a2 = y2 +z2 − 2yzcosBIC
<=> 2 2 2 2 (180 )
2
B C
a = y +z − yzcos − +
<=> 2 2 2
a = y +z − yzcos o <=> 2 2 2 2
2 2
a = y +z + yz (2)
Từ (1) và (2) ta có :
2 2
2 2
y z
x = + + <=> 12 12 12 2
x = y + z + yz
1
Bài 4
5ñiểm
a)
⊥
=> BH CM BH (ACM) AC
⊥
=> AC BH AC (BHK)
⊥
1
Mặt phẳng (BHK) ñi qua B cố ñịnh và vuông góc với AC cố ñịnh nên
mp(BHK) cố ñịnh
0,5
∆BHK vuông tại H => SBHK= (1/2) BH.HK
(const)
+
vậy ∆BHK có diện tích lớn nhất BH = HK ∆BHK vuông cân
Khi ñó
2
BK
BH =
1
Mà 1 2 12 1 2
BH = AB + BM 12 12 12
BK = AB + BC
=> 1 2 1 2 12 12 1 2 1 2
BK = BH <=> AB + BC = AB + BM
1
<=>
+
=>
2 2 2
(với R là bán kính ñường tròn (C), AB = h )
1
Mà B cố ñịnh => M thuộc ñường tròn tâm B bán kính
2 2
hR
h + R
=> có hai vị trí của M làm cho diện tích ∆BHK ñạt GTLN ñó là giao của
ñường tròn (C) và ñường tròn (B;BM)
0,5
H B
C M
A
K
Trang 4Bài 5
3ủiểm
2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2
Nhận xét: Do abc =2 2 nên a2, b2, c2 là các số thực dương
0,5
Xét : A =
2 2
2 2
x y xy
x y xy
+ ư + + với x,y > 0
Chia tử và mẫu cho y2 và đặt t = x
y ta được A =
2 2
1 1
t t
t t
ư + + + với t > 0
0,5
Xét hàm số f(t) =
2 2
1 1
t t
t t
ư + + + trên (0;+∞)
Ta có : f’(t) =
2
2( 1)
t
t
t t
ư
= ⇔ = + +
Bảng biến thiên:
t 0 1 +
f’(t) – 0 +
f(t)
1 1 1
3
0,5
Dựa vào bảng biến thiờn ta cú ( ) 1
3
f t ≥ với mọi t > 0
Từ ủú A =
2 2
2 2
1 3
x y xy
≥ + + với x,y > 0; dấu bằng xảy ra khi t = 1 nờn x = y
Áp dụng với x = a2 , y = b2 ta cú
4 4 2 2
4 4 2 2
1 3
a b a b
a b a b
+ ư
≥ + +
Tương tự
4 4 2 2
4 4 2 2
1 3
b c b c
b c b c
≥
4 4 2 2
4 4 2 2
1 3
c a c a
c a c a
≥
0,5
=> 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2
Áp dụng BðT Cụsi ta cú 2 2 2 3 2 2 2
a +b +c ≥ a b c = với abc =2 2 => P ≥ 4 dấu ủẳng thức xảy ra chẳng hạn khi a = b = c = 2
Vậy Pmin = 4 khi chẳng hạn a = b = c = 2
0,5
Chỳ ý:
1 Hướng dẫn chấm này chỉ trỡnh bày sơ lược bài giải Bài làm của học sinh phải chi
tiết,lập luận chặt chẽ,tớnh toỏn chớnh xỏc mới ủược ủiểm tối ủa
2 Cỏc cỏch giải khỏc nếu ủỳng vẫn cho ủiểm Tổ chấm trao ủổi và thụng nhất chi tiết
nhưng khụng ủược quỏ số ủiểm dành cho cõu, phần ủú
3 Cú thể chia ủiểm thành từng phần nhưng khụng dưới 0,25 ủiểm và phải thống nhất trong
cả tổ chấm
4 ðiểm toàn bài là tổng số ủiểm cỏc phần ủó chấm Khụng làm trũn ủiểm
5 Mọi vấn ủề phỏt sinh trong quỏ trỡnh chấm phải ủược trao ủổi trng tổ chấm và chỉ cho ủiểm theo sự thống nhất của cả tổ