Đề và đáp án HSG Toán 8 cực hay

Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dơng của n.. c Chu vi ADE không đổi.

Câu 1: a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn

b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên dơng của n

c) Nếu a chia 13 d 2 và b chia 13 d 3 thì a2+b2 chia hết cho 13

Câu2 : Rút gọn biểu thức:

a) A=

) )(

(a b a c

bc



) )(

(b c b a

ca



) )(

(c a c b

ab





b) B =

3 3 3

6 6 6

1 1

2 1 1

x

x x x

x

x x x

















































Câu 3: Tính tổng: S =

3 1

1

+

5 3

1

+

7 5

1

+ … + 1

2009.2011

Câu 4: Cho 3 số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011 Chứng minh rằng biểu thức

sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z :

2011x y z

xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z 1        

Câu 5: Giải phơng trình:

69 x 67 x 65 x 63 x 61 x

5

Câu 6: Cho ABC tam giác đều, gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy = 600

quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E Chứng minh :

a) BD.CE=

4

2

BC

b) DM, EM lần lợt là tia phân giác của BDE và CED

c) Chu vi ADE không đổi

Đáp án và biểu điểm

điểm

2

m

n 1





a, Thực hiện chia

2

m

n 1

 





= n + 1

0.5

Hay n + 1 1; -1  Khi đó : n + 1 = 1  n = 0 Z ( t/m)

n + 1 = -1  n = -2  Z (t/m)

Với n = 0  m = 1 Với n = -2  m = - 3 Vậy 0.5

b, A = n3 + 3n2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) 3 +2(n+1) =

Khi đó : 3(n+1)  3

n( n +1) (n+ 2) là tích của 3 số nguyên dơng liên tiếp nên tồn tại một số là

bội của 3

0.5

a2 + b2 = ( 13k +2 )2 + ( 13q + 3) 2 = = 13( 13k2 +4k +13 q2 + 4q +1)  13 1 2

(a b)(a c) (b c)(a b) (a c)(b c)         (đổi dấu)

= … = = (a b)(a c)(b c)

(a b)(a c)(b c)

b) Ta có:

6

1 x

x



=

2 3

3

2

Tử thức:

6 6 6

=

2 3

3

-

2 3

3

1 x x



Mộu thức:

3 3 3

Rút gọn ta có: B = 3 ( 1)

x

x 

4

3

2

2011 2011x xy xyz y yz 1 z zx        

= xy.xz2 y z

xyz x yz xy xyz y yz 1 z zx        

=

) 1 (

.



z xz xy

xz xy

+

zx

z 

 1

1

+

zx z

z





zx z

xz z







 1

1

= 1 không đổi

2

0.5

1942 1944 1946 1948 1950    = 0

1

0

1942 1944 1946 1948 1950     )  x = 2011.

0.5

Vì BM = CM = BC

2  BD.CE =

2

BC

4

b, Chứng minh  BMD  MED

Từ đó suy ra Dˆ1 Dˆ2 , do đó DM là tia phân giác của góc

BDE

Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED

c, Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

Chứng minh DH = DI, EI = EK.

Chu vi bằng 2.AH

Kết luận … =

2.5

1.5 1.5

Chú ý: Có nhiều cách khác nhau , nhng có chung 1 kết quả

3 1 2

x

y

E D

B

A