BO DE THI HSG TOAN 8 CO DAP AN

-Học sinh có bài giải cách khác, nếu làm đúng vẫn cho điểm tối đa.. GV: NGUYỄN THỊ LÊ NA.. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số [r]

b) Tính giá trị của M khi |x| = 12

Bài 2: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2

a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử

b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Với AB = a ; AD = b Từ đỉnh A , kẻ một

đường thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC tại G

= 32 ; Với x = - 12 ta có : M =

1 2+12

c2 - a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)

b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0

Ta có: (b + c - a) >0 ( BĐT trong tam giác)

(b + c + a) >0 ( BĐT trong tam giác)

(b - c -a) <0 ( BĐT trong tam giác)

(b + c -a) >0 ( BĐT trong tam giác) Vậy A< 0

Vậy GTLN của B là 3 ⇔ x = 0

⇔ xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0

⇔ (x -y) [xy − xyz(x + y +z)+xz+yz] = 0

¿(a+b)(a(1+a)−b (1+a)+b2(1 − a)(1+a))

(a+b)(1− b)(1+a) =¿(a+b)(1− b)(1+a)¿

(a+b)(1 − b)(1+a)=a+ab − b

b.- Để P =3: a+ab− b=3 ⇔a(1+b)−(1+b)=2 ⇔(a −1)(1+b)=2

- Lập các hệ: {a −1=1 b+1=2 ; {a −1=− 1 b+1=−2 ; {a −1=2 b+1=1 ; {a −1=− 2 b+1=−1

- Giải: {a=2 b=1 ; {b=− 3 a=0 ; {a=3 b=0 ; {a=− 1 b=− 2

- Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm: {b=− 3 a=0 ; {a=3 b=0

(Mỗi ý cho 0,25 điểm – Riêng ý 6: 0,50 điểm)Câu 2: (1.5 điểm)

x −1)¿Có:

0,50Câu 4: (2.0 điểm)

- Chứng minh được MBPD là hình bình

hành

- => FM // BE

- M là trung điểm của AB nên MF là đường

trung bình của ABE

- => FA = FE

- Chứng minh được AN vuông góc với DM

- Suy ra  DAE cân tại D

- => DE = DA Do DA = DC nên DE = DC

0,250,25

0,250,250,500,250,25

- CM: EAD  EFB để được BFDA= EB

A

DE

F

G

N

Câu 3 Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, đoạn

xuống dốc DB tổng cộng là 30km.Một người đi từ A đến B rồi từ B về A hết tất cả 4h 25 phút.Tính quãng đường nằm ngang,biết vận tốc khi lên dốc là 10km/h, vận tốc khi xuống dốc là 20km/h và vận tốc đi trên đường nằm ngang là 15km/h

Câu 4 Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến BD, phân giác của góc ADB và

góc BDC lần lượt cắt AB, BC ở M và N, biết AB = 8, AD = 6

a) Chứng minh rằng: MN//AC

b)Tứ giác MNCA là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCA?

Câu 5 a) Giải bất phương trình:

21

c) Chứng minh m, n, p, q ta đều có m2

+ n2+ p2+ q2

+1 m(n+p+q+1) dấu bằng xảy ra khi nào?

ĐÁP ÁN:

1 ) 6 5 )(

4 5 (

2

2 2

x x x x

1 ) 4 5 ( ) 4 5 (

2

2 2 2

x x x

x

) 5 5

x

x x

5 4

5 2

Câu 2 a, Chia 3x3 + ax2 + bx + 9 cho x2 – 9

được 3x + a dư (b + 27)x + (9 + 9a)

Để phép chia hết cần : (b + 27)x + (9 + 9a) = 0 với mọi x

9 + 9a = 0  B = - 27a = - 1b)  a2x + ab = b2x – b2

+) Nếu a = - b thì pt có dạng 0x = 0 suy ra pt nghiệm đúng mọi x

+) Nếu a ≠ ± b thì pt có 1 ngiệm duy nhất x = a b

Cả đi và về quãng đường nằm ngang là 2x

Cả đi và về quãng đường lên dốc là 30 – x

Cả đi và về quãng đường xuống dốc là 30 –x

Ta có phương trình: 12 5( )

5 4 20

30 10

30 15

2

tm x

x x

NB AD

(

MA BD

MN



) ( 5 ,

7 cm

MN 

 ; SAMND = 292,5 (cm2)Câu 5 Dành cho hs không học trường

a) 2 < x <3

b) y = 1 – 4x suy ra y2 = (1 – 4x)2

x x

x y

x          0 

5

) 1 5 ( 4 5

1 ) 4 1 ( 4 5

1 4

2 2

2 2

2

(đpcm)Câu 5 Dành cho hs trường

4)(4

1

828

1

91

9

1

1

9

11

a ab

ab ab

b

a

ab b

b)

xy y xy x A

xy y xy x y x A

A Thay y = 1 – x vào A được:

1 ) (

2 ) 1

12

12

Suy ra Min A = 1/2 khi x = 1/2 ;

Và y = 1/2

0 1 4

4 4

4

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

m n

m

(luôn đúng)

Dấu bằng xảy ra khi 

0 2

0 2

0 2

m q m p m n m

m

m q

m p

m n

2

q p n m

2

2 3 4

bc

b a

ab

a

biết abc = 1 b) Với a + b + c = 0 thì a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2

c) c

a a

b b

c a

c c

b b

2 2 2

Câu 3: (5điểm) Giải các phương trình sau:

a) 82 6

54 84

132 86

c) x2- y2 + 2x - 4y-10 = 0 với x, y nguyên dương

Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm hai đường chéo

Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E, cắt BC tại F

a) Chứng minh :Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC

b) Chứng minh: AB CD EF

2 1 1





c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng đi qua Kvà chia đôidiện tích tam giác DEF

Câu Nội dung Điểm

0,50,50,5

0,50,50,50,5

n2 + 2 là ước tự nhiên của 2

n2 + 2 =1 không có giá trị thoả mãnHoặc n2 + 2 = 2  n = 0 Với n = 0 thì B có giá trị nguyên

c) (2đ) D = n5- n + 2 = n(n4-1) + 2 = n(n + 1)(n-1)(n2 + 1) + 2 = n(n - 1)(n + 1)  2 4 5





n + 2 = n(n-1)(n+1)(n-2)(n + 2) +

5 n(n - 1)(n + 1) + 2

Mà n(n-1)(n + 1)(n-2)(n + 25 (tớch 5số tự nhiên liên tiếp)

Và 5 n(n-1)(n + 15 Vậy D chia 5 dư 2

Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7 nên D không phải số chính phương

Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phương

Câu 2

(5điểm)

a) (1đ)  1  1acc1

c b

bc

b a

ab a

12

abc abc

abc c

ac abc ac

1 1

ac

c ac

c

abc c

ac ac

0,50,5

0.5

0.50.50.5

b) (2đ) a + b + c = 0 a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = 0

 a2 + b2 + c2 = -2(ab + ac + bc)

 a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2) = 4( a2b2+a2c2+b2c2) + 8abc(a +b + c) Vì a + b + c = 0

 a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) (1)Mặt ≠: 2(ab + ac + bc)2 = 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) + 4abc(a + b + c)

Vì a + b + c = 0

 2(ab + ac + bc)2 = 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) (2)

Từ (1)và(2)  a4 + b4 + c4 = 2(ab + ac + bc)2

0,50,50,5

0,5

c) (2đ) Áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 2xy Dấu bằng khi x = y

a c

b b

a c

b b

a

2 2

2

2 2

c b

a a

c b

a

2 2

2

2 2

b a

c c

b a

c

2 2

2

2 2

cc

a(2)a

cc

bb

a(

2 2

2 2

cc

aa

cc

bb

a

2

2 2

2 2

132 86

132 (

) 1 86

300 86

1 86

0,50,50,5

Câu 3

(5điểm)

b) (2đ) 2x(8x-1)2(4x-1) = 9

 (64x2-16x+1)(8x2-2x) = 9  (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 Đặt: 64x2-16x + 0,5 = k Ta có: (k + 0,5)(k- 0,5) =72 

k2=72,25  k = ± 8,5Với k=8,5 ta có phương trình: 64x2-16x-8=0  (2x-1)(4x+1)=0;

1

; 2

0,50,5

0,50,5

c) (1đ) x2-y2+2x-4y-10 = 0  (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7 = 0  (x+1)2-(y+2)2=7  (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x, y nguyên dương

Nên x+y+3 > x-y-1>0  x+y+3=7 và x-y-1=1  x = 3; y =1 Phương trình có nghiệm dương duy nhất (x, y) = (3; 1)

b) (2đ) Vì EO//DC  AC

AO DC

AB

AB DC

(Cma) (2) Từ (1) và(2)  SDEKN = SKFN

0,51,00,51,0

Tính giá trị của biểu thức x + 3y

K A

H

E I

Một trường học được xây dựng trên khu đất hình

chữ nhật ABCD có AB = 50m; BC = 200m Ở phía

chiều rộng AB tiếp giáp đường chính, người ta sử

dụng hai lô đất hình vuông AMEH, BMIK để xây

dựng phòng làm việc và nhà để xe Diện tích còn lại để

xây phòng học và các công trình khác (hình vẽ) Tính

diện tích lớn nhất còn lại để xây phòng học và các

công trình khác

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

⇔ a2 + b2 1250 Diện tích nhỏ nhất SAMEH + SBMIK = 1250 (m2)Diện tích lớn nhất còn lại: 10000 – 1250 = 8750 (m2)

x2−2 x+4

(x − 2)(x +2)

0,25đ

HM

a) Rút gọn P

b) CMR: P < 0 với mọi x

Câu 2: a) Tìm đa thức P(x) biết: P(x) chia cho x - 1 dư -3, P(x) chia cho x + 1 dư 3,

P(x) chia cho x2 – 1 được thương là 2x và còn dư bao nhiêu?

b) Giải phương trình:

1

2 2



1 (x  3)(x  2)+ 2 1

1 2 2



 x

Câu 3: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành công việc đó trong 24 h Nếu đội thứ nhất làm trong 10 h, đội thứ hai làm trong 15 h thì cả hai đội làm được

2

1

Câu 4: Cho tam giác ABC, hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại 0 Từ P bất kì

trên cạnh AC, vẽ PE // AK, PF//CL (E thuộc BC, F thuộc AB), các trung tuyến AK,

CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N

CMR: FM = MN = NE

Câu 5: a) Giải bất phương trình:

x  xb) CMR: với a là số tuỳ ý, ta có:

(a – 1)(a – 3)(a – 4)(a – 6) + 9  0

Câu 6: a) Giải phương trình: (x + y)2 = (x + 1)(y – 1)

b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

CMR : 6

b c a a c b a b c        

ĐÁP ÁN:

22

2 3

x x

 (x2 + 3)2 = 0  Phương trình vô ngiệm vì VT > 0  x R

Câu 3: Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x (h) (x > 24)

1h đội I làm được

1

x (công việc) 1h đội II làm được

b) Có (a – 1)(a – 3)(a – 4)(a – 6) + 9

= (a2 – 7a + 6)(a2 – 7a + 12) + 9 Đặt a2 – 7a + 9 = y

= (y – 3)(y + 3) + 9 = y2 ≥ 0 với mọi y (đpcm)

Câu 5: Dành cho học sinh trường Tiên Lữ

ĐỀ SỐ 8:

Bài 1: (2,0 điểm)

Cho a, b là bình phương của hai số nghuyên lẻ liên tiếp

Chứng minh rằng: ab – a - b + 1 chia hết cho 48

a) Chứng minh AM song song với BD

b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD và AB Chứng minh

a) Ta có O là trung điểm của AC (ABCD là hình chữ nhật)

P là trung điểm của CM (Vì M đối xứng với C qua P)

Nên OP là đường trung bình của ACM nên OP//AM

Do đó: OP//AI và OP = AI nên tứ giác AIPO là hình bình hành

Suy ra: PI//AC (1)

Kẻ ME//AB cắt AC tại K Ta có KAE = EAM (Vì cùng bằng KDA)

Nên AE là phân giác của KAM, mặt khác AE KM

 AKM cân nên E là trung điểm của KM do đó EI là đường trung bình của AMK

 EI//OA nên EI//AC (2)

Bài 3 (3 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó

Bài 4 (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4− 2 a3 +3 a 2−4 a+5

Bài 5 (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD Gọi M,

N, I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD

a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh

b, Cho AB = 4cm Tính các cạnh của tứ giác AMNI

Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1+x2)(1 − x)<0 (1) 0,25đ

Vì 1+x2> 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1− x<0 ⇔ x >1

KL

0,5đ0,25đBài 2 (3 điểm)

Biến đổi đẳng thức để được

a b  ab b c  bc c a  ac a  b  c  ab ac bc

0,5đBiến đổi để có (a2+b2− 2ac )+(b2+c2−2 bc)+(a2+c2−2 ac)=0 0,5đBiến đổi để có

¿ ; b − c¿2= 0

¿ và a − c¿2=0

¿ ;

0,5đ0,5đ

Theo bài ra ta có phương trình x +11 x = x +15 x − 7 0,5đ

Từ đó tìm được phân số −5

Bài 4 (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4− 2 a3+3 a2−4 a+5

Biến đổi để có A= a2(a2+2)−2 a(a2+2)+(a2+2)+3

Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đb,(2điểm)

M

B A

d Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Câu 3 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD Kẻ ME

AB, MFAD

a Chứng minh: DECF

b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy

c Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

HƯỚNG DẪN CHẤM

(3 điểm)

= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)

( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24

= (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)





4A3

hoặc

4A5

HƯỚNG DẪN CHẤM

a Chứng minh: AEFMDF

b DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm (1 điểm)

c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

(0.5điểm)

Bài 5: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Phân giác góc AMB cắt AB tại E, phân

giác góc AMC cắt AC tại F

a) Chứng minh : EF // BC

b) Cho BC = 20 cm, AM = 10 cm Tính EF

………Hết ………

Thử lại và chọn n=0 ;2

0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ

0,25đ0,25đ0,25đ0,25đ

Suy ra EF // BC (Định lí ta let đảo)

b Chứng minh tam giác ABC vuông tại AChứng minh: AEMF là hình chữ nhật Suy ra được EF = AM = 10 cm

0,25đ0,25đ0,25đ0,250,25đ0,25đ

Do đó : 3x + 1 = 0 và y – 2 = 0 và 2z – x = 0 (0,25 điểm)

⇔ x = −1

3 ; y = 2; z = −1

6 (0,25điểm)

Bài 3( 2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút Nếu ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của ngời đó

PD

PB  Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD

Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092011 + 20112012 chia hết cho 2010

b) Cho x, y là các số lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng:

2 2

1 x 1 y 1 xy

x x



 2đb)

1 2

x 

+)

x  > 0  x – 5 > 0  x > 5 0,5đ

Với x > 5 thì P > 0 0,25

Bài 2:

a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD

 PO là đường trung bình của tsm giác CAM

 AM//PO

 tứ giác AMDB là hình thang 1đb) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)

Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân

ở I nên góc IAE = góc IEA

Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đc) MAF DBA g g   nên

MF AD

FA AB không đổi (1đ)d) Nếu

9 16

OM

P

IE

F

1 +z

1 = 3 Tính giá trị của biểu thức P = 2 2 2

111

z y

a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3  9 với mọi n N*

b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

z x

z

y z

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC) Trên tia

HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn

ĐỀ SỐ 13:

Câu 1

(4đ) a) Đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1

 A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)b) A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)

z y

x  = 2 2 2

111

z y

x   + 2(xy1  xz1  yz1 )

( 3)2= p + 2 xyz

x y

z 

VậyP + 2 = 3Suy ra P = 1

0.75đ0,75đ0.5đ

1 54

1 57

Ta thấy n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 (vì tích của 3 số tự

nhiên liên tiếp)

3(n + 1) chia hết cho3  B chia hết cho 3  A = 3B chia

hết cho 9

b) Đặt y + z = a; z + x = b ; x + y = c  x + y + z = a+b+c2

 x = 2

c b

a 



; y = 2

c b

a 

; z= 2

c b

a 

c b a b

c b a a

c b a

2 2

1 1

( 2

1

c

b c

a b

c b

a a

c a

0,5đ

0.5đ

)) (

) ( ) ( 3 ( 2

1

b

c c

b c

a a

c b

a a

Suy ra: BEC = ADC 1350 (vì tam giác AHD vuông cân tại H

theo giả thiết)

Nên AEB 450Do đó tam giác ABE vuông cân tại A

Suy ra: BEAB 2 m 2

0,25 đ0,25 đ

0,25 đ0,5 đ

0,25 đ0,5 đ

BC  BC  AC (do ΔBEC ~ Δ ADC )

mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)

Hoặc : a-1=2 suy ra p=13 ( thoả mãn)

Hoặc: a2 + a + 1 = 2 điều này không xảy ra vì a >1

Vậy trong các số tự nhiên có dang 2p+1 (p là số nguyên tố)

chỉ có 1 số là lập phương của một số tự nhiên khác

1đ0,5đ

0,5đ

6 4

3

2

x x x

2

x

x x

a Rút gọn M

b.Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhất

Bài 2:(3 điểm) Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2

a Phân tích biểu thức A thành nhân tử

b Chứng minh: Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0

c Chứng minh : H cách đều ba cạnh tam giác DEF

d Trên các đoạn HB, HC lấy các điểm M, N tùy ý sao cho HM = CN

Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định

.Hết

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8

6 4

3

2

x x x

6 )

2 )(

2 (

2

x x

x x x x

2

x

x x

x 

2 ) 2 )(

2 (

b + Nếu x  2 thì M 0 nên M không đạt GTLN

+ Vậy x 2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dương, nên M

muốn đạt GTLN thì Mẫu là (2 – x) phải là GTNN,

Mà (2 – x) là số nguyên dương  2 – x = 1  x = 1

Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên của x là: 1

0,5

0,5 0,5 0,5

b Ta cú: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giác)

Tương tự: (b + c +a) >0 ; (b – c –a ) <0 ; (b + c –a ) >0

Vậy A < 0

0,5 0,5 0,5

b Ta có: (x + y + z)3= x3+ y3+ z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x)

Kết hợp các điều kiện đó cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0 0,5