Tính chất định tính của phương trình tích phân trong không gian banach và ứng dụng

TÓM TẮT LUẬN VĂNLuận văn gồm 3 chương,chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản.Chương 2 trình bày sự tồn tại nghiệm của hương trình tích phân đa trị phụthuộc vào điều kiện đầu và tham số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCMTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐOÀN NGUYỆT ANH

TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG-HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Đình Huy

Cán bộ nhận xét 1:

Cán bộ nhận xét 2:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại trường Đại Học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM ngày tháng năm

Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ) 1

2

3

4

5 Xác nhận của chủ tịch hội đồng đánh giá luận văn và trưởng khoa quản lý chuyên nghành sau khi luận văn đã chỉnh sửa (nếu có)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập -Tự do-Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên:Đoàn Nguyệt Anh MSHV:13241373

Ngày,tháng,năm sinh:03/07/1983 Nơi sinh:Quảng Trị

- Ứng dụng của phương trình tích phân

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 19/01/2015

III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 14/06/2015

IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS.NGUYỄN ĐÌNH HUY

Tp.HCM,ngày tháng năm 2015

TRƯỞNG KHOA

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Nguyễn ĐìnhHuy, người đã tận tình hướng dẫn, khuyến khích và tạo điều kiện thuận lợi tối

đa để tôi hoàn thành tốt luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới quý thầy cô trong hội đồng chấm luận văn đã dànhthời gian và công sức để đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thànhtốt luận văn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tập thể thầy cô trong bộ mônToán Ứng Dụng - Khoa Khoa Học Ứng Dụng, phòng Đào Tạo Sau Đại Học -trường Đại Học Bách Khoa - Đại Học Quốc Gia TP.HCM đã tận tình giúp đỡ,truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt khóa học

Do kiến thức bản thân còn hạn chế cũng cần phải học tập thêm, kính mongnhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của của quý thầy cô khi đọc và chấmluận văn

Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, và bạn bè đã hỗ trợ,động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua

Xin chân thành cảm ơn!

TP.HCM ngày 15 tháng 5 năm 2015

Đoàn Nguyệt Anh

TÓM TẮT LUẬN VĂNLuận văn gồm 3 chương,chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản.

Chương 2 trình bày sự tồn tại nghiệm của hương trình tích phân đa trị phụthuộc vào điều kiện đầu và tham số ,sự tồn tại nghiệm của phương trình tíchphân đa trị ngẫu nhiên trong không gian Banach.Chương 3 trình bày các ứngdụng của phương trình tích phân

ABSTRACTThe thesis contains three chapters.

Chapter 1 presents the basic concept

Chapter 2 Existence of solution for Multi-Valued Integeral Equations,The Existence of solution for Multi-Valued Integeral in Banach.Chapter 3 Applications of Integeral Equations

LỜI CAM ĐOANTôi tên là Đoàn Nguyệt Anh, mã học viên: 13241373, học viên cao học chuyênngành Toán Ứng Dụng Trường Đại Học Bách Khoa TP.HCM khóa 2013-2015.Tôi xin cam đoan rằng: ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trình khácnhư đã ghi rõ trong luận văn, các công việc trình bày trong luận văn này là dochính tôi thực hiện và chưa có phần nội dung nào của luận văn này được nộp

để lấy bằng cấp ở trường này hoặc trường khác

Tp.HCM, ngày 14 tháng 06 năm 2015

Học viên thực hiện

Đoàn Nguyệt Anh

Mục lục

1.1 Khoảng cách Hausdorff 15

1.1.1 Không gian của những tập con đóng của không gian mêtríc 15 1.1.2 Không gian đều, đều Hausdorff 20

1.1.3 Không gian các tập lồi đóng của không gian lồi địa phương 21 1.1.4 Tính liên tục của hàm đa trị lồi 24

1.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị 28

1.2.1 Ánh xạ đa trị 28

1.2.2 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị 32

1.3 Tích phân của ánh xạ đa trị 38

1.3.1 Ánh xạ đa trị đo được, lát cắt đo được 38

1.3.2 Tích phân của ánh xạ đa trị 46

1.3.3 Lát cắt liên tục và lát cắt Lipschitz 49

1.3.4 Tích phân Aumann của ánh xạ dưới vi phân Clarke 51

2 Tính chất định tính của phương trình tích phân trong không

2.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân đa trị phụ thuộc

vào điều kiện đầu và tham số 54

2.2 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân đa trị ngẫu nhiên trong không gian Banach 60

3 Một số ứng dụng của phương trình tích phân 63 3.1 Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân thường 63

3.2 Ứng dụng hàm tích phân Abel ngành vật lý 66

3.2.1 Trong vật lý Plasma 66

3.2.2 Trong điện tử học 66

3.2.3 Trong thiên văn học 66

3.3 Ứng dụng phương trình tích phân Volterra loại 2 trong mô hình kinh tế vĩ mô 67

Kết luận 73 Lý lịch trích ngang 75 Tài liệu tham khảo 76

Pk(X) tập tất cả các tập con compact của X

Pcb(E) không gian của các tập con lồi compact của E

F : X ⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y

F−1: Y ⇒ X ánh xạ ngược của F

[x, y] đoạn thẳng {(1 − t)x + ty : 0 ≤ t ≤ 1} nối hai điểm

x, y trong không gian vecto X

Rn+ tập vecto với tọa độ không âm trong Rn

xT vecto hàng là chuyển vị của vecto cột x

hx, yi tích vô hướng của các vecto x và y

BX hình cầu đơn vị mở trong không gian X

d(x, Ω) khoảng cách từ điểm x đến tập Ω

coneM hình nón sinh bởi tập hợp M

af f D bao aphin của D

extrD tập các điểm cực biên của D

TΩ(x) nón tiếp tuyến Bouligand của Ωtại x ∈ Ωhoặc nón

tiếp tuyến của tập lồi Ω tại x ∈ Ω

TΩb(x) nón tiếp tuyến trung gian (nón kề) của Ω tại x ∈ Ω

CΩ(x) nón tiếp tuyến Clarke của Ω tại x ∈ Ω

ˆ

NΩ(x) nón pháp tuyến Bouligand của Ω tại x ∈ Ω

NΩ(x) nón pháp tuyến qua giới hạn (nón pháp tuyến

Mor-dukhovich) của Ω tại x ∈ Ω, hoặc nón pháp tuyếncủa tập lồi Ω tại x ∈ Ω

NΩCl(x) nón pháp tuyến Clarke của Ω tại x ∈ Ω

f0(x, v) đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v

f0(x; v) đạo hàm Clarke của f tại x theo hướng v

f↑(x; v) đạo hàm Clarke-Rockafellar của f tại x theo hướng

v

∂Clf (x) dưới vi phân Clarke của f tại x

∂uparrow dưới vi phân Clarke-Rockafellar của f tại x

∂J Lf (x) dưới vi phân J-L (Jeyakumar-Luc) của f tại x

∂f (x) dưới vi phân Mordukhovich của f tại x, hoặc dưới

vi phân của hàm lồi f tại x

∂∞f (x) dưới vi phân suy biến của f tại x

ˆ

∂f (x) dưới vi phân Frechet của f tại x

DFz(·) đạo hàm contigent của F tại z

DbFz(·) đạo hàm kề của F tại z

CFz(·) đạo hàm Clarke của F tại z

D∗F (x, y) đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (x, y)

ˆ

D∗F (x, y) đối đạo hàm Frechet của F tại (x, y)

D∗CF (x, y) đối đạo hàm Clarke của F tại (x, y)

JClf (x) Jacobian Clarke của F tại (x, y)

Jf(x) Jacobian xấp xỉ của hàm vecto f tại x

xk → xw dãy vecto xk hội tụ đến vecto x theo topo yếu

gian đối ngẫu mạnh của chúng

L (Y, X) không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ Y vào

X

B (X) làσ trường Borel trong tập X, tập K ⊂ X gọi là tập

B - đo được nếu K ∈ B(X)

Λ là σ- trường các tập đo được Lebesgue trên đường

thẳng R

Λ1Y(I) L1Y(I)
là không gian các hàm ds - khả tích (các lớp tương

đương các hàm ds khả tích từ I tương thích với độ

đo Lebesgue vào Y : Λ1(I) = Λ1

R (I))

L∞Y (R là không gian các hàm bị chặn đo được từ R vào

(Y0, σ(Y0, Y )) ; L1(I) = L1

R (I)

A⊗Λ là σ - trường các tập A⊗Λ - đo được

Cx(I) (Cxσ(I)) không gian các hàm liên tục từ I vào X (Xσ tương

ứng)

Mở đầu

1 LỊCH SỬ CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Phương trình tích phân là công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh vựcnên được quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như sự tồn tạinghiệm, sự xấp xỉ nghiệm, tính chỉnh hay không chỉnh, nghiệm chỉnh hóa, .Nhiều vấn đề trong toán học (phương trình vi phân với điều kiện biên hay điềukiện ban đầu,phương trình đạo hàm riêng),kinh tế, cơ học, vật lí và các ngành kĩthuật khác dẫn đến những phương trình trong đó hàm chưa biết chứa dưới dấutích phân Những loại phương trình đó được gọi là phương trình tích phân Tíchphân đã chính thức được khám phá bởi Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton(1642–1727) Tính chất định tính của PTTP trong không gian Banach là mộthướng nghiên cứu mới, đang được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người tronglĩnh vực phương trình tích phân và ứng dụng Với việc sử dụng rộng rãi và ngàycàng hiệu quả nhiều công cụ sâu sắc khác nhau của toán học hiện đại, đặc biệt

là thành tựu mới của giải tích phi tuyến vào giải tích đa trị, hướng nghiên cứunày có triển vọng phát triển mạnh mẽ và sẽ đạt được ngày càng nhiều kết quả

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm địa phương ,toàn cục của phương trình tíchphân đa trị trong không gian Banach,nghiệm phụ thuộc tham số và phươngtrình tích phân ngẫu nhiên

3 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

• Nội dung thứ nhất: Tìm hiểu kiến thức về lý thuyết giải tích đa trị

• Nội dung thứ hai: Nghiên cứu các tính chất định tính của Phương trìnhtích phân đa trị và phương trình tích phân đa trị ngẫu nhiên trong khônggian Banach

• Nội dung thứ 3: Tìm các ứng dụng của phương trình tích phân.

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Tìm hiểu tài liệu liên quan đến lý thuyết phương trình tích phân đa trị

• Tìm hiểu và tổng hợp các kiến thức về phương trình tích phân đa trị trongkhông gian Banach

• Tìm hiểu các ứng dụng về phương trình tích phân

5 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA

ĐỀ TÀI

Luận văn này làm rõ được các tính chất định tính của các dạng phương trìnhtích phân đa trị và phương trình tích phân đa trị ngẫu nhiên trong không gianBanach

Luận văn nêu ra được một sô ứng dụng của phương trình tích phân trong toánhọc, vật lý, kinh tế

(cận trên đúng nhận giá trị trong [0, ∞] , sup ∅ = 0).

Khoảng cách Hausdorff của A và B là

h (A, B) = max {e (A, B) , e (B, A)}

Định lý 1.1 Nếu An → A trong không gian mêtric Pf(X), thì:

Giả sử x ∈ B , ta chứng minh An → A ∪ {x} (điều này sẽ chứng tỏ B ⊂ A).

Từ An → A , suy ra e (An, A ∪ {x}) → 0 Tiếp theo chúng ta sẽ kiểm tra

e (A ∪ {x} ,An) = max (e (A, An) , d (x, An)) → 0.

Nó là đúng nếu chứng minh đượcd (x, A n ) → 0 Cho p ∈N sao chom, n ≥ p

thì h (Am, An) ≤ ε Từ x ∈ B suy ra tồn tại m ≥ p sao cho d (x, Am) ≤ ε ,

Định lý 1.2 Nếu X là không gian mêtric đầy đủ, thì Pf(X) là không gianmêtric đầy đủ.

Chứng minh Giả sử (An) là dãy Cauchy

1) Thứ nhất ta lưu ý rằng có N sao chon ≥ N, m ≥ N kéo theoh (An, Am) ≤ 1.

Khi đó, hoặc An = ∅, ∀n ≥ N hoặc An 6= ∅, ∀n ≥ N Trong trường hợp thứnhất này dãy (A n ) hội tụ về ∅ Giả sử ta có trường hợp tiếp theo

2) Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng ∩

n ∪

m≥n Am 6= ∅.Cho ε > 0 (điều này sẽ được sử dụng trong 3) Chọn ε = 1là đủ

Với mỗi số nguyên k tồn tạiNk sao cho m, n ≥ Nk thì cóh (An, Am) < 2−kε.

Giả sử (nk) là dãy tăng nghiêm ngặt sao cho nk ≥ Nk Cho x 0 ∈ A n 0 , giả

sử ta chọn đượcx0, x1, , xk với tính chấtxi ∈ Ani; d(xi, xi+1) < 2−iε Khi đó

xk+1 được chọn trong Ank+1 thỏa d (xk, xk+1) < 2−kε (điều này có thể nhậnđược từ d xk, Ank+1
≤ h Ank, Ank+1
< 2−kε )

Dãy (xn) là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ X, có giới hạn là

x Khi đó x ∈ ∩

n ∪

m≥n Am.3) Điểm x nhận được ở phần 2) thỏa mãn d (x0, x) ≤ 2ε Vì vậy, với mọi

Chứng minh Giả sử(An) là dãy trong Ptb(X), hội tụ đến A ∈ Ptb(X) Cho ε > 0

tồn tại n sao cho e (A, An) < ε và x1, x2, , xp sao cho họ các quả cầu tâmxi, bánkính ε phủ A n Khi đó họ các quả cầu tâm x i , bán kính 2ε phủ A Chú ý:Chúng ta dễ dàng thấy rằng nếu X là hoàn toàn bị chặn thì Pf(X) hoàn toàn

bị chặn Thật vậy, với ε > 0 cho trước, giả sử x1, x2, , xn thỏa mãn họ các quả

cầu mở tâmxi , bán kính εphủ X Giả sử A ∈ Pf(X)và I = { i| B (xi, ε) ∩ A 6= ∅}

Khi đó tập B = { xi| i ∈ I} có tính chất h (A, B) ≤ ε Tập các tập con của tập

{x1, x2, , xn} là hữu hạn Điều đó chứng tỏ Pf(X) hoàn toàn bị chặn

Do đó nếu X là compắc thì Pf(X) là compắc

Định lý 1.4 Nếu X là đầy đủ thì Pf(X), tập tất cả các tập con compắc của X,

là đầy đủ

Chứng minh Điều này thì rõ ràng trong định lý 3.1.2 và 3.1.3 Chú ý Định lý3.1.4 vẫn đúng nếu X là một không gian đều

Định lý 1.5 Tôpô Hausdorff trên không gian tất cả các tập con compắc của X,

Pk(X)được sinh ra bởi tập {K ∈ Pk(X)/K ⊂ U } (U mở) và {K ∈ Pk(X)(X)/K ∩

V 6= ∅}(V mở) Cơ sở lân cận của Ko bao gồm các tập {K/K ⊂, K ∩ V1 =

∅, , K ∩ V n = ∅} (ở đó U, V 1 , , V n là mở) chứa K o

Chứng minh 1) Chúng ta sẽ chứng minh rằngθ = { K| K ⊂ U } là mở Giả sử

K0 ∈ θ Bởi tính compắc của Ko, ε = inf{ d(x, y)| x ∈ K0, y ∈ X − U } > 0.Khi đó h(K, K0) < ε ⇒ e(K, K0) < ε ⇒ K ⊂ U , vậy K ∈ θ

Chúng ta chứng minh U = {K ∈ P(X)/K ⊂ V 6= ∅} là mở Giả sử Ko∈ U.Tồn tại một quả cầu mở tâmx 0 ∈ K 0 ∩ V và bán kính ε chứa trong V Khi

đó nếu h (K, K0) < ε , thì K giao với quả cầu 6= ∅, suy ra K ∩ V 6= ∅ và

Chú ý: Cho T là không gian Tôpô Khi đó Γ là hàm đa trị từ T đến Pk(X)

là liên tục nếu và chỉ nếu nó là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới

Hệ quả 1.1 Cho X là một không gian metric Khi đó tôpô Hausdorff trênkhông gian tất cả các tập con compắc của X, Pk(X) chỉ phụ thuộc vào Tôpô của

X (không phụ thuộc metric)

Định lý 1.6 Nếu X là không gian metric khả li, thì Pk(X) là không gian metrickhả li

Chứng minh Giả sử (xn) là dãy trù mật trong X Giả sử K là tập của tất cảtập hữu hạn {xi1, , xin} Khi đó K là phần đếm được của Pk(X), và dễ kiểmtra rằng K là tập trù mật trong Pk(X).

Hệ quả 1.2 Nếu X là không gian Polish, thì Pk(X) với tôpô được mô tả trongđịnh lý 1.5 là Polish

Định lý 1.7 Nếu X là không gian metric khả ly, thì Borelσ−trường trênPk(X)

(với tôpô Hausdorff) được sinh bởi những tập {K ∈ P(X)/K ⊂ U } (U mở) vàcũng sinh bởi các tập K ∈ P(X)/K ∩ V 6= ∅ (V mở)

Do đó σ− trường sinh bởi tất cả các tập { K| K ∩ V 6= ∅} là bao hàm σ−

trường sinh bởi tất cả các tập {K/K ⊂ U }

3) Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng mọi tập mở θ của Pk(X) thuộc vào

σ− trường sinh bởi tất cả các tập {K/K ⊂ U } và {K|K ∩ V 6= ∅} Thậtvậy, θ là hợp của một họ A của giao hữu hạn của các tập {K/K ⊂ U } và

{K|K ∩ V 6= ∅}(định lý 3.1.5 của tài liệu [6]) Nhưng vì Pk(X) khả li (định

lý (1.6)) nên θ cũng là hợp của một họ con đếm được của A

1.1.2 Không gian đều, đều Hausdorff

Trong phần này X là một không gian đều Hausdorff, cấu trúc đều được địnhnghĩa bởi họ lọc của nửa khoảng cách (di)i∈I với:

Phần dưới đây sẽ chứng minh hai tính chất cuối

Chứng minh 1) Thứ nhất ⇐ là hiển nhiên Ngược lại, giả sử ∀i, ei(A, B) = 0

và nếu a ∈ A , ta có ∀i, d i (a, B) = 0 Khi đó với mọi d i − quả cầu bán kínhdương và tâma có phần tử chung vớiB , do đó mọi lân cận của a có phần

tử chung với B Vì vậy, a ∈ B.

2) Tính chất cuối cùng được suy ra từ tương ứng d 7→ h là tăng

Chúng ta xem xét một định nghĩa khác về cấu trúc đều trong Pf(X)

Định nghĩa 1.2 Giả sử W là cơ sở lân cận của cấu trúc đều của X Cho

Chứng minh Thứ nhất ánh xạ : W 7→ ˜ W là tăng Khi đó, nếu Wo là một cơ sởlân cận khác của X, mỗi W˜0 ∈ ˜ W0 chứa một W ∈ ˜˜ W và ngược lại Bây giờ taxem xét Wo tập của tất cả

U i,ε =(x, y) ∈ X2 d (x, y) < ε (ε > 0, i ∈ I)

Khi đó ei(A, B) < ε ⇒ A ⊂ Ui,ε(B) ⇒ ei(A, B) < 2ε

Và hi(A, B) < ε ⇒ A ⊂ Ui,ε(B) và B ⊂ Ui,ε(A) ⇒ hi(A, B) < 2ε

Điều này chứng tỏ rằngW˜0 là một cơ sở của cấu trúc đều được xác định bởi họ

Định lý 1.9 Giả sử {Fα}α∈A là dãy suy rộng những tập đóng của E Giả sử

{Fα} hội tụ đến F đối với tôpô được xác định ở 1.1.2 Khi đó nếu tất cả {Fα} làlồi thì F là lồi, nếu tất cả {Fα} bị chặn thì F bị chặn

Chứng minh 1) Giả sử Fα là lồi Lấy x, y ∈ F, λ ∈ [0, 1]và z = λx + (1 − λ)y Vớimỗi lân cận lồi của 0, V, tồn tạiα sao choβ ≥ αthìF ⊂ Fβ+ V và Fβ ⊂ F + V

Nếu E là khả mêtric thì phần thứ nhất suy ra từ công thức cuối cùng của định

lý 1.2 trong [6] nếuW = { (x, y)| pi(x − y) ≤ ε}thì W(A) là lồi, do đó ∩

- Tập tất cả các tập lồi, đóng

- Tập tất cả các tập bị chặn, đóng.

- Tập tất cả các tập bị chặn lồi, đóng

- Tập tất cả các tập lồi, compắc

Chứng minh Suy ra từ các định lí 1.3; 1.5 và 1.9 trong [6]

Định nghĩa 1.3 Giả sử E là không gian véc tơ lồi địa phương Hausdorff và A

là một tập con của E Hàm tựa của A là hàm xác định trên E∗ cho bởi

x∗ 7→ δ∗( x∗| A) = sup { hx∗, xi| x ∈ A}

Định lý 1.11 Có một phép tương ứng 1 – 1 giữa các tập lồi đóng khác rỗng

và các hàm σ (E∗, E) hàm nửa liên tục trên, tuyến tính dưới trên E∗ (với các giátrị trong (−∞, +∞] ) Tương ứng 1 – 1 là ánh xạ : A 7→ δ∗( | A)

Chứng minh Hàm tựa δ∗( | A) là tuyến tính dưới, σ (E∗, E) nửa liên tục dưới,

và > −∞ , khi A 6= ∅ Hơn nữa A đóng và lồi δ∗( | A) mô tả đặc điểm của A,bởi định lý Hahn – Banach Cuối cùng mỗi hàmϕtuyến tính dưới σ (E∗, E)nửaliên tục dưới là hàm tựa của A = { x| ∀x∗ ∈ E∗, hx∗, xi ≤ ϕ (x∗) } Điều này là hệquả của định lý 1.3 trong 1.1.1 với là tuyến tính dưới

Chứng minh Giả sử e(A, B) = sup{ δ∗( x∗| A) − δ∗( x∗| B)| x∗ ∈ U0} Khi đó, cho

ε > 0, e(A, B) ≤ ε tương đương với

∀x∗ ∈ E∗, δ∗( x∗| A) − δ∗( x∗| B) ≤ εδ∗( x∗| U )

Thật vậy điều kiện đủ là hiển nhiên Chú ý rằng nếu δ∗( x∗| U ) < ∞ , thì x ∈

δ∗( x∗| U )U 0 Nhưng

∀x∗∈ E∗, δ∗( x∗| A) ≤ δ∗( x∗| B) + εδ∗( x∗| U )

tương đương với A ⊂ B ˙ +εU

Cuối cùng

inf{ ε > 0| A ⊂ B ˙ +εU } = e (A, B)

Thật vậy, nếu A ⊂ B ˙ +εU thì e(A, B) ≤ ε Và nếu ε > e(A, B) thì A ⊂ B ˙ +εU

Do đó, bất đẳng thức ≤ không đổi chiều

Chú ý: Định lý cũng được chứng minh bằng cách sử dụng inf – sup:

Bây giờ ta xem xét vấn đề của Pcb(E)

Định nghĩa 1.4 Giả sử Hlà không gian tất cả các hàm thực thuần nhất dương,

sự thu hẹp của H trên tập đồng liên tục K của E∗ là bị chặn và liên tục mạnh.Với tôpô của hội tụ đều trên tập đồng liên tục, H trở thành không gian véctơ lồiđịa phương Hausdorff

Định lý 1.14 Không gian H là đầy đủ Ánh xạ từ Pcb(E) đến H được xác địnhbởi i : A 7→ δ∗( ·| A) có tính chất:

- Là đơn ánh

- i A ˙ +B
= i (A) + i (B)

- i (λA) = λi (A) ∀λ ∈ [0, ∞)

- Là phép đồng phôi từ Pcb(E) vào chính nó

1.1.4 Tính liên tục của hàm đa trị lồi

Định lý 1.15 Giả sử T là không gian tôpô, E là không gian lồi địa phươngHausdorff, và Γ là hàm đa trị từ T đến những tập con khác rỗng của E Giả sử

Γ(to) compắc yếu và lồi Khi đó Γ là nửa liên tục trên yếu tại to nếu và chỉ nếunhững hàm vô hướng δ ( x∗| Γ (.)) là nửa liên tục trên tại to

Chú ý: Ta nói rằng Γ là nửa liên tục trên tại to nếu mọi tập mở U chứa

Γ(t o ) tồn tại một lân cận V của t o sao cho t ∈ V kéo theo Γ (t) ∈ U

Chứng minh 1) Nếu Γ là nửa liên tục trên tại to và α > δ∗( x∗| Γ (t0)) (α ∈ R) ,đặt:

U = { x ∈ E| hx∗, xi < α}

Tồn tại một lân cận V của to sao cho Γ (t) ∈ U với mọi t ∈ V Vì vậy:

δ∗( x∗| Γ (.)) ≤ α

2) Giả sử tất cả δ ( x∗| Γ (.)) là nửa liên tục trên NếuΓ (t 0 ) 6= ∅ thì δ∗( 0| Γ (t 0 )) =

−∞ và chọn t sao cho δ∗( 0| Γ (t)) < 0, Γ (t) = ∅ Do đó Γ là nửa liên tục trêntại to Ta giả sử Γ (t) = ∅ Cho x0 ∈ Γ (t0) Xét Γ0(t) = Γ (t) − x0 Ta có:

δ∗ x∗| Γ0(t)
= − hx∗, x 0 i + δ∗( x∗| Γ (t))

Ta có thể giả sử 0 ∈ Γ (t0) Cho U là tập mở yếu chứa Γ (t0) Tồn tại lân cậnlồi đóng của 0, V, sao cho Γ (t0) + V ⊂ U Có thể giả sử V là cực của tập conhữu hạn củaE∗

Bởi vì Γ (t0)là compắc nên tồn tại x1, , xn ∈ Γ (t0) sao cho xi+12V bao phủ

Γ (t0) Cho A = co{x1, , xn} + V Khi đó A là đóng và A ⊂ U.

Ta có thể giả sử0 ∈ co{x1, , xn} + V (bởi vì 0 ∈ Γ (t0) ), khi đó A0 là tập đadiện hữu hạn chiều được chứa trongV0:

Giả sử ∪

t∈T Γ (t) bị chặn hoàn toàn Khi đó Γ là nửa liên tục dưới tại to nếu vàchỉ nếu những hàm vô hướng δ ( x∗| Γ (.)) là nửa liên tục dưới tại to

Chú ý: Ta nói rằng Γ là nửa liên tục dưới tại to nếu mọi tập mở U mà

U ∩ Γ(t0) 6= ∅, tồn tại một lân cận mở V của to sao cho U ∩ Γ(t) 6= ∅ ∀t ∈ V

Chứng minh 1) Giả sửΓlà nửa liên tục dưới tạit0 Nếuα < δ∗( x∗| Γ (t0)) (α ∈ R)

thì Γ (t0) ∩ U 6= ∅ với U = { x| hx∗, xi > α} Khi đó nếu t nằm trong một lâncận của t0 thì Γ (t) ∩ U 6= ∅ , và δ∗( x∗| Γ (t)) > α Nếu δ∗( x∗| Γ (t0)) = −∞

(điều đó xảy ra nếu Γ (t0) = ∅ thì δ∗( x∗| Γ (.)) vẫn nửa liên tục dưới tại t0

2) Bây giờ ta giả sử tất cả δ∗( x∗| Γ (.)) là nửa liên tục dưới Ta có thể giả sử

Γ (t0) = ∅ (nếu ngược lại hiển nhiên Γ là nửa liên tục dưới) Cho tập mở U

mà Γ (t 0 ) ∩ U 6= ∅ Như trong định lý 3.4.1 ta có thể giả sử 0 ∈ Γ (t 0 ) ∩ U Tacũng giả sử rằng U là tập mở lồi

Nếu định lý sai thì tồn tại một dãy suy rộng (tα) hội tụ đến t0 , sao cho

Γ (t0) ∩ U 6= ∅ Bởi Hahn – Banach tồn tại x∗α ∈ E∗ sao cho x∗α nhận giá trịnhỏ hơn hoặc bằng – 1 trong Γ (tα) và nhận giá trị ≥ −1 trong U Do đó

x∗α∈ U0

(đặc biệt nếu ta định nghĩaU0như là{ x| ∀x ∈ U, hx∗, xi ≥ −1}) vàδ∗( x∗α| Γ (tα)) ≤

−1 Như vậy U0 là đồng liên tục, nó là compắc đối với tôpô hội tụ đều trongnhững tập hoàn toàn bị chặn của E Cho z∗ là điểm tụ của (x∗α) đối với tôpônày Từ 0 ∈ Γ (t0) suy ra δ∗( z∗| Γ (t0)) ≥ 0 Cho x∗β đủ gần z∗ , từ giả thuyết

Γ tβ
+ 12 ≤ −12.Điều này không thể bởi vì δ∗( z∗| Γ (.)) là nửa liên tục dưới tại t0

Hệ quả 1.3 Giả sử T là không gian tôpô, E là không gian lồi địa phươngHausdorff, và Γ là hàm đa trị từ T đến những tập con compắc lồi khác rỗng của

E Giả sử rằng với mỗi t0∈ T có một lân cận V sao cho ∪

t∈V

Γ (t) chứa trong mộttập compắc Khi đó nếu các hàm tựa δ∗( x∗| Γ (.)) là liên tục, thì Γ là liên tục đốivới tôpô Hausdorff

Chứng minh Gọi K là tập compắc chứa ∪

t∈V Γ (t) Cho U là tập mở Khi đó U ∩K

là tập mở yếu, và bởi định lý 3.4.1 { t ∈ V | Γ (t) ⊂ U } là mở Nếu Θ là một tập

mở, bởi định lý 3.4.1, thì{ t ∈ V | Γ (t) ∩ Θ} là mở Theo chú ý 2 của định lý 3.1.7,

Γ là liên tục trên V đối với tôpô Hausdorff

Hệ quả 1.4 Giả sử T là không gian tôpô, Γ là hàm đa trị từ T đến những tậpcon compắc lồi khác rỗng của Rn Khi đó nếu những hàm tựa δ∗( x∗| Γ (.)) làliên tục thì Γ là liên tục.

Chứng minh Cho {e∗1, e∗2, , e∗n} là cơ sở của (Rn) Khi đó nếu t0 ∈ T thì tồntại một lân cận của t 0 , V, sao cho hàm δ∗ e∗i Γ (.)
và δ∗ −e∗i Γ (.)
là bị chặntrên V

Do đó ∪

t∈V Γ (t) là bị chặn Vì vậy ta có thể áp dụng hệ quả 1.5

Hệ quả 1.5 Giả sử không gian tôpô T là compắc địa phương hoặc metric hóađược, E là không gian lồi địa phương Hausdorff, và Γ là ánh xạ từ T đến các tậpcon lồi compắc yếu khác rỗng của E Khi đó nếu những hàm tựa δ∗( x∗| Γ (.)) làliên tục, thì Γ là liên tục đối với tôpô Hausdorff tương ứng với σ (E, E∗) Ngoài

ra, nếu E là Montel thì Γ là liên tục đối với tôpô Hausdorff

Chứng minh 1) Do định lý 1.15, Γ là nửa liên tục dưới đối với tôpô yếu Nếu

T là compắc địa phương ta có thể giả sử T là compắc Nếu T là metric hóađược thì nó là đủ để chứng minh các tính chất liên tục trên các tập như



tn, t n ∈ N trong đó tn → t (bởi vìΓ là nửa liên tục dưới tại t (tương ứngnửa liên tục trên)) khi và chỉ khi với mọi (tn) hội tụ đến t và V mở U, nếu

Γ t
∩ U 6= ∅ (tương ứngΓ t
⊂ U), thì với n đủ lớn Γ (tn) ∩ U 6= ∅ (tương ứng

Γ (tn) ⊂ U ) Do đó ta luôn có thể giả sử T compắc Theo định lý của Berge(định lý 1.17) thì ∪

t∈V Γ (t) là compắc yếu Khi đó theo định lý 1.16, Γ là nửaliên tục dưới

Cuối cùng nếu E được trang bị cấu trúc đều Hausdorff yếu, thì Γ là nửa liêntục theo chú ý 2 của định lý 3.1.7

2) Nếu E là không gian Montel, thì tập ∪

t∈V Γ (t)trong phần thứ nhất là compắcđối với tôpô mạnh của E Do đó Γ là nửa liên tục dưới đối với tôpô mạnh(bởi vì nếu U mở thìU ∩ (∪Γ (t)) cũng là mở yếu).Γ nửa liên tục dưới đối vớitôpô mạnh (định lý 1.16)

Do đó ∪

t∈V Γ (t) là bị chặn Vì vậy ta có thể áp dụng hệ quả 1.5

Định lý 1.17 (Berge) Giả sử T là không gian compắc, E là không gian dorff, và Γ là hàm đa trị từ T đến những tập compắc của E Khi đó nếu Γ lànửa liên tục trên thì tập ∪

Haus-t∈V Γ (t) là compắc

Chứng minh Cho (Ui)i∈I là họ phủ mở Mỗi Γ (t) là được phủ bởi một tập mở

Vt, với Vt là hợp của một họ con hữu hạn của (Ui) Tập Tθ = { t| Γ (t) ∈ Vθ} chứa

θ là mở Do đó (Tθ)θ∈T phủ T Nhưng T compắc, nên tồn tại θ1, θ2, , θn saocho T = Tθ1 ∪ ∪ Tθn Khi đó ∪

t∈V Γ (t) được chứa trong V = Vθ1 ∪ ∪ Vθn

Định nghĩa 1.5 Đồ thị gph F, miền hữu hiệu dom F và miền ảnh rge

F của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng được xác định bằng các công thức

gph F = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} , dom F = {x ∈ X : F (x) 6= ∅} ,

và

rge F = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}

Với F là ánh xạ đa trị trong Ví dụ (1.1.1) trong [6], ta có

3 Nếu F(x) là tập đóng với mọi x ∈ X, thì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng.

4 Nếu Y là không gian tuyến tính tôpô và nếu F(x) là tập lồi với mọi x ∈ X,thì F được gọi là ánh xạ có giá trị lồi

Cho F : X ⇒Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các không gian tuyến tính tôpô

Ta có:

(a) Nếu F là ánh xạ đóng, thì F là ánh xạ có giá trị đóng

(b) Nếu F là ánh xạ đa trị lồi, thì F là ánh xạ có giá trị lồi

(c) F là ánh xạ đa trị lồi khi và chỉ khi

v1, v2, , vq ∈ Rk sao cho

M =nXpi=1tiai+Xqj=1λjvj : t1 ≥ 0, , tp ≥ 0,Xpi=1ti = 1, λ1 ≥ 0, , λq ≥ 0o”

(Xem Rockafellar (1970), Định lí 19.1.) Họ các điểm và các phương

{a1, , ap; v1, , vq}

được gọi là các phần tử sinh của M

Định lý 1.18 (Walkup-Wets, 1969; xem Walkup và Wets (1969), Mangasarian

và Shiau (1987), Lee, Tam và Yen (2005)) Với mỗi cặp ma trận(A, C) ∈ Rm×n×

Rs×n tồn tại một hằng số l > 0 sao cho

F (b0, d0) ⊂ F (b, d) + lk(b0, d0) − (b, d)kBRn (1.1)với mọi (b,d) và (b’,d’) thuộc tập lồi đa diện

dom F = {(b, d) : F (b, d) 6= ∅},

ở đó

1/2với mọi b = (b1, , bm), d = (d1, , ds), và

là hình cầu đơn vị đóng trong Rn.

Tính chất (1.1) cho thấy rằng F là ánh xạ đa trị Lipschitz trên dom F vớihằng số l > 0 Hằng số này phụ thuộc vào cặp ma trận (A,C) đã cho Các tínhchất liên tục Lipschitz của ánh xạ đa trị sẽ được khảo sát chi tiết hơn trong Mục5

Nếu X, Y là hai không gian tuyến tính tôpô, F : X ⇒Y là ánh xạ đa trị, thì tadùng các kí hiệu F và co F để chỉ các ánh xạ đa trị được cho bởi các công thức

¯

F (x) = F (x) ∀x ∈ X

và

(co F )(x) = co (F (x)) ∀x ∈ X,

ở đó M là bao đóng tôpô của M và coM là bao lồi của M

Hiển nhiên F là ánh xạ đa trị có giá trị đóng và coF là ánh xạ đa trị có giá trịlồi Tuy thế, F có thể không phải là ánh xạ đa trị đóng và coF có thể không làánh xạ đa trị lồi ! Bao đóng và bao lồi của ánh xạ F : X ⇒ Y, ở đó X và Y làcác không gian tuyến tính tôpô, là các ánh xạ clF và convF được cho tương ứngbởi các công thức sau

cl F (x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ gph F } ∀x ∈ X

và

conv F (x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ co (gph F )} ∀x ∈ X.

Dễ thấy rằng nếu F là ánh xạ trong ví dụ (1.1.2) trong [6] thì

(cl F )(x) = {sin x, cos x} và (conv F )(x) = [−1, 1] (∀x ∈ R).

Với F là ánh xạ trong ví dụ (1.1.3) trong [6] ta có

Định nghĩa 1.7 Cho F : X ⇒ Y và G : Y ⇒ Z là hai ánh xạ đa trị Ánh xạ

hypo ϕ : X ⇒R, (hypo ϕ)(x) = {µ ≤ ϕ(x)} ∀x ∈ X, (1.3)Nhắc lại rằng ϕ được gọi là hàm lồi nếu như

ϕ((1 − t)x1+ tx2) ≤ (1 − t)ϕ(x1) + tϕ(x2)

với mọi x1, x2 ∈ dom ϕ := {x ∈ X : ϕ(x) < ∞} Ta nói ϕ là hàm lõm nếu như −ϕ

là hàm lồi (Theo định nghĩa, (−ϕ)(x) = −ϕ(x) với mọi x ∈ X.) Tập hợp

được gọi là tập nghiệm của (Pz) Tập hợp các nghiệm địa phương của (Pz)

được kí hiệu là Fo(z) Như vậy, x ∈ Fo(z) khi và chỉ khi tồn tại δ > 0 sao cho

f (x, z) 6= f (x, z) với mọi x ∈ G(z) ∩ B(x, δ), ở đó B(x, δ) := {x ∈ X : kx − ¯ xk < δ}.

Một trường hợp riêng của bài toán tối ưu phụ thuộc tham số xét trong ví dụ(1.1.4) trong [6] là bài toán qui hoạch toàn phương phụ thuộc tham số Nón tiếptuyến T∆(¯ của ∆ tại x ∈ ∆ ¯ được định nghĩa bởi công thức

T∆(¯ x) = {t(x − ¯ x) : x ∈ ∆, t ≥ 0}.

Nón pháp tuyến N∆(¯ của ∆ tại x ∈ ∆ ¯ được định nghĩa như sau

N∆(¯ = {x∗ ∈ X∗: hx∗, vi ≤ 0 ∀v ∈ T∆(¯ x)}

= {x∗ ∈ X∗: hx∗, x − ¯ xi ≤ 0 ∀x ∈ ∆},

ở đó X∗ kí hiệu không gian đối ngẫu của X và hx∗, vi kí hiệu giá trị của phiếmhàm tuyến tính x∗ ∈ X∗ tại v ∈ X Nếu x / ¯ ∈ ∆, thì ta đặt N∆(¯ x) = ∅ Có thểchứng minh rằng x ∈ ∆ ¯ là nghiệm của (P) khi và chỉ khi

• Giao của một họ hữu hạn tùy ý các tập thuộc τ lại là một tập thuộc τ

• Hợp của một họ tùy ý các tập thuộc τ là một tập thuộc τ

Các tập thuộc τ được gọi là các tập mở Phần bù trong X của một tập mở đượcgọi là tập đóng Tập X được gọi là một tôpô τ được gọi là một không gian tôpô,

và được kí hiệu bởi (X, τ ) Thay cho (X, τ ), để cho đơn gian, nhiều khi ta chỉviết X, nếu tôpô τ đã được xác định theo một cách nào đó Nếu (X, d) là mộtkhông gian mêtríc thì ta kí hiệu bởi B họ các hình cầu mở

B(x, ε) := {y ∈ X : d(y, x) < ε} (x ∈ X, ε > 0)

Xét các tập là giao của một số hữu hạn các tập thuộc B, và kí hiệu bởi τ họ cáctập có thể biểu diễn dưới dạng của một họ tùy ý các tập giao nhau như vậy Ta

cóτ là một tôpô trên X; đó chính là tôpô tương ứng với mêtríc d đã cho trên X.Nếu (X, τ ) là một không gian tôpô và M ⊂ X là một tập con tùy ý thì

τM := {U ∩ M : U ∈ τ }

là một tôpô trên M TôpôτM được gọi là tôpô cảm sinh của M TậpUM := U ∩ M

được gọi là vết của U trên M

Ta đã biết rằng nếu f : X → Y là ánh xạ đơn trị từ không gian tôpô X vàokhông gian tôpô Y, thì f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mỗi tập mở Vchứa f (¯ x) (V là lân cận mở của f (¯ x) trong tôpô của Y) tồn tại lân cận mở Ucủa x ¯ sao cho

Định nghĩa 1.8 Ta nói F là nửa liên tục trên tại x ∈ domF ¯ nếu với mọi tập

mở V ⊂ Y thỏa mãn F (¯ x) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của x ¯ sao cho

F (x) ⊂ V ∀x ∈ U

Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc dom F, thì F được gọi là nửa liêntục trên ở trong X

Định nghĩa 1.9 Ta nói F là nửa liên tục dưới tại x ∈ domF ¯ nếu với mọi tập

mở V ⊂ Y thỏa mãn F (¯ x) ∩ V 6= ∅ tồn tại lân cận mở U của x ¯ sao cho

Nhắc lại rằng hàm số ϕ : X → R∪ {+∞} xác định trên không gian tôpô Xđược gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ domϕ, ở đó

domϕ = {x ∈ X : ϕ(x) < +∞} (1.6)

ký hiệu miền hữu hiệu của ϕ, nếu với mọi ε > 0 tồn tại lân cận mở U của x saocho

ϕ(x) ≥ ϕ(x) − ε ∀x ∈ U.

Hàm ϕđược là nửa liên tục trên tại x ∈ domϕ nếu với mọi ε > 0 tồn tại lân cận

mở U của x sao cho

min{(−ϕ(x))(x) : x ∈ X}

Nhắc lại rằng không gian tôpô X được gọi là compắc nếu từ mỗi phủ mở

{Uϕ}ϕ∈X của X có thể trích ra một phủ con hữu hạn, tức là tồn tại các chỉ

số {ϕ1, ϕ2, , ϕs} ⊂ A sao cho

X =

s[i=1

Uαi

Giả sử X là không gian compắc, X 6= ∅, ϕ : X →R là hàm số nửa liên tục dưới

ở trong X Ta cần chứng minh rằng (2.2) có nghiệm, tức là tồn tại x sao cho

ϕ(x) = min{ϕ(x) : x ∈ X}. (1.9)Giả sử phản chứng: Không có x nào thỏa mãn (2.4) Đặtγ = inf {ϕ (x) : x ∈ X}

Ωk Vậy {Ωk}k∈N là phủ mở của X Do X là không gian compắc và do

{Ωk} là họ là tập lồng nhau, nên tồn tại k ∈N sao cho X = Ωk Khi đó ta phải

có γ ≥ −k, trái với giả thiết γ = −∞ Bây giờ ta xét trường hợp γ ∈R Với mỗi

k ∈N ta đặt

Ωk = {x ∈ X : ϕ(x) > γ + 1

k }

Dễ thấy rằng{Ωk}k∈N là phủ mở của X (do không có x ∈ X) nào thỏa mãn (2.4)

mà từ đó ta không thể trích ra một phủ con hữu hạn nào Vậy X không là khônggian tôpô compắc, trái với giả thiết Định lý đã được chứng minh

Định lý 1.20 Cho f : X → Y là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô liên thông

X vào không gian tôpô Y Khi đó

rgef = {f (x) : x ∈ X},

xét với tôpô cảm sinh từ tôpô của Y, là không gian liên thông

Chứng minh Lập luận bằng phương pháp phản chứng, ta giả sử rằngM := rgef

không phải là không gian liên thông Khi đó tồn tại các tập mở U, V trong Ysao cho

UM ∪ VM = M, UM ∩ VM = ∅, UM 6= ∅, VM 6= ∅ (1.10)

ở đó UM := U ∩ M và VM := V ∩ M là các vết của các tập U và V trên M.Đặt

X1 = f−1(U ) = {x ∈ X : f (x) ∈ U },

Thật vây, do f là liên tục, U và V là mở, nênX1 và X2 là mở Vì UM = U ∩ rgef =

U ∩ {f (x) : x ∈ X} khác rỗng, nên tồn tại x ∈ X sao cho f (x) ∈ U Vậy X 1 6= ∅.Tương tư, X2 6= ∅ Lấy tùy ý x ∈ X Do f (x) ∈ rgef = M và do UM ∪ VM = M,

ta có f (x) ∈ UM hoặc f (x) ∈ VM Nếu f (x) ∈ UM thì f (x) ∈ U ; do đó x ∈ X1.Nếu f (x) ∈ VM thì x ∈ X 2 Ta đã chứng minh rằng (iii) nghiệm đúng Nếu tồntại x ∈ X1∩ X2 thì ta có f (x) ∈ U và f (x) ∈ V Hiển nhiên là f (x) ∈ M Do đó

f (x) ∈ UM và f (x) ∈ VM Vậy ta cóUM∩ VM 6= ∅, mẫu thuận với (2.5) Tính chất(iv) đã được chứng minh Từ (i)-(iv) suy ra rằng X không liên thông, trái vớigiả thiết của định lý Vậy rge f phải là không gian liên thông

Định lý 1.21 (xem Warburton (1983)) Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị giữacác không gian tôpô sao cho, với mọi x ∈ X, F (x) là tập liên thông (có thể rỗng).Khi đó:

(a) Nếu F là ánh xạ nửa liên tục trên ở trên X và nếu dom F là tập liên thông,thì rge F là tập liên thông

(b) Nếu F là ánh xạ nửa liên tục dưới ở trong X và nếu dom F là tập liên thông,thì rge F là tâp liên thông

Chứng minh (a) Giả sử rằng F là nửa liên tục trên ở trong X, dom F là liênthông, và F(x) là liên thông với mọix ∈ X Để chứng minh bằng phản chứng,

ta giả sử rằng M := rgeF không là liên thông Khi đó tồn tại các tập mở U,

UM ∪ VM = M, ta có F (x) ⊂ U; tức là x ∈ X1 Ta đã chứng tỏ rằng X1 6= ∅.Tương tự, X2 6= ∅ Lấy tùy ý x ∈ domF Do F (x) 6= ∅ và F (x) ⊂ M, ta có

F (x) ∩ UM 6= ∅ hoặc F (x) ∩ VM 6= ∅ Nếu trường hợp thứ nhất xảy ra, thì do

lý luận đã trình bày ở trên, ta có x ∈ X1 Nếu trường hợp thứ hai xảy rathì ta có x ∈ X2 Vậy domF ⊂ X1∪ X2, tức là (iii) nghiệm đúng Nếu tồn tại

x ∈ X1∩ X2 thì ta có

F (x) 6= ∅, F (x) ⊂ U, F (x) ⊂ V

DoF (x) ⊂ M, ta cóF (x) ⊂ UM và F (x) ⊂ VM VìF (x) 6= ∅ nênUM∩ VM 6= ∅,trái với (2.5) Vậy ta có X1∩ X2 = ∅ Các tính chất (i) - (iv) đã được chứngminh Từ đó suy ra dom F, xét với tôpô cảm sinh từ tôpô của X, không phải

là không gian liên thông; trái với giả thiết Tóm lại, rge F là không gian liênthông

(b) Giả sử rằng F là nửa liên tục dưới ở trong X, dom F là liên thông, và F(x)

là liên thông với mọi x ∈ X Nếu M := rgeF không liên thông, thì tồn tạicác tập mở U, V của Y thỏa mãn (2.5), ở đó UM := U ∩ M và VM := V ∩ M.Đặt

X1 = F−1(U ) = {x ∈ domF : F (x) : F (x) ∩ U 6= ∅},

X 2 = F−1(V ) = {x ∈ domF : F (x) : F (x) ∩ V 6= ∅},

ta có thể chứng tỏ rằng các tính chất (i)-(iv) liệt kê trong phần chứng minhtrên nghiệm đúng Từ đó suy ra rằng dom F không liên thông, trái với giảthiết Vậy rge F là tập liên thông

1.3 Tích phân của ánh xạ đa trị

1.3.1 Ánh xạ đa trị đo được, lát cắt đo được

Khái niệm ánh xạ đa trị đo được mở rộng một cách tự nhiên khái niệm ánh

xạ (đơn trị) đo được trong giải tích hàm Một kết quả quan trọng ở đây là định

lý của von Neumann nói rằng ánh xạ đa trị đo được có giá trị khác rỗng thì cólát cắt đo được

Trong suốt mục này, giả sử Y là một không gian metric đầy đủ, khả li, và A làmột σ - đại số các tập con của tập hợp X Các tập thuộc A được gọi là các tập

đo được Tập X xét với σ− đại số A (hay cặp (X, A)) được gọi là không gian đođược Ký hiệuσ -đại số Borel của không gian metric Y bởi B - tức làB là σ- đại

số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của Y

Nhắc lại rằng họ A được gọi là một σ-đại số nếu nó thỏa mãn ba tính chất sau:(i) X ∈ A,

(ii) X\A thuộc A, ∀A ∈ A,

(iii) hợp của một họ tùy ý gồm một số đếm được các tập thuộc A là một tậpthuộc A

Từ (i)-(iii) suy ra rằng ∅ ∈ A và giao của một họ tùy ý gồm một số đếm đượccác tập thuộc A là một tập thuộc A

Định nghĩa 1.11 (Ánh xạ đơn trị đo được; xem Aubin và Frankowska (1990),

tr 307, và Rubin (1987), tr 8) Ánh xạ đơn trị f : X → Y được gọi là đo đượcnếu ta có f−1(V ) := x ∈ X : f (x) ∈ V là tập thuộc A với mỗi tập mởV ⊂ Y (Ảnhngược của mỗi tập mở là tập đo được)

Dễ thấy rằng hàm số thực ϕ : X →R là đo được khi và chỉ khi với mọi α ∈R

tập hợp

ϕ−1((−∞, α)) := x ∈ X : ϕ(x) < α

đo được

Định nghĩa 1.12 (Lát cắt) Ánh xạ đơn trị f : X → Y thỏa mãn điều kiện

f (x) ∈ F (x) với mọi x ∈ X được gọi là một lát cắt của F Nếu f là ánh xạ đođược, thì ta nói nó là một lát cắt đo được của F Nếu X là tập con trong khônggian định chuẩn và nếu f là ánh xạ liên tục hoặc Lipschitz địa phương, thì ta nói

nó là một lát cắt liên tục hoặc lát cắt Lipschitz địa phương của F

Định lý 1.20 Cho f : X → Y ánh xạ liên tục từ không gian tôpô liên thông

X vào khơng gian. .. Pcb(E) vào

1.1.4 Tính liên tục hàm đa trị lồi

Định lý 1.15 Giả sử T không gian tôpô, E không gian lồi địa phươngHausdorff, Γ hàm... với tôpô cảm sinh từ tôpô Y, không gian liên thông

Chứng minh Lập luận phương pháp phản chứng, ta giả sử rằngM := rgef

không phải không gian liên thơng Khi tồn tập