Giai PT bac cao mot an

Trong néi dung nghiªn cøu khi ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö t«i thêng híng dÉn häc sinh sö dông c¸c ph¬ng ph¸p sau:.. Nhãm nhiÒu h¹ng tö d.[r]

A - đặt vấn đề

1 Lời nói đầu:

Toán học là một môn khoa học có từ lâu đời, có ứng dụng hầu hết trong cáclĩnh vực của cuộc sống, từ xa xa con ngời đã biết đến toán học thông qua việc đo

đạc, tính toán

Môn toán là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên khác

Trong nhà trờng, môn toán giữ một vai trò quan trọng, bởi môn toán có tínhtrừu tợng cao, tính logic, chính xác và không bỏ tính thực nghiệm Vì vậy, làmthế nào để học giỏi toán, đó là câu hỏi đặt ra của nhiều thế hệ học sinh, thầy cô

và cha mẹ học sinh hay bất cứ ai quan tâm đến giáo dục và dạy học

Phơng trình là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt quá trình học toán từcấp II đến cấp III và các cấp cao hơn Bởi vậy, các em học sinh cần phải trang bịcho mình những kiến thức thật vững chắc về phơng trình

Trong chơng trình toán ở THCS hiện nay, sách giáo khoa chỉ đa ra cách giảiphơng trình bậc nhất và bậc hai đơn giản Đối với các em học sinh thì việc giảicác phơng trình đó không gây khó khăn nhiều Nhng khi gặp một số phơng trìnhbậc cao thì các em thờng lúng túng, cha tìm ngay đợc các cách giải cho bài toán.Ngay cả các giáo viên THCS cũng gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết ph-

ơng trình này

Vì vậy, tôi xin đề xuất một số phơng pháp giải phơng trình bậc cao trongchơng trình toán THCS và các bài tập minh họa

2 Mục đích - nhiệm vụ đề tài.

- Phơng pháp giải các phơng trình bậc cao một ẩn: Bằng cách đa về các

ph-ơng trình đã biết cách giải hoặc các dạng quen thuộc

- Các ví dụ minh hoạ

- Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức để giải phơng trình bậc cao một ẩn

- Củng cố và hớng dẫn học sinh làm bài tập

3 Đối t ợng nghiên cứu

- Học sinh ở lứa tuổi 14 - 15 ở trờng THCS vì đa số các em chăm học, thíchhọc toán và bớc đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách tơng đối ổn định

Đối tợng khảo sát Học sinh lớp 9 trờng THCS xã Bình Lơng huyện Nh Xuân Thanh Hoá đợc phân loại theo học lực Giỏi - Khá - Trung Bình - Yếu- Kém

Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh ở trờng THCStrong việc học và giải phơng trình bậc cao một ẩn Qua đó các em có phơng phápgiải nhất định tránh tình trạng định hớng giải cha đúng, lúng túng trong việctrình bày cách giải, giúp học sinh hứng thú, tích cực học tập hơn, đạt kết quả caotrong các kỳ thi.

B Nội dung đề tài

Biến x gọi là ẩn

Giá trị tìm đợc của ẩn gọi là nghiệm

Mỗi biểu thức là một vế của phơng trình

Việc tìm nghiệm gọi là giải phơng trình

a) Định lý 1:

Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn số vào hai vế của phơng trình thì đợcmột phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho

Ví dụ: 3x= 27  3x + 2x = 27 + 2x

Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phơng trình

đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với

ph-ơng trình đã cho

Ví dụ:

5x + 7 = 16x - 3  5x - 16x = -3 -7

Hệ quả 2: Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phơng trình

thì đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho

Nghiệm của phơng trình bậc hai là những giá trị mà khi thay vào vế tráicủa phơng trình ta đợc giá trị của vế trái bằng 0.

 gọi là biệt số của phơng trình bậc hai vì biểu thức  = b2 - 4ac quyết

định nghiệm số của phơng trình bậc hai

Ta thấy có các khả năng sau xảy ra :

Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì tổng vàtích hai nghiệm đó là :

Phơng trình tổng quát bậc n có dạng:

anxn + an-1xn-1 + +a1x+a0 = 0 (an  0)Trong đó: x là ẩn số,

Cho phơng trình bậc n: anxn + an-1xn-1 + +a1x+a0 = 0 (an  0)

Giả sử phơng trình có n nghiệm x1, ,xn, trong các nghiệm đợc kê ra một

số lần bằng bội của nó, khi đó ta có hệ thức Viet sau:

Định lý Viet cho phơng trình bậc ba có dạng sau:

Cho phơng trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm x1 , x2 , x3

II Một số ph ơng pháp giải một số loại ph ơng trình đại số bậc cao một ẩn :

Khi gặp các phơng trình đại số bậc cao một ẩn thì có nhiều cách giải songtrong đề tài này tôi đề cập đến hai phơng pháp cơ bản để giải phơng trình đại sốbậc cao

Đó là:

+ Phân tích đa thức thành nhân tử, đa phơng trình về dạng phơng trình tích.+ Đặt ẩn phụ

II.1 Sử dụng ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Vì vậy phơng trình bậc cao nếu ta phân tích đợc vế trái thành nhân tử thì

sẽ đa phơng trình về dạng phơng trình tích của các nhân tử có bậc thấp hơn, dạngphơng trình quen thuộc đã biết cách giải

Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm x=-1; x=-2; x=3

* Ngoài các phơng pháp trên ta còn sử dụng định lí Bơzu giúp các em

nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử

Định lí Bơzu đợc phát biểu nh sau : Phần d của phép chia đa thức f(x) cho

nhị thức g(x) = x- a là một hằng số bằng giá trị f(a) của f(x) khi x=a

- Khai thác cách nhẩm nghiệm :

anxn + an-1xn-1 + +a1x+a0 = 0 (1) ( ai  Z )

+) Nếu an + an-1 + +a1+ a0 = 0 thì phơng trình (1) có một nghiệm x = 1+) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phơng trình (1) cónghiệm x = - 1

Theo định lí Bơzu ta thấy vế phải của phơng trình (*) chia hết cho x + 1,

Vậy phơng trình (*) có hai nghiệm là x = -1 ; x = 2

Bài toán áp dụng:

⇒ Phơng trình (*) có 3 nghiệm dơng phân biệt khi 1<m<2

II.2 Sử dụng ph ơng pháp đặt ẩn phụ

Đặt y=x2 ( y  0) (2)

Khi đó phơng trình trùng phơng sẽ đa về dạng phơng trình bậc hai trunggian: ay2 + by + c=0

Giải phơng trình bậc hai trung gian rồi thay giá trị tìm đợc của y vào (2) ta

đợc phơng trình bậc hai rút gọn với biến x ( y 0) Giải phơng trình này ta đợcnghiệm của phơng trình trùng phơng ban đầu

5 , 0 ) thì phơng trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt ,

trong đó một nghiệm nhỏ hơn - 2 và ba nghiệm kia lớn hơn - 1

4 m2−3>0

2 m− 1>0

¿ { {

⇔ m<1 m<−√3

Vì x=0 không phải là nghiệm của phơng trình nên ta chia cả hai vế của

ph-ơng trình cho x2 rồi đặt: y=x +1

Ta thÊy x=0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (3)

Chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (3) cho x2 ta cã:

Ta xét bài toán tìm các giá trị của m để phơng trình (2) vô nghiệm:

+ Phơng trình ( 1) vô nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) vô nghiệmhoặc phơng trình ( 2) có hai nghiệm thuộc (-2,2)

+ Phơng trình (2) vô nghiệm: Δ<0

Δ=m2 -(3m-2 )  0 ⇔m2 -12m+8<0

⇔6 −2√7<m<6+2√7

+ Phơng trình (2) có 2 nghiệm thuộc (-2,2):

2.3 Ph ơng trình bậc bốn phản đối xứng

a

Dạng tổng quát :

Phơng trình có dạng ax4 + bx3 +cx2 –bx +a =0 ( a ≠ 0) gọi là phơng trìnhbậc bốn phản đối xứng

b

Cách giải :

Vì x=0 không là nghiệm của phơng trình nên chia cả 2 vế của phơng trình

cho x2 rồi đặt y=x −1

Ta thÊy ph¬ng tr×nh (*) lu«n cã 2 nghiÖm víi ∀ y

§Ó (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th× (2) ph¶i cã nghiÖm kÐp: ⇔ Δ=0

Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm : x=-6 ; x=-8

*Ví dụ 2: Cho phơng trình sau: (x+m)4 + ( x+m+2)4 =n (1)

a.Tìm điều kiện của m và n để phơng trình có nghiệm

b.Giải phơng trình với m=3, n=2

Giải

a.Giải phơng trình (1) ⇔(x+m)4 + ( x+m+2)4 =n ( 2)

(loại)

Ta xét bài toán phủ định tìm m để phơng trình (*) vô nghiệm :

⇒ Phơng trình (2) vô nghiệm hoặc phơng trình ( 2) có nghiệm nhng phơng trình(1 ) vô nghiệm :

2.b) Thay m = 40 vào (2) sau đó giải phơng trình:

y2 + 3y - 40 = 0

Tìm y rồi thay trở lại (*) tìm x

[(x +5)(x +9)][(x +6)(x +8)] = m(x2 + 14x + 45)(x2 + 14x + 48)= m

C kết luận

Đề tài ''Hớng dẫn học sinh THCS giải phơng trình bậc cao một ẩn'' tuy là mộtvấn đề khó và rộng nhng trong quá trình tìm hiểu và nhờ sự hớng dẫn của thầy côgiáo, tôi thấy đây là một đề tài rất hữu ích cho giáo viên toán trờng THCS

Trong đề tài này, tôi chỉ nêu ra một số phơng pháp giải phơng trình bậc cao

đa về phơng trình bậc nhất và bậc hai trong chơng trình giảng dạy môn toán ở lớp 8

và lớp 9 hiện nay mà bản thân tôi đã đúc kết trong quá trình giảng dạy

Trớc khi áp dụng các phơng pháp trên tôi thấy hầu hết học sinh lúng túngkhông tìm ra đợc hớng giải khi gặp các phơng trình bậc cao

Sau khi áp dụng đề tài, học sinh đã khắc phục đợc nhiều nhợc điểm, tỷ lệlàm đợc bài tăng, học sinh hứng thú tích cực học tập hơn

Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra dạng toán trên:

Tuy nhiên, để đạt đợc kết quả nh mong muốn, đòi hỏi ngời giáo vien cần

hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng Giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ

đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp vớitrình độ nhận thức chung của học sinh

Ngời thầy cần chú trọng phát huy tính chủ động, tích cực và sáng tạo củahọc sinh từ đó giúp các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hớng giảitoán đúng đắn Làm đợc nh vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lợng giáodục trong nhà trờng

Đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong đợc

sự góp ý bổ sung của quý thầy cô, các bạn để bài viết đợc hoàn chỉnh và hấpdẫn hơn

Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tếgiảng dạy tôi còn đợc sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, các thầy, cô giáo

Tôi xin chân thành cảm ơn /

Ngời viết

Vũ Thị Thuý

D tài liệu tham khảo

1 Sách giáo khoa Đại số 8, Đại số 9 (NXB Giáo dục)

2 Giáo trình thực hành giải toán hệ cao đẳng s phạm của Phạm Gia Đức - HoàngNgọc Hng - Đặng Đình Lăng (NXB Giáo dục)

3 172 bài toán có chứa các tham số của Lê Khắc Bảo (NXB Giáo dục)

4 Giải toán Đại số sơ cấp của Vũ Thiện Căn - Võ Anh Dũng (NXB Giáo dục)

5 Bồi dỡng học sinh đại số 9 của Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều(NXB Giáo dục)

6 255 bài toán chọn lọc đại số của Vũ Dơng Thuỵ- Trơng Công Thành - NguyễnNgọc Đặng

Và một số tài liệu khác có liên quan

E Giáo án tiết dạy chuyên đề

Tiết 54 : Phơng trình quy về phơng trình bậc hai

I Mục tiêu :

- Học sinh biết giải một số phơng trình có thể biến đổi về dạng phơng trìnhbậc hai

- Rèn luyện kỹ năng giải các phơng trình quy về phơng trình bậc hai

- Phát triển t duy của học sinh

II Chuẩn bị

Bài soạn và một số kiến thức bổ tự cho bài giảng

Học sinh : ôn cách giải phơng trình bậc hai, phơng trình chứa ẩn ở mẫu,phơng trình tích

III Tiến trình giờ dạy :

A Kiểm tra bài cũ :

Phơng trình bậc hai một ẩn số là gì ? Viết công thức nghiệm của phơngtrình bậc hai ?

Trong các phơng trình sau phơng trình nào là phơng trình bậc hai một ẩn :

B- Tổ chức cho học sinh tiếp nhận nội dung kiến thức :

Nếu học sinh không trả lời đợc, GV có thểgợi ý

+ Có nhận xét gì về các hạng tử của vếtrái ?

+ Đặt nhân tử chung của vế trái ?

- GV : Vế trái của phơng trình đã phân

ơng trình đã cho quy về việc giải phơngtrình bậc hai.

- GV nêu ví dụ 2 :

- Cho biết dạng của phơng trình này ?

- Nêu cách giải phơng trình chứa ẩn ởmẫu ?

- Tìm điều kiện của X ?

- Khi đó phơng trình đã cho trở thành ?

- Giải phơng trình X2 -5X +4 =0 ?

- Vậy x= ?

- GV : Phơng trình x4 -5x2 +4 =0 gọi làphơng trình trùng phơng

Tổng quát : Phơng trình có dạng :

ax4 +bx2 +c=0 (a0) gọi là phơng trìnhtrùng phơng

- Xem lại các ví dụ và bài tập đã làm

- Làm bài tập 1(a ;d) ; bài 2 ; bài 3 ; bài 4 ; bài 5b

- GV hớng dẫn bài 5b

- Khai thác số nghiệm của phơng trình trùng phơng thông qua phơng trình đợc

đặt ẩn phụ

Thanh Hoá, ngày 5 tháng 4 năm 2005

Hiệu trởng trờng THCS xã Mậu Lâm