PT Đại số bậc cao một ẩn

Từ xa xa con ngời đã bắt tay vào nghiên cứu và giảicác phơng trình nhng với tính phong phú và đa dạng nên phơng trình cũng là mộtmảng rất khó, nó đã tiêu tốn biết bao công sức của các nh

PHầN Mở ĐầU

1- Lý do chọn đề tài :

Phơng trình là một mảng hết sức phong phú và đa dạng với rất nhiều phơngpháp," thủ thuật" giải khác nhau Từ xa xa con ngời đã bắt tay vào nghiên cứu và giảicác phơng trình nhng với tính phong phú và đa dạng nên phơng trình cũng là mộtmảng rất khó, nó đã tiêu tốn biết bao công sức của các nhà khoa học trên thế giới nhphơng trình Fermat cũng cần đến thời gian dài hằng thế kỷ con người mới giải đợc

Do tính đặc trng, sự nhất quán của từng dạng phơng trình và yêu cầu đặt ra đảm

bảo cho học sinh có thể nắm bắt đợc kiến thức về một số phơng trình đại số một ẩn bậc cao một cách có hệ thống, từ đó tìm ra phơng pháp giải ngắn gọn, thích hợp nhất khi giải một phơng trình Trớc yêu cầu đó tôi mạnh dạn tìm hiểu chuyên đề “ Sơ lợc

về phơng pháp giải một số phơng trình đại số một ẩn bậc cao trong nhà trờng phổ thông” Nhằm giúp đỡ các em học sinh có thêm sự hiểu biết sâu về bản chất của từng

phơng trình, và các phơng pháp tốt nhất để giải phơng trình đó

Chuyên đề về “Sơ lợc về phơng pháp giải một số phơng trình đại số một ẩn bậc cao trong nhà trờng phổ thông”, đợc thực hiện trong nội dung chơng trình phổ

thông Trong đó kiến thức cơ bản chủ yếu nằm trong chơng trình đại số lớp 10, ngoài

ra là một số kiến thức cơ bản khác có liên quan Một trong những điểm mới của SGKGiải tích 12 là chúng ta đã đa chơng số Phức vào để giảng dạy cho học sinh, vì thế tôicũng đã mạnh dạn xét một số phơng trình (PT) trên cả trờng số phức Ê

Chuyên đề này tôi hệ thống lý thuyết của một số phơng trình đại số một ẩn sốbậc cao, rồi từ đó xây dựng lên phơng pháp dùng để giải một số phơng trình đại sốmột ẩn số trong nhà trờng phổ thông

Dựa vào sự nghiên cứu sâu về nguồn gốc, bản chất, cách giải một số phơngtrình đại số một ẩn số, từ đó:

i Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải phơng trình có tính chất đúng

phơng trình đại số một ẩn số ở phổ thông Để từ đó các bạn tạo dựng cho mình những

kĩ năng, kĩ xảo linh hoạt giữa việc nghiên cứu lí thuyết và thực hành giải toán

Nghiên cứu cách giải các phơng trình đại số là một mảng rất lớn, đòi hỏi phải

có nhiều thời gian và công sức Trong điều kiện có hạn, tôi chỉ dám tìm hiểu một sốvấn đề liên quan đến cách giải một số phơng trình đại số một ẩn Tôi hy vọng chuyên

đề của tôi sẽ là hớng mở để các thầy cô giáo nghiên cứu mở rộng sang các phơng trình

3- Đối tợng nghiên cứu :

- Học sinh các lớp 10A4, 10A5, 10A6 trờng THPT C Kim Bảng

- Các phơng pháp giải phơng trình bậc cao đa về bậc nhất, bậc hai trong chơngtrình toán lớp 10

Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt khi dạy chơng phơng trình ta thấy các dạngphơng trình đa dạng và phong phú, mà ta phải vận dụng nhiều kỹ năng biến đổi đại số

nh sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức mở rộng, dùng cácphép biến đổi tơng đơng và các phép biến đổi đại số, phân tích đa thức thành nhân

tử

Công cụ giải phơng trình đòi hỏi không cao xa, chỉ với kiến thức toán THPT là

đủ Cái quan trọng là yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có sự lậpluận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ các khía cạnh, các trờng hợp cụ thể của từngvấn đề Đặc biệt là yêu cầu đối với những học sinh khá, giỏi phải hết sức sángtạo, linh hoạt trong khi giải phơng trình, biết đặc biệt hoá và tổng quát hoánhững vấn đề cần thiết

Là giáo viên trong quá trình giảng dạy việc cung cấp kiến thức cho học sinhphải thực sự đúng quy trình các bớc biến đổi, phải đảm bảo lôgíc, có hệ thống, không

tự tiện cắt bỏ kiến thức để rèn cho các em học sinh thói quen cẩn thận, kỹ năng giảibài tập hợp lôgíc toán học

Việc giải phơng trình bậc cao quy về bậc một nằm trong chơng trình bậc nhấtmột ẩn phần cuối chơng, đây là một vấn đề khó với các em học sinh trung bình và họcsinh đại trà, số tiết dạy cho phần này lại ít

* Đối với giáo viên : Phải hệ thống đợc các khái niệm và các định nghĩa cơ bản

của các dạng phơng trình, các tính chất và các cách giải phơng trình từ đơn giản đếnphức tạp Nghiên cứu, tìm tòi, khai thác để tìm đợc những ứng dụng đa dạng, phongphú của phơng trình Mặt khác phải lựa chọn các phơng pháp thích hợp đối với từng

đối tợng học sinh, đồng thời nâng cao nghiệp vụ của giáo viên

* Đối với học sinh : Nắm chắc một cách có hệ thống các khái niệm, định nghĩa,

các phép biến đổi tơng đơng, các tính chất và các hệ quả Từ đó phát triển khả năng tduy, lôgíc cho ngời học Giúp cho học sinh có một khả năng độc lập, suy diễn và vậndụng, rèn trí thông minh cho học sinh Đồng thời cho học sinh thấy đợc sự thuận tiệnhơn rất nhiều trong giải phơng trình

là một đẳng thức giữa hai hàm sốy f x= ( ) và y g x= ( )của cùng một biến số x (đại lợngbiến đổi), đẳng thức này chỉ đúng với một số giá trị xác định của biến số ấy Biến số đ-

a vào trong phơng trình đợc gọi là ẩn số

Tập hợp tất cả các nghiệm của phơng trình đợc gọi là tập nghiệm của phơngtrình

Ta nói phơng trình vô nghiệm nếu tập nghiêm S của phơng trình (1) là rỗng S = ∅,tức là không có giá trị nào của D sao cho f x( ) và g x( ) bằng nhau

Phơng trình đợc gọi là có nghiệm nếu tập nghiệm S của phơng trình khác rỗng (

⊆

S D), tức là có ít nhất một giá trị x0∈ D thỏa mãn phơng trình (1), hoặc tậpnghiệm S D = tức là bất kì giá trị x0nào của x x ( 0 ∈ D) cũng thỏa mãn phơng trình(1)

ự tương đương giữa cỏc phương trỡnh:

Để cho gọn ta viết p x p x1( ), 2( )để chỉ hai phơng trình hay hệ tuyển phơngtrình một ẩn hay hai ẩn

1.1 Định nghĩa.

Gọi S S lần lợt là tập nghiệm của 1, 2 p x1( )và p x2( )khi đó:

+) p x đợc gọi là hệ quả của 2( ) p x nếu 1( ) S1 ⊆S2

4 2

p x x 2 0

p x x 1 0

− =+ =

(1) và (2) là không tơng đơng vì =

−

1 ( )

Phơng trình: (x− 3)2 = 2 2 có tập nghiệm S 2 = { }1;5

Do đó:

x− = ⇒ 3 2 (x− 3)2 = 2 2

3 Nghiệm ngoại lai, mất nghiệm.

3.1 Nghiệm ngoại lai.

Nếu sau một phép biến đổi nào đó tập xác định của phơng trình đã cho mở

rộng ra thì tập nghiệm của nó cũng có thể mở rộng ra, có thể xuất hiện những nghiệmngoại lai (nghiệm thừa) đối với phơng trình đã cho Những nghiệm ngoại lai đó (nếucó) là những nghiệm của phơng trình biến đổi thuộc vào phần mở rộng của tập xác

định Nếu tập xác định mở rộng ra nhng không có nghiệm ngoại lai thì phơng trình đãcho và phơng trình biến đổi vẫn tơng đơng

3.2 Mất nghiệm.

Nếu sau một phép biến đổi nào đó tập xác định của phơng trình đã cho thu hẹp

lại thì tập hợp nghiệm của nó cũng có thể thu hẹp lại, một số nghiệm nào đó có thể bịmất đi Nhng nghiệm mất đi đó (nếu có) là những nghiệm của phơng trình đã chothuộc vào phần bị thu hẹp của tập xác định Nếu tất cả các giá trị của ẩn số trong miền

bị thu hẹp không thỏa mãn phơng trình đã cho và phơng trình biến đổi vẫn tơng đơng

Ví dụ: Cho hai phơng trình trên Ă :

Khi biến đổi phơng trình từ (1) sang (2) đã mở rộng tập xác định D1 ⊂ D2

(S1⊂ S2), nên đã xuất hiện nghiệm ngoại lai là: x = − 3,và phép biến đổi từ (1) sang(2) không phải là phép biến đổi tơng đơng

(*) Chú ý: Trờng hợp xuất hiện nghiệm ngoại lai hoặc mất nghiệm thờng gặp ở trờng

hợp chúng ta biến đổi về dạng chính tắc Khi biến đổi chúng ta cần đặc biệt lu ý tới phơng trình dạng phân thức đại số và dạng vô tỉ

trong đó x là ẩn số, a, b, c, và d là các hằng số đã biết hoặc là các tham số ( a ≠0 )

1.2 Phép giải tổng quát một phương trình bậc ba đầy đủ:

3 2

32

c b p

PT (3) được gọi là phương trình bậc ba thu gọn

Để giải phương trình này ta đặt:y u v= + (*), thay vào (3) ta có:

( )3

(3)⇔ u v+ + p u v( + + =) q 0

⇔u3+ + +v3 (u v) (3uv p+ ) + =q 0 (4)

2 3 3

1

2 3 3

Gọi là công thức Cardano.

Như vậy ta đã giải được phương trình bậc ba bằng căn thức

+) Nếu ∆>0:

Từ (**) cho ta u3 và v3 là số thực Gọi u1 là căn bâc ba thực của u3 Theo (6) trong phần 1.2.2 thì v1 là số thực và theo (**) thì u1 khác v1 ( với v1 là căn bậc ba của v3 ) Theo (9) trong phần 1.2.1 thì phương trình (3) có 1 nghiệm thực y1 và hai nghiệm phức liên hợp y2 và y3

+) Nếu ∆= 0:

Theo phần 1.2.1 từ (**) ta có u3 = v3 và là số thực Gọi u1 là căn bậc ba thực của u3 Theo (6) thì v1 cũng là căn bậc ba thực của v3 và ta có u1 = v1 Vậy theo (9) ta có 3 nghiệm thực y1, y2, y3 với y2 = y3

+) Nếu ∆< 0: Ta chú ý bổ đề: " Mọi đa thức với hệ số thực có bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực ".

( Việc chứng minh bổ đề này các thầy cô giáo và các em học sinh có thể xem trong

cuốn: Đại Số Đại Cương của tác giả Hoàng Xuân Sính - NXB Giáo dục,H.1998,

trang 155 )

Theo bổ đề này, PT (3) có 1 nghiệm thực, gọi nghiệm thực đó là y1 Theo (**) trong phần 1.2.1 thì u3 và v3 là hai số phức ( không phải số thực ) do đó các căn bậc ba của chúng là số phức

Trong trường hợp này vì ∆≠ 0 nên D ≠ 0 do đó y1 , y2 , y3 là ba nghiệm phân biệt

Các số y1 , y2 , y3 là các số thực Nhưng muốn tính chúng theo công thức Cardano thì lại phải lấy căn bậc ba của những số phức Người ta đã chứng minh được rằng : "

Trong trường hợp ∆< 0, không thể biểu thị các nghiệm của (3) bằng các căn thức với lượng thực dưới căn".

1.2.3 Ví dụ : Giải phương trình bậc ba sau trên trường số £:

ta thấy x 1 = x 3 vậy 3 i

2 + 2 là nghiệm kép của phương trình đã cho

1.3 Một số phương pháp giải khác đối với phương trình bậc ba:

1.3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai:

1.3.3Phương pháp nhẩm nghiệm:

Cho phương trình bậc ba: f x( )=ax3+bx2 + + =cx d 0 (1)

•Nếua b c+ + =0 thì (1) có nghiệm x: =1

chú ý: Chúng ta có thể dùng phương pháp này để giải phương trình bậc cao.

1.3.4 Phương pháp tiếp tuyến tìm nghiệm gần đúng

Cho phương trình bậc ba: f x( )=ax3+bx2 + + =cx d 0 (1)

Giả sử tồn tại 2 số thực α β, với 0< <α β sao cho:

Vậy x1 là một nghiệm của (1), x1 < β , đồng thời x1 cũng là hoành độ

giao điểm của đồ thị (C) của hàm số f x( )=ax3 +bx2 + +cx d với trục

hoành

( ) ( ) ( )

D ng tiep tuyen cua C tai iem

ự á á û ï đ å M f cắt Ox tại A có hoành độ m

n n

Tiếp tục quá trình trên ta được

Ta chọn x m là nghiệm của phương trình

Bằng phương pháp này ta chỉ tính được giá trị gần đúng của nghiệm

1.3.5Định lý Viete:

Giả sử phương trình bậc ba: ax3 +bx2 + + =cx d 0 có ba nghiệm: x x x1, ,2 3

khi đó ta có:

x x x x x x

a d

x x x

a

1.4 Một số bài toán:

1.4.1 Bài toán 1: Tìm điều kiện đối với các số thực a, b, c, d để phương trình bậc

ba f(x)= ax3 + bx2 + cx (1) cóù ba nghiệm thực phân biệt

Bằng phương pháp đồ thị ta nhận thấy rằng (1) có ba nghiệm thực phân biệt x1,x2,

x3 khi và chỉ khi đồ thị:

(C) : y = f(x)= ax3 + bx2 + cx + d

cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 nghĩa là: (C) có 2 cực trị thỏa mãn điều kiện:

yct< 0 < ycđ ⇒ f'(x) có hai nghiệm phân biệt và yct,ycđ < 0.

1.4.2 Bài toán 2: Tìm điều kiện để phương trình bậc ba:

f(x)= ax3 + bx2 + cx + d (1)

có ba nghiệm phân biệt

Tương tự bài toán 1 ta có điều kiện: f'(x) = 0 và yct,ycđ < 0

ta còn phải có:

+ f'(x) = 0 có 2 nghiệm dương để chho các điểm cực trị nằm bên phải trục tung

0(0) 0

a f

 >

 hoặc

0(0) 0

a f

có nghiệm kép

Để giải bài toán này, ta sử dụng tính chất sau: " Đa thức f(x) có nghiệm kép khi và

chỉ khi các đa thức f(x) và f'(x) có cùng nghiệm, nghiệm đó chính là ngiệm kép của f(x)"

f(x) = 0 có nghiệm kép ⇔ ( ) 0

 có cùng nghiệm.

2 Phương trình quy về phương trình bậc ba

2.1.Phương trình dạng phân thức quy về phương trình bậc ba:

Ví dụ: Giải phương trình sau trên R

Điều kiện:

7226

x x x

2.2 Phương trình đa thức quy về phương trình bậc ba

Ví dụ: Giải phương trình sau trên

2 2

i Vậy pt đã chocó ba nghiệm x x

− ±

− ±

§ 4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN MỘT ẨN SỐ

1 Phương trình bậc bốn một ẩn số

1.1 Định nghĩa:

Phương trình bậc bốn một ẩn số là phương trình có dạng:

ax +bx +cx +dx k+ = (1)trong đó x là ẩn số, a, b, c, d, k là các hằng số đã biết hoặc các tham số

với a≠ 0

1.2 Phép giải tổng quát một phương trình bậc bốn đầy đủ

( phương pháp Ferrari)

Xét phương trình bậc bốn với hệ số phức:

cb bd k

a a

2 2 3

38

Ta thấy vế trái của (5) là một chính phương, Ta hãy lựa chọn giá trị của ϕ sao

cho vế phải của (5) cũng là một chính phương ( Phương pháp này gọi là "

phương pháp đề xuất bình phương đủ" ) tức là phương trình với ẩn y :

Ta coi (6) là một phương trình bậc ba với ẩn ϕ ( phương trình này ta đã biết cách

giải ) Ta gọi phương trình (6) là phương trình giải của phương trình đã cho Giả sử

tìm được ϕ0 là một nghiệm của phương trình (6), tức là vế phải của phương trình

(5) phân tích được dưới dạng một chính phương:

Ta thấy (7) là hai phương trình bậc hai ẩn y mà ta đã biết cách giải Hai

phương trình này sẽ cho ta cả bốn nghiệm của phương trình bậc bốn

Vậy phép giải một phương trình bậc bốn đã được đưa về phép giải một phươngtrình bậc ba và hai phương trình bậc hai Ta suy ra rằng: " phương trình bậc bốn tổng quát giải được bằng căn thức"

Abel và Galois đã chứng minh được rằng: " không thể giải được bằng căn thức các phương trình tổng quát có bậc lớn hơn bốn" Hơn thế nữa Galois đã tìm ra tiêu chuẩn để biết một phương trình đã cho có giải được bằng căn thức hay không

1.3 Ví dụ: Giải phương trình sau trên £:

x x x x x x x x

a d

x x x x x x x x x

a k

00

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm là : x1 =1;x2 = −2.

2.4 Moọt soỏ baứi toaựn:

2.4.1 Baứi toaựn 1: ẹ ieàu kieọn ủeồ phửụng trỡnh truứng phửụng (2.1) coự hai nghieọm:

0

a P

c S

 =

⇔  >



2.4.3 Bài toán 3: Điều kiện để phương trình trùng phương (2.1) có bốn nghiệm phân biệt:

Lời giải:

Phương trình (2.1) có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình (2.4) có hai nghiệm dương phân biệt

000

P S

Ta thấy (5) là phơng trình bậc hai ẩn y đã biết cách giải Giả sử (5) có nghiệm

Từ đó ta đợc nghiệm của phơng trình đã cho

• Phơng trình hồi quy loại 2:

Giả sử (9) có nghiệm y o, khi đó − =t o ⇔ 2 − o − = 0

Phơng trình (10) luôn có hai nghiệm trái dấu vì hệ số của hạng tử bậc hai và hệ

số của hạng tử độc lập trái dấu nhau

Do đó nếu phơng trình (9) có nghiệm thì phơng trình (7) luôn có nghiệm

3.3 Phửụng trỡnh phaỷn thửụng :

3.3.1 ẹũnh nghúa: Phửụng trỡnh phaỷn thửụng laứ phửụng trỡnh daùng:

ax bx cx bx a a (3.3)

3.3.2 Phửụng phaựp giaỷi: Caựch giaỷi phửụng trỡnh phaỷn thửụng tửụng tửù nhử caựch

giaỷi phửụng trỡnh phaỷn thửụng

+) Cĩ ba nghiệm phân biệt.

+) Cĩ hai nghiệm phân biệt

+) Cĩ một nghiệm

Lời giải

+) Phương trình (3.4) đã cho cĩ bốn nghiệm phân biệt khi phương trình:

⇔ ay2 +by c+ −2at = 0 (3.4')

cĩ hai nghiệm phân biệt y và y thỏa mãn điều kiện y y1 2 : ,1 2∉ − 2 ;2t t

+) Phương trình (3.4) cĩ ba nghiệm phân biệt khi:

+) Phương trình (3.4) cĩ hai nghiệm phân biệt là:

• (3.4') cĩ một nghiệm thuộc khoảng (−2 ;2t t) và một nghiệm khơng thuộc đoạn: −2 ;2t t

• Hoặc (3.4') cĩ hai nghiệm y và y thỏa mãn y1 2 : 1 = −2 ;t y2 =2 t

+) phương trình (3.4') cĩ một nghiệm khi

cĩ hai nghiệm phân biệt y và y1 2

• Cĩ hai nghiệm phân biệt khi phương trình (3.4") cĩ nghiệm kép y1 = y2

4 Một số phương trình bậc bốn đặc biệt khác

4.1 Phương trình:

( ) (4 )4

(4.1):

Ta thấy (4.2) là phương trình trùng phương theo y Giả sử phương trình (4.2) tìm

được nghiệm y0 từ đó tìm được nghiệm x0 của phương trình đã cho

4.2 Phương trình bậc cao quy về phương trình phản thương

Ví dụ: Giải phương trình sau trên R: