Phơng trình phân thức hữu tỉ.Một số cách biến đổi dấn tới cách đặt ẩn phụ.. Chia cả tử và mẫu của phân thức cho x.. Thêm bớt cùng một biểu thức vào hai về để tạo thành bình ph ơng đúng..
Trang 1Phơng trình phân thức hữu tỉ.
Một số cách biến đổi dấn tới cách đặt ẩn phụ
1 Chia cả tử và mẫu của phân thức cho x.
Ta thờng dùng phơng pháp trên đối với các phơng trình dạng sau:
a/ Dạng 1:
2 mx 2 nx p
ax bx c ax+ dx c =
b/ Dạng 2:
ax22 mx c ax22 nx c 0
ax bx c ax bx c
c/ Dạng 3:
2
ax nx c ax qx c
2 Thêm bớt cùng một biểu thức vào hai về để tạo thành bình ph ơng đúng.
3 Đặt hai ẩn phụ.
Bài tập
2
3/ 22 3 5 22 5 5 1
− + − − + = −
2 2
2
81
40 9
x x
x
+
5/ ( )
2
2
2 15 1
x
x
x
+ =
ữ − ữ
7/
2
0
+ ữ − ữ −
15
− − − =
− −
9/ 24 2 24 1 2
+
+
x+x +x +x = x +x +x +x
Ph
ơng trình đại số bậc cao.
I.Ph ơng trình hồi qui
1 Dạng: ax4 +bx3 +cx2 ±kbx k a+ 2 = 0(ka≠ 0) (1)
2 Cách giải:
Thấy rằng phơng trình không có nghiệm x=0 nên chia cả hai vế cho 2
0
x ≠ ,
Trang 2
2 2
⇔ + ữ+ ± ữ+ =
(2)
Đặt t x k
x
= ± , khi đó 2 2 2
2 2
k
x
k
x
⇒ + = ± Phơng trình (2) trở thành at2 + + ±bt c 2k= 0.
Tiếp tục giảI phơng trình này theo k rồi suy ra giá trị của x.
Bài tập:
1/2x4 + 3x3 − 16x2 + 3x+ = 2 0 2/x4 − 3x3 − 2x2 + 6x+ = 4 0
3/ x4 + 6x3 + 4x2 − 12x+ = 4 0 4/x4 + −x3 6x2 − 2x+ = 4 0
x + x − x − x+ =
7/ 4 3
x − x + x+ =
Dạng 2:
Phơng trình: (ax2 + +bx ka a x) ( ' 2 +b x ka' + ')+px3 +qx2 +kpx= 0; ' 0k a a ≠
Cách giải:
Chia cả hai về cho x2 ≠ 0, rồi đặt
Bài tập:
1/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2
+ + − + =
3/ (2x2 − − 3x 18 3) ( x2 + 2x− 27)= 41x3 + 10x2 − 369x 4/ 3 2 2
2
x x
+ +
1
2
x x
Một số bài toán khác:
1/x x( − 1) (x+ 1) (x+ = 2) 3 2/(x+ 2) (x+ 3) (x− 7) (x− = 8) 144
3/ (x+ 5) (x+ 6) (x+ 8) (x+ = 9) 40 4/( ) (2 ) ( )
6x+ 5 3x+ 2 x+ = 1 35
5/3(x+ 5) (x+ 6) (x+ = 7) 8x 6/ x4 = 2x2 + 8x+ 3
7/ ( ) (4 )4
x− + −x =
9/ x4 + −(x 1 5) ( x2 − 6x− = 6) 0 10/( 2 )2 ( ) ( 2 )
x + + +x x − x− =
11/ 2( )2 ( 2 ) ( )2
x x− +x x − = x+ 12/x4 + = 9 5x x( 3 − 3)
Trang 3Bài tập phần ph ơng trình vô tỉ.
Dạng 2: Phơng trình đối xứng đối với P x( ) và Q x( )
Bài tập:
1/ 3 2+ x x− 2 =3( x − 1−x)
2/ 2x+ +3 x+ =1 3x+ 2x2 +5x+ −3 16
3/ 1+ +x 8− +x (1+x) (8−x) =3
4/ x+ +1 4− +x ( x+1 4) ( −x) =5
5/ 3x− +2 x− =1 4x− +9 2 3x2 −5x+2
6/ 4x+ +3 2x+ =1 6x+2 8x2 + + −10 3 16
7/ 7x+ +7 7x− +6 2 49x2 +7x−42 181 14= − x
8/ 3+ +x 6− = +x 3 (3+x) (6−x)
Dạng 3: Phơng trình đẳng cấp đối với P x và ( ) Q x( )
Bài tập:
1/ 2x2 +5x− =1 7 x3 −1
3
x − x+ = − x +x +
3/ 2 x3 + =1 2( x2 +2)
4/ 5x2 +14x+ −9 x2 − −x 20 5= x+1
5/ x2 +2x + 2x− =1 3x2 +4x+1
6/ 2x2 −5x+ =2 4 2( x3−21x−20)
7/ 2( x2 −3x+ =2) 3 x3+8
8/ x2 +2x+ =4 3 x3 +4x
Một số bài toán dạng khác, đặt ẩn phụ
12 1
x
x
x
1
x x
x
− 3/ 4 3 10 3− − x = −x 2 4/ x2 + x+ =7 7
5
x
x+ − x− = +
6/ 3x− −3 5− =x 2x−4 7/ 8x2 −6x+ −1 4x+ =1 0 8/ 4 x 1 x 2x 5
x + − = +x − x
9/ 4x2+5x+ −1 2 x2− + =x 1 9x−3
Trang 4Mét sè bµi to¸n ph ¬ng tr×nh v« tØ.
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1/ x+ + 3 3x+ = 1 2x+ 2x+ 2 2/
x
+ + + + + = +
x
+ − = + 4/x2 + 3 x4 −x2 = 2x+ 1
5/ x2 + 4x+ + 3 x2 + =x 3x2 + 4x+ 1 6/3 x+ 3 x− 10 = 3 x− 8
2x + + +x 9 2x − + = +x 1 x 4
9/ 2x2 + + +x 1 x2 − + =x 1 3x 10/ x2 + + =x 1 2x+ x2 − +x 1
11/3 x+ + 1 3 x+ = 3 3 x+ 2 11/3 x+ 3 x+ = 1 2x+ 1
x
4x − − = 3x 4 x −x
15/ 4x+ + 5 3x+ = 1 2x+ + 7 x+ 3 16/ 2x2 + + = +x 1 x x2 + −x 1
17/ x2 − + 1 x2 + − =x 2 2x2 + −x 3 18/ x+ x+ + 1 x2 + =x 1
2 3
1 − +x 1 + +x 2 1 −x = 4
21/2x+ x+ x+ 2 x2 + =x 1 22/x2 + 2x+ x+ + 3 2x x+ = 3 9
23/2x2 + +x x2 + + 3 2x x2 + = 3 9 24/
2
8
x
x
+ + + =
+
2
x x
x
+ + + + =
+ 26/( x+ − 3 x+ 1) (x2 + x2 + 4x+ = 3) 2x
2x+ + 1 x+ − 3 x = 2 x + 3x
29/ 2
4x− 1 x + = 1 2x + 2x+ 1
33/15x2 + 2(x+ 1) x+ = − 2 2 5x 34/x2 + 3x+ = + 4 (x 3) x2 + +x 2
35/2x+ + 6 2 x2 + 3x = 4( x+ x+ 3) 36/2 2x x− 2 + = 4 3( x+ 2 −x)
Trang 537/ 2
3
x
x
+
x
+ = + + 40/2 x+ = 3 9x2 − −x 4
41/12 x+ 2 x− = 1 3x+ 9 42/4 x+ − 3 x− = + 1 x 7
Mét sè bµi tËp c¬ b¶n
1/ x2 + 2x+ > 5 3 x2 + 2x+ 3 2/ 2 ( ) ( )
2x − 6x+ > 3 x− 2 x− 1
3/ 3x2 − 12x− > 8 4 (x− 1 3) ( −x) 4/
5/5( x+ x+ = 3) 4x+ 4 x2 + 3x+ 3 6/5 5 2 1 4
2 2
x x
+ < + +
7/
2 0
+ + + ÷÷+ >
− −
8/ 3x2 − 7x+ − 3 x2 − = 2 3x2 − 5x− − 1 x2 − + 3x 4 §/S: x=2.
9/(x+ 3) 4 −x2 = − 3x2 − 7x+ 6 ®/s: x=0
x
− ®/s: x=1 hoÆc x=6.
11/ 1 1 2 2
2
− ®/s:
1
2
x x
=
− −
=
12/ 42 12 3x
x x x −x x x =
+ + − + ®/s:
9 16 1
x x
=
= −
13/ 5x2 + 7x− − 1 2x2 + + =x 4 5x2 + 4x+ − 8 2x2 + 2x+ 1 ®/s: x=3.
14/(x+ 1) (x+ = 4) 5 x2 + 5x+ 28 ®/s: x= ± 2
− = − − ®/s: x=±2
16/ x x2 + − 15 x x 4 2 + 15 2 = ®/s:x=1.
17/ 3 x+ 21 + 3 15 − =x 6 ®/s: x=-21, 6, -85
Trang 621/ 2 7 4 4
2
x x
+ + =
22/(x+ 6) x2 + = 3 x2 + 2x+ 1 ®/s: x=1, x=-1
23/(x− 2) 2x+ < 1 x2 − + 3x 2 ®/s;
1
2 2
4
x x
− ≤ <
>
24/ 3 2 4 2 1
2
x x
x
x x
− ≤ <
< ≤
25/ 1 1 9 2 1
2
x x
1
0 3
4 0
13
x x
−
≤ <
< <
26/ 2 1 12
x x <
−
4
x x
<
< <
27/ 2 x− − 1 x+ > − 2 x 2 ®/s: 7 4 2 − < <x 2
28/ 51 2 2 1
1
x x
x
− − <
x x
− − ≤ < −
< ≤ − +
29/ 1 + −x 1 − <x x ®/s: 1 < <x 0
11 3x − 4x− ≥ 4 9x − 12x− 16 ®/s:
2 2
3 10 2
3
x x
−
− ≤ ≤
≤ ≤
31/ x− x+ ≤ 4 x+ − 1 x+ 9 ®/s: x≥ 0
1
+
− >
4
1
− < < −
33/ x+ − 1 4 − >x x− 2 ®/s: 3 < ≤x 4
34/ ( ) (2 ) ( )2
9 x+ 1 < 3x+ 1 1 − 3x+ 1 ®/s:
1
x x
−
≤ <
35/ 7x+ + 7 7x− + 6 2 49x2 + 7x− 42 181 14 < − x ®/s: 6 6
7 ≤ <x
36/ 3 3 2 1 7
3 7
2
3 7 4 2
x
x
< < −
> +
Ph¬ng tr×nh v« tØ.
1/ 2
x − x= x− ®/s: x= + 4 2 2
2/ 4x+ − 1 3x+ = 4 1 ®/s: x=20
Trang 74/ x+ − 2 4 x− + 2 x+ − 7 6 x− = 2 1 ®/s: 6 ≤ ≤x 11
6/ x2 + = − 6 x 2 x2 − 1 ®/s: v« nghiÖm
2x + 8x+ + 6 x − = 1 2x+ 2 ®/s: x= ± 1
8 / x+ + 1 x+ 10 = x+ + 2 x+ 5 ®/s: x=-1
x− + x+ + x− x − +x = − x ®/s: x=1
10/ 2x+ +3 x+ +2 2x+ −2 x+ = +2 1 x+2 ®/s: x=2
2
x=
12/ 5 x3 + = 1 2(x2 + 2) ®/s: 5 37
2
x= ±
2
x
x
−
14/ 2
15/ x 1 1 1 x
2
x= +
16/ 1 + 3 x− 16 = 3 x+ 3 ®/s: x=24,-11
17/ 3 2 − +x x− = 1 1 ®/s: x=1;2;10
18/ 3 x+ + 1 3 x− = 1 3 5x ®/s: 0; 5
2
x= ±
19/ 3 x+ + 1 3 x+ + 2 3 x+ = 3 0 ®/s: x=0