SKKN các phương pháp giải một bài giải phương trình vô tỉ

Để đạtđược điều đó thì mỗi người giáo viên, mỗi học sinh phải trau dồi kiến thức, sưutầm và hệ thống cho chính mình những phương pháp học tập và nghiên cứu riêng.Trong quá trình học tập

Phần I: Những vấn đề chung

I Lí do chọn đề tài

1 Cơ sở lí luận:

Thế hệ trẻ Việt Nam nói chung, giới học sinh nói riêng có may mắn là được sinh

ra và lớn lên trong thời đại mà các cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật công nghệđang trào dâng như vũ bão, thông tin bùng nổ từng phút từng giờ, cái mới nàychưa kịp đăng quang đã phải nhường chỗ cho cái mới khác đến thay thế Vậy thìmỗi thầy cô giáo, mỗi học sinh phải hành động như thế nào?

Việc học tập hiện nay đang có xu hướng đi vào chiều sâu “học phải đi đôi vớihành”, do vậy phải có những phương pháp dạy và học có hiệu quả tối ưu nhấtnhằm tìm ra những con đường ngắn nhất, hay nhất trong việc học tập để giúpchúng ta nắm vững được kiến thức và đi đào sâu lượng kiến thức đã học Để đạtđược điều đó thì mỗi người giáo viên, mỗi học sinh phải trau dồi kiến thức, sưutầm và hệ thống cho chính mình những phương pháp học tập và nghiên cứu riêng.Trong quá trình học tập và nghiên cứu, việc đi phân loại các phương pháp giải mộtdạng toán hay bất kì một lĩnh vực nào, nó giúp chúng ta có nhiều cách nhìn, cách

lý giải cho cùng một vấn đề, nó giúp chúng ta nhìn nhận, xem xét một cách kĩlưỡng hơn, dưới nhiều góc độ, để chúng ta tìm được cách giải quyết cho nhanhnhất, hiệu quả nhất

2 Cơ sở thực tiễn:

Hiện nay, trong các trường THCS và ngay cả bậc phổ thông việc giải một phươngtrình vô tỉ vẫn là một vấn đề cần bàn, đa số các giáo viên đã truyền đạt hết cho họcsinh những kiến thức, những phương pháp giải nhưng chưa có tính hệ thống cao,chưa đi sâu vào phân tích những ưu điểm, những tồn tại và khả năng ứng dụng củatừng phương pháp chính, bởi lẽ đó mà những phương pháp giảng giải của giáoviên thường hay chồng chéo lên nhau khiến cho việc tiếp thu của học sinh thường

bị động và chưa có tính quyết toán trong việc tìm cho mình một phương pháp tối

ưu nhất khi đứng trước một bài toán giải phương trình vô tỉ

Mặt khác, đa số các em học sinh không có khả năng hệ thống cho mình nhữngphương pháp giải loại phương trình này, hay còn phần lớn các em không biết cáchgiải thế nào cho đúng, cho hay, nhất là với học sinh bậc THCS Các em thườnggiải theo phương pháp lũy thừa và chọn ẩn nhưng đa số các em không phán đoánđược phương trình sau có tương đương với phương trình đã cho hay không?

Chính bởi những lí do trên mà tôi chọn đề tài này để phần nào tháo gỡ nhữngvướng mắc trên, giúp cho quá trình dạy và học được tốt hơn và đạt hiệu quả mongmuốn

II Mục đích nghiên cứu đề tài:

Một là, giúp học sinh nắm được các phương pháp giải một bài giải phương trình

vô tỉ Trên cơ sở đó, tìm được những vướng mắc, khó khăn mà các em thường gặpphải trong quá trình giải loại bài tập này

Hai là, hệ thống được các phương pháp giải phương trình vô tỉ, trên cơ sở đó phântích những ưu việt hay hạn chế của từng phương pháp

Ba là, thông qua hệ thống ví dụ, giúp các em thấy được cách lựa chọn một hoặcnhiều phương pháp khác nhau để giải một bài toán sao cho nhanh và đạt hiệu quảtối ưu nhất.

III Đối tượng và khách thể nghiên cứu:

1 Đối tượng nghiên cứu:

Nghiên cứu những phương pháp giải phương trình vô tỉ

Đánh giá tính ưu việt, hạn chế và khả năng ứng dụng của từng phương pháp giải

IV Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài:

Phải hệ thống được cách giải một phương trình vô tỉ

Phải phân tích được những ưu việt và hạn chế của từng phương pháp, từ đó đưa rakhả năng ứng dụng của từng phương pháp đối với một bài giải phương trình vô tỉ.Phải phân tích và tìm ra từng chỗ thiếu sót, chỗ sai mà học sinh thường hay mắcphải và đưa ra cho học sinh những cách khắc phục

V Phương pháp nghiên cứu đề tài:

1 - Phương pháp đọc và phân tích tài liệu

2 - Phương pháp tổng hợp những kinh nghiệm sáng kiến của những giáo viên dạygiỏi

3 - Phương pháp khảo sát thực tế

Phần II: Nội dung chính của đề tài

Chương I: Những kiến thức cơ bản

I Những vấn đề chung của phương trình:

1 Tập xác định của phương trình:

a Định nghĩa: Tập xác định của một phương trình là tập hợp các giá trị củamột ẩn làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa Tập xác định đượcviết tắt là TXĐ

2 Hai phương trình tương đương:

2.1 Định nghĩa :

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng chung một tậpnghiệm trong cùng một tập số

2.2 Ví dụ :

a Cho hai phương trình :

x2 - 7x + 6 = 0 và 2x2 – 14x + 12 = 0 là hai phương trình tương đương vì chúng

có cùng tập nghiệm S = {1; 6}

b Hai phương trình:

x + 1 = 0 và (x + 7).(x - 5) = 0 là hai phương trình không tương đương vì tậpnghiệm của phương trình thứ nhất là S = {- 1} còn của phương trình thứ hai là S ={- 1; 5}

c Hai phương trình:

x2 + 1 = 0 và x2 + x + 6 = 0 là hai phương trình tương đương vì chúng có cùngchung một tập nghiệm là S = ử

3 Nghiệm của phương trình:

Cho phương trình f(x) = g(x) Nghiệm của phương trình xét trên tập A là số ỏ ∊ Asao cho f(ỏ) = g(ỏ)

II Cách giải các bất phương trình, phương trình cơ bản:

∆> 0 – phương trình có hai nghiệm phân biệt

b Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai:

Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

* ∆ ≤ 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a

* ∆ ≥ 0 thì f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2

Nếu f(x) cùng dấu với hệ số a khi với ∀ x ∉ (x1; x2);

f(x) khác dấu với hệ số a với ∀ x ∉ (x1; x2);

Bước 1: tìm tập xác định của phương trình.

Bước 2: tìm cách khử căn thức và tìm nghiệm

Bước 3 : so sánh với tập xác định và kết luận nghiệm của phương trình

3.Ví dụ :

Giải phương trình :

(1)

Điều kiện để căn thức có nghĩa 2x + 3 ≥ 0 ⇔ (2)

với điều kiện x ≥ 0 (3)

phương trình (1) ⇔ (2x + 3) = x2 (4)

⇔ x2 – 2x – 3 = 0

Vì a – b + c = 0 nên (4) có nghiệm là: x1 = - 1; x2 = 3

x1 = - 1 không thoả mãn điều kiện (3)

x2 = 3 thoả mãn các điều kiện (2) và (3)

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 3

Nếu a1, a2 an là các số không âm ta có:

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an

b Bất đẳng thức Bunhiacopxki:

Nếu a1, a2 an và b1, b2 bn là các số tuỳ ý ta có:

(a12 + a22 + + an2).(b12 + b22 + + bn2) ≥ (a1b1 + a2b2 + +anbn)2

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

c Bất đẳng thức Trêbưsep

Nếu a1 ≥ a2 ≥ ≥ an và b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn, ta có:

(a1 + a2 + + an).(b1 + b2 + + bn) ≥ n.(a1b1 + a2b2 + + anbn).đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an hoặc b1 = b2 = = bn

Chương II: Phương pháp biến đổi tương đương

I Phương pháp nâng lũy thừa:

1 Các dạng phương trình vô tỉ cơ bản:

Điều kiện để căn thức có nghĩa x – 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 (2)

Với điều kiện x – 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ 7 (3)

phương trình (1) tương đương với: x – 5 = (x – 7)2 ⇔ x2 – 15x + 54 = 0 (4)

Giải phương trình (4) ta được:

x1 = 6 không thỏa mãn điều kiện (3)

x2 = 9 thỏa mãn các điều kiện (2) và (3)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 9

Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đặt điều kiện (2) vì lý do sư phạm Thực rakhông cần điều kiện này Thật vậy, khi bình phương hai vế của (1), biểu thức x – 5bằng một bình phương, đương nhiên không âm, do đó các giá trị của x thỏa mãn(3) cũng sẽ thỏa mãn điều kiện (2)

2x + 3 = (x + 2)2 ⇔ x2 + 2x + 1 = 0 (3)

Giải phương trình (3) ta được nghiệm duy nhất là: x = - 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 1

Lưu ý: Nhiều em khi gặp bài này thường giải theo cách quen thuộc:

⇔ x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 2

2x + 3 = (x + 2)2 ⇔ (x + 1)2 = 0

và cũng tìm được nghiệm x = - 1 thoả mãn (x ≥ - 2)

Nhưng với điều kiện (- 2 ≤ ) thì lại không tồn tại vì 2x + 3 < 0

không thỏa mãn điều kiện (4)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2

Lưu ý: Với điều kiện (2) ta chỉ cần thì phương trình (1) đã tương đương vớiphương trình (3) vì khi bình phương thì (x + 4) bằng một bình phương, đươngnhiên là dương

Với , điều này chỉ đúng khi a ≥ 0 ; b≥ 0 và trong trường hợp

Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt x1 = 0;

Thay lại vào phương trình (1) ta thấy với x = 0 hoặc đúng là nghiệmcủa phương trình (1)

Lưu ý:

- Do từ (1) suy ra (2), ta thực hiện phép biến đổi không tương đương nên phươngtrình (2) tìm được nói chung có nhiều nghiệm hơn phương trình ban đầu, vì thếviệc thay lại nghiệm của (2) vào (1) là cần thiết nếu không ta sẽ gặp nghiệm ngoạilai

- Với dạng bài này, chúng ta không thay thế thì chắc chắnlời giải sẽ phức tạp hơn rất nhiều

II Phương pháp đưa về hằng đẳng thức quen thuộc

Với phương pháp này chúng ta thường phân tích, thêm bớt để đưa về dạng:

Đối với phương pháp này ta phải thật khéo léo khi xử lý quá trình:

Nhiều bạn rất hay làm thiếu trường hợp (- A)

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

(1) ⇔

⇔ ⇔ (2)

Điều kiện để căn thức tồn tại x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 (3)

với điều kiện (3) phương trình (2) tương đương với:

⇔ ⇔ ⇔

thỏa mãn điều kiện (3)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là x1 = 3; x2 = 7

Lưu ý:

Ta có thể dùng ⇔ A = B

A = - B (với B ≥ 0)

thì việc giải sẽ nhanh hơn

Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

- (x – 1)2 – 1 < 0 với ∀ x ≥ 1 suy ra phương trình (3) vô nghiệm

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2

III Phương pháp dùng miền xác định

Khi sử dụng phương pháp này ta thường chia nhỏ TXĐ của phương trình và kếthợp với các điều kiện ràng buộc ta sẽ có nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là :

Chú ý : Khi sử dụng phương pháp này, chúng ta phải xác định TXĐ của phươngtrình một cách chính xác và kết hợp với các điều kiện để tìm ra nghiệm

Kết hợp (2) với (4) ta được x = - 1 và thỏa mãn (1)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x = - 1

IV Phương pháp dùng lượng liên hợp:

- Đối với phương pháp này, chúng ta rất dễ áp dụng nhưng nó thường phải ápdụng kết hợp với các phương pháp khác thì mới có hiệu quả

- Khi sử dụng chúng ta thường áp dụng công thức sau:

⇔ ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = - 1 (thỏa mãn điều kiện *)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x = - 1

Lưu ý : Khi khai căn của một đa thức, chúng ta phải chú ý điều kiện để đa thứcdương và phải chọn lượng liên hợp để rút ngắn lời giải

Giải các phương trình sau:

Giải phương trình sau :

Chương III :

Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

- Để khử căn thức, người ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ Tuỳ theodạng của phương trình mà các bạn lựa chọn cho thích hợp

- Đây là một “công cụ” tương đối mạnh và đạt hiệu quả cao trong việc khử cănthức song nó cũng có nhiều chỗ làm cho các bạn nhầm giữa ẩn đã cho với ẩn mới

I Đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình hữu tỉ :

- Ta thường đặt một ẩn mới thay ẩn của phương trình song chúng ta phải chú tớiđiều kiện liên quan giữa ẩn cũ và ẩn mới.

Ví dụ 1 : Giải phương trình sau :

Bình phương hai vế ta được 1 = (x - 3)(x + 1) ⇔ x2 – 2x - 4 = 0

Ta có ∆ = 1 + 4 = 5 > 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt

+ Với Y = - 3 ⇔

Với điều kiện (**) phương trình (***) tương đương với

9 = (x - 3)(x + 1) ⇔ x2 – 2x – 12 = 0

Có ∆’ = 1 + 12 = 13 > 0 Phương trình có hai nghiệm:

Tóm lại: Phương trình (1) có hai nghiệm:

Chú ý: Rất nhiều bạn khi gặp bài này thường đặt ẩn phụ là: ,điều này chưa đúng khi x – 3 > 0, do đó ta phải đặt như trên

vì x ≥ 1 > 0 ⇔ 1 – t3 ≥ 0 ⇔ t3 ≤ 1 ⇔ t ≤ 1, phương trình (1) trở thành:

⇔ ⇔ 1 – t = 0

1 + t + t2 = 1 t

Ví dụ 4 : Giải phương trình

(1)Lời giải:

Điều kiện để phương trình có nghĩa là:

Phương trình có 1 + 2 + 3 = 0, nên phương trình có nghiệm là:

X1 = - 1 Không thỏa mãn với điều kiện (**)

X2 = 3 Thỏa mãn điều kiện (**)

Với X = 3 ⇔

⇔ ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = - 3

6 – x = 0 x = 6 Thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm: x1 = -3; x2 = 6

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: x = 1; x = 4.

Chú ý: Việc áp dụng lược đồ Hoocle giúp ta tách được đa thức bậc cao vềtích các đa thức bậc nhất một cách dễ dàng hơn

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

II Đặt ẩn phụ, quy phương trình vô tỉ về hệ phương trình

Ngoài việc đặt ẩn phụ để đưa phương trình vô tỉ về phương trình hữu tỉ, chúng tacòn đặt ẩn phụ để đưa phương trình vô tỉ về hệ phương trình Đây là cách giải rấtthích hợp cho các phương trình vô tỉ

Ví dụ 1: Giải phương trình sau

Lời giải:

Đặt

Khi đó phương trình đã cho dẫn về hệ phương trình sau:

Trừ hai vế hai phương trình của hệ ta được:

Vậy nghiệm của phương trình (1) là :

Ví dụ 2 : Giải phương trình sau :

- Với u = - v thì u3 – (- u3)= - 5 ⇔ 2u3 = - 5 ⇒

Vậy hệ phương trình (I) có 4 nghiệm :

Khi đó phương trình đã cho trở thành hệ phương trình sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ (I) ta có u = 3 – v (2)

Thế (2) vào phương trình thứ hai của hệ (I) ta được:

(3 – v)4 + v4 = 17

⇔ 81 – 108v + 54v2 – 12v3 + 2v4 = 17

⇔ v4 – 6v3 + 27v2 – 54v + 32 = 0 (3)

Ta thấy v = 1 và v = 2 là nghiệm của phương trình vì:

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm: (1;1)(1;2)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1; x2 = 16

Theo lược đồ Hoocle ta có :

Vậy (5) được phân tích thành :

(u - 1)(u2 - 6) = 0 ⇔ u – 1 = 0 ⇔ u = 1Với u = 1 thế vào (4) ta được v = 3 – 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 2)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3

Ví dụ 5 : Giải phương trình

Nên phương trình có nghiệm là : v = 1 ⇒ u = 2 hoặc v = 2 ⇒ u = 1.

Vậy hệ (I) có hai nghiệm : (1 ;2) và (2 ; 1)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt : x = - 6 ; x = 1

Ví dụ 6 : Giải phương trình

Lời giải:

Điều kiện để phương trình có nghĩa:

Vậy phương trình (1) tương đương với phương trình sau:

Từ (2) ta có: x = 2y + 1 (3)

Thế (3) vào (2) ta được :

Vì 3 + 4 – 7 = 0 nên phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt :

Với y = 1, thế vào (2) được x = 3 Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất

Vì 2 + 5 – 7 = 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

đều thoả mãn

△’= 102 – 64 = 36

Phưương trình có hai nghiệm phân biệt :

Vậy hệ phưương trình trên tưương đưương với hai hệ :

⇒ x, y là nghiệm của phưương trình :

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x = 1; x = 4

Ví dụ 12: Giải phương trình

Lời giải:

Điều kiện để phương trình có nghĩa:

Đặt

Vậy phương trình (1) tương đương với hệ sau:

Thế (3) vào (4) ta được: (2xy)2 – 2xy – 2 = 0 ⇔ 2(xy)2 – xy – 1= 0 (5)

Vậy (5) là phương trình bậc hai đối với ẩn là (x; y)

vì có 2 – 1 – 1 = 0, nên (5) có nghiệm:

Hệ (I) tương đương với hai hệ sau:

Vậy nghiệm của phương trình (1) là:

Chú ý: Với bài này nhiều khi gặp sai lầm vì khi đặt điều kiện

(thói quen khi đặt ẩn phụ)

Ví dụ 13: Giải phương trình

điều kiện 4x + 9 ≥ 0Lời giải: Đặt

Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình sau:

bài tập chương III

Bài 1: Giải các phương trình sau:

Ta sẽ chuyển bài toán về hệ sau:

Và giải hệ đó ta được nghiệm của phương trình

Để tìm số a ta thường sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc

Vậy để phương trình (1) có nghiệm thì

Vậy nghiệm của phương trình là x = - 1 Chú ý :

Khi áp dụng phương pháp này cần phải khéo léo thì mới có đáp án đúng theo yêucầu, một điều kiện cần chú ý khi áp dụng bất đẳng thức Côsi là các số phải thoảmãn điều kiện dương, việc thêm bớt ở phương trình bậc 2 phải thật chuẩn xác.Nếu không sẽ không thể có đáp số đúng

Và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 3 + x = 6 – x ⇔

Vậy và đẳng thức xảy ra khi

Xét vế trái

Đẳng thức xảy ra khi

Vậy ta có:

Do đó để có nghiệm thì :

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là:

Chú ý: Nếu ta có f(x) ≤ a và g(x) ≤ b thì f(x) – g(x) ≤ a – b (điều đó chưachắc đã xảy ra) Ví dụ: thì (-8).(-2) < 1.2 là vô lý