Xây dựng hệ thống bài tập phương trình vô tỉ theo các cấp độ nhận thức cho học sinh THPT

HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÕN ĐỖ THANH HÙNG TẠ NGUYỄN THANH THỦY XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ THEO CÁC CẤP ĐỘ NHẬN THỨC CHO HỌC SINH THPT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÕN

ĐỖ THANH HÙNG

TẠ NGUYỄN THANH THỦY

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ THEO CÁC CẤP ĐỘ

NHẬN THỨC CHO HỌC SINH THPT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS PHẠM SỸ NAM NGƯỜI PHẢN BIỆN: TS NGUYỄN ÁI QUỐC

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 5 NĂM 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả khóa luận

Tạ Nguyễn Thanh Thủy

Chúng tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của chúng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác.

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, chúng tôi đã cố gắng nỗ lực hết mình Để hoàn thành tốt khóa luận này, chúng tôi đã nhận được sự động viên, giúp đỡ tận tình của Quý thầy, cô, gia đình và bạn bè Nhân đây, chúng tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất

Đầu tiên, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Quý thầy, cô trong khoa Toán - Ứng dụng trường Đại học Sài Gòn đã tận tình giảng dạy suốt bốn năm học

để chúng tôi có được nền tảng tri thức cũng như kinh nghiệm cuộc sống quý báu làm hành trang cho chúng tôi sau này

Đặc biệt, chúng tôi xin chân thành cảm ơn TS Phạm Sỹ Nam Thầy là người

đã giảng dạy những kiến thức nền tảng, tận tình giúp chúng tôi hoàn thành khóa luận một cách tốt nhất Tiếp xúc với thầy, chúng tôi học hỏi được cách thức làm việc khoa học, sự nhiệt tình, tính cẩn thận trong nghiên cứu và những bài học bổ ích trong cuộc sống

Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm động viên, khích lệ tinh thần chúng tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận

Cuối cùng, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Quý thầy, cô trong hội đồng chấm khóa luận đã dành thời gian quý báu để xem xét và góp ý cho những điểm còn thiếu sót giúp chúng tôi rút được kinh nghiệm cho khóa luận cũng như quá trình nghiên cứu sau này Rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của Quý thầy, cô cũng như sự góp ý chân thành của các bạn Xin chân thành cảm ơn

Tác giả khóa luận

Đỗ Thanh Hùng

Tạ Nguyễn Thanh Thủy

MỤC LỤC Trang

MỞ ĐẦU 6

Chương I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1 Các hình thức đánh giá trong dạy học 9

2 Các cấp độ nhận thức 12

3 Vai trò của bài tập trong dạy học 15

4 Thực trạng việc dạy và học giải phương trình vô tỉ ở trường THPT 16

Chương II XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ THEO CÁC CẤP ĐỘ NHẬN THỨC CHO HỌC SINH THPT 1 Phương pháp nâng lũy thừa 19

2 Phương pháp nhân lượng liên hợp 36

3 Phương pháp hàm số 57

4 Phương pháp đặt ẩn phụ 91

5 Phương pháp đánh giá 120

6 Phương pháp lượng giác hóa 140

7 Một số ứng dụng của phương trình vô tỉ 152

KẾT LUẬN 165

TÀI LIỆU THAM KHẢO 166

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ CÁI VIẾT TẮT

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình vô tỉ (PTVT) là một trong những kiến thức trọng tâm trong chương trình toán học bậc phổ thông Đồng thời, phương trình vô tỉ cũng là một trong những dạng toán thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi cũng như kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên hoặc kì thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng

Bên cạnh đó, PTVT luôn là “nỗi sợ hãi” của các em học sinh bởi các bài tập về PTVT khá rắc rối và phức tạp; việc giải các bài tập này đòi hỏi HS cần phải có sự nhạy bén khi phân tích đề, hiểu và nắm vững các phương pháp giải PTVT, từ đó vận dụng đúng và chính xác vào bài tập; đồng thời cũng đòi hỏi HS phải khéo léo

và linh hoạt khi biến đổi phương trình tương đương, tránh mắc những sai lầm cơ bản khi giải

Muốn khắc phục “nỗi sợ hãi” trên, người học cần phải được tiếp cận kiến thức một cách bài bản, cặn kẽ, đi từ dễ đến khó, từ lý thuyết đến thực tiễn và phải có sự chủ động trong tư duy toán học để có thể phân loại, nhận dạng và giải được các bài tập PTVT; từ đó nâng cao năng lực giải toán ở bậc THPT nói chung và PTVT nói riêng

Hiện nay, Bộ Giáo dục đang có chủ trương tổ chức kì thi THPT Quốc gia theo hình thức trắc nghiệm với bốn cấp độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao thì việc xây dựng hệ thống theo các cấp độ là điều cần thiết Việc phân loại theo từng cấp độ nhằm giúp HS dễ đánh giá việc học tập và giáo viên có được nguồn tư liệu phục vụ giảng dạy được thuận tiện hơn, phù hợp với năng lực của các HS

Chính vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài là: "Xây dựng hệ thống bài tập

phương trình vô tỉ theo các cấp độ nhận thức cho học sinh THPT"

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của khóa luận là xây dựng hệ thống các bài tập phương trình vô tỉ, trong

đó có sự phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với các cấp độ nhận thức nhằm

giúp HS phát triển năng lực trong học Toán và nâng cao chất lượng dạy học Toán ở

trường THPT

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu

Học sinh bậc trung học phổ thông

3.2 Đối tượng nghiên cứu

Phương trình vô tỉ

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

Thu thập thông tin từ các tài liệu, sách tham khảo có kiến thức liên quan đến

“Phương trình vô tỉ”, sau đó tổng hợp và phân loại một cách hợp lý nhất

4.2 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

Trao đổi và tham khảo ý kiến từ giáo viên hướng dẫn và các thầy cô ở trường THPT

để tìm hiểu và thu thập những kiến thức liên quan đến đề tài nghiên cứu

4.3 Phương pháp điều tra

Khảo sát việc dạy và học phương trình vô tỉ ở trường THPT nhằm tìm hiểu về thực trạng trong việc dạy và học PTVT, phát hiện nguyên nhân của các hạn chế từ đó đưa ra được giải pháp thích hợp

4.4 Phương pháp quan sát khoa học

Sử dụng phương pháp quan sát và tiếp cận nhằm phát hiện và phân tích tâm lý của

HS đối với việc học và giải bài tập về phương trình vô tỉ

5 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về nội dung liên quan đến “Phương trình vô tỉ”, được thực nghiệm tại trường THPT Trần Khai Nguyên và THPT Nguyễn Trãi từ ngày 13/02/2017 đến ngày 08/4/2017

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận được trình bày trong hai chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập phương trình vô tỉ theo các cấp độ nhận thức cho học sinh THPT

Chương I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Các hình thức đánh giá trong dạy học

1.1 Xu hướng kiểm tra, đánh giá của các quốc gia trên thế giới

Xu hướng kiểm tra, đánh giá của các quốc gia trên thế giới đều chú trọng đánh giá năng lực người học, coi trọng đánh giá quá trình kết hợp đánh giá định kì, tổng kết,

sử dụng nhiều công cụ để đánh giá: đánh giá qua sản phẩm, qua các dự án, qua hồ

sơ học tập, qua câu hỏi (Tự luận hoặc Trắc nghiệm) sử dụng trong các bài thi viết Đối với các bài thi viết, căn cứ vào mục đích/ mục tiêu của kì đánh giá: đánh giá trên diện rộng (cấp quốc gia, cấp quốc tế), đánh giá trên diện hẹp (trong phạm vi lớp học) để lựa chọn sử dụng các hình thức, công cụ đánh giá cho phù hợp, hiệu quả Nhiều quốc gia như Mĩ, Nhật… đang sử dụng hình thức thi Trắc nghiệm trong các

kì thi đánh giá trên diện rộng và cho kết quả chính xác, khách quan

1.2 Đặc điểm của hình thức thi trắc nghiệm, tự luận

1.2.1 Các dạng câu hỏi Trắc nghiệm

Hiện nay, đánh giá bằng trắc nghiệm khách quan là một phương pháp hiện đại mới được nghiên cứu trên thế giới khoảng những năm 60 của thế kỉ XX, vận dụng ở Việt Nam cuối thế kỉ XX bên cạnh phương pháp đánh giá truyền thống

Trong dạy học Toán có nhiều loại câu hỏi, bài tập trắc nghiệm khách quan:

- Dạng câu hỏi lựa chọn nhiều khả năng (dạng đúng – sai, dạng phổ biến 4 lựa

- Dạng câu hỏi sắp lại thứ tự

Ví dụ: Sắp xếp thứ tự các câu sau để có được lời giải hoàn chỉnh của bài toán trên

F Vậy x4 là nghiệm của phương trình đã cho

- Dạng câu hỏi ghép đôi

Ví dụ: Ghép một ý ở cột 1 với 1 ý trong cột 2 để được khẳng định đúng:

 Đều có thể đo lường hầu hết kết quả học tập quan trọng bằng hình thức viết;

 Đều khuyến khích học sinh học tập để đạt mục tiêu: hiểu biết các nguyên lí,

tổ chức, phối hợp các ý tưởng, ứng dụng kiến thức trong việc giải quyết các vấn đề

 Đều đòi hỏi vận dụng ít nhiều sự phán đoán chủ quan và giá trị của hai loại tuỳ thuộc vào tính khách quan và độ tin cậy của chúng

Ít câu hỏi, nhưng có tính tổng quát và

phải trả lời dài

Nhiều câu hỏi chuyên biệt, chỉ cần trả lời ngắn gọn

Phải suy nghĩ, viết Phải đọc và suy nghĩ

Chất lượng của bài tự luận phụ thuộc

vào kĩ năng của người chấm bài xác

định

Chất lượng của bài trắc nghiệm khách quan do kĩ năng của người biên soạn quyết định

Dễ soạn, khó chấm và khó cho điểm

chính xác Khó soạn, dễ chấm, cho điểm chính xác

Khó xác định mức độ hoàn thành toàn

diện nhiệm vụ học tập

Dễ thẩm định mức độ hoàn thành các nhiệm vụ học tập

Cho phép hoặc đôi khi khuyến khích sự

“lừa phỉnh” Cho phép “đoán mò”

Cho phép người chấm ấn định sự phân

bố điểm (sửa đáp án) Sự phân bố điểm do bài thi ấn định

Nguồn Dương Thiệu Tống - Trắc nghiệm và đo lường thành quả học tập, tr.16

+ Nhận ra, nhớ lại khái niệm, định lí, định luật, tính chất

+ Nhận dạng (không cần giải thích) được khái niệm, hình thể, vị trí tương đối giữa các đối tượng trong các tình huống đơn giản

+ Liệt kê, xác định các vị trí tương đối, các mối quan hệ đã biết giữa các yếu tố

Câu hỏi thuộc cấp độ nhận biết: Là câu hỏi kiểm tra việc thuộc, hiểu đúng, nhớ các

khái niệm, các kết quả lý thuyết (các công thức, tính chất, định lí, quy tắc…) đã được học; kiểm tra khả năng nhận ra, nêu hoặc tái hiện các khái niệm, kết quả đó trong tình huống cụ thể

2.2 Thông hiểu

Hiểu được ý nghĩa của các khái niệm, hiện tượng, sự vật; giải thích được, chứng minh được là mức độ cao hơn nhận biết nhưng là mức độ thấp nhất của việc thấu hiểu sự vật, hiện tượng, nó liên quan đến ý nghĩa của các mối quan hệ giữa các khái niệm, thông tin mà HS đã học hoặc đã biết

Có thể cụ thể hóa mức độ này bằng các động từ:

+ Diễn tả bằng ngôn ngữ cá nhân về khái niệm, định lí, tính chất, định luật, chuyển đổi từ hình thức ngôn ngữ này sang hình thức ngôn ngữ khác (ví dụ từ lời sang công thức, kí hiệu, số liệu và ngược lại)

+ Biểu thị, minh họa, giải thích ý nghĩa của các khái niệm, định lí, tính chất, định luật

+ Lựa chọn, bổ sung, sắp xếp lại những thông tin cần thiết để giải quyết vấn đề nào

đó

+ Sắp xếp lại lời giải bài toán theo một cấu trúc logic

Câu hỏi thuộc cấp độ thông hiểu: Là câu hỏi kiểm tra việc sử dụng các kiến thức lý

thuyết (khái niệm, kết quả) đã được học để giải quyết các tình huống Toán học không phức tạp, giống hoặc tương tự các tình huống HS đã được luyện tập trên lớp, cũng như đã gần giống hoặc gần tương tự các tình huống trong SGK, kiểm tra khả năng vận dụng các tình huống không phức tạp có liên quan trong thực tiễn cuộc sống hoặc trong các môn học khác

2.3 Vận dụng

Là khả năng đòi hỏi HS phải biết vận dụng kiến thức, biết sử dụng phương pháp, nguyên lí hay ý tưởng để giải quyết một vấn đề nào đó

Có thể cụ thể hóa mức độ này bằng các động từ:

+ So sánh các phương án giải quyết vấn đề

+ Phát hiện lời giải có mâu thuẫn, sai lầm, chỉnh sửa được

+ Giải quyết được những tình huống mới bằng cách vận dụng các khái niệm, định

lí, tính chất, định luật

+ Khái quát hóa, trừu tượng hóa từ tình huống quen thuộc, tình huống đơn lẻ sang tình huống mới, tình huống phức tạp hơn

Câu hỏi thuộc cấp độ vận dụng thấp: Là câu hỏi nhằm kiểm tra việc hiểu rõ, hiểu

sâu (ở mức độ nhất định) các kiến thức lí thuyết đã được học và biết tạo ra sự liên kết giữa các kiến thức đó với nhau để giải quyết tình huống toán học không đơn giản, gần giống hoặc tương tự các tình huống có trong SGK, SBT; kiểm tra khả năng vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các tình huống không phức tạp có liên quan trong thực tiễn cuộc sống hoặc trong các môn học khác

Câu hỏi thuộc cấp độ vận dụng cao: Là câu hỏi kiểm tra khả năng vận dụng tổng

hợp các kiến thức lý thuyết được học để giải quyết các tình huống Toán học mới, không quen thuộc và không quá phức tạp trong khoa học cũng như trong thực tiễn cuộc sống

Câu hỏi thuộc cấp độ vận dụng (thấp, cao) còn là câu hỏi kiểm tra sự linh hoạt vận dụng kiến thức để tìm ra cách xử lí nhanh, vận dụng kiến thức để giải quyết các bài toán có liên quan đến thực tiễn

Có thể tóm tắt các cấp độ tư suy bằng bảng sau:

“Nguồn: Trích công văn số 8773/BGDĐT-GDTrH, ngày 30/12/2010 của Bộ GD

và ĐT”

3 Vai trò của bài tập trong dạy học

Hệ thống các bài tập được xây dựng theo nhiều cấp độ từ dễ đến khó phù hợp với từng giai đoạn học của học sinh, giúp học sinh có thể nâng cao dần kỹ năng giải toán Đồng thời, với mỗi bài tập đưa ra, đều sẽ có các bước phân tích đề bài từ đó nêu hướng gợi mở vấn đề nhằm giúp HS tìm cách giải quyết bài toán Ngoài ra, chúng tôi còn nêu các sai lầm thường gặp ở học sinh trong cách logic và trình bày bài toán Cách thức xây dựng bài tập như vậy mang lại lợi ích quan trọng trong việc vận dụng giải toán của HS và việc dạy học của giáo viên:

3.1 Đối với học sinh

Các bài toán về lý thuyết với nhiều hình thức trình bày khác nhau, lật mở được nhiều khía cạnh nhằm giúp HS có thể hiểu sâu sắc về lý thuyết và bản chất của nó,

từ đó hiểu được ý nghĩa thực tiễn của toán học và vận dụng được vào việc giải các

bài toán về PTVT

Phương pháp gợi mở vấn đề bằng cách nhận xét, phân tích đề ở mỗi bài toán sẽ phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động và tư duy sáng tạo của HS Tránh cách

từ đó loại suy được những câu trả lời sai

Hệ thống các bài tập theo 04 mức độ nhận thức và Phương pháp gợi mở vấn đề sẽ rèn luyện được kỹ năng giải quyết vấn đề và phát triển năng lực giải toán toàn diện của HS

3.2 Đối với giáo viên

Giúp người giáo viên có thể định hướng được cách điều khiển và tổ chức các hoạt động dạy học của mình một cách hiệu quả

Giúp người giáo viên tiếp cận với phương pháp dạy học mới với phương châm “Lấy người học làm trung tâm”, từ đó xây dựng được phương pháp gợi mở vấn đề cho học sinh nhằm bồi dưỡng cho HS năng lực tự học, khả năng thực hành và khơi dậy lòng say mê học tập của HS

Với hệ thống các bài tập về PTVT từ dễ đến khó với mỗi dạng toán, người giáo viên

có thể xây dựng được lộ trình dạy cũng như mức độ đề bài đặt ra phù hợp mức độ hiểu và vận dụng đối với từng học sinh, từ đó nâng cao năng lực giải toán của HS

4 Thực trạng việc dạy và học giải phương trình vô tỉ ở các trường THPT

Hiện nay, việc dạy và học môn Toán nói chung và phương trình vô tỉ nói riêng ở

bậc trung học phổ thông chưa đạt chất lượng và hiệu quả cao Qua quá trình khảo

sát, chúng tôi thấy có một số nguyên nhân chính sau:

4.1 Về việc học của học sinh

Việc học lý thuyết bị xem nhẹ dẫn đến học sinh không nắm vững những kiến thức

cơ bản; từ đó không tạo được nền tảng chắc chắn, dẫn đến thường mắc phải những sai lầm trong giải toán, không phát huy được hết năng lực trong việc giải quyết những bài toán phức tạp hơn

Năng lực của học sinh trong các lớp không đồng đều; trong khi đó các bài tập trên lớp và trong sách giáo khoa chưa có tính phân loại theo mức độ nhận thức, chưa thực sự phù hợp với năng lực của từng đối tượng học sinh

HS còn nhiều lỗ hổng kiến thức, dẫn đến gặp khó khăn trong việc tiếp thu các khái niệm và kiến thức mới, gây nên việc e dè và chán nản trong việc học Toán

HS còn bị động trong việc học, chủ yếu chỉ tiếp nhận các kiến thức từ thầy cô cung cấp, không có sự đào sâu, tìm tòi và học hỏi từ bên ngoài; dẫn đến bị rập khuôn trong việc trình bày và giải Toán, thiếu sự linh hoạt trong việc xử lý các tình huống phức tạp hơn

HS chưa thấy được ý nghĩa của việc học toán và tính ứng dụng vào thực tiễn của nó nên không gây được sự hứng thụ và niềm đam mê đối với bộ môn Toán nói chung

và PTVT nói riêng

4.2 Về việc dạy của giáo viên

Thời lượng giảng dạy ở trên lớp so với khối lượng kiến thức cần truyền tải còn hạn chế; dẫn đến GV chỉ tập trung dạy phần nội dung trọng tâm và bỏ qua việc dẫn dắt

HS đến với kiến thức mới cũng như ứng dụng thực tiễn trong đời sống

Một số GV chưa đổi mới phương pháp giảng dạy, còn dạy học theo kiểu truyền thống là “thầy đọc, trò chép” nên chưa phát huy được tính tích cực, chủ động của học sinh

Việc phân tích đề từ đó đặt ra câu hỏi gợi mở vấn đề là một trong những yếu tố quan trọng giúp HS tiếp cận kiến thức từ đơn giản đến phức tạp cũng nhƣ tạo đƣợc lối tƣ duy sáng tạo của HS trong Toán học Nhƣng đa số GV còn chƣa áp dụng vào việc giảng dạy, còn áp đặt tƣ duy cá nhân đối với HS

GV chƣa có hệ thống các bài tập phù hợp với năng lực của từng học sinh Các bài tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu rất ít khi xuất hiện trong các ví dụ minh họa cho bài giảng và trong bài tập về nhà

Chương II XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH

VÔ TỈ THEO CÁC CẤP ĐỘ NHẬN THỨC CHO HỌC SINH THPT

1 Phương pháp nâng lũy thừa

+ Phương pháp nâng lũy thừa cho một số dạng phương trình cơ bản:

Lưu ý: Đối với phương trình hệ quả:

+ Nâng lũy thừa 2 vế phương trình và đưa về phương trình hệ quả

+ Giải phương trình hệ quả trên tìm nghiệm

+ Thử lại nghiệm của phương bằng cách thay nghiệm đó vào phương trình ban đầu

Bài 1.2 Cho phương trình: f x( ) g x( )

Khi biến đổi tương đương ta được kết quả nào sau đây:

Bài 1.3 Cho phương trình:3 f x( )  3 g x( )

Khi biến đổi tương đương ta được kết quả nào sau đây:

1.4.2 Bài tập cấp độ thông hiểu

Hoàn thành các câu sau bằng cách điền vào chỗ trống

Bài 1.6 Cho phương trình: 2k f x( ) g x( ) *

(k ) Khi biến đổi tương đương ta được kết quả là…

Đáp án:

 2

( ) 0( ) ( ) k

Đáp án: f x( ) g x( )

Bài 1.8 Cho phương trình: 2k f x( )  2k g x( ) *

(k ) Khi biến đổi tương đương ta được kết quả là…

Đáp án:

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )

Bài 1.9 Cho phương trình: 2x   1 x 2

Khi biến đổi tương đương ta được kết quả là…

x x

F Vậy x3 là nghiệm của phương

Bài 1.13 Giải phương trình: x   1 3 x

Nhận xét: Phương trình đã cho có dạng: f x( ) g x( ), do đó giải phương trình đã cho bằng cách biến đổi tương đương

x x x

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2

Bài 1.14 Giải phương trình:3 2 3 2

9 33 19 124 0

x x

x x x

x x





  



Vậy tập nghiệm phương trình là S 2; 4

1.4.3.2 Sử dụng phương pháp nâng lũy thừa đưa về phương trình hệ quả Bài 1.16 Giải phương trình:3 3

Do đó x2là nghiệm của phương trình ban đầu

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2

Bài 1.17 Giải phương trình: 32x 1 3 x  3 x1

Vậy tập nghiệm phương trình là S  0

1.4.4 Bài tập vận dụng cao

1.4.4.1 Sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình tương đương

Bài 1.18 Giải phương trình: 3x  1 x  1 2x 6

Nhận xét: Phương trình đã cho có dạng f x( )  g x( )  h x( ), do đó ta giải phương trình đã cho bằng cách bình phương 2 vế và đưa về phương trình dạng

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5

Bài 1.19 Giải phương trình: x  1 x  6 x  5 x 2

Nhận xét: Khi bình phương 2 vế phương trình đã cho, ta rút gọn và đưa về dạng

Bình phương 2 vế phương trình đã cho, ta được:

1 6 2 5

x x

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

1.4.4.2 Sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình hệ quả Bài 1.20 Giải phương trình: x  3 3x  1 4x 2x 2

+ Bình phương 2 vế phương trình (1), ta sẽ rút gọn được 2 vế cho (5x 3)và thu được phương trình 2 2

6x  8x  2 4x  12x, tiếp tục bình phương 2 vế, ta dễ dàng giải được phương trình trên

1

x

x x

Do đó x1 là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1

Bài 1.21 Giải phương trình:

+ Nếu giải phương trình đã cho bằng cách bình phương liên tiếp 2 vế phương trình

để làm mất căn thức, ta nhận được phương trình bậc lớn, gây khó khăn trong việc giải phương trình trên

+ Ta thấy: 3    2 

Do đó, ta biến đổi phương trình ban đầu như sau:

Phương trình đã cho tương đương: 3 1 2

1.5 Một số sai lầm thường gặp khi giải phương trình vơ tỉ bằng phương pháp nâng lũy thừa:

Bài 1.22 Giải phương trình: x   1 3 x

Lời giải sai:

nhận) (nhận)

x x





  



Vậy tập nghiệm của phương trình là S  2;5

Nhận xét: x5 khơng là nghiệm của phương trình đã cho

Nguyên nhân sai lầm: do học sinh hiểu lầm:

x x x

Bài 1.23 Giải phương trình: 2 5 1

2

x x







Lời giải sai:

Phương trình đã cho tương đương: 2 5 1

2

x x

Vậy phương trình vô nghiệm

Nhận xét: x 7 là nghiệm của phương trình đã cho

Nguyên nhân sai lầm: hiểu lầm A A

 



5 2 2

x x

Lời giải sai:

Phương trình đã cho tương đương: x 1 2x3

3

2 2

Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là S  2

Nhận xét: x2 không là nghiệm phương trình đã cho

Nguyên nhân sai lầm: A B A C  B C

Lời giải sai:

Phương trình đã cho tương đương:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  1

Nhận xét: x1 không là nghiệm của phương trình đã cho

2

x là nghiệm của phương trình đã cho

Nguyên nhân sai lầm: hiểu lầm AB  A B

Sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp cho các phương trình vô tỉ có dạng:

 f x( ) g x( ) với g x( ) là đa thức bậc hai trở lên

 3 f x( ) g x( ) với g x( ) là đa thức bậc hai trở lên

 Phương trình dạng: m 3 f x( ) m 3 g x( ) n h x ( )với f x( ) g x( ) k h x ( )

Cách giải: Nhân 2 vế phương trình cho  2  2

3 f x( ) 3 f x g x( ) ( )3 g x( ) , ta đưa phương trình về dạng A B 0

Đối với những phương trình dạng:

 m 3 f x( ) m 3 g x( ) n h x ( ) với f x( ) g x( ) k h x ( )

 m 3 f x( ) m 3 g x( ) n h x ( ) với f x( ) g x( ) k h x ( )

 m 3 f x( ) m 3 g x( ) n h x ( )với f x( ) g x( ) k h x ( )

 f x( ) g x( ) với g x( ) là đa thức bậc hai trở lên

 3 f x( ) g x( ) với g x( ) là đa thức bậc hai trở lên

 m. f x( ) n. g x( )  p h x ( ) (mn)

 m. f x( ) n. g x( )  p (mn)

 m. f x( ) n 3 g x( )  p (mn)

 m. f x( ) n 3 g x( )  p h x ( ) (mn)

Cách giải: Ta thực hiện nhóm biểu thức rồi tiến hành nhân và chia lượng liên hợp

cho từng nhóm biểu thức đó để tạo nhân tử chung

Cách nhóm biểu thức:

Ta nhẩm nghiệm của phương trình:

+ Nếu phương trình có 1 nghiệm, ta thực hiện nhóm biểu thức bằng cách đặt

Bài 2.4 Cho phương trình:3 3

x  x   x Khi giải phương trình đã cho bằng phương pháp nhân lượng liên hợp, ta nhân

hai vế phương trình đã cho với:

Bài 2.5 Cho phương trình: 2x  3 x   1 x 4

Giải phương trình đã cho bằng phương pháp nhân lương liên hợp, ta nhân hai vế phương trình đã cho với:

Bài 2.6 Cho phương trình: 2

2x  3 x  6x 9 Khi giải phương trình đã cho bằng bằng phương pháp nhân lượng liên hợp, ta cần tạo nhóm biểu thức 2x 3 m (*)

để sau khi nhân lượng liên hợp của (*) ta được nhân tử chung Giá trị của m là:

Bài 2.9 Cho phương trình: x  3 5  x 4x 16

Khi giải phương trình đã cho bằng phương pháp nhân lượng liên hợp, ta nhân hai vế phương trình đã cho với (1) , ta được nhân tử chung là (2)

Đáp án: (1): x  3 5 x (2): x4

2.4.3 Bài tập vận dụng thấp

Bài 2.10 Giải phương trình: 2x  3 6   x 6 2x