Về c3 môđun

Môđun nội xạ sẽ suy ra các tính chất sau mà ta lần lượt gọi làđiều kiện C1, C2, C3 được định nghĩa như sau: C1: Tất cả các môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tửtrực tiếp của M..

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

GS TS LÊ VĂN THUYẾT

ĐÀ NẴNG – NĂM 2018

Tôi xin cam đoan những kết quả nêu trong luận văn "Về môđun"là trung thực, các nội dung có dẫn chứng cụ thể, rõ ràng.

C3-Tác giả

Lê Thị Minh Thuyền

Ký hiệu: Nghĩa ký hiệu

K ≤e M K là môđun con cốt yếu trong M

K  M K là môđun con đối cốt yếu trong M

E(M ) bao nội xạ của M

J (R) căn Jacobson của vành R

M ⊕ N tổng trực tiếp của hai môđun M và N

M × N tích trực tiếp hai môđun M và N

M ∼= N M đẳng cấu với N

M od − R tập R các môđun nội xạ

End(M ) vành các tự đồng cấu của M

LỜI CAM ĐOAN

TÓM TẮT ĐỀ TÀI

1.1 Các định nghĩa và tính chất 4

1.2 Các kết quả liên quan 11

CHƯƠNG 2 VỀ C3-MÔĐUN 15 2.1 C3-Môđun 15

2.2 P-C3-môđun 24

2.3 Bao C3 28

2.4 Phủ C3 30

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết môđun rất quan trọng khi nghiên cứu Đại số và còn nhiềuvấn đề mới cần được quan tâm nghiên cứu Chúng ta biết rằng một lớpmôđun quan trọng trong M od − R đó là môđun nội xạ Một môđun phải

Q trên vành R được gọi là nội xạ nếu cho mọi đơn cấu i từ NR vào MR,mọi đồng cấu f từ N vào Q, luôn tồn tại đồng cấu g từ M vào Q sao cho

gi = f Môđun nội xạ sẽ suy ra các tính chất sau mà ta lần lượt gọi làđiều kiện (C1), (C2), (C3) được định nghĩa như sau:

(C1): Tất cả các môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tửtrực tiếp của M

(C2): Tất cả các môđun con đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của

M cũng là hạng tử trực tiếp của M

(C3): Nếu M1 và M2 là hạng tử trực tiếp của M mà M1 ∩ M2 = 0,thì M1L

M2 cũng là hạng tử trực tiếp của M

Một môđun nghiệm đúng tính chất Ci (i = 1, 3) sẽ được gọi là môđun

Ci (hay Ci-môđun) Nếu môđun M nghiệm đúng với cả hai điều kiện (C1)

và (C2) thì M được gọi là môđun liên tục Nếu M nghiệm đúng cả (C1)

và (C3), thì nó được gọi là môđun tựa liên tục Mỗi môđun nội xạ là liêntục và, mỗi C2-môđun là C3-môđun và nói chung, không phải C3-môđunnào cũng là C2-môđun Vì vậy ta có:

Nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục

Ngoài ra, C3-môđun còn có mối quan hệ chặt chẽ với các môđun đều,môđun không phân tích được, môđun nửa đơn, môđun đối ngẫu Rickart,môđun có SSP, Nhằm tìm hiểu về các vấn đề về môđun đã giới thiệu ởtrên, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là: “VỀ C3-MÔĐUN”

2 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về C3 môđun và các môđun liên quan, các vành liênquan

- Tổng quan các kết quả từ các các bài báo, sách và sau đó chứngminh, trình bày lại vấn đề một cách có hệ thống

- Tìm cách mở rộng một số kết quả (nếu được)

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất của C3-môđun, P-C3-môđun,phủ C3, bao C3

- Nghiên cứu mối liên hệ của các môđun đều, môđun không phântích được, môđun nửa đơn, môđun Rickart đối ngẫu và môđun có SSP vớiC3-môđun

- Đặc điểm vành nửa đơn, V-vành, vành di truyền phải và vành FGCphải chính quy liên quan đến C3-môđun

- Mối liên quan của P-C3-môđun với vành Nơte phải, môđun nội xạ

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết: Dựa trên cơ sở đã biết về môđun, môđun xạảnh, môđun nội xạ, cùng với nghiên cứu các tài liệu đã công bố đặc biệt

là các bài báo khoa học liên quan đến Ci-môđun, i = 1, 3

- Nghiên cứu thực tiễn: Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn Traođổi thông qua xêmina của nhóm

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn đượcchia thành 2 chương

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả liên quan đếnmôđun để làm cơ sở cho chương sau

2.1 C3-môđun

2.2 P

−C3-môđun2.3 Bao C3

2.4 Phủ C3

Do thời gian thực hiện có hạn, năng lực bản thân còn nhiều hạn chếnên dù em đã rất cố gắng tuy nhiên vẫn không tránh khỏi những thiếusót Em kính mong quý Thầy/ Cô, bạn đọc thông cảm và góp ý cho luậnvăn của em được hoàn chỉnh hơn

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi xin trình bày một số khái niệm và kếtquả liên quan để làm cơ sở cho chương sau Các kết quả mà tôi trình bàydưới đây được trích dẫn từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [7]

(2) Một môđun MR được gọi là hữu hạn đối sinh nếu mỗi tập hợp

{Ai | i ∈ I} các môđun con của M thỏa mãn T

I

Ai = 0 đều tồn tại mộttập con hữu hạn I0 ⊂ I sao cho T

I 0

Ai = 0.Định nghĩa 1.1.2 (1) R-môđun phải M được gọi là Nơte nếu mọitập khác rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối đại

(2) Vành R được gọi là Nơte phải nếu RR là Nơte

Ví dụ 1.1.3 (1) Vành Z là Nơte vì mọi môđun con của nó đều hữuhạn sinh tức là có dạng nZ, n ∈ N

(2) Vành đa thức K[x] , với K là trường, là Nơte vì khi K là trườngtức là Nơte, áp dụng định lý cơ sở Hinbert ta có ngay điều phải chứngminh

(3) Vành đa thức đếm được biến A[x1, x2, ] không là vành Nơte vìdãy tăng các iđêan

hx1i < hx1, x2i < < hx1, x2, , xni <

không dừng

Nếu xem như Z-môđun thì Zp ∞ không là Nơte.

Thật vậy, mọi môđun con K của Zp ∞ là hữu hạn, nghĩa là tồn tại

pm+Z ∈ K với k ∈Z, pkhông chia hết cho k, vàm ∈ N,

chúng ta có thể tìm được r, s ∈Z với kr + pms = 1 Điều này cho ta

pi +Z), thì với mỗi môđun con Ki, Kj của Zp ∞, Ki ≤ Kj hay

Kj ≤ Ki Trong Zp ∞ tồn tại các dãy tăng vô hạn các môđun con Mọi dãygiảm các môđun con là hữu hạn K1 ≤ K2 ≤ K3 ≤

Định nghĩa 1.1.4 Căn Jacobson của một môđun MR là giao tất cảcác môđun con cực đại của M và ký hiệu là Rad(M ) Khi M = R thì

Rad(RR) = Rad(RR) và ký hiệu là J nghĩa là căn Jacobson của vành R

Ví dụ 1.1.5 (1) Cho p là một số nguyên tố, k là một số nguyêndương và M = Z/pkZ Khi đó Rad(M ) = pZ/pkZ

(2) Cho số nguyên n với phân tích tiêu chuẩn n = pα1

1 pα2

2 pαk

k Khi

Định nghĩa 1.1.8 (1) Môđun MR được gọi là môđun con đơn nếu

M 6= 0 và chỉ có đúng hai môđun con (là 0 và M)

(2) Cho (Tα)α ∈ A là một tập các môđun con đơn của M Nếu M làtổng trực tiếp của các môđun con đơn này, nghĩa là

M = M

A

Tα

thì môđun M được gọi là nửa đơn

(3) Vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) nếu môđun RR (RR) nửađơn

Người ta đã chứng minh được vành R là nửa đơn phải khi và chỉ khi

R là nửa đơn trái Vì vậy ta chỉ cần gọi R nửa đơn mà không cần đề cậpđến phía

Ví dụ 1.1.9 (1) Mỗi không gian vectơ V = VK trên trường K lànửa đơn

trong đó B là cơ sở của V Dĩ nhiên xK đơn đối với x 6= 0, x ∈ V.

(2) ZZ không nửa đơn Ngoài ra QZ cũng không nửa đơn vì trong nókhông có môđun con đơn nào

Định nghĩa 1.1.10 (1) Cho UR là một môđun Lúc đó U được gọi

là nội xạ trong trường hợp với mọi đơn cấuf : KR → MR, với mọi KR, MR

và mỗi đồng cấu v : KR → UR tồn tại một R- đồng cấu v : M → U saocho v.f = v hay biểu đồ sau giao hoán

không thể mở rộng đến đồng cấu Z →Z.

(2) QZ là nội xạ vì xem Q như là Z-môđun thì Q là chia được

(3) Z là Z-môđun xạ ảnh Tuy nhiên Z-môđun Zn không là xạ ảnh

Để mở rộng định nghĩa môđun nội xạ ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1.12 Cho M, N là các R-môđun phải Khi đó:(1) M được gọi là N-giả nội xạ nếu mỗi môđun con A của N thì mọiđơn cấuf : A → M đều mở rộng được đến đồng cấug : N → M M đượcgọi là giả nội xạ nếu M là M-giả nội xạ

(2) M được gọi là N-giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con cốt

yếu Acủa N thì mọi đơn cấu f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu

g : N → M M được gọi là tự giả nội xạ cốt yếu nếu M là M-giả nội xạcốt yếu

Ví dụ 1.1.13 Ta có Zp 3 là Zp 2-giả nội xạ cốt yếu

Chứng minh Vì môđun Z2p chỉ có 3 môđun con là p2Z

→ Zp3 là đơn cấu xác định bởi: f (0) = 0 = pb

và f (p) = p2 Bây giờ ta chọn ánh xạ g : Zp2 → Zp3 xác định g(a) = pa

với mọi a ∈ Zp2 Khi đó, g là một Z-đồng cấu Hơn nữa, với x ∈ pZ

p2

Zthì

(2) Môđun đơn là môđun đều

(3) Trường các thương của miền giao hoán R là R-môđun đều

Định nghĩa 1.1.16 Một môđun M được gọi là N-C2 nếu có bất kỳmôđun con N0 ≤ N , với N0 ∼= M0 ≤⊕ M thì N0 ≤⊕ N

Định nghĩa 1.1.17 Một môđun M có tính chất tổng số hạng, SSPnếu hai hạng tử trực tiếp bất kỳ của M là một hạng tử trực tiếp của M.Định nghĩa 1.1.18 Một môđun M được gọi là đối ngẫu Rickart

nếu với mỗi ϕ ∈ End(M ) , ϕ(M ) là một hạng tử trực tiếp của M.

Định nghĩa 1.1.19 Một vành R gọi là vành FGC phải nếu mỗi

R-môđun hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của các môđun con cyclic

Định nghĩa 1.1.20 Một vành R gọi là V-vành phải nếu với mỗi

R-môđun phải đơn là nội xạ R được gọi là vành SSI phải nếu với mỗi

R-môđun phải nửa đơn là nội xạ

Định nghĩa 1.1.21 (1) Vành R được gọi là nửa nguyên sơ nếu vànhthương R/J (R) là nửa đơn và J (R) là lũy linh

(2) Một vành R được gọi là hoàn chỉnh phải (trái) nếu R là vành nửađịa phương và J (R) là T-lũy linh phải (trái)

Ta có thể chứng minh được vành nửa nguyên sơ là vành hoàn chỉnhphải (trái) nhưng chiều ngược lại nói chung không đúng

Định nghĩa 1.1.23 Một đồng cấu vành φ : P → M được gọi là phủ

xạ ảnh của R-môđun phải nếu P là xạ ảnh, φ là một toàn cấu, và ker(φ)

là đối cốt yếu trong P

Không phải môđun nào cũng có phủ xạ ảnh nên vành hoàn chỉnh vàmọi môđun có phủ xạ ảnh có mối liên hệ sau:

Định lý 1.1.24 Vành R là hoàn chỉnh phải nếu mỗi R-môđun phải

Ví dụ 1.1.27 (1) Mọi trường đều là vành chính quy vì với mọia 6= 0,

ta có thể lấy b = a−1 thõa mãn aba = aa−1a = a

(2) Ma trận Mn(K) cũng là vành chính quy vì với mọi A ∈ Mn(K)

với rank(A) = n Khi đó tồn tại các ma trận khả nghịch U, V sao cho

Định nghĩa 1.1.28 Cho M là R-môđun phải Đơn cấu µ : M → Q

được gọi là bao nội xạ đối với M nếu Q là môđun nội xạ còn µ là đơn cấucốt yếu

Về mặt kí hiệu đôi khi ta viết I(M ), E(M ) để chỉ bao nội xạ củamôđun M

Ví dụ 1.1.29 Cho ι : ZZ →QZ là bao nội xạ đối với ZZ vì ι là đơncấu còn QZ là nội xạ (chia được), ngoài ra ZZ ≤ QZ do ∀q ∈ Q, q 6= 0, q =p/r, ∃r ∈ Z sao cho r 6= 0, rq = p ∈ Z

Định nghĩa 1.1.30 Cho M là R-môđun phải, và S = EndR(M ).Khi đó M được gọi là môđun đối ngẫu Rickart nếu ∀ϕ ∈ S, ϕ(M )ϕ =Imϕ = eM với e2 = e ∈ S

Ví dụ 1.1.31 (1) Mọi môđun nội xạ trên vành di truyền phải là đối

ngẫu Rickart.

(2) Mọi môđun nửa đơn là môđun đối ngẫu Rickart

Định nghĩa 1.1.32 Cho MR và N ≤ M N được gọi là hạng tửtrực tiếp của M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P.Lúc đó ta nói P là môđun con phụ của M

Từ định nghĩa ta suy ra:

m 6= 0 ta có mn ∈ nZ∩ mZ nên nZ∩ mZ 6= 0 nghĩa là nZ+ mZ không

là tổng trực tiếp Vậy nZ không có môđun con phụ nào trong Z.

Định nghĩa 1.1.34 (C1): Tất cả các mô đun con của M đều cốtyếu trong một hạng tử trực tiếp của M

(C2): Tất cả các môđun con đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của

M cũng là hạng tử trực tiếp của M

(C3): Nếu M1, M2 là hạng tử trực tiếp của M mà M1TM2 = 0, thì

M1L

M2 cũng là hạng tử trực tiếp của M

1.2 Các kết quả liên quan

Mệnh đề 1.2.1 Một hạng tử trực tiếp của môđun cũng là môđun

C3-Chứng minh Giả sử A là C3-môđun Gọi B là hạng tử trực tiếp của A

khi đó tồn tại C sao cho BL

C = A Gọi M, N là hạng tử trực tiếp của

từ I vào đối tích của Ik/Mks Mở rộng π từ ánh xạ của R vào qIk/Mk

ta thấy rằng Imπ nằm trong qnk=1(Ik/Mk) với số nguyên n Vì πk(x) 6= 0

với x ∈ Ik − Mk ta thấy rằng dãy tăng nói trên có độ dài ≤ n

Mệnh đề 1.2.3 Mỗi môđun đối ngẫu Rickart thỏa mãn các tính chấtcủa vành SSP

Chứng minh Gọi M là môđun đối ngẫu Rickart, cho e và f là lũy đẳngtrong EndR(M ) Vì eM + f M = eM L

(1 − e)f M nên

(1 − e)f ∈ EndR(M ), (1 − e)f M = gM

với g = g2 ∈ EndR(M ) Vậy

eM + f M = eM MgM ≤L M vì eg = 0

Mệnh đề 1.2.4 Cho R là một vành Các điều kiện sau là tươngđương:

(1) Mỗi R-môđun phải tự do là C2-môđun,

(2) R là vành hoàn chỉnh phải và rR(I) 6= 0 ,với mỗi Iđêan trái hữuhạn sinh của R

Chứng minh Xem [5, 2.6]

Định lý 1.2.5 Vành R nửa đơn khi và chỉ khi R là vành chính quyvon Neumann và không chứa tập vô hạn các phần tử lũy đẳng trực giao

Chứng minh Cần chứng minh rằng nếuRlà vành chính quy von Neumann

và không chứa tập vô hạn các phần tử lũy đẳng trực giao, thì R là vànhnửa đơn Lấy I ≤ RR, I 6= 0, chúng ta cần chỉ ra I là hạng tử trực tiếpcủa R Chọn a1 ∈ I, a1 6= 0 Vì R là vành chính quy nên a1R là hạng tửtrực tiếp của RR và do đó a1R là hạng tử trực tiếp của I

Trường hợp 1: Nếu a1R cốt yếu trong I, thì I = a1R là hạng tử trựctiếp của RR

Trường hợp 2: Nếu a1R không cốt yếu trong I, thì tồn tại a2 ∈ I saocho

a1R\a2R = 0

Vì vậy a1RL

a2R là hạng tử trực tiếp của RR và do đó a1RL

a2R làhạng tử trực tiếp của I với a1R < a1RL

a2R Lặp lại quá trình trên tacó

a1R < a1RMa2R < a1RMa2RMa3R <

điều này mâu thuẫn Vì I là hạng tử trực tiếp của RR

Định lý 1.2.6 (Định lý Matlis của vành Nơte) Các điều kiện sau làtương đương trong vành:

(1) RR là vành Nơte phải,

(2) Mọi tổng trực tiếp của các R-môđun phải nội xạ là nội xạ,

(3) Mọi tổng trực tiếp đếm được các bao nội xạ của các R-môđun đơn

(vì A ≤e E(A)) Do đó E(A) không phân tích được

Ngược lại, giả sử A không đều, A có các môđun con khác 0 là B, C

2.1 C3-Môđun

Chương này tôi sẽ đưa ra một số tính chất của C3-môđun Trong đó

có nêu lên mối quan hệ giữa C2-môđun và C3-môđun

Mệnh đề 2.1.1 Nếu M là môđun thỏa tính chất của C2 thì nó cũngthỏa mãn tính chất của C3

Chứng minh Cho M1, M2 là hạng tử trực tiếp của M với M1 ∩ M2 = 0

Do đó M = M1 ⊕ M10 với M10 ≤ M Đặt π : M → M10 biểu thị cho phépchiếu lên M10 Từ M1∩ M2 = 0 ta có π(M2) ∼= M2 và π(M2) ∼= M10 Nhưng

π(M2) Vậy M thỏa mãn tính chất của C3

Ví dụ sau đây sẽ chỉ ra rằng C3-môđun không nhất thiết là C2-môđun

Ví dụ 2.1.2 Cho Z là Z-môđun thì Z là C3-môđun nhưng Z không

là C2-môđun

Chứng minh Vì Z là một môđun không phân tích được nên Z là môđun Đặt N = 2Z là môđun con của Z Do đó ϕ : N → Z, ϕ(n2) = n(n ∈ Z) là một đẳng cấu Vì vậy N ∼= Z nhưng Z2 không là hạng tử trựctiếp của Z.

C3-Các điều kiện về hạng tử trực tiếp liên quan đến C3-môđun thể hiệntrong kết quả sau:

Mệnh đề 2.1.3 Cho M = M1⊕M2 vớiM1, M2 ≤ M Nếu M là môđun và f : M1 → M2 là đồng cấu với Ker(f ) ≤⊕ M1 thì Im(f ) ≤⊕ M2.Chứng minh Giả sử f : M1 → M2 là đơn cấu Đặt

M1 = {0}, thì T L

M1L

H với H ≤ M Xétphép chiếu chính tắc

Im(f ) = Im(g) = f (N ) ≤L M2.

Hệ quả 2.1.4 Nếu M là C3-môđun, M = M1LM2 với M1, M2 ≤

M và f : M1 → M2 là đơn cấu thì Im(f ) ≤L M2

Chứng minh Suy ra ngay từ mệnh đề 2.1.3

Hệ quả 2.1.5 Cho M là R-môđun Nếu M L

E(M ) là C3-môđunthì M nội xạ

Chứng minh Gọi i = M → E(M ) là ánh xạ bao hàm Do đó i(M ) =

M ≤L E(M ) theo Hệ quả 2.1.4 Vậy M = E(M ) và M là môđun nộixạ

Trong mệnh đề tiếp theo, chứng tôi đã chỉ ra rằng nếu M1L

M2 làC3-môđun, thì có một điều kiện C2 tương hỗ giữa M1 và M2

Mệnh đề 2.1.6 Cho M = M1LM2 với M1, M2 ≤ M Nếu M làC3-môđun thì M1 là C2-môđun tương hỗ vớiM2 và M2 là C2-môđun tương

hỗ với M1

Chứng minh Gọi K ≤L M1 vàL ≤ M2 sao cho L ∼= K Giả sử π : M1 →

K là toàn cấu chính tắc và φ : K → L là một đẳng cấu Do đó

i∅π : M1 → M2

là đồng cấu Trong đó, i : L → M2 là ánh xạ bao hàm Suy ra

Ker(iφπ) = Ker(π) ≤L M1

Theo Mệnh đề 2.1.1, ta có

Im(iφπ) = L ≤L M2

Vì vậy M1 là C2-môđun tương hỗ với M2

Tương tự M2 là C2-môđun tương hỗ với M1

Hệ quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.1.6.

Hệ quả 2.1.7 (1) Nếu M là R-môđun sao cho M L

M là một môđun thì M là C2-môđun Đặc biệt, nếu M L

C3-M tựa liên tục thì M liêntục

(2) Mỗi tổng trực tiếp hữu hạn của bản sao của M là C3-môđun khi

và chỉ khi mỗi tổng trực tiếp của M là C2-môđun

(3) Mỗi tổng trực tiếp hữu hạn của bản sao của M là môđun tựa liêntục khi và chỉ khi tổng trực tiếp hữu hạn của M là môđun liên tục

Chứng minh Rõ ràng

Tuy nhiên, ví dụ tiếp theo sẽ chỉ ra rằng tổng trực tiếp của các môđun không kế thừa tính chất này

C3-Ví dụ 2.1.8 Gọi α : Z →Z là đồng cấu Z-môđun được định nghĩa

bởi α(m) = nm với m ∈ Z (n ∈ Z) Vì α là đơn cấu và Im(α) không làhạng tử trực tiếp của Z, do đó ZL

Z không là C3-môđun (Theo Hệ quả2.1.2) Tuy nhiên, Z là C3-môđun

Trong kết quả tiếp theo tôi chỉ ra một đặc điểm của vành nửa đơnliên quan đến C3-môđun

Định lý 2.1.9 Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R đãcho:

(1) R là vành nửa đơn;

(2) Mỗi R-môđun phải (trái) là C3-môđun

Chứng minh (1) ⇒ (2) Hiển nhiên vì khi R là vành nửa đơn thì mỗi

R-môđun phải (trái) đều là nội xạ

(2) ⇒ (1) Giả sử R là C3-môđun Cần chứng minh R là vành nửa