Về các môđun m xạ ảnh

MỞ ĐẦU Các môđun xạ ảnh đóng một vai trò hết sức quan trọng để hình thành nên các khái niệm cơ bản của lý thuyết môđun nói riêng và nhiều ngành toán học nói chung.. Chương 1: Nội dung ch

CAO MINH NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

CAO MINH NAM

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành tốt luận văn này, tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu cùng các thầy

cô trong Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi có cơ sở lí luận và kỹ năng nghiên cứu khoa học vững chắc, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy TS Trần Huyên đã đặt ra đề tài và hướng dẫn tôi trong thời gian thực hiện luận văn Cuối cùng, tôi xin được gởi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân và bạn bè vì đã không ngừng quan tâm, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Học viên

Cao Minh Nam

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là nghiên cứu của riêng tôi và dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trần Huyên Các nội dung nghiên cứu kết quả trong luận văn này là trung thực

Ngoài ra trong luận văn còn sử dụng một số kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học, dưới sự trân trọng và biết ơn sâu sắc

Tp Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2016

Tác giả

Cao Minh Nam

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Phạm trù và phạm trù con 2

1.1.1 Khái niệm 2

1.1.2 Khái niệm phạm trù con 2

1.1.3 Các cấu xạ đặc biệt của phạm trù 3

1.2 Phạm trù R - MOD và một số kết quả 3

1.2.1 Phạm trù R - MOD 3

1.2.2 Các cấu xạ đặc biệt trong phạm trùR - MOD 3

1.2.3 Cái kéo lại trong phạm trù R - MOD 4

1.2.4 Cái đẩy đi trong phạm trù R - MOD 6

1.2.5 Dãy khớp ngắn chẻ và các điều kiện tương đương 8

1.2.6 Một số bổ đề về đồng cấu 9

1.3 Tập sinh và vết 10

1.3.1 Định nghĩa tập sinh 10

1.3.2 Mệnh đề (các điều kiện tương đương của tập sinh) 11

1.3.3 Mệnh đề (đặc trưng của các phần tử sinh R - MOD) 11

1.3.4 Định nghĩa vết 11

1.3.5 Một số tính chất của vết 12

1.4 Mođun xạ ảnh 12

1.4.1 Định nghĩa 12

1.4.2 Các định lý về môđun xạ ảnh 12

1.5 Phạm trù σ [M] 13

Chương 2 MÔĐUN M – XẠ ẢNH 15

2.1 Môđun M - xạ ảnh 15

2.1.1 Định nghĩa 15

2.1.2 Các tính chất của môđun M - xạ ảnh 15

2.2 Môđun tự xạ ảnh và một số tính chất xa hơn của môđun xạ ảnh 24

2.2.1 Định nghĩa 24

2.2.2 Các tính chất của môđun tự xạ ảnh 25

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

MỞ ĐẦU

Các môđun xạ ảnh đóng một vai trò hết sức quan trọng để hình thành nên các khái niệm cơ bản của lý thuyết môđun nói riêng và nhiều ngành toán học nói chung

Việc mở rộng khái niệm môđun xạ ảnh đến những khái niệm tổng quát hơn

là một trong những hướng nghiên cứu được để ý của nhiều nhà toán học

Chúng tôi lựa chọn việc nghiên cứu về các môđun M –xạ ảnh và xem xét các tính chất của nó là sự thể hiện phần nào của xu hướng nói trên Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương

Chương 1: Nội dung chính của chương này là trình bày lại một số kiến thức

cơ bản của lý thuyết môđun liên quan đến đề tài, như là các khái niệm phạm trù, dãy khớp, các loại môđun đã biết như môđun xạ ảnh,…

Chương 2: Chương này là chương chính của luận văn Nội dung chính của chương này là:

- Khái niệm môđun M –xạ ảnh, các thể hiện trong các phạm trù môđun khác nhau

- Các tính chất cơ bản của môđun M –xạ ảnh và các tính chất tương tự các môđun xạ ảnh

Mặc dù bản thân có nhiều cố gắng nhưng với thời gian và kiến thức có hạn nên không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong muốn những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Mor A BC Mor A BC với mọi A B, A B,

(3) Một hợp các cấu xạ là một ánh xạ:

Với mọi bộ ba A B C, , các vật trong phạm trù C với các tính chất:

(i) Kết hợp: Cho , , ,A B C D là các vật trong phạm trù C và f Mor A BC ,

f Mor A BC và mọi B Obj C

Ta thường kí hiệu Mor A BC , Mor A B, và A C thay vì A Obj C

1.1.2 Khái niệm phạm trù con

Một phạm trù D được gọi là phạm trù con của C nếu:

(i) Obj D Obj C ;

(ii) Mor A BD , Mor A BC , với mọi A B Obj, D ;

(iii) Hợp của các cấu xạ trong phạm trù D là như trong phạm trù C ;

(iv) Các cấu xạ đồng nhất trong phạm trù D như là các cấu xạ đồng nhất trong phạm trù C

Hơn nữa, nếu Mor A BD , Mor A BC , với mọi A B Obj, D thì D

được gọi là phạm trù con đầy đủ của C

1.1.3 Các cấu xạ đặc biệt của phạm trù

Cho C là phạm trù Một cấu xạ :f A B trong C được gọi là:

(i) Đơn xạ nếu với g h, Mor C A, và gf hf thì g h;

(ii) Toàn xạ nếu với g h, Mor B D, và fg fh thì g h;

(iii) Song xạ nếu f vừa là đơn xạ vừa là toàn xạ;

(iv) Đẳng xạ nếu tồn tại cấu xạ g Mor B A, sao cho fg id gf A, id ; B

(v) Phép co nếu tồn tại cấu xạ g Mor B A, sao cho gf id ; B

(vi) Phép dãn nếu tồn tại cấu xạ g Mor B A, sao cho fg id A

1.2.2 Các cấu xạ đặc biệt trong phạm trùR - MOD

Cho f M: N là một cấu xạ trong phạm trù R MOD Thì f là: (i) Đơn xạ khi và chỉ khi f là đơn ánh;

(ii) Toàn xạ khi và chỉ khi f là toàn ánh;

(iii) Đẳng xạ khi và chỉ khi f là song ánh

1.2.3 Cái kéo lại trong phạm trù R - MOD

 Định nghĩa:

Cho các đồng cấu R môđun f M1 : 1 M f M; :2 2 M Khi đó biểu đồ

đồng cấu giao hoán trong R MOD-

1

2

1

2 2 1

Mọi cặp đồng cấu f M1 : 1 M f M; :2 2 M luôn tồn tại cái kéo lại

Với các toàn cấu chiếu: i :M1 M2 N i i, 1,2, đặt đồng cấu

là cái kéo lại của cặp f f1, 2 Với

Nếu M M là các môđun con của 1, 2 M và M i M là phép nhúng tự nhiên,

thì chúng ta có cái kéo lại

(1) Nếu QU là cái kéo lại thì:

(i) Biểu đồ với dòng là khớp dạng sau là tồn tại

1

2

1

2 2 1

00

(iii) Nếu f là toàn cấu thì 1 h là toàn cấu 2

(2) Nếu f là đơn cấu, thì cho biểu đồ giao hoán với dòng dưới là khớp 1

1

1

2 2 1

Cho các đồng cấu R môđun g N1 : N g1; 2 :N N Khi đó, biểu đồ 2

giao hoán sau:

2

1

2 1

Với các đồng cấu i :N i N1 N2 Coker *q thì hình vuông

Bởi tính chất của đối hạt nhân, tồn tại duy nhất đồng cấu : Coker *h q Y

để tam giác giao hoán

Cho biểu đồ giao hoán trong R MOD

2

1

2 1

2

1 :

f

g

g f

QU

(1) Nếu QU là cái đẩy đi thì

(i) Tồn tại biểu đồ sau giao hoán với hai dòng là khớp dạng

2

1

2 1

2

1

00

f

g

g f

(ii) Nếu f là toàn cấu thì 2 g là toàn cấu; 1

(iii) Nếu f là đơn cấu thì 2 g là đơn cấu 1

(2) Nếu f là toàn cấu, và biểu đồ giao hoán với dòng trên là khớp dưới đây: 2

2

2 1

g f

Chúng ta có QU là cái đẩy đi khi và chỉ khi dòng dưới là khớp Nếu f là 1

đơn cấu thì if cũng là đơn cấu 1

1.2.5 Dãy khớp ngắn chẻ và các điều kiện tương đương

Một dãy khớp ngắn 0 K f M g N 0 được gọi là chẻ ra nếu

và chỉ nếu Im f là hạng tử trực tiếp của M

Các điều kiện tương đương của một dãy khớp ngắn chẻ:

Cho một dãy khớp ngắn 0 K f M g N 0 các

R môđun Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) dãy trên là chẻ ra;

(ii) f là một phép dãn;

(iii) g là một phép co

1.2.6 Một số bổ đề về đồng cấu

Bổ đề 1 Cho sơ đồ giao hoán các đồng cấu với các dòng là khớp

(i) Nếu , ,f là đơn cấu thì cũng là đơn cấu;

(ii) Nếu g, , là toàn cấu thì cũng là toàn cấu;

(iii) Nếu là đơn cấu và ,g là toàn cấu thì là đơn cấu; (iv) Nếu là toàn cấu và f , là đơn cấu thì là toàn cấu

(iii) Nếu , , và là đẳng cấu thì cũng là đẳng cấu

Bổ đề 3 (Bổ đề con rắn –Snake lemma)

Cho một sơ đồ giao hoán các đồng cấu với các dòng là khớp:

Khi đó, ta có một dãy khớp:

ker ker ker d coker coker coker

theo các hạt nhân và đối hạt nhân của các đồng cấu , và ; với d là đồng cấu nối Hơn nữa, nếu f là đơn cấu thì đồng cấu ker ker cũng là đơn cấu

và g là toàn cấu thì coker coker cũng là toàn cấu

Trong phạm trù R MOD, hai đồng cấu f g M, : N là khác nhau nếu

và chỉ nếu f g 0 và với đồng cấu h U: M sao cho hf hg nghĩa là

0

h f g

Từ đó, ta có các điều kiện tương đương của tập sinh trong phạm trù

R MOD như sau:

1.3.2 Mệnh đề

Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) N sinh bởi U;

(ii) Với mọi đồng cấu khác không f :N L trong R MOD, có

:

h U N với U U và hf 0;

(iii) Có một toàn cấu U N với U U;

(iv) N là tổng của các môđun con mà là ảnh đồng cấu của các môđun trongU;

(v) U UU là một phần tử sinh của N

1.3.3 Mệnh đề (đặc trưng của các phần tử sinh R - MOD)

Với mỗi R môđun trái G các phát biểu sau tương đương:

(i) G là phần tử sinh R MOD;

(ii) Hom G( , ) : R MOD AB là trung thành;

(iii) G sinh ra tất cả các môđun hữu hạn sinh trong R MOD;

(iv) G sinh R;

(v) Tồn tại hữu hạn 1, , k Hom G R, và g1, ,g k G với

1 1

( ) g ( )g k k 1 ( R ; )

(vi) R là hạng tử trưc tiếp của G với k k Khi đó, G là một hạng tử S

trực tiếp của S với k S End G R

1.3.4 Định nghĩa vết

Với R môđun L, ta định nghĩa:

Môđun con Tr U,L {Im | h h Hom U L U( , ), U} L được

gọi là vết của U trong L

Nếu U chỉ chứa một môđun U thì ta viết đơn giản là Tr U L ( , )

1.3.5 Một số tính chất của vết

Cho U là tập các R môđun và L là một R môđun Khi đó:

(i) Tr U L là môđun con lớn nhất của ( , ) L sinh bởi U;

(ii) L Tr( , )U L nếu và chỉ nếu L là U -sinh;

(iii) Tr( , )U L là một End L R( ) môđun con của L (do U U và

,

Hom U L là một End L R( ) môđun phải;

(iv) Nếu U chỉ chứa một môđun U thì :

g A B và đồng cấu f P: B thì tồn tại đồng cấu f P: Asao cho

fg f Tức là sơ đồ với dòng khớp sau đây là giao hoán:

Như vậy , môđun P là môđun xạ ảnh khi và chỉ khi với bất kỳ dãy khớp

Định lý 2 Tổng trực tiếp của họ môđun i

(iii) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do

môđun tự do

1.5 Phạm trù σ [M]

Định nghĩa 1

Cho là lớp các R-môđun, một R-môđun U gọi là -sinh nếu như có một

họ các môđun N trong và toàn cấu N U , hay ta nói U là ảnh

toàn cấu của tổng trực tiếp một các môđun thuộc lớp

Trong trường hợp lớp chỉ có một môđun M, thì môđun U được gọi là

M-sinh, khi đó U là ảnh toàn cấu của một tổng trực tiếp các bản sao của M, tức là tồn

tại một toàn cấu M U

Tổng trực tiếp một họ các môđun thuộc M là thuộc vào M

Chứng minh

Nếu N là một họ các R-môđun trong M và N M , với M là

các môđun M-sinh, khi đó N M

Hiển nhiên là M là môđun M-sinh, do đó N thuộc M

Mệnh đề 3

Cái kéo lại và cái đẩy đi của các cấu xạ trong M là thuộc M

Chương 2 MÔĐUN M – XẠ ẢNH

2.1 Môđun M - xạ ảnh

2.1.1 Định nghĩa

Cho M là một R môđun Mô đunP được gọi là một môđun xạ ảnh theo

M (hay P là M xạ ảnh) nếu với mỗi toàn cấu g M: N và mỗi đồng cấu

:

f P N , tồn tại đồng cấu f P: M sao cho fg f Hay nói cách khác,

nếu mọi sơ đồ sau trong phạm trù R MOD:

Với dòng dưới là khớp có thể được mở rộng thành một sơ đồ giao hoán bằng

một cấu xạ :f P M

Điều này tương đương với sự toàn ánh của đồng cấu

Hom P g Hom P M Hom P N

với mọi toàn cấu g M: N

thật vậy, giả sử h Hom D, , khi đó do D là nhóm aben chia được và

là nhóm cyclic nên D h là cyclic chia được suy ra D h 0

(vì không có nhóm cyclic khác 0 nào là chia được)

Môđun P xạ ảnh thì P là M xạ ảnh với mọi môđun M , tuy nhiên nếu

P là M xạ ảnh chỉ với một môđun M thì P chưa chắc là xạ ảnh Ta xét ví dụ sau:

là một môđun chia được nên là xạ ảnh theo định lý trên, nhưng không là môđun xạ ảnh Tổng quát hơn mọi nhóm aben chia được khác 0 là

xạ ảnh nhưng không xạ ảnh

Để chứng minh một R môđun P là xạ ảnh ta không cần chứng minh chúng là M xạ ảnh với mọi môđun M mà chỉ cần P xạ ảnh theo mọi môđun

tự do

Gọi cl F là lớp tất cả các môđun tự do trong phạm trù R R MOD Khi đó:

xạ ảnh theo môđun M

Chứng minh

Nếu P là môđun xạ ảnh thì P xạ ảnh theo mọi môđun M ; từ đó P xạ ảnh theo mọi môđun tự do M Ngược lại, nếu P xạ ảnh theo mọi môđun tự do M

Do mọi môđun đều là môđun thương của một môđun tự do nào đó nên tồn tại

môđun tự do F và K là môđun con của F sao cho M F

K

Xét toàn cấu g : F N

K , đồng cấu f P: N , với toàn cấu chính tắc

p F

K thì pg cũng là toàn cấu; khi đó do P là F xạ ảnh nên tồn tại

đồng cấu :P F sao cho pg f Đặt f p thì fg f

Vậy P là M xạ ảnh với mọi môđun M Do đó, P là xạ ảnh

Do hàm tử Hom P R , là khớp trái nên ta có:

Cho P và M là các R môđun Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:

(i) P là một môđun M xạ ảnh

(ii) Với mỗi dãy khớp ngắn 0 K M N 0 với M là môđun thành phần ở giữa trong phạm trù R MOD Thì dãy sau là khớp:

, ( , )

Hom P K Hom P M Hom P N

(iii) Với mỗi môđun con U của M và với mỗi đồng cấu f P: M

U thì

tồn tại đồng cấu :f P M sao cho f f p , p M: M

U là toàn cấu chính tắc

Chứng minh

( )i ( )ii Thật vậy, do Hom P R , là khớp trái nên ta có dãy khớp sau:

0 Hom P K R , Hom P M R , Hom P N R , Vậy ta chỉ cần

chứng minh đồng cấu Hom P R , là toàn cấu, điều này là hiển nhiên vì P là

M xạ ảnh

Ngược lại, giả sử (ii) đúng thì với mọi toàn cấu : M N , ta sẽ có dãy

0 ker M N 0 khớp ngắn, tác động hàm tử Hom R R , thì dãy sau là khớp:

( )i ( )iii Từ ( ) iii ( )i Xét toàn cấu :M N, đồng cấu f P: N

và U ker là một môđun con của M thì theo định lý đẳng cấu thứ nhất tồn tại một đẳng cấu :

được phân tích thông qua p; tức là có một đồng cấu f P: M sao cho sơ đồ sau là giao hoán:

Do đó, ta có f 1 fp suy ra f fp f Vậy P là xạ ảnh theo M

Từ ( )i ( )iii là hiển nhiên theo định nghĩa của môđun M xạ ảnh

Cho M là một R môđun và P là một họ các R môđun Khi đó,

Do p f là đồng cấu và P là môđun M xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu

:P M sao cho p f ; với i là phép nhúng ta xét đồng cấu f i , khi đó ta có f i i p f id f P f Vậy P là M xạ ảnh

Nếu mỗi môđun thành phần P , A là M xạ ảnh ta chứng minh

(i) Cho P là một môđun M xạ ảnh và dãy khớp ngắn Với toàn cấu

thì Hom P p R , K là toàn cấu, do đó P là xạ ảnh theo K hay P là K

xạ ảnh

(ii) Ta chứng minh quy nạp theo n Nếu n 2, ta xét các môđun M M1, 2

mà P là M i xạ ảnh với i 1,2 Xét K là môđun con của M1 M và 2

i M M M là phép nhúng Khi đó, ta có sơ đồ giao hoán sau

với các dòng, các cột là khớp Nhận thấy rằng dòng trên là dãy khớp ngắn chẻ, P là môđun xạ ảnh theo M và 1 M Tác động hàm tử 2 Hom P R , T

vào sơ đồ này ta được sơ đồ giao hoán sau:

Với các dòng và các cột là khớp Khi đó, áp dụng bổ đề con rắn ta được

,

Hom P p là toàn cấu Vậy ( )ii đúng với n 2

Giả sử ( )ii đúng với n k 1 ta chứng minh ( )ii cũng đúng với n k

Do ( )ii đúng với n k 1 nên P là

1 1

k i

i M xạ ảnh Đặt

1 1

k i i

L là môđun con của X M và sơ đồ giao hoán sau: k

Với các dòng và các cột là khớp Do P là xạ ảnh theo X,M và dòng trên k

của sơ đồ là chẻ ra nên tác động hàm tử Hom P R , ta được sơ đồ giao hoán:

Theo bổ đề con rắn ta có Hom P p R , L là toàn cấu, vậy P là X M k xạ ảnh

Nếu P là môđun hữu hạn sinh và xạ ảnh theo mỗi M , A Xét toàn cấu

:

A

g M N và đồng cấu f P: N Do P là hữu hạn sinh nên Imf là hữu

hạn sinh và do g là toàn cấu nên tồn tại 1, , ,2 n

2.2.2 Các tính chất của môđun tự xạ ảnh

Từ định nghĩa ta có một ví dụ đơn giản về môđun tự xạ ảnh như sau:

Xét một R môđun đơn M , toàn cấu g M: N và đồng cấu Ta cần chứng minh tồn tại một đồng cấu f P: M sao cho fg f

Thật vậy, nếu N 0 thì sự tồn tại của đồng cấu f là hiển nhiên Nếu

i M là tự xả ảnh khi và

chỉ khi với mỗi i 1,2, ,n thì M là i M j xạ ảnh j 1,2, ,n

(ii) Cho R môđun M và n ,n 1 thì M là tự xạ ảnh khi và chỉ khi