luận văn Về c3 môđun

Môđun nội xạ sẽ suy ra các tính chất sau mà ta lần lượt gọi là điều kiện C1, C2, C3 được định nghĩa như sau: C1: Tất cả các môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM



LÊ THỊ MINH THUYỀN

VỀ C3-MÔĐUN

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 8460104

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG – NĂM 2018

Người hướng dẫn khoa học: GS TS LÊ VĂN THUYẾT

Phản biện 1:

PGS.TS Trương Công Quỳnh

Phản biện 2:

PGS.TS Trần Đạo Dõng

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN vào ngày 01 tháng 9 năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà N ẵng

VỀ C3-MÔ ĐUN

Ngành: Đại số và Lý thuyết số

Họ và tên học viên: Lê Thị Minh Thuyền

Người hướng dẫn khoa học: GS TS Lê Văn Thuyết

Cơ sở đào tạo: Đại học Đà Nẵng - Đại học Sư phạm

Tóm tắt: Trong luận văn này, tôi đã trình bày một số đặc điểm của vành nửa đơn, V-vành phải, vành

di truyền phải và vành FGC phải chính quy về C3-môđun Luận văn còn giới thiệu về bao C3 và phủ C3, nêu lên mối quan hệ giữa bao C3 và phủ C3 với môđun nội xạ, vành nửa đơn, vành hoàn chỉnh phải Đây cũng là những tài liệu quan trọng để khảo sát thêm về đặc trưng của các môđun và vành thông qua C3-môđun chưa được nghiên cứu

Từ khóa: C2-môđun, C3-môđun, môđun tựu liên tục, vành c3, phủ C3

Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Người thực hiện đề tài

C3-MODULES

Major: Algebra and Number theory

Full name of Master student: Le Thi Minh Thuyen

Supervisors: Prof Ph.D Le Van Thuyet

Training institution: The University of Da Nang - University of Education

Abstract: In this essay, i provide some characterizations of semisimple rings, right V-rings, right

hereditary and regular right FGC-rings in terms of modules The notions of envelope and C3-cover are introduced, raises the relationship of C3-envelope and C3-C3-cover with injective modules, semisimple ring, reguler right This is also important documents to further explore the characteristics

of modules and ring through C3-modules not yet studied

Key words: C2-modules, C3-modules, quasi-continiuous modules, C3-covers, C3-envelope

Prof Ph.D Le Van Thuyet Le Thi Minh Thuyen

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết môđun rất quan trọng khi nghiên cứu Đại số và còn nhiều vấn đề mới cần được quan tâm nghiên cứu Chúng ta biết rằng một lớp môđun quan trọng trong M od − R đó là môđun nội xạ Một môđun phải Q trên vành R được gọi là nội xạ nếu cho mọi đơn cấu i từ NR vào MR, mọi đồng cấu f từ N vào Q, luôn tồn tại đồng cấu g từ M vào Q sao cho gi = f Môđun nội xạ sẽ suy ra các tính chất sau mà ta lần lượt gọi là điều kiện (C1), (C2), (C3) được định nghĩa như sau:

(C1): Tất cả các môđun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

(C2): Tất cả các môđun con đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M cũng là hạng tử trực tiếp của M

(C3): Nếu M1 và M2 là hạng tử trực tiếp của M mà M1∩ M2 = 0, thì M1L M2 cũng là hạng

tử trực tiếp của M

Một môđun nghiệm đúng tính chất Ci (i = 1, 3) sẽ được gọi là môđun Ci (hay Ci-môđun) Nếu môđun M nghiệm đúng với cả hai điều kiện (C1) và (C2) thì M được gọi là môđun liên tục Nếu M nghiệm đúng cả (C1) và (C3), thì nó được gọi là môđun tựa liên tục Mỗi môđun nội xạ là liên tục và, mỗi C2-môđun là C3-môđun và nói chung, không phải C3-môđun nào cũng là C2-môđun Vì vậy ta có:

Nội xạ ⇒ liên tục ⇒ tựa liên tục

Ngoài ra, C3-môđun còn có mối quan hệ chặt chẽ với các môđun đều, môđun không phân tích được, môđun nửa đơn, môđun đối ngẫu Rickart, môđun có SSP Nhằm tìm hiểu về các vấn đề về môđun

đã giới thiệu ở trên, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là: “VỀ C3-MÔĐUN”

2 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về C3 môđun và các môđun liên quan, các vành liên quan

- Tổng quan các kết quả từ các các bài báo, sách và sau đó chứng minh, trình bày lại vấn đề một cách có hệ thống

- Tìm cách mở rộng một số kết quả (nếu được)

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất của C3-môđun,P-C3-môđun, phủ C3, bao C3

- Nghiên cứu mối liên hệ của các môđun đều, môđun không phân tích được, môđun nửa đơn, môđun Rickart đối ngẫu và môđun có SSP với C3-môđun

- Đặc điểm vành nửa đơn, V -vành, vành di truyền phải và vành FGC phải chính quy liên quan đến C3-môđun

- Mối liên quan củaP-C3-môđun với vành Nơte phải, môđun nội xạ 4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết: Dựa trên cơ sở đã biết về môđun, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, cùng với nghiên cứu các tài liệu đã công bố đặc biệt là các bài báo khoa học liên quan đến Ci-môđun, i = 1, 3

- Nghiên cứu thực tiễn: Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn Trao đổi thông qua xêmina của nhóm

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn đượcchia thành 2 chương

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả liên quan đến môđun để làm cơ sở cho chương sau

1.1 Các định nghĩa

1.2 Các kết quả liên quan

Chương 2: Về C3-môđun

Chương này trình bày nội dung chính của luận văn, trình bày về C3-môđun,P-C3-môđun vành C3 và bao C3, các môđun và vành liên quan

2.1 C3-môđun

2.2P −C3-môđun

2.3 Bao C3

2.4 Phủ C3

Do thời gian thực hiện có hạn, năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên dù em đã rất cố gắng tuy nhiên vẫn không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong quý Thầy/ Cô, bạn đọc thông cảm và góp ý cho luận văn của em được hoàn chỉnh hơn

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi xin trình bày một số khái niệm và kết quả liên quan để làm cơ sở cho chương sau

1.1 Các định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.1.1 (1) Một môđun MR được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại một tập hữu hạn {a1, , an} ⊂ M sao cho

M = a1R + + anR tức là M có tập sinh hữu hạn

(2) Một môđun MR được gọi là hữu hạn đối sinh nếu mỗi tập hợp {Ai | i ∈ I} các môđun con của M thỏa mãnT

I

Ai= 0 đều tồn tại một tập con hữu hạn I0 ⊂ I sao choT

I 0

Ai = 0

Định nghĩa 1.1.2 (1) R-môđun phải M được gọi là Nơte nếu mọi tập khác rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối đại

(2) Vành R được gọi là Nơte phải nếu RRlà Nơte

Ví dụ 1.1.3 (1) Vành Z là Nơte vì mọi môđun con của nó đều hữu hạn sinh tức là có dạng nZ,

n ∈ N

(2) Vành đa thức K[x] , với K là trường, là Nơte vì khi K là trường tức là Nơte, áp dụng định

lý cơ sở Hinbert ta có ngay điều phải chứng minh

(3) Vành đa thức đếm được biến A[x1, x2, ] không là vành Nơte vì dãy tăng các iđêan

hx1i < hx1, x2i < < hx1, x2, , xni <

không dừng

(4) Với p ∈ P (các số nguyên tố) Đặt

Qp= {a/pi, a ∈ Z, i ∈ N ≤ Q}

Ta định nghĩa Zp ∞

Z ≤ Qp, Zp ∞ = Qp/Z

Cụ thể là

Zp ∞ = {q + Z | pk(q + Z) = 0, k nào đó của N}

Zp ∞ = {q + Z | pkq ∈ Z, k nào đó của N}

Nếu xem như Z-môđun thì Zp ∞ không là Nơte

Định nghĩa 1.1.4 Căn Jacobson của một môđun MR là giao tất cả các môđun con cực đại của

M và ký hiệu là Rad(M ) Khi M = R thì Rad(RR) = Rad(RR) và ký hiệu là J nghĩa là căn Jacobson của vành R

Ví dụ 1.1.5 (1) Cho p là một số nguyên tố, k là một số nguyên dương và M = Z/pkZ Khi đó Rad(M ) = pZ/pkZ

(2) Cho số nguyên n với phân tích tiêu chuẩn n = pα1

k Khi đó Rad(Zn) =

k

\

i=1

(piZ/nZ) = (

k

\

i=1

piZ)/nZ = p1p2 pk/nZ

Định nghĩa 1.1.6 (1) Một môđun K của M là cốt yếu trong M ký hiệu K ≤eM trong trường hợp với mọi môđun con

L ≤ M, K ∩ L = 0 suy ra L = 0

(2) Một môđun con K của M được gọi là đối cốt yếu trong M , ký hiệu K  M trong trường hợp với mọi môđun con

L ≤ M, K + L = M suy ra L = M

Ví dụ 1.1.7 Trong Z , chỉ có 0 là iđêan đối cốt yếu trong Z Tuy nhiên mọi iđêan khác 0 trong

Z đều là cốt yếu, vì cho hai iđêan khác 0 tùy ý aZ, bZ thì 0 6= ab ∈ aZ ∩ bZ

Định nghĩa 1.1.8 (1) Môđun MR được gọi là môđun con đơn nếu M 6= 0 và chỉ có đúng hai môđun con (là 0 và M )

(2) Cho (Tα)α∈ A là một tập các môđun con đơn của M Nếu M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn này, nghĩa là

M =M

A

Tα

thì môđun M được gọi là nửa đơn

(3) Vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) nếu môđun RR (RR) nửa đơn

Người ta đã chứng minh được vành R là nửa đơn phải khi và chỉ khi R là nửa đơn trái Vì vậy ta chỉ cần gọi R nửa đơn mà không cần đề cập đến phía

Ví dụ 1.1.9 (1) Mỗi không gian vectơ V = VK trên trường K là nửa đơn

VK =X

x∈B

xK =M

x∈B

xK trong đó B là cơ sở của V Dĩ nhiên xK đơn đối với x 6= 0, x ∈ V

(2) ZZ không nửa đơn Ngoài ra QZ cũng không nửa đơn vì trong nó không có môđun con đơn nào

Định nghĩa 1.1.10 (1) Cho UR là một môđun Lúc đó U được gọi là nội xạ trong trường hợp với mọi đơn cấu f : KR→ MR , với mọi KR, MR và mỗi đồng cấu v : KR → UR tồn tại một R- đồng cấu v : M → U sao cho v.f = v hay biểu đồ sau giao hoán

U

0 //K

v

¯

(2) Cho PR là một môđun Lúc đó P được gọi là xạ ảnh trong trường hợp với mọi toàn cấu β : B → C, với mọi B, C và mỗi đồng cấu ψ : P → C tồn tại một đồng cấu λ : P → B sao cho ψ = β.λ hay biểu

λ

B

Ví dụ 1.1.11 (1) Z không là Z-môđun nội xạ, vì đồng cấu

f : 2Z → Z 2n 7→ n không thể mở rộng đến đồng cấu Z → Z

(2) QZ là nội xạ vì xem Q như là Z-môđun thì Q là chia được

(3) Z là Z-môđun xạ ảnh Tuy nhiên Z-môđun Zn không là xạ ảnh

Để mở rộng định nghĩa môđun nội xạ ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1.12 Cho M , N là các R-môđun phải Khi đó:

(1) M được gọi là N -giả nội xạ nếu mỗi môđun con A của N thì mọi đơn cấu f : A → M đều

mở rộng được đến đồng cấu g : N → M M được gọi là giả nội xạ nếu M là M -giả nội xạ

(2) M được gọi là N -giả nội xạ cốt yếu nếu với mỗi môđun con cốt yếu A của N thì mọi đơn cấu

f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M M được gọi là tự giả nội xạ cốt yếu nếu M là

M -giả nội xạ cốt yếu

Ví dụ 1.1.13 Ta có Zp 3 là Zp 2-giả nội xạ cốt yếu

Định nghĩa 1.1.14 Môđun A 6= 0 được gọi là đều nếu mọi môđun con khác 0 của A là cốt yếu trong A

Ví dụ 1.1.15 (1) Mọi môđun con khác 0 và mở rộng cốt yếu của môđun đều là đều

(2) Môđun đơn là môđun đều

(3) Trường các thương của miền giao hoán R là R-môđun đều

Định nghĩa 1.1.16 Một môđun M được gọi là N-C2 nếu có bất kỳ môđun con N0 ≤ N , với

N0 ∼= M0≤⊕M thì N0 ≤⊕N

Định nghĩa 1.1.17 Một môđun M có tính chất tổng số hạng, SSP nếu hai hạng tử trực tiếp bất kỳ của M là một hạng tử trực tiếp của M

Định nghĩa 1.1.18 Một môđun M được gọi là đối ngẫu Rickart nếu với mỗi ϕ ∈ End(M ) , ϕ(M ) là một hạng tử trực tiếp của M

Định nghĩa 1.1.19 Một vành R gọi là vành FGC phải nếu mỗi R-môđun hữu hạn sinh là tổng trực tiếp của các môđun con cyclic

Định nghĩa 1.1.20 Một vành R gọi là V -vành phải nếu với mỗi R-môđun phải đơn là nội xạ

R được gọi là vành SSI phải nếu với mỗi R-môđun phải nửa đơn là nội xạ

Định nghĩa 1.1.21 (1) Vành R được gọi là nửa nguyên sơ nếu vành thương R/J (R) là nửa đơn

và J (R) là lũy linh

(2) Một vành R được gọi là hoàn chỉnh phải (trái) nếu R là vành nửa địa phương và J (R) là

T -lũy linh phải (trái)

Ta có thể chứng minh được vành nửa nguyên sơ là vành hoàn chỉnh phải (trái) nhưng chiều ngược lại nói chung không đúng

Ví dụ 1.1.22 (1) Cho vành các ma trận vuông cấp 2

R =



Q R

0 Q



Ta có

J (R) =0 R

0 0

 ,

do đó J (R)2= 0 và R/J (R) là vành nửa đơn Vậy R là vành nửa nguyên sơ

(2) Cho vành R xác định bởi

R =



0 Q



= a b

0 c



a, c ∈ Q; b ∈ R



Ta có căn Jacobson của vành R

J (R) =0 R

0 0

 ,

là một iđêan cực đại của R và J (R) lũy linh (J (R)2 = 0) Bởi vậy, R là nửa nguyên sơ nên R cũng là vành hoàn chỉnh phải và trái

Định nghĩa 1.1.23 Một đồng cấu vành φ : P → M được gọi là phủ xạ ảnh của R-môđun phải nếu P là xạ ảnh, φ là một toàn cấu, và ker(φ) là đối cốt yếu trong P

Không phải môđun nào cũng có phủ xạ ảnh nên vành hoàn chỉnh và mọi môđun có phủ xạ ảnh

có mối liên hệ sau:

Định lý 1.1.24 Vành R là hoàn chỉnh phải nếu mỗi R-môđun phải có một phủ xạ ảnh

Định nghĩa 1.1.25 Vành R được gọi là di truyền phải (nửa di truyền phải) nếu mỗi iđean phải hữu hạn sinh là xạ ảnh

Định nghĩa 1.1.26 Vành R được gọi là vành chính quy (theo nghĩa Von Neumann) nếu với mỗi

a ∈ R thì luôn tồn tại b ∈ R sao cho a = aba

Ví dụ 1.1.27 (1) Mọi trường đều là vành chính quy vì với mọi a 6= 0, ta có thể lấy b = a−1 thõa mãn aba = aa−1a = a

(2) Ma trận Mn(K) cũng là vành chính quy vì với mọi A ∈ Mn(K) với rank(A) = n Khi đó tồn tại các ma trận khả nghịch U, V sao cho A = UI 0

0 0



V Đặt B = V−1U−1, khi đó ta có

ABA = UI 0

0 0



V V−1U−1UI 0

0 0



V = UI 0

0 0



V = A

Định nghĩa 1.1.28 Cho M là R-môđun phải Đơn cấu µ : M → Q được gọi là bao nội xạ đối với M nếu Q là môđun nội xạ còn µ là đơn cấu cốt yếu

Về mặt kí hiệu đôi khi ta viết I(M ), E(M ) để chỉ bao nội xạ của môđun M

Ví dụ 1.1.29 Cho ι : ZZ→ QZ là bao nội xạ đối với ZZvì ι là đơn cấu còn QZlà nội xạ (chia được), ngoài ra ZZ≤ QZ do ∀q ∈ Q, q 6= 0, q = p/r, ∃r ∈ Z sao cho r 6= 0, rq = p ∈ Z

Định nghĩa 1.1.30 Cho M là R-môđun phải, và S = EndR(M ) Khi đó M được gọi là môđun đối ngẫu Rickart nếu ∀ϕ ∈ S, ϕ(M )ϕ = Imϕ = eM với e2 = e ∈ S

(2) Mọi môđun nửa đơn là môđun đối ngẫu Rickart.

Định nghĩa 1.1.32 Cho MR và N ≤ M N được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P Lúc đó ta nói P là môđun con phụ của M

Từ định nghĩa ta suy ra:

N ≤⊕M ⇔ ∃P < M [M = N + P vàN ∩ P = 0]

Định nghĩa 1.1.33 (C1): Tất cả các mô đun con của M đều cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M

(C2): Tất cả các môđun con đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M cũng là hạng tử trực tiếp của M

(C3): Nếu M1, M2 là hạng tử trực tiếp của M mà M1T M2 = 0, thì M1L M2 cũng là hạng tử trực tiếp của M

1.2 Các kết quả liên quan

Mệnh đề 1.2.1 Một hạng tử trực tiếp của C3-môđun cũng là C3-môđun

Mệnh đề 1.2.2 R là vành SSI nếu và chỉ nếu R là V vành Nơte phải

Mệnh đề 1.2.3 Mỗi môđun đối ngẫu Rickart thỏa mãn các tính chất của vành SSP

Mệnh đề 1.2.4 Cho R là một vành Các điều kiện sau là tương đương:

(1) Mỗi R-môđun phải tự do là C2-môđun,

(2) R là vành hoàn chỉnh phải và rR(I) 6= 0 ,với mỗi Iđêan trái hữu hạn sinh của R

Định lý 1.2.5 Vành R nửa đơn khi và chỉ khi R là vành chính quy von Neumann và không chứa tập vô hạn các phần tử lũy đẳng trực giao

Định lý 1.2.6 (Định lý Matlis của vành Nơte) Các điều kiện sau là tương đương trong vành: (1) RR là vành Nơte phải,

(2) Mọi tổng trực tiếp của các R-môđun phải nội xạ là nội xạ,

(3) Mọi tổng trực tiếp đếm được các bao nội xạ của các R-môđun đơn là nội xạ

Mệnh đề 1.2.7 R là vành di truyền phải nếu và chỉ nếu mọi môđun thương của R-môđun phải nội xạ là nội xạ

Bổ đề 1.2.8 Môđun con A 6= 0 là đều khi và chỉ khi E(A) không phân tích được

CHƯƠNG 2

VỀ C3-MÔĐUN

Chương này tôi xin trình bày nội dung chính của luận văn, trình bày về C3-môđun,P C3-môđun, phủ C3, bao C3, môđun và các vành liên quan

2.1 C3-Môđun

Chương này tôi sẽ đưa ra một số tính chất của C3-môđun Trong đó có nêu lên mối quan hệ giữa C2-môđun và C3-môđun

Mệnh đề 2.1.1 Nếu M là môđun thỏa tính chất của C2 thì nó cũng thỏa mãn tính chất của C3

Ví dụ sau đây sẽ chỉ ra rằng C3-môđun không nhất thiết là C2-môđun

Ví dụ 2.1.2 Cho Z là Z-môđun thì Z là C3-môđun nhưng Z không là C2-môđun

Các điều kiện về hạng tử trực tiếp liên quan đến C3-môđun thể hiện trong kết quả sau:

Mệnh đề 2.1.3 Cho M = M1⊕ M2 với M1, M2 ≤ M Nếu M là C3-môđun và f : M1 → M2

là đồng cấu với Ker(f ) ≤⊕M1 thì Im(f ) ≤⊕M2

Hệ quả 2.1.4 Nếu M là C3-môđun, M = M1L M2 với M1, M2 ≤ M và f : M1→ M2 là đơn cấu thì Im(f ) ≤LM2

Hệ quả 2.1.5 Cho M là R-môđun Nếu ML E(M ) là C3-môđun thì M nội xạ

Trong mệnh đề tiếp theo, chứng tôi đã chỉ ra rằng nếu M1L M2 là C3-môđun, thì có một điều kiện C2 tương hỗ giữa M1 và M2

Mệnh đề 2.1.6 Cho M = M1L M2 với M1, M2 ≤ M Nếu M là C3-môđun thì M1 là C2-môđun tương hỗ với M2 và M2 là C2-môđun tương hỗ với M1

Hệ quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.1.6

Hệ quả 2.1.7 (1) Nếu M là R-môđun sao cho ML M là một C3-môđun thì M là C2-môđun Đặc biệt, nếu ML M tựa liên tục thì M liên tục

(2) Mỗi tổng trực tiếp hữu hạn của bản sao của M là C3-môđun khi và chỉ khi mỗi tổng trực tiếp của M là C2-môđun

(3) Mỗi tổng trực tiếp hữu hạn của bản sao của M là môđun tựa liên tục khi và chỉ khi tổng trực tiếp hữu hạn của M là môđun liên tục

Tuy nhiên, ví dụ tiếp theo sẽ chỉ ra rằng tổng trực tiếp của các C3-môđun không kế thừa tính chất này

Ví dụ 2.1.8 Gọi α : Z → Z là đồng cấu Z-môđun được định nghĩa bởi α(m) = nm với m ∈ Z (n ∈ Z) Vì α là đơn cấu và Im(α) không là hạng tử trực tiếp của Z, do đó ZL

Z không là C3-môđun (Theo Hệ quả 2.1.2) Tuy nhiên, Z là C3-môđun

2.1 C3- Môđun

Chương đưa số tính chất C3- mơđun Trong có nêu lên mối quan hệ C2 -môđun C3- môđun. .. mãn tính chất C3

Ví dụ sau C3- môđun không thiết C2-mơđun

Ví dụ 2.1.2 Cho Z Z-mơđun Z C3- môđun Z không C2 -môđun

Các điều kiện hạng tử trực tiếp liên quan đến C3- môđun thể kết... R -môđun cho ML M C3- mơđun M C2-mơđun Đặc biệt, ML M tựa liên tục M liên tục

(2) Mỗi tổng trực tiếp hữu hạn M C3- môđun tổng trực tiếp M C2 -môđun

(3) Mỗi tổng trực tiếp hữu hạn M môđun