Về tập các Iđêan nguyên tố gắn kết của Môđun Tor

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại số giao hoán như: đối ngẫu Matlis, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether của môđun Artin, môđun Tor và môđun Ext, dãy chính quy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THANH VŨ

VỀ TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT

CỦA MÔĐUN Tor

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học

TS Nguyễn Thị Hồng Loan

NGHỆ AN – 2013

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Môđun Artin và đối ngẫu Matlis 5

1.2 Biểu diễn thứ cấp 8

1.3 Chiều Noether của môđun Artin 10

1.4 Hàm tử mở rộng và hàm tử xoắn 11

1.5 Dãy chính quy và độ sâu của môđun 13

Chương 2 Về tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor 16

2.1 Dãy đối chính quy 16

2.2 Dãy đối chính quy theo chiều 18

2.3 Độ rộng theo chiều 29

2.4 Kết quả hữu hạn 33

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 38

1 k k

đề này, điển hình là kết quả của M Brodmann [4] năm 1979, trong đó ông đã chứng minh được rằng tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass ( / n )

Vì thế, một câu hỏi đã được đặt ra một cách tự nhiên là liệu các kết quả trên

có thể mở rộng cho các môđun Tor ( /R n, )

i R I M và Ext ( /i n, )

R R I A với i bất kỳ

hay không? Vào năm 1993, Melkersson và Schenzel đã đưa ra câu trả lời khẳng định cho câu hỏi trên Họ đã chứng minh được các tập hợp

Năm 2008, một phần câu trả lời cho câu hỏi trên đã được đưa ra bởi

M Brodmann và L T Nhàn [5] Ở đó, bằng việc đưa ra khái niệm M -dãy chính qui với chiều s và độ sâu depth ( ,s I M) với chiều s của M trong ,

I họ đã chứng minh được rằng nếu dim(Supp( i( ))) 

là hữu hạn với mọi t r , trong đó r = depth ( ,s I M).

Thông qua việc đưa ra khái niệm M -dãy đối chính qui theo chiều s,

N T Dung và L T Nhàn [10] lại tiếp tục đưa ra được câu trả lời cho phần còn lại của câu hỏi trên Ở đó họ đã chứng minh được rằng các tập hợp

 

1 1

1 , , 0

là hữu hạn với mọi t r, với n đủ lớn và với mọi số tự nhiên n1, , ,n k trong

đó r  Width I As( , ) là độ rộng với chiều lớn hơn s của A trong I và x1, ,x k

ra, chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những tính chất, mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau Chương 2: Về tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor Nội dung của chương này là trình bày một cách chi tiết các kết quả trong bài báo [10] của N T Dung và

L T Nhàn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô và các thầy cô trong khoa Toán của trường Đại học Vinh và trường Đại học Sài Gòn Cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Nghệ An, tháng 07 năm 2013

Tác giả

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn luôn kí hiệu R là vành Noether giao hoán, M

là R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại số giao hoán như: đối ngẫu Matlis, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether của môđun Artin, môđun Tor và môđun Ext, dãy chính quy và độ sâu, … nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở Chương 2 Ngoài ra, chúng tôi còn trích dẫn một

số kết quả đã có dưới dạng những tính chất, mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

1.1 Môđun Artin và đối ngẫu Matlis

Các kết quả trong mục này được đưa ra bởi R Y Sharp năm 1989

Cho m là một iđêan cực đại của vành R Môđun con m-xoắn m( )A của

A được định nghĩa bởi

0

A n

A





1.1.1 Mệnh đề (i) Giả sử A là một R -môđun Artin khác không Khi đó chỉ

có hữu hạn iđêan cực đại m của R sao cho m( )A  0. Nếu các iđêan cực đại phân biệt đó là m1, ,m thì r

Cho R, m là một vành địa phương Ta xét R như một vành tôpô với cơ

sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mt , với t = 0,1,2 Chú ý rằng cơ sở lân

cận của một phần tử tuỳ ý rR gồm các lớp ghép mt

r với t = 0, 1,2 Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m adic của R ký hiệu bởi  R được định nghĩa

bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một dãy Cauchy trong R là một dãy  r n các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự

nhiên n0 để  mt

r r với mọi n m, n0 Dãy  r n được gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0 tồn tại số tự

nhiên n0 để   0 mt

r r với mọi nn0 Hai dãy Cauchy  r n và  s n được gọi là hai dãy tương đương, ký hiệu

là    r n  s n nếu dãy r n s n là dãy không Khi đó quan hệ  trên tập các dãy Cauchy là quan hệ tương đương Ta ký hiệu R là tập các lớp tương

đương của các dãy Cauchy

Chú ý rằng nếu  r n và  s n là các dãy Cauchy thì các dãy r n s n,

r s n n cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy r n s n,

r s n n là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương

đương của các dãy  r n và  s n , tức là nếu  r n  r n, và  s n  s n, thì

r n s nr n, s n,  và r s n n r s n n, , Vì thế R được trang bị hai phép toán

hai ngôi + và đồng thời cùng với hai phép toàn này, R lập thành một vành

Mỗi phần tử rR có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà

tất cả các phần tử trong dãy đều là r Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa

các vành

trong đó  r là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r

Định nghĩa tương tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là

1.1.2 Mệnh đề Cho A là R -môđun Artin khác không trên vành địa phương

R,m. Khi đó, A có cấu trúc tự nhiên của R -môđun và mọi tập con của A 

là R -môđun con của A nếu và chỉ nếu nó là R -môđun con của A Do đó, A 

có cấu trúc tự nhiên của R -môđun Artin 

Do có cấu trúc đặc biệt như vậy nên người ta có thể chuyển việc nghiên cứu môđun Artin trên một vành giao hoán bất kỳ về việc nghiên cứu trên vành địa phương Hơn nữa, việc nghiên cứu trên môđun Artin trong một số trường hợp có thể chuyển về nghiên cứu trên môđun Noether nhờ lý thuyết đối ngẫu Matlis Dưới đây là một số tính chất đối ngẫu Matlis hay được sử dụng trong luận văn

Cho R,m là vành địa phương, đầy đủ Đặt E ER/m là bao nội xạ của trường thặng dư /R m. Kí hiệu D   HomR ,E từ phạm trù C R các

R -môđun và R -đồng cấu vào chính nó Với mỗi R -môđun M, đặt

1.1.3 Mệnh đề (i) R -môđun E là Artin Với mỗi f  HomRE E, , tồn tại

duy nhất a f R f:  x a x f ,  x E.

(ii) Nếu N là R -môđun Noether thì D N là Artin  

(iii) Nếu A là R -môđun Artin thì D A là Noether  

(iv) AnnM  AnnD M , và nếu M là R -môđun sao cho R M   , thì

(ii) Cho M là một R -môđun Một biểu diễn thứ cấp của M là một phân tích

M  N N thành tổng hữu hạn các môđun con pi-thứ cấp N i Nếu

0

M  hoặc M có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn được

Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không có hạng tử N i nào là thừa, với mọi i 1, ,  n

Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể đưa được về dạng tối thiểu Khi đó tập hợp p 1 , ,  pn là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu của M và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của

,

M kí hiệu bởi Att R M Các hạng tử N i i, 1, , , n được gọi là các thành

phần thứ cấp của M Chú ý rằng không phải môđun nào cũng biểu diễn được nhưng mọi môđun Artin đều biểu diễn được

1.2.2 Định lý Tập AttR A chỉ phụ thuộc vào A mà không phụ thuộc vào

biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A Hơn nữa ta có các khẳng định sau là tương đương với p là iđêan nguyên tố

(i) pAtt R A

(ii) A có môđun thương là pi -thứ cấp

(iii) A có môđun thương Q sao cho Rad Q   p

(iv) A có môđun thương Q sao cho p là phần tử tối thiểu trong tập các iđêan nguyên tố chứa AnnR Q

(v) A có môđun thương Q sao cho AnnR Q  p

1.2.3 Mệnh đề (i) Cho M là một R -môđun biểu diễn được Khi đó M 0

khi và chỉ khi Att R M . Trong trường hợp này tập các iđêan nguyên tố tối

thiểu của R chứa Ann M chính là tập các phần tử tối thiểu của   AttR M

(ii) Cho 0MM M0 là dãy khớp các R -môđun biểu

diễn được Khi đó ta có

AttR M AttR M  AttR MAttR M

a) Nếu N là R -môđun Noether, thì AttRD N    AssR N

b) Nếu A là R -môđun Artin, thì AssRD A    AttR A

1.3 Chiều Noether của môđun Artin

1.3.1 Định nghĩa Chiều Noether của môđun Artin A ký hiệu bởi ,

N- dimR A, được định nghĩa bằng quy nạp như sau:

Khi A  0, đặt N- dimR A 1

Với A  0, cho một số nguyên d  0, ta đặt N- dimR A d nếu N- dimR A d là sai và với mỗi dãy tăng A0  A1  các môđun con của

A, tồn tại số nguyên n0 sao cho N- dimRA n1/A n d, với mọi n n0

Từ định nghĩa trên, ta thấy rằng mọi R-môđun khác không M là Noether

khi và chỉ khi N- dimR M  0 Ta đã biết rằng đối với mỗi môđun hữu hạn sinh M thì dimM  0 nếu và chỉ nếu M  0 và R M   Từ Định nghĩa 1.3.1 ta có một số tính chất sau về chiều Noether

1.3.2 Bổ đề (i) N- dimR A  0 nếu và chỉ nếu A  0 và R A  

Trong trường hợp này AttR  m Hơn nữa, nếu

0 A  A A0

là dãy khớp các R -môđun Artin thì

N- dimR A  max N-dim R A, N-dimR A

(ii) N- dimR A dim / AnnR R A max dim / : R p pAttR A và tồn tại

môđun Artin A sao cho N- dimR A  dim / Ann R R A

(iii) N- dimˆ dim / Annˆ ˆ max dim / : ˆ ˆ ˆ Attˆ .

(iv) Cho R m là vành địa phương và A là R -môđun Artin Khi đó A có cấu , 

trúc tự nhiên của ˆ R -môđun Artin và ta có

R M N  u n u n là môđun đối đồng điều thứ n của

đối phức trên (môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh của

M)

1.4.2 Định nghĩa Cho M, N là các R -môđun và n  0 là một số tự nhiên

Môđun dẫn xuất trái thứ n của hàm tử  N ứng với M được gọi là môđun xoắn thứ n của M và N và được kí hiệu là TorR , 

R M N  với mọi n 1 (d) Nếu 0N N N0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các

R M N  R M N với mỗi n  0 sao cho ta

(e) Nếu 0MM M0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các

R M N  R M N với mỗi n  0 sao cho ta

(g) Nếu 0N N N0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các

n M N  n M N với mỗi n  0 sao cho ta

1.4.4 Hệ quả Nếu M, N hữu hạn sinh thì Extn  , 

R M N và TorR , 

n M N là hữu hạn sinh với mọi n

Kết quả dưới đây cho ta tính chất giao hoán giữa môđun Ext, Tor với hàm tử địa phương hóa và sự tương đương giữa hai hàm tử Ext và Tor trên vành địa phương đầy đủ

1.4.5 Mệnh đề (i) Nếu S là tập đóng nhân của R thì ta có các đẳng cấu

p p p

p p p

với mọi iđêan nguyên tố p của R

(ii) Cho I là iđêan của R Khi đó

Exti / ,    TorR / , ,

i

với mọi số nguyên i  0

1.5 Dãy chính quy và độ sâu của môđun

1.5.1 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán Noether và M là R -môđun

khác 0 Một phần tử 0 a R được gọi là phần tử M -chính quy nếu

M aM và a không là ước của 0 trong M Dãy các phần tử a1, , a nR

được gọi là M -dãy chính quy nếu

(a) M /a1, , a M n  0

(b) a i là phần tử M /a1, , a n M -chính quy, với mọi i 1, , n

Dãy các phần tử a1, , a nR được gọi là M -dãy chính quy nghèo

nếu nó chỉ thỏa mãn điều kiện (b) trong định nghĩa trên

Cho I là Iđêan của R sao cho M IM Khi đó mỗi dãy chính quy của

M trong I đều có thể mở rộng thành dãy chính quy tối đại trong I, và các

dãy chính quy tối đại của M trong I có chung độ dài Độ dài chung này được gọi là độ sâu của M trong I và được kí hiệu là depth , I M Nếu

M  IM thì ta quy ước depth , I M  

1.5.2 Chú ý (i) Giả sử M là hữu hạn sinh Khi đó a1, , a nR là M -dãy

chính quy khi và chỉ khi a i   p, p AssR M /a1, ,a i1M

(ii) Nếu R là vành địa phương với iđêan cực đại m thì theo bổ đề Nakayama

mọi dãy a1, ,a nm đều thỏa mãn điều kiện M /a1, , a M n  0, do đó

nó là M -dãy chính quy khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện (b) trong định nghĩa trên Trong trường hợp này, độ sâu của M trong m gọi là độ sâu của M

M -dãy chính quy trong I với mọi số nguyên dương t1, , t n

1.5.3 Định lý Cho R m là vành địa phương Noether và M là R -môđun , 

hữu hạn sinh Khi đó ta có depth M  dim M

Cho I là một iđêan của R Khi đó môđun đối đồng điều địa phương

trong đó I  M là môđun con I-xoắn của M Mệnh đề sau đây cho ta đặc

trưng của độ sâu qua tính không triệt tiêu của môđun và môđun đối đồng điều địa phương

1.5.4 Mệnh đề Cho I là iđêan của R

Chương 2 TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT

CỦA MÔĐUN Tor

Trong toàn bộ chương này, ta vẫn giả thiết R m là vành địa phương, , 

I là iđêan của R và A là R -môđun Artin với chiều Noether N-dimR A d

Khái niệm A-dãy đối chính quy theo chiều đã được đưa ra bởi L T Nhàn và

N V Hoàng trong [11] như là một sự mở rộng của khái niệm dãy đối chính quy đưa ra bởi A Ooishi [12] và thông qua khái niệm này họ đã chứng minh một kết quả hữu hạn cho tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin

Tiếp tục sử dụng công cụ A-dãy đối chính quy theo chiều, L T Nhàn và N

T Dung [10] đã chứng minh được một kết quả về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor Trong chương này chúng tôi trình bày chi tiết kết quả này của [10]

2.1 Dãy đối chính quy

Khái niệm dãy đối chính quy cho một môđun tùy ý được nghiên cứu bởi A Ooishi [12], ở đó ông đã đưa ra một số tính chất cơ bản của dãy đối chính quy khi môđun là Artin Các khái niệm và tính chất này theo một nghĩa nào đó đối ngẫu với các khái niệm và tính chất của dãy chính quy cho môđun

hữu hạn sinh trên vành Noether

2.1.1 Định nghĩa Cho M là một R -môđun tùy ý Một dãy các phần tử

Đặc biệt, phần tử x R được gọi là phần tử M-đối chính quy nếu 0 :M x  0

và x M M

Cho A là R -môđun Artin và I là một iđêan của R sao cho 0 :A I  0

Khi đó độ dài của mỗi A-dãy đối chính quy trong I là hữu hạn và hai dãy đối chính quy tối đại trong I có chung độ dài Vì thế ta có định nghĩa sau

2.1.2 Định nghĩa Độ rộng của A trong , I ký hiệu là WidthI A (hoặc

 

Width ,I A ), là độ dài của một A-dãy đối chính quy tối đại trong I Đặc

biệt, nếu I  m thì ta gọi Width Am là độ rộng của A trong m và ký hiệu là

Width A

2.1.3 Chú ý (i) Đối với môđun Artin A khác không trên vành giao hoán , R

nếu các phần tử x1, ,x r m, thì theo tính chất của môđun Artin điều kiện

0 :A x1, ,x R r   0 trong Định nghĩa 2.1.1 luôn được thỏa mãn

(ii) Nếu x m là phần tử A -đối chính quy thì ta có công thức về chiều

Noether N- dim 0 : A x R  N- dimA1. Do đó, mỗi A -dãy đối chính quy

là một phần hệ tham số của A và vì thế

 

Width A  N- dim A

(iii) Một dãy các phần tử x1, ,x rR là A -dãy đối chính quy nếu và chỉ

nếu x i p,  p Att 0 :R A x1, ,x i1R với mọi i 1, , r

2.1.4 Mệnh đề Cho I là iđêan của R Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

(1) Tồn tại phần tử A -đối chính quy trong I

(2) AR R I/  0.

2.1.5 Mệnh đề Cho I là iđêan của R và x1, ,x là một A -dãy đối n

chính quy trong I. Khi đó

(1) TorR / ,  0

i R I A  với mọi i n

(2) TorR / ,  0 :  1, ,  /

2.1.6 Định lý Cho I là iđêan của R và A là R -môđun Artin Các mệnh

đề sau là tương đương:

(1) TorR / ,  0

i R I A  với mọi i n;

(2) Tồn tại A-dãy đối chính quy x1, ,x trong n I

Giả sử I là iđêan của R sao cho 0 :A I  0 Từ các kết quả trên ta có

ngay tính chất là độ rộng của A trong I luôn hữu hạn và được tính bằng công thức

2.2 Dãy đối chính quy theo chiều

Cho I là iđêan của R và s  1 là một số nguyên Khái niệm A -dãy đối chính quy theo chiều s được đưa ra bởi L T Nhàn và N V Hoàng

trong [10]

2.2.1 Định nghĩa Một dãy các phần tử x1, ,x trong m được gọi là k

A-dãy đối chính quy theo chiều s nếu x i p với mọi iđêan nguyên tố gắn kết pAtt 0 :R A x1, ,x i1R thỏa mãn dimR/p s, với mọi 1, ,

Chú ý rằng A -dãy đối chính quy theo chiều  1 chính là A -dãy đối

chính quy đã được định nghĩa bởi A Ooishi [12]

2.2.2 Bổ đề Giả sử x là phần tử A -đối chính quy theo chiều s. Khi đó

dim A x A/ s

Chứng minh Cho A A 1 A t là biểu diễn thứ cấp tối thiểu của ,A

trong đó A i là pi -thứ cấp Theo giả thiết x là phần tử A -đối chính quy theo chiều s nên x pi với mọi i thỏa mãn dimR/pi s. Không mất tính

tổng quát, ta có thể đánh số lại sao cho các môđun con thứ cấp A A 1, ,A i1

thỏa mãn dimR/pk s và A A i, ,A t thỏa mãn dimR/pk s, với mọi k 1, ,i1 và j i, , t Khi đó x A j  A j với mọi j i, , t Vì thế

Chứng minh Giả sử tồn tại pAttR A sao cho I  p và dimR/p s

Vì pAttR A, nên theo Định lí 1.2.2 tồn tại môđun thương A B/  0 của

A là p-thứ cấp Do A B/ là p -thứ cấp và p là iđêan hữu hạn sinh nên theo

Định lí 1.2.2 phải tồn tại số nguyên n sao cho pnA B/   0. Vì I  p, nên suy ra I A B n /   0 Nhưng lại do A B/  0 và I A B n /   0, nên ta phải có I A B /   A B/ , vì nếu ngược lại I A B /  A B/ thì

 /   /  / ,