Về môđun M CP nội xạ

Người ta đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm môđun M-nội xạ, môđun tự nội xạ, môđun M-nội xạ cốt yếu, …Trên cơ sở tương tự dựa trên yếu tố nội xạ, luận văn này tìm hiểu về khái niệm

MỞ ĐẦU

Môđun nội xạ là một đối tượng nghiên cứu của lý thuyết vành và môđun Người ta đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm môđun M-nội xạ, môđun tự nội xạ, môđun M-nội xạ cốt yếu, …Trên cơ sở tương tự dựa trên yếu tố nội xạ, luận văn này tìm hiểu về khái niệm và các tính chất của môđun M-cp-nội xạ

Giả sử M và N là hai R-môđun Khi đó, môđun N được gọi là cp-nội xạ nếu mỗi môđun con đóng M-xyclic X của M, mỗi đồng cấu f

M-từ X đến N có thể mở rộng tới đồng cấu M-từ M đến N Môđun N được gọi là cp- nội xạ nếu nó là R-cp-nội xạ Rõ ràng mọi môđun M-p-nội xạ

là M-cp-nội xạ, nhưng điều ngược lại nói chung không đúng

Luận văn dựa trên bài báo “Quasi-c-Principally injective Modules and self-c-Principally injective Rings” của A.K.Chaturvedi, B.M.Pandeya và A.J.Gupta, đăng trên Southeast Asian Bulletin of Mathemmatics (2009) 33: 685-702 để tìm hiểu trình bày một cách chi tiết về môđun M-cp-nội xạ

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo luận văn được chia làm hai chương

Chương 1 Trình bày các kiến thức về tổng trực tiếp, tích trực tiếp, môđun con cốt yếu, môđun con đóng, môđun con M-xyclic và các điều kiện (Ci) của môđun nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở chương 2 Ngoài ra, chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

Chương 2 Đây là nội dung chính của luận văn Trong chương

này chúng tôi trình bày các kiến thức về môđun nội xạ, môđun cp-nội xạ và một số tính chất của môđun M-cp-nội xạ

M-Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, thầy đã tận tình chỉ bảo, dìu dắt, giúp tác giả độc lập suy nghĩ, vững tin trong bước đầu nghiên cứu khoa học, dành cho tác giả những ý kiến chỉ đạo quý báu để tác giả hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên nghành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Toán học, Phòng Đào tạo sau đại học của Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn cho chúng tôi học tập và nghiên cứu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Sài Gòn đã giúp

đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho mỗi học viên chúng tôi học tập và nghiên cứu theo chương trình liên kết sau đại học giữa hai trường Đại học Vinh và Đại học Sài Gòn

Tác giả cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã luôn động viên, tạo kiều kiên thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng, tuy nhiên luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp chân thành của quý thầy, cô giáo và các bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn

Nghệ An, tháng 08 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Mai Lam

BẢNG KÝ HIỆU

AB Môđun A đẳng cấu với môđun B

AM A là môđun con của môđun M

AM A là môđun con cốt yếu trong M

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong luận văn này vành luôn giả thiết là vành có đơn vị, ký hiệu

1 và mọi môđun là môđun phải unita Nếu không viết gì thêm ta hiểu là

môđun trên một vành R cố định nào đó

1.1 TỔNG TRỰC TIẾP 1.1.1 Định nghĩa Cho  A i i I

 là một họ tùy ý các môđun con của một

1.1.2 Định lí (Định lí về tính phổ dụng của tổng trực tiếp) Giả sử B

là R-môđun cùng với một họ các đồng cấu  j:A j B, j I Khi đó

tồn tại đồng cấu duy nhất : A i B sao cho  p j  j , tức là biểu đồ

sau giao hoán

Dễ thấy rằng  p x j( )j [x j] j(x j) với mọi x jA j nên  p j  jvới

mọi j I Tiếp tục giả sử có một đồng cấu : i

1.1.3 Định lí Cho M là R-môđun và  A i i I

 là một họ các môđun con của R-môđun M Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương

a a a  a  Theo giả thiết, điều

này kéo theo

1.1.4 Định nghĩa Cho M là R-môđun, A là môđun con của M, kí hiệu

AM Khi đó A được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại

môđun con B của M sao cho AB 0 và A B M , khi đó M AB

Ký hiệu A  M

 có nghĩa A là hạng tử trực tiếp của M

Môđun M được gọi là không phân tích được nếu 0 và M là những

hạng tử trực tiếp duy nhất trong M

1.2 TÍCH TRỰC TIẾP 1.2.1 Định nghĩa Cho  A i i I

Giả sử B là R-môđun cùng với các đồng cấu  j:B A j, j I Khi đó

tồn tại đồng cấu duy nhất :

 sao cho g j   j , tức là biểu đồ

sau giao hoán

nên g j   j với mọi j I

Bây giờ giả sử có một đồng cấu :

 sao cho g j   j với mọi

j I Khi đó do  j( )x g j  ( )x g j ( )x  với mọi j I, nên



j

g

  với mọi xB Do đó ( )x ( )x với mọi xB hay

 Vậy đồng cấu  là duy nhất □

1.3 MÔĐUN CON CỐT YẾU

1.3.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun A là môđun con của M Ta nói

A là môđun con cốt yếu của M nếu với mọi môđun con B khác 0 của

M thì AB 0 (Một cách tương đương, nếu AB 0thì B 0) Khi

đó ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu của A Kí hiệu là AM

1.3.2 Ví dụ

i)Với mọi môđun M ta có M  M

ii) Xem vành số nguyên  như -môđun, ta có n  ,  n 0 Thật vậy, lấy 0 A B,  , ta có A m  , Bn , ,m n 0 suy ra

mn m  và mnnm n  Từ đó suy ra mn m   n Hay AB 0 Vậy n  ,  n 0

Chứng minh a)* Cho A là môđun con của M Giả sử A M , ta cần chứng minh xRA 0,  x 0,xM Thật vậy do 0  x M nên

0 xRM Mặt khác A M nên AxR 0

* Cho A là môđun con của M Giả sử xRA 0,  x 0,x M ,

ta cần chứng minh A  M Lấy 0 BM suy ra tồn tại xB, x 0

Ta có AxR 0 mà xRB suy ra AB 0 Vậy A  M □ b) ()Giả sử ANM và A M, ta cần:

*Chứng minh A N Lấy X  N  M, X 0 Do AM nên

Thật vậy, lấy X M X,  0 Do B M nên BX  0,BX M và

AM suy ra A (BX)   0 (AB) X  0 Vậy AB M □ d) Dùng phương pháp quy nạp theo n, ta chứng minh mệnh đề đúng với n 2

Cho A1 M1M A, 2 M2M Ta chứng minhA1A2 M1M2 Lấy BM1M B2,  0 suy ra BM1 và A1 M1 nên A1B 0 Đặt 1

X A B Lấy A2M2 và A2X 0 suy ra (A1B) A 2 0 do đó

1 2

(A A) B 0 Vì vậy A1A2 M1M2 □

Chú ý Trường hợp vô hạn là không đúng, tức là

X A AM A

Nếu X A A/  0suy ra X A Ado đó X  AN Vì vậy XN 0 Nếu X A A/  0 và N A/  M A/ suy ra X A A/ N A/  0 nên tồn tại nA 0 sao cho nA  x a A suy ra n a    x a a với

a a  A nN xX xA suy ra x n a  a a N do đó XN 0 Vậy N  M □ f) Lấy X M X,  0

Xét đồng cấu f M1: 1M2M1 sao cho f x1( 1x2) x1 với mọi

Ta sắp thứ tự theo quan hệ  Lấy một tập con sắp thứ tự tuyến tính

(toàn phần) của S là X1X2   X n  Khi đó

Thật vậy, nếu xAB x B x X k suy ra

xX A X S Suy ra X 0 Vậy mọi tập con sắp tuyến tính

có cận trên Theo Bổ đề Zorn S có phần tử tối đại T Suy ra A T  0

và tồn tại AT

Ta chứng minh AT M Lấy X M X , 0, bằng phương pháp phản chứng giả sử (A T )X 0 suy ra AX 0 Do đó

tính tối đại của T trong S Suy ra ATX 0 Vậy AT M □

1.3.6 Định nghĩa Môđun U được gọi là đều nếu U 0 và AB 0

với mọi môđun con khác không A, B của U Hay nói cách khác, U là

đều nếu U 0 và mọi môđun con khác không là cốt yếu trong U

1.4 MÔĐUN CON ĐÓNG, MÔĐUN CON M-XYCLIC

1.4.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun, N là môđun con của M Khi đó

N được gọi là đóng trong M nếu N không có một mở rộng thực sự

trong M Nói khác đi N được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun

con K 0 của M mà N  K thì KN

1.4.2 Bổ đề Cho M là một R-môđun Khi đó ta có

i) Cho A là môđun con tùy ý của M Nếu A đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A đóng trong M

ii) Mọi hạng tử trực tiếp của M đóng trong M

Chứng minh i) Giả sử M M1M2 và A đóng trong M1 Ta chứng

ii) Giả sử A là hạng tử trực tiếp của M ta có M AB

Lấy NM sao cho A  N khi đó AB  NB Từ đó 0   NB

suy ra NB 0 Xét phép chiếu  : ABA ta có ker( B)  0 mà

0

NB  nên Nker( )  0 suy ra  B là đơn cấu Vì thế N nhúng đơn cấu vào môđun A mà AN nên AN Vậy A đóng trong M □

1.4.3 Định nghĩa Cho M là R-môđun phải Môđun M được gọi là

xyclic khi và chỉ khi tồn tại một phần tử sinh Nghĩa là

0 : 0 0 |

1.4.4 Bổ đề Cho vành R, M là R-môđun phải Nếu M là môđun xyclic

thì M đẳng cấu với R X , với X là một môđun con nào đó của R

1.4.5 Định nghĩa Cho M là R-môđun N là môđun con của M N được gọi là môđun con M-xyclic của M nếu N đẳng cấu với M X/ , với một

môđun con X nào đó của M

1.4.6 Chú ý Môđun con đóng và môđun con M-xyclic của một môđun

đóng của M R nhưng không là môđun con M-xyclic

ii) Xét vành số nguyên  như -môđun Khi đó mỗi môđun con của  là một môđun con -xyclic nhưng không là môđun con đóng

1.5 CÁC ĐIỀU KIỆN (C i ) CỦA MÔĐUN

1.5.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun phải Ta xét các điều kiện sau: (C1) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M

( A M, X M để A  X   M)

(C2) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và

A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M

(A B, M A, B A,  M B  M ) (C3) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A  B=0 thì

A  Bcũng là hạng tử trực tiếp của M

(A B,  M A, B  0 AB M )

1.5.2 Định nghĩa.

i) Môđun M được gọi là liên tục (continuous) nếu thoả mãn điều

kiện (C1) và điều kiện (C2)

ii) Môđun M được gọi là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu thoả

mãn điều kiện (C1) và điều kiện (C3)

iii) Môđun M được gọi CS-môđun (CS-modules hay Extending

modules) nếu thoả mãn điều kiện (C1)

iv) Môđun M được gọi là CMS-môđun (CMS-modules) nếu mỗi

môđun con M-xyclic đóng của M là một hạng tử trực tiếp của M

Chú ý rằng lớp CMS-môđun lớn hơn lớp CS-môđun Ví dụ sau chứng tỏ CMS-môđun không phải là CS-môđun

1.5.3 Ví dụ Cho  và p là hai -môđun, trong đó  là tập các số hữu tỉ,  là vành các số nguyên và p là số nguyên tố nào đó Ta xem

xét -môđun M    p Môđun con M-xyclic đóng của M chỉ là 0,

, p và M Do đó M là CMS-môđun nhưng theo [10, ví dụ 10], M

Chứng minh Cho N là một hạng tử trực tiếp bất kỳ của CMS-môđun M

sao cho M NK với K là môđun con của M Khi đó N là một

môđun con M-xyclic đóng của M Giả sử rằng X là một môđun con

N-xyclic đóng của N Khi đó rõ ràng X là môđun con M-N-xyclic đóng của

M Vì vậy M là CMS-môđun Do đó X là hạng tử trực tiếp của M sao

cho M X L với L là môđun con của M Vì M X LNK và X

là môđun con của N do đó X là hạng tử trực tiếp của N Vì vậy N là

CMS-môđun □

là M-nội xạ nếu với mọi môđun con X của M, mỗi đồng cấu  từ X vào N đều mở rộng tới đồng cấu  từ M vào N, tức là  i(trong đó i

là phép nhúng đồng nhất)

2.1.2 Mệnh đề Cho M, N là các môđun trên cùng một vành R Giả sử

N là M-nội xạ và A là môđun con của M Khi đó:

 Bổ sung vào biểu đồ phép nhúng đồng

nhất j: AM Do N là M-nội xạ nên tồn tại đồng cấu  : M N là mở rộng của đồng cấu  hay  ji Lấy   j thì  là cần tìm vì

X M

X A

2.1.3 Mệnh đề (Tiêu chuẩn Baer tổng quát) Môđun N là M-nội xạ

khi và chỉ khi với mọi iđêan trái Rm của R, với mọi đồng cấu  từ Rm vào N, tồn tại đồng cấu  từ R vào N sao cho  i , trong đó i là phép nhúng Rm vào R

(Môđun N là M-nội xạ khi và chỉ khi N là Rm-nội xạ, với mọi m thuộc M.)

Chứng minh () Giả sử N là M-nội xạ Ta cần chứng minh N là Rm- nội xạ

Ta có RmM nên theo mệnh đề 2.2.2 ở trên ta suy ra N là Rm-nội xạ

() Giả sử N là Rm-nội xạ Ta cần chứng minh N là M- nội xạ

cho bởi (mk) (mk),  k K Khi đó giả thiết  có thể mở rộng tới

đồng cấu  : mRN Bây giờ ta định nghĩa : A  mRN cho bởi

cấu Do Nnội xạ nên tồn tại đồng cấu  : M  N sao cho biểu đồ sau

giao hoán, nghĩa là  i

Bây giờ ta xét đồng cấu    , trong đó   :NN  là phép chiếu



trong đó i là phép nhúng đồng nhất,  là đồng cấu từ X vào N, là phép chiếu chính tắc từ N vào N , còn   là đồng cấu có được do tính nội xạ của N ,       i Khi đó, theo tính chất phổ dụng của tích trực tiếp [1, định lý 3.2], tồn tại đồng cấu  từ M vào N sao cho      ,

i) Cho M và N là hai R-môđun phải Khi đó môđun N được gọi là

M-p-nội xạ (M-p-injective) nếu mỗi đồng cấu  từ một môđun con xyclic X của M đến N có thể mở rộng tới đồng cấu  từ M vào N

M-ii) Cho M và N là hai R-môđun phải Khi đó môđun N được gọi là

M-c-nội xạ (M-c-injective) nếu mỗi đồng cấu  từ một môđun con đóng X của M đến N có thể mở rộng tới đồng cấu  từ M vào N

iii) Cho M và N là hai R-môđun Khi đó, môđun N được gọi là

M-cp-nội xạ (M-cp-injective) nếu mỗi môđun con đóng M-xyclic X của

M, mỗi đồng cấu  từ X vào N có thể mở rộng tới đồng cấu  từ M vào N N được gọi là cp-nội xạ nếu nó là R-cp-nội xạ

Rõ ràng mọi môđun M-p-nội xạ là M-cp- nội xạ; M-c-nội xạ là M-cp-nội xạ, nhưng điều ngược lại nói chung không đúng

là đồng cấu sao cho (2 )a a, 2  a  2 Giả thiết rằng có một đồng cấu  : sao cho biểu đồ sau giao hoán

Khi đó ta có 1 (2) ( (2))i  2 (1) Vô lý Vì vậy  không thể thành đồng cấu  Do đó -môđun không là -p-nội xạ

Theo chú ý 1.4.6 (ii) mỗi môđun con của  là một môđun con xyclic nhưng không là môđun con đóng Vì vậy môđun con đóng của

 là R-môđun phải Khi đó P và Q là

môđun con đóng của M R Giả sử :QP là một đồng cấu sao cho

với x F Rõ ràng  là một đẳng cấu Giả

thiết rằng có một đồng cấu khác không :MP Khi đó 1 (0,0)

Vì vậy , = 0 Điều đó có nghĩa  là đồng cấu không Vì vậy, 

không thể mở rộng thành đồng cấu từ M đến P Do đó, P không là

Theo trên, rõ ràng rằng P và Q là môđun con đóng của M, nhưng không

là môđun con M-xyclic của M Vì vậy, môđun con M-xyclic của M chỉ

có thể là 0 và M Do đó P R , Q R , PQ R và N R là môđun M-cp-nội xạ □

2.2.3 Nhận xét Trong [11], Xue đã giới thiệu khái niệm môđun với

tính chất (**) Một môđun M được gọi là thỏa mãn tính chất (**) nếu mỗi tự đồng cấu khác không của M là một toàn cấu Đối với một môđun M với tính chất (**), môđun con M-xyclic chỉ là 0 và M Vì vậy, trong ví dụ trên rõ ràng mỗi R-môđun N là M-cp-nội xạ, nhưng không phải là một môđun M-c-nội xạ

2.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN M-CP-NỘI XẠ 2.3.1 Mệnh đề

(i) Cho M là R-môđun và {N i : i I} một họ của R-môđun Khi đó

i

i I N

 là M-cp-nội xạ nếu và chỉ nếu N i là M-cp-nội xạ, với mỗi iI (ii) Cho X là một môđun con đóng M-xyclic của một R-môđun M Nếu X là M-cp-nội xạ, khi đó X là một hạng tử trực tiếp của M

(iii) Cho A, B và M là R-môđun với A đẳng cấu B Nếu A là nội xạ, khi đó B là M-cp-nội xạ

M-cp-(iv) Cho M, N và A là R-môđun với M đẳng cấu N Nếu A là nội xạ, khi đó A là M-cp-nội xạ

N-cp-Chứng minh (i) N-cp-Chứng minh tương tự như [9, Mệnh đề 2.2]

(ii) Cho I: XX là đồng nhất thức và i: XM (phép nhúng) bao

hàm thức Vì X là M-cp-nội xạ, nên tồn tại một đồng cấu f: MX sao

cho I = fi Do đó, X là một hạng tử trực tiếp của M

(iii) Hiển nhiên

(iv) Cho f M: N là một phép đẳng cấu và C là một môđun con đóng M-xyclic của M Chúng ta có thể thấy rằng, f C( )là N-xyclic đóng trong N Giả sử: :CA là đồng cấu, khi đó ( 1