Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một số kết quả về V-môđun" ppt

Trong bài viết này chúng tôi đưa ra một số kết quả sau cho môđunM: 1M/ Soc M là V-môđun nếu và chỉ nếuM/ Soc M là GV-môđun.. 3 Nếu môđunM có tính chất Ve thìM/Alà V-môđun với mọi môđun c

Một số kết quả về v-môđun

Hồ Sỹ Hùng (a), Ngô Sỹ Tùng (b)

Tóm tắt Trong bài viết này chúng tôi đưa ra một số kết quả sau cho môđunM: (1)M/ Soc M là V-môđun nếu và chỉ nếuM/ Soc M là GV-môđun.

(2) NếuM/ Soc M là V-môđun vàZ(M ) ∩ Z∗(M ) = 0thìM là GV-môđun.

(3) Nếu môđunM có tính chất (Ve) thìM/Alà V-môđun với mọi môđun conAcủa

M chứaSoc M.

(4) Môđun M là V-môđun khi và chỉ khiM/H là V-môđun, vớiH là môđun con không cốt yếu trongMvàH ∩ Nbé trongN, với mọi môđun con cốt yếu thực sựN

củaM.

Có nhiều hướng khác nhau để nghiên cứu lý thuyết môđun Một trong những hướng quan trọng là đặc trưng các lớp môđun theo một số tính chất xác định nào đó Trong số các lớp môđun này thì lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh được xem là hai trụ cột chính để từ đó người ta nghiên cứu và xây dựng các lớp môđun khác Trong những năm gần đây, lớp các V-môđun được rất nhiều người quan tâm và nghiên cứu Các kết quả về lớp môđun này đã được giới thiệu trong [2], [8] Trong [6], tác giả Ayse Cigdem Ozcan đã đưa ra một số tính chất của V-môđun và vành dựa vào tính chất (V)

và (Ve) Tiếp tục hướng nghiên cứu của Ayse Cigdem Ozcan, chúng tôi đã đưa ra được thêm một số tính chất về V và GV-môđun thể hiện qua các Định lý 2.4, Định lý 2.6,

Định lý 2.8

Trong bài viết này, vành luôn được giả thiết là kết hợp, có đơn vị Nếu không nói gì thêm thì các môđun trên một vành được hiểu đó chính là các môđun phải unita trên một vành R cố định nào đó

Cho môđun M, các kí hiệu Rad M, Soc M, Z(M), E(M) lần lượt là căn, đế, môđun con suy biến, bao nội xạ của môđun M Môđun M được gọi là bé nếu M là môđun con

bé trong bao nội xạ E(M) của nó Cho các môđun A và M, ta dùng các ký hiệu A 6 M,

A << M để chỉ A là môđun con của M, A là môđun con bé trong môđun M tương ứng Môđun M được gọi là V-môđun, nếu mọi môđun đơn là M-nội xạ

1 Nhận bài ngày 08/5/2007 Sửa chữa xong ngày 10/10/2007.

Môđun M được gọi là GV-môđun, nếu mọi môđun đơn, suy biến là M-nội xạ.

Môđun M được gọi là có tính chất (V), (Ve) tương ứng nếu

(V) : Với mọi môđun con thực sự K của M và m ∈ M − K, môđun con của M tối

đại trong lớp các môđun con của M chứa K, không chứa m là tối đại trong M

(Ve) : Trong định nghĩa của tính chất (V), chỉ yêu cầu K là môđun con cốt yếu thực sự của M

Chúng ta bắt đầu với các Bổ đề sau mà các phép chứng minh là hiển nhiên

Bổ đề 2.1 (Xem [4]) Cho X, M là các R-môđun A, B là các môđun con của M và A 6

Bổ đề 2.2 Cho N là môđun con của môđun M thỏa mãn đồng thời hai điều kiện (i) N cốt yếu trong M

(ii) N là M-nội xạ

Bổ đề 2.3 Cho M, X là các R-môđun, N là môđun con của M f : N −→ X là toàn cấu môđun Nếu tồn tại môđun con L của M sao cho N ∩ L = ker f và N + L = M thì f

Sau đây là các kết quả chính của bài báo này:

Định lý 2.4 Cho môđun M Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(1) M/ Soc M là V-môđun

(2) M/ Soc M là GV- môđun

(3) M có tính chất (Ve)

Chứng minh (1)⇒(2) Rõ ràng

(2)⇒(3) Giả sử K là một môđun con cốt yếu thực sự của M, m ∈ M − K L là môđun

con của M, tối đại chứa K, không chứa m Khi đó ta có (mR + L)/L là đơn và suy biến Theo (2) ta có (mR + L)/L là M/ Soc M - nội xạ Vì L chứa K nên L cốt yếu trong M,

do đó L chứa Soc M Theo Bổ đề 2.3 ta có (mR + L)/L là M/L-nội xạ

Mặt khác, giả sử A/L là môđun con thực sự khác 0 của M/L Do L là tối đại thoả mãn L chứa K, không chứa m nên m ∈ A, dẫn đến (mR + L)/L ∩ A/L 6= 0 Như vậy (mR + L)/L cốt yếu trong M/L Từ đó theo Bổ đề 2.2, ta có M/L = (mR + L)/L là môđun đơn Do đó L tối đại trong M

(3)⇒(1) (Xem [6]) Chúng tôi có một phép chứng minh khác như sau

Cho X là môđun đơn nào đó Giả sử N/ Soc M là môđun con cốt yếu thực sự của M/ Soc M, f : N/ Soc M −→ X là đồng cấu khác 0 Gọi ker f = K/ Soc M Do X đơn và

f khác 0 nên ta có

(N/ Soc M )/(K/ Soc M ) ∼= X dẫn đến N/K ∼= X, do đó K tối đại trong N Vì N/ Soc M cốt yếu trong M/ Soc M nên

N cốt yếu trong M Bây giờ ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: K cốt yếu trong N, dẫn đến K cốt yếu trong M Gọi x ∈ N − K, L là môđun con của M, tối đại chứa K, không chứa x Theo tính chất (Ve) ta có L tối đại trong M Khi đó ta có:

M = xR + L = N + L

Vì N ∩ L 6= N nên K = N ∩ L Như vậy ta có

K/ Soc M = N/ Soc M ∩ L/ Soc M

Theo Bổ đề 2.3, f mở rộng được thành đồng cấu từ M/ Soc M đến X Do đó X là M/ Soc M-nội xạ

Trường hợp 2: K không cốt yếu trong N Vì K tối đại trong N nên K là hạng tử trực tiếp của N Do đó tồn tại môđun con T của M sao cho N = K ⊕ T , dẫn đến T đơn Do

đó T 6 Soc M 6 K, kéo theo T = 0 và N = K là mâu thuẫn

Định nghĩa 2.5 Cho môđun M Môđun Z∗(M ) : = {m ∈ M | mR bé} được gọi là môđun con đối suy biến của M

Định lý 2.6 Cho môđun M Nếu M/ Soc M là V-môđun và Z(M) ∩ Z∗(M ) = 0thì M

là GV-môđun

Chứng minh Cho X là môđun đơn, suy biến nào đó Giả sử N là môđun con cốt yếu thực sự của M và f là đồng cấu khác 0 từ N đến X Đặt K = ker f, ta có N/K ∼= Xnên

K tối đại trong N Bây giờ ta xét 2 trường hợp sau

Trường hợp 1: K cốt yếu trong N, dẫn đến K cốt yếu trong M Gọi x ∈ N − K, L là môđun con tối đại chứa K, không chứa x Do M/ Soc M là V-môđun nên theo Định lý 2.4, M thoả mãn tính chất (Ve) Từ đó ta có L tối đại trong M Do đó ta có

M = xR + L = N + L

Mặt khác ta có N ∩ L 6= N và N ∩ L chứa K tối đại trong N nên K = N ∩ L Vậy theo

Bổ đề 2.3, ta có f mở rộng được thành đồng cấu từ M đến X Do đó X là M-nội xạ Trường hợp 2: K không cốt yếu trong N Vì K tối đại trong N nên tồn tại môđun con

T của M sao cho N = K ⊕ T Khi đó ta có N/K ∼= T ∼= X.Do đó T là môđun đơn Trước hết để ý rằng nếu T là môđun đơn và không nội xạ thì T là môđun bé, bởi vì nếu có T + X = E(T ) Khi đó, do T cốt yếu trong E(T ) nên T ∩ X = Y 6= 0 Bởi vì T đơn nên Y = T , do đó T ⊆ X hay X = E(T ) Vậy T << E(T )

Bây giờ nếu T là môđun nội xạ thì X là môđun nội xạ nên X là M-nội xạ

Nếu T là môđun không nội xạ thì T là môđun bé, dẫn đến T 6 Z∗(M ) Mặt khác do X suy biến và T ∼= Xnên T suy biến, dẫn đến T 6 Z(M) Theo giả thiết Z(M)∩Z∗(M ) = 0 nên T = 0 và N = K, (mâu thuẫn) Do vậy trường hợp 2 không xảy ra

Hệ quả 2.7 Cho môđun M và A là môđun con của M chứa Soc M Khi đó nếu môđun

M có tính chất (Ve) thì M/A là V-môđun

Chứng minh Gọi X là môđun đơn nào đó Do M có tính chất (Ve) nên theo Định

lý 2.4 ta có M/ Soc M là V-môđun, từ đó X là M/ Soc M-nội xạ Do A chứa Soc M nên theo Bổ đề 2.1, ta có X là M/A-nội xạ Vậy M/A là V-môđun

Điều ngược lại của Hệ quả 2.7 là không đúng Chẳng hạn xét M = Z là Z-môđun,

A = 6Z ⊃ Soc M = 0 Ta có M/A = Z6 là V-môđun, tuy nhiên M/ Soc M = Z không thỏa mãn tính chất (Ve)

Định lý 2.8 Cho môđun M và H là môđun con không cốt yếu trong M thỏa mãn H ∩N

bé trong N với mọi môđun con cốt yếu thực sự N của M Khi đó các phát biểu sau là tương đương

(1) M là V-môđun

(2) M/H là V-môđun

Chứng minh (1)⇒(2) Hiển nhiên

(2)⇒(1) Gọi X là môđun đơn nào đó Giả sử N là môđun con cốt yếu thực sự của M và

f : N −→ X là đồng cấu khác 0 Đặt K = ker f

Ta có

(N ∩ H)/(K ∩ H) ∼= ((N ∩ H) + K)/K 6 N/K ∼= X

Từ đó xẩy ra 2 trường hợp sau

Trường hợp 1: ((N ∩ H) + K)/K = N/K, dẫn đến

(N ∩ K) + K = N

Do (N ∩ H) bé trong N nên suy ra K = N Điều này là mâu thuẫn và trường hợp 1 không xảy ra

Trường hợp 2: ((N ∩ H) + K)/K = 0, do dó ta có N ∩ H = K ∩ H Ta xây dựng ánh xạ h : (N + H)/H −→ X xác định bởi h(x + H) = f(x) Khi đó h là một đồng cấu môđun Do M/H là V-môđun nên tồn tại đồng cấu g : M/H −→ X sao cho g ◦ i = h, với

i : (N + H)/H −→ M/H là phép nhúng Gọi ϕ : M −→ M/H là toàn cấu tự nhiên, khi

đó g ◦ ϕ là mở rộng của f Vậy X là M-nội xạ, hay M là V-môđun

Tài liệu tham khảo

[1] F W Anderson and K.R Fuller, Rings and Categories of Modules, Graduate Text

in Math., No.13 Springer - Verlag, NewYork, Heidelberg, Berlin, 1992

[2] N V Dung, D.V Huynh, P F Smith and R Wisbauer, Extending Modules, Pitman Research Notes in Mathematics series 313, Longman, Harlow, UK, 1994

[3] C Faith, Algebra II, Ring Theory, Springer- Verlag, 1976

[4] S H Mohamed and B J Muller, Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture Notes series 147, Cambridge Univ, Press, Cambridge, 1990

[5] M Harada, Non - small and non - cosmall modules, Proc of the Adtw Conf., Marcel

- Dekker Inc (1979), 669 - 689

[6] Agse Cigdem Ozcan, Some characterizations of V- modules and rings, Vietnam J

of Math., 26(3) 1998, 253-258

[7] Harmanci and Smith, Relative injectivity and modules classes, Comm in Alg., 20(9)(1992), 2471-2501

[8] R Wisbauer, Foundations of Rings and Modules, Gordon and Breach Reading 1991

SUMMARY SOME RESULTS ON V-MODULES

In this note, we obtain some results on V and GV-modules The followings hold for

a module M:

(1)M/ Soc M is a V-module if and only if M/ Soc M is a GV-module

(2) If M/ Soc M is a V-module and Z(M) ∩ Z∗(M ) = 0then M is a GV-module

(3) If a module M has property (Ve) then M/A is a V-module for every submodule A of

M containing Soc M

(4) M is a V-module if and only if M/H is a V-module for every submodule H of M such that H is not essential in M and H ∩ N is small in N for every essential proper submodule N of M

(a) Trường PTTH Phan Bội Châu

(b) Trường Đại Học Vinh