Về các môđun m nội xạ

Lí do chọn đề tài Các môđun nội xạ đóng một vai trò hết sức quan quan trọng để hình thành nên các khái niệm cơ bản của lý thuyết môđun nói riêng và của nhiều ngành toán học khác nói chu

Phan Hoàng Nam

VỀ CÁC MÔĐUN M-NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

Phan Hoàng Nam

VỀ CÁC MÔĐUN M-NỘI XẠ

Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số

Mã số : 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRẦN HUYÊN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và cùng với sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trần Huyên Các nội dung nghiên cứu kết quả trong luận văn này là trung thực và chưa công bố với bất kỳ hình thức nào trước đây

Ngoài ra trong luận văn còn sử dụng một số kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học, dưới sự trân trọng và biết ơn sâu sắc

Tp Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 9 năm 2016

Tác giả Phan Hoàng Nam

Luận văn này được hoàn thành từ sự hướng dẫn tận tình của tiến sĩ Trần Huyên Nhân dịp này tôi xin chân thành bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến thầy và gia đình

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô ở khoa Toán – tin học và Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tại trường

Tôi xin cảm ơn gia đình cùng người thân đã luôn động viên quan tâm tôi không chỉ thời gian học cao học mà suốt quá trình học tập của tôi

Cuối cùng tôi chân thành cảm ơn bạn bè cùng với các thành viên lớp cao học Đại số và lý thuyết số K25 đã luôn quan tâm và đồng hành cùng tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tp Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2016

Phan Hoàng Nam

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Bảng các ký hiệu viết tắt

MỞ ĐẦU 1 

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 

1.1 Một số kết quả về môđun và phạm trù 3 

1.2 Môđun nội xạ 14 

Chương 2 CÁC MÔĐUN M-NỘI XẠ 20 

2.1 Định nghĩa và ví dụ về môđun M-nội xạ 20 

2.2 Các tính chất của môđun M-nội xạ 22 

2.3 Môđun nội xạ trong phạm trù σ[M] 34 

KẾT LUẬN 37 

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Các môđun nội xạ đóng một vai trò hết sức quan quan trọng để hình thành nên các khái niệm cơ bản của lý thuyết môđun nói riêng và của nhiều ngành toán học khác nói chung Việc mở rộng khái niệm môđun nội xạ đến những khái niệm tổng quát hơn là một trong những nghiên cứu được để ý của nhiều nhà toán

Chúng tôi lựa chọn việc nghiên cứu về các môđun M-nội xạ và xem xét

các tính chất của chúng là sự thể hiện phần nào xu hướng nói trên

2 Mục đích của đề tài

- Xây dựng khái niệm môđun M-nội xạ và các thể hiện của nó trong các

phạm trù môđun

- Tìm hiểu các tính chất cơ bản của của các môđun M-nội xạ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Các môđun M-nội xạ trong các phạm trù môđun Mối liên hệ với khái

niệm môđun nội xạ và các khái niệm khác trong lý thuyết môđun

- Các tính chất cơ bản của môđun M-nội xạ và ứng dụng

4 Nội dung luận văn

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nội dung chính của chương này là trình bày lại một số kiến thức cơ bản của lý thuyết môđun và phạm trù liên quan đến đề tài như cái kéo lại, cái đẩy đi, các môđun đặc biệt như môđun nội xạ …

Chương 2 CÁC MÔĐUN M-NỘI XẠ

Chương này là nội dung chính của luận văn gồm các vấn đề được xem xét:

- Khái niệm môđun M-nội xạ

- Các tính chất cơ bản của môđun M-nội xạ tương tự các môđun nội xạ

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tổng hợp các tài liệu, sách, báo chuyên ngành liên quan tới đề tài, đặc biệt là các môđun nội xạ và môđun M-nội xạ

- Kết hợp các kiến thức kỹ năng chung về lý thuyết môđun để trình bày khảo sát nghiên cứu các tính chất của môđun M-nội xạ

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Tập S  x I các phần tử của môđun M là cơ sở của M khi và chỉ khi

mỗi phần tử x M  chỉ có một cách biểu thị tuyến tính qua S

Định lý 1.3

Nếu f M :  N là đẳng cấu môđun và M là môđun tự do thì N cũng là

môđun tự do Hơn nữa, nếu S là cơ sở của M thì f S  là cơ sở của N

Định lý 1.4

Tập S   trong M là cơ sở của M khi và chỉ khi với bất kỳ môđun N,

mỗi ánh xạ f S :  N đều có thể mở rộng tới một đồng cấu duy nhất

:

f M   N

1.1.2 Môđun xạ ảnh

Định nghĩa 1.5

Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh khi với mọi R-môđun A, B cùng với

toàn cấu  : A , mỗi đồng cấu B f M: B , tồn tại đồng cấu : P  A sao

b) Mỗi dãy khớp 0   A  B  P 0 là chẻ ra;

c) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do

1.1.3 Môđun nửa đơn

b) M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn;

c) Mọi toàn cấu M  các R-môđun đều chẻ; L

d) Mọi môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M

Hệ quả 1.12

Nếu M là môđun nửa đơn thì mọi môđun con, môđun thương của M đều

là nửa đơn

a) Giả sử 1 và 3 là đơn cấu

Lấy x Ker 2 suy ra 2 x 0, ta có 3 2f x g2 2  x 0 do 3 là đơn cấu nên f x2 0 tức là x Kerf  2 Im f1 Vậy tồn tại y M  1 sao cho

 

1

f y x Lúc đó g1 1  y 2 2f y    x 0, do g1 1 là đơn cấu nên y  0

tức là x f y 1 0 Vậy 2 là đơn cấu

Giả sử 1 và 3 là toàn cấu Lấy x N  2, do 3 là toàn cấu nên tồn tại

Lấy x Ker  3 suy ra 3 x 0, do f2 là toàn cấu nên tồn tại y M  2 sao cho

Vậy x f y2  f f b2 1 0 hay 2 là đơn cấu

c) Giả sử 2 là toàn cấu và 3 là đơn cấu

Lấy x N  1, do 2 là toàn cấu nên có y M  2 sao cho 2 y g x1 , ta có

1.1.5 Cái kéo lại

b) Nếu f là đơn cấu thì 1 h là đơn cấu; 2

c) Nếu f là toàn cấu thì 1 h là toàn cấu 2

Chứng minh. Dựa vào sự tồn tại của cái kéo lại, chúng ta có thể giả sử

Cặp đồng cấu h h1 , 2 là cái kéo lại khi và chỉ khi dòng trên là khớp

Chứng minh. Giả sử cặp đồng cấu h h1 , 2 là cái kéo lại, vì f1 là đơn cấu nên

theo 1.14 thì h2 là đơn cấu Với m2 Ker pf2, thì tồn tại m M1 1 sao cho

kh g  và cặp đồng cấu h h1 , 2 là cái kéo lại

1.1.6 Cái đẩy đi

Với mọi cặp đồng cấu f N1:  N f N1 2; :  N2 thì cái đẩy đi luôn tồn tại Với các đơn cấu nhúng: i: Ni    N1 N2 Coker *, 1,2 g i  , đặt đồng cấu

là cái đẩy đi của cặp f N1 :  N f1 ; 2 :N  N2

Chứng minh. Giả sử với i  1, 2 chúng ta có các đồng cấu g Ni: i Y và

Bởi tính chất của đối hạt nhân nên tồn tại duy nhất đồng cấu h :Coker * g  Y

để tam giác giao hoán

2

1

2 1

1

00

b) Nếu f2 là toàn cấu thì g1 là toàn cấu;

c) Nếu f2 là đơn cấu thì g1 là đơn cấu

       

g b g a  y g f x  y g f x y

Từ đó y g f x b  1 1    Vậy g1 là toàn cấu

c) Giả sử f2 là đơn cấu ta chứng minh g1 là đơn cấu, với n N1 1 mà

 , do đó n K   Ker f2 Vậy dòng dưới là khớp

Giả sử dòng dưới là khớp, với h Ni: i Y i , 1,2  , là toàn cấu sao cho

h f h f  Thì h f i1 1  0, và theo tính chất đối hạt nhân của Q thì có duy nhất

đồng cấu h Q :  Y với hg h1 1 Khi đó h f2 2 h f hg f hg f1 1 1 1 2 2 và do đó

h  hg do f2 là toàn cấu Vậy hình vuông là các đẩy đi

1.1.7 Phạm trù σ[M]

Định nghĩa 1.19

Cho  là lớp các R-môđun, một R-môđun U gọi là  -sinh nếu như có

một họ các môđun   N  trong  và toàn cấu , hay ta nói U là ảnh toàn cấu

của tổng trực tiếp một các môđun thuộc lớp 

Trong trường hợp lớp  chỉ có một môđun M thì môđun U được gọi là môđun M-sinh, hay ta nói U là môđun M-sinh khi U là ảnh toàn cấu của một tổng trực tiếp các bản sao của M, tức là tồn tại một toàn cấu M   U

Định nghĩa 1.20

Phạm trù    M là phạm trù con của phạm trù R-Mod mà các vật của nó

là các R-môđun đẳng cấu với với môđun con của môđun M-sinh

Mệnh đề 1.21

Nếu môđun N thuộc phạm trù    M , thì môđun con và môđun thương

của N cũng thuộc vào    M

Mệnh đề 1.22

Tổng trực tiếp một họ các môđun thuộc    M là thuộc vào    M

Chứng minh. Nếu   N là một họ các R-môđun trong    M và N  M, với M là các môđun M-sinh, khi đó N M Hiển nhiên là M là

môđun M-sinh, do đó N thuộc    M

Mệnh đề 1.23

Cái kéo lại và cái đẩy đi của các cấu xạ trong    M là thuộc    M

1.2.2 Tiêu chuẩn Baer của môđun nội xạ

Định lí 1.27

R-môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với bất kỳ iđêan trái I nào của R và

bất kỳ đồng cấu f I: M, luôn tồn tại phần tử q M sao cho với mọi  ta I

Giả sử f I :  Mt là đồng cấu, với I là iđêan trái của R Kết nối f với phép

Bây giờ ngược lại mỗi thành phần Mk là R-môđun nội xạ, với mọi đồng cấu

f  p f I  M , do Mk là là R-môđun nội xạ nên tồn tại phần tử x Mk k

sao cho với mọi  thì I fk     xk

Khi đó, chọn x    xk  M với mọi  ta có I

là khớp Khi đó đồng cấu đồng nhất 1 :M MM có thể mở rộng tới đồng cấu

Mà theo b) dãy này là chẻ ra Ta có đẳng cấu N M    M  Im p, vậy M

đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ N M   nên là môđun nội

xạ

) )

c  a Nếu M đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ nào đó thì theo

hệ quả thì M là môđun nội xạ

Định lý 1.32

Nếu R là vành chính thì mọi R-môđun chia được M đều là nội xạ

Chứng minh Cho M là môđun chia được trên vành chính R, ta sẽ chứng minh

M là môđun nội xạ bằng tiêu chuẩn Baer

Với I là một iđêan của R và f I: M là đồng cấu môđun, ta cần chứng tỏ

rằng tồn tại phần tử q M mà với mọi  thì ta luôn có I f      q

Do R là vành chính nên I là iđêan chính tức là tồn tại a  và I R  Ra

Do M là môđun chia được nên ta có thể chọn q M sao cho f a    aq Lúc này với mỗi  , I  ta có ra

       

f   f ra  rf a  r aq   q

Vậy M là môđun nội xạ

Định lý 1.33

Nếu R là miền nguyên thì mọi R-môđun nội xạ M đều chia được

Chứng minh. Với mọi x M , mọi   R \ 0  , ta cần chỉ ra rằng tồn tại y M

sao cho x   y Xét iđêan I R, sinh bởi 

Do R là miền nguyên nên I là môđun tự do với cơ sở là    Xét ánh xạ

 

   mà      x có thể mở rộng tới đồng cấu  : I  M Vì M là nội

xạ nên theo tiêu chuẩn Baer, tồn tại phần tử y M  sao cho với mọi r I  thì

  r ry

 

Khi r thì  x        y Vậy M là môđun chia được

1.2.4 Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ

E là mở rộng cốt yếu của R-môđun M khi và chỉ khi với mỗi phần tử

0 x E   luôn tồn tại phần tử a R sao cho 0ax M

Ngược lại, nếu B là môđun con khác không của E, lấy x B  \ 0   ta luôn

tìm được a sao cho 0R  ax M. Do ax B nên BM  0

Vậy E là một mở rộng cốt yếu của R-môđun M

Chương 2 CÁC MÔĐUN M-NỘI XẠ

2.1 Định nghĩa và ví dụ về môđun M-nội xạ

đều có thể bổ sung :h M U để tam giác giao hoán

Do f là đơn cấu nên ta có thể xem K là môđun con của M và ta nói h là

mở rộng của đồng cấu g qua f

Dưới đây là các định nghĩa tương đương của môđun M-nội xạ

Định nghĩa 2.2

U là môđun M-nội xạ khi Hom f U Hom M U  ,  :  ,   Hom K U  , 

là toàn ánh với mọi đơn cấu f K M: 

Do hàm tử Hom U   ,  là khớp trái nên chúng ta định nghĩa sau đây:

Định nghĩa 2.3

U là môđun M-nội xạ khi và chỉ khi hàm tử Hom U   ,  chuyển mọi dãy khớp ngắn các môđun 0 K M   thành dãy khớp ngắn các nhóm N 0aben

0  Hom N U ,  Hom M U ,  Hom K U ,  0

h

Từ các định nghĩa trên ta thấy rằng nếu U là môđun M-nội xạ với mọi môđun M thì U là môđun nội xạ Hơn nữa chỉ cần U là môđun R-nội xạ thì theo tiêu chuẩn Baer U cũng là môđun nội xạ

và môđun thương của nó

Nếu R là vành chính, a là phần tử khác không và không khả nghịch, R

thì /R Ra là tự nội xạ

Chứng minh Ta chứng minh /R Ra là môđun nội xạ trên vành / R Ra Một

iđêan trên vành /R Ra có dạng Rd Ra với d là ước của a, ta sẽ chứng tỏ bất kỳ /đồng cấu f Rd Ra: / R Ra/ đều có thể mở rộng lên /R Ra

Đồng cấu f Rd Ra: / R Ra/ được cho bởi ảnh của d và do a d 0

d  trong /

Rd Ra nên ảnh của d mãn thỏa mãn a f d  0

d  , tương đương việc d f d |  



Đặc biệt trên vành số nguyên , thì n là tự nội xạ

2.2 Các tính chất của môđun M-nội xạ

Mệnh đề 2.5

Cho M là môđun, các phát biểu sau tương đương:

a) Mọi môđun con của M là hạng tử trực tiếp của M;

b) Mọi dãy khớp các môđun 0K M   đều chẻ; L 0

c) Mọi môđun đều là môđun M-nội xạ

là chẻ Do đó tồn tại môđun con B của M sao cho M Imi  hay M A B B  

Vậy A là hạng tử trực tiếp của M

) )

b  c Với môđun U bất kỳ ta chứng minh U là môđun M-nội xạ

Giả sử ta có biểu đồ với dòng là khớp

là chẻ nên đồng cấu f có nghịch đảo trái : M  K

Đặt h g M U   :  thì hf g f g    1K  g Vậy U là môđun M-nội xạ

Nếu M là môđun nửa đơn thì mọi môđun U đều là môđun M-nội xạ

Từ hệ quả 2.6 ta có tất cả các -môđun đều là môđun 6-nội xạ, điều này có được là do  6 2 3 và các môđun  2, 3 là môđun đơn nên 6 là môđun

nửa đơn Hơn nữa tất cả-môđun đều là môđun m-nội xạ với m p p p  1 2 k là

tích của k số nguyên tố đôi một khác nhau

Do U là môđun M-nội xạ nên ta có thể bổ sung đồng cấu : h M  sao U

cho hi  1U, tức dãy trên là chẻ

h

h

Như vậy tồn tại môđun con B của M sao cho M Imi hay B

M U   vậy U là hạng tử trực tiếp của M B

Định lý 2.8

Cho môđun M và họ các R-môđun  U , tích U là môđun M-nội

xạ khi và chỉ khi U là môđun M-nội xạ với mọi  

Chứng minh Cho dãy khớp trong R-môđun 0 K fM Nếu mọi U là

môđun M-nội xạ thì khi đó với mỗi    , một biểu đồ

có thể bổ sung để giao hoán bởi đồng cấu h M:  U

Nhưng lại do tính phổ dụng của tích trực tiếp nên có được đồng cấu :

Định lý 2.9

Cho dãy khớp 0 M f M g M 0, nếu U là môđun M-nội xạ thì

U cũng là môđun M'-nội xạ và môđun M''-nội xạ

Chứng minh.  : K  M và đồng cấu  : K U , ta xét biểu đồ đồng cấu sau

rộng của đồng cấu  qua đơn cấu 

Vậy U là môđun M'-nội xạ

Bây giờ ta chứng minh U là môđun M''-nội xạ

Nếu như ta có dãy khớp 0 K hM'', lúc đó do sự tồn tại cái kéo lại của M '', ta có biểu đồ giao hoán sau

Từ việc U là môđun M-nội xạ nên, nên khi tác động Hom U   ,  vào biểu

đồ trên cho ta biểu đồ giao hoán sau

Hom M U Hom M U Hom M U

Hom K U Hom P U Hom M U



Áp dụng bổ đề 1.1.4 cho ta Hom(h,U) là toàn cấu và như vậy U là môđun

Do U, V là các môđun M-nội xạ nên g g1, 2 có thể mở rộng tới h M U1: 

và h M V2:  tức là g h f1 1 và g h f2 2

Với phép nhúng j U U V1:   , ta có đồng cấu nối j g K U V1 :   , do

U V  là môđun M-nội xạ nên tồn tại đồng cấu  : M  U V sao cho



 là môđun M-nội xạ khi và chỉ khi Ui là môđun M-nội

xạ với mọi i  1, ,n

Chứng minh U là môđun M-nội xạ với mọi   , đặt M M và

K M  , với mỗi đồng cấu g K :  U, chúng ta định nghĩa một tập

Vì tính tối đại của h L0: 0 U, nên đồng cấu h* và h0 phải bằng nhau, đặc biệt L M0   L0 và M  L0

Lúc đó với mọi a K thì hf a    gf a    ig a      g a , suy ra hf  g

Ngược lại, cho f M :  E U  , ta ký hiệu X  f1 U là môđun con của

M , xét đơn cấu nhúng j X :  M, đặt f1 f |X Từ việc U là môđun M-nội xạ,

nên tồn tại g M :  U sao cho gj f  1

Với đơn cấu nhúng i U :  E U   thì Ker f ig     X , thật vậy:

Với mọi x Ker f ig    , f x    ig x      g x  U, suy ra x X Với mọi

x X , f x    f x1   gj x      g x  ig x  , suy ra x Ker f ig    

Giả sử X M  thì tồn tại x M X \ sao cho  f ig x     0 Nhưng do

 f ig x     E U   nên tồn tại q R  \ 0   sao cho:

 f ig x q      f ig xa     U \ 0  , f xa      g xa U 

Vì vậy xa f 1 U  X , suy ra  f ig xa     0

Điều mâu thuẫn này cho ta X M  , tức là f ig  hay Im f U 