Về tập các Iđêan nguyên tố liên kết của Môđun Ext

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ HỒNG PHÚC VỀ TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN Ext LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Đại số và Lý thuyết số... Tính hữu

VÕ HỒNG PHÚC

VỀ TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT

CỦA MÔĐUN Ext

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGHỆ AN – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VÕ HỒNG PHÚC

VỀ TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT

CỦA MÔĐUN Ext

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Đại số và Lý thuyết số

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 2

Mở đầu 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Vành và môđun địa phương hóa 6

1.2 Một số ký hiệu 7

1.3 Iđêan nguyên tố liên kết 9

1.4 Chiều Krull của môđun 10

1.5 Hệ tham số 11

1.6 Dãy chính quy 12

1.7 Dãy chính quy lọc `14

1.8 Dãy chính quy suy rộng 14

1.9 Môđun Ext 15

1.10 Môđun đối đồng điều địa phương 16

Chương 2 Tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun Ext 18

2.1 M - dãy chính quy theo chiều 18

2.2 Tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun Ext 27

Kết luận 33

Tài liệu tham khảo 34

MỞ ĐẦU

Cho (R,m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m, I là một iđêan của vành R, M là một R-môđun hữu hạn sinh và A

là một R-môđun Artin Để nghiên cứu cấu trúc của môđun Noether và môđun

Artin, người ta thường quan tâm đến tập các iđêan nguyên tố liên kết và tương ứng tập các iđêan nguyên tố gắn kết của chúng

Xuất phát từ một kết quả trong vành các số nguyên : với mỗi iđêan I

của vành  , tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass ( /  I n không phụ thuộc )

vào n Cụ thể, nếu I   với a 1

I p p với mọi n Vì thế, người ta hỏi rằng liệu

tính chất này còn đúng khi thay  bởi một vành giao hoán Noether tùy ý Đã

có một số nhà toán học quan tâm đến câu hỏi này như D Rees (1956), L J Ratliff (1976), …, nhưng mãi đến năm 1979, Brodmann mới đưa ra câu trả

lời trọn vẹn cho câu hỏi đó Cho R là một vành giao hoán Noether, I là một iđêan của R và M là một R - môđun hữu hạn sinh Brodmann đã chứng minh

được rằng tập các iđêan nguyên tố liên kết Ass (R M I M có thể phụ thuộc / n )

vào n, nhưng ổn định khi n đủ lớn, tức là tồn tại một số tự nhiên n 0 sao cho

0

Ass (R M I M/ n )Ass (R M I M/ n )với mọi n ≥ n 0 Sau đó, xuất phát từ đẳng cấu M / I M n Tor ( /0R R I M n, ), Melkersson và Schenzel (1993) đã mở rộng các kết quả trên cho các môđun Tor ( /i R R I M với mọi i ≥ 0 Cụ thể, họ đã n, )

chỉ ra rằng, với mỗi số tự nhiên i ≥ 0, các tập Ass (Tor ( /R i R R I M n, )) và

1

Ass (Tor (R i R I n/I n ,M)) là độc lập với n khi n đủ lớn

Ta biết rằng các hàm tử xoắn Tor ( , )i R   và các hàm tử mở rộng Ext ( , )i R   là đối ngẫu nhau Do đó, người ta hỏi rằng liệu các tập Ass (Ext ( /R i R R I M n, )) có độc lập với n khi n đủ lớn? Từ một kết quả của M

Katzman, Ass (Ext ( /R i R R I M n, )) có thể không ổn định, thậm chí

( , ) : Ass (Ext ( / ( , , k), ))

k

n n

Kết quả thứ nhất Cho s ≥ 0 và r ≥ 1 là các số nguyên Giả sử với mọi i < r

ta có dim(Supp(H M I i( ))) Khi đó với mọi hệ sinh s a( , ,a1 a k)của I và mọi số nguyên t ≤ r, các tập hợp ( T I M t( , ))s và ( T a M t( , ))s chứa trong tập hữu hạn

Kết quả thứ hai Cho s ≥ 0 và r ≥ 1 là các số nguyên Giả thiết rằng với mọi

i  ta có r dim(Supp(H M I i( ))) Cho x s 1 , …, x r  I là một dãy các phần tử sao cho nó vừa là một M - dãy chính quy hoán vị được theo chiều > s và vừa

là một I - dãy lọc chính quy hoán vị được ứng với môđun M Khi đó với mọi

hệ sinh a( , ,a1 a k) của I và mọi số nguyên dương t ≤ r, các tập hợp

(T I M t( , ))s và (T a M t( , ))s chứa trong tập hữu hạn

vành và môđun địa phương hóa, iđêan nguyên tố liên kết, M - dãy chính quy,

M - dãy nghèo, M - dãy lọc chính quy, M - dãy chính quy suy rộng, môđun

Ext, nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở Chương 2 Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau Chương

2: Tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun Ext Nội

dung của chương này là trình bày chi tiết về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun Ext trong bài báo [6] của Markus Brodmann và

Nghệ An, tháng 07 năm 2013

Tác giả

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại số giao hoán như: vành và môđun địa phương hoá, iđêan nguyên tố liên kết, dãy chính quy, dãy nghèo, dãy lọc chính quy, dãy chính quy suy rộng, môđun Ext, chiều Krull của môđun, môđun đối đồng điều địa phương nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở Chương 2 Ngoài

ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

1.1 Vành và môđun địa phương hóa

1.1.1 Tập nhân đóng của một vành Cho vành R và S là một tập con của R

Tập hợp S được gọi là tập nhân đóng của vành R nếu 1 S và a b,  thì S

ab S

1.1.2 Vành các thương Cho S là tập nhân đóng của vành R Trên tích

Đề-Các R x S ta xét quan hệ hai ngôi:

( , )r s ( ', ')r s   t S t rs: ( 'sr')0

Khi đó  là quan hệ tương đương trên R  S Với ( , ) r s R Sx , ký hiệu /r s

là lớp tương đương chứa (r,s) và 1

S R trang bị hai phép toán là phép cộng và phép nhân, khi đó

1

S R

trở thành một vành và gọi là vành các thương của R theo tập nhân đóng

S Mỗi iđêan của vành S R1 có dạng S I1 { / |a s aI s, S}, trong đó I là iđêan của R Ta có 1 1

Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R Khi đó S R\p là một tập

nhân đóng của vành R Vành S -1 R trong trường hợp này là vành địa phương,

ký hiệu là Rp, với iđêan cực đại duy nhất 1

nên được gọi là vành địa phương hoá của vành R tại iđêan nguyên tố p

1.1.3 Môđun các thương Cho S là tập nhân đóng của vành R Khi đó ta có

S M

có cấu trúc là một 1

S R

- môđun và gọi là môđun các thương

của M theo tập nhân đóng S 1

S M

cũng có thể xem là một R - môđun với

phép nhân vô hướng như sau: /r x srx s/ , với mọi 1

, /

r R x s S M

  Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R và SR\p Khi đó môđun

1

S M được gọi là môđun địa phương hoá của M tại iđêan nguyên tố p, ký

hiệu là Mp Như vậy Mp có thể xem như là Rp- môđun hoặc là R - môđun

1.2 Một số ký hiệu

1.2.1 Ký hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R

SpecR :={ p | p là iđêan nguyên tố của vành R}

Chú ý rằng SpecRp{qRp|qSpec ,R qp }

Ký hiệu Max(R) là tập các iđêan tối đại của vành R

Với mỗi iđêan I của R, ký hiệu V I( )pSpec |R pI

Với mỗi tập con T của SpecR, kí hiệu min(T) là tập các phần tử tối thiểu của T theo quan hệ bao hàm

1.2.2 Định lý tránh nguyên tố (i) Giả sử p p1, , ,2 pn là các iđêan nguyên tố

và I là một iđêan của vành R sao cho

1

n i i

I



 p Khi đó tồn tại j,1 j n sao

cho I  p j

(ii) Giả sử I I1, , ,2 I n là các iđêan của vành R và p là iđêan nguyên tố

của vành R sao cho

1

n i i

I

p thì tồn tại j,1 j n sao cho p =I j

1.2.3 Giá của môđun Tập con

SuppR M = pSpecR | Mp 0

của SpecR được gọi là giá của môđun M (cũng có thể ký hiệu là SuppM nếu không cần thiết phải nhấn mạnh vào R)

1.2.4 Mệnh đề (i)SuppM   khi và chỉ khi M 0

(ii) Nếu 0M 'M M" một là dãy khớp ngắn 0

các R – môđun thì SuppM SuppM'SuppM"

1.2.5 Linh hóa tử Cho x  M Khi đó

SuppM V (Ann ( ))R M pSpec |R pAnn ( )R M 

1.3 Iđêan nguyên tố liên kết

1.3.1 Định nghĩa Giả sử M là một R  môđun Một iđêan nguyên tố pcủa R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại phần tử x  M x ,  0

Ass (R M) pSpec /R  x M x, 0 àv pAnn ( )}R x

Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập các iđêan nguyên tố liên kết

1.3.2 Mệnh đề Cho M là một R-môđun và p là một iđêan nguyên tố của

vành R Khi đó pAss (R M) khi và chỉ khi tồn tại một môđun con N của M sao cho N  R / p

1.3.3 Mệnh đề Giả sử R là vành Noether và M là một R  môđun

(i) Ký hiệu    Ann ( ) /R x x  M  Khi đó, nếu p là phần tử cực đại của theo quan hệ bao hàm thì pAss (R M)

(ii) Ass M   khi và chỉ khi R( ) M  0

(iii) Ký hiệu tập các ước của không của M là

(v) Nếu 0M'M M" là dãy khớp ngắn các R - môđun thì 0

Ass (R M')Ass (R M)Ass (R M')Ass (R M")

1.3.4 Định lý Giả sử R là vành Noether và M là một R - môđun Khi đó

Ass (R M)SuppR M và bất kỳ phần tử tối thiểu nào của Supp R M theo quan

hệ bao hàm đều thuộc Ass (R M )

1.3.5 Định lý Nếu M là R - môđun Noether thì tập Ass (R M )là tập hữu hạn

Đã có nhiều kết quả liên quan đến tính ổn định và tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết Tuy nhiên, kết quả quan trọng nhất và cũng là công trình khởi đầu, có tính đột phá và mở hướng cho các kết quả trình bày ở Chương 2 của luận văn này là định lý sau đây của Markus Brodmann (1979) trong [5]

1.3.6 Định lý Cho I là một iđêan của vành R và M là môđun hữu hạn sinh

Khi đó các tập Ass ( R M I M và / n ) Ass (R I n1M I M/ n ) không phụ thuộc vào

n khi n đủ lớn

1.4 Chiều Krull của môđun

1.4.1 Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán Một dãy các iđêan nguyên tố của

R: p0 p1p2  p được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n n

(i) Cho pSpecR Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên

tố với p0 p được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht( )p Nghĩa là,

ht( )p = sup{độ dài xích nguyên tố với p0 p }

Cho I là một iđêan của R khi đó ta định nghĩa

(iii) Cho M là một R-môđun Khi đó dim( / Ann R R M được gọi là chiều )

Krull của môđun M, kí hiệu là dimR M (hoặc dim M ) Nếu M là môđun hữu

hạn sinh, ta có SuppM V Ann M( R ) Do đó

Với mỗi R- môđun K, đặt

dim(Supp )K max{dim( / )|R p pSupp }K Chú ý rằng nếu pq là các iđêan nguyên tố và pSupp K thì qSuppK

Vì thế dim(Supp K) là cận trên của các độ dài của các xích nguyên tố trong Supp K

Với mỗi tập con T của SpecR và mỗi số tự nhiên i  , ký hiệu 0

( ) : {T i  pT | dim( /R p)i}, ( ) : {T i  pT | dim( /R p)i}

1.4.2 Mệnh đề Giả sử I là một iđêan của vành R Khi đó nếu

dim(M /IM) thì tồn tại iđêan tối đại m của R sao cho s

dim(Mm / IMm)s

1.5 Hệ tham số

1.5.1 Định nghĩa Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether với

iđêan cực đại duy nhất m và M là một R-môđun hữu hạn sinh với

1.5.2 Mệnh đề (i) Mọi hoán vị của một hệ tham số của môđun M cũng là

một hệ tham số của môđun M

(ii) Nếu x1, ,x là một hệ tham số của môđun M và d n1, ,n là một bộ d gồm d số nguyên dương thì 1

1n, , n d

d

x x cũng là một hệ tham số của môđun M

(iii) Nếu x1, ,x là một hệ tham số của môđun M thì d

1

dim(M / ( , , )x x M i )di, i 1, , d (iv) x1, ,x là một hệ tham số của M khi và chỉ khi d

nó chỉ thỏa mãn điều kiện (b) trong định nghĩa trên

Chú ý rằng a  là phần tử chính quy của M khi và chỉ khi a  p , với R

mọi pAss (R M) Do đó, x x1, 2, ,x là dãy chính quy của M khi và chỉ khi n

1.6.2 Mệnh đề Cho M là một R - môđun và x x1, 2, ,x là một dãy các phần n

tử của R sao cho cho ( , ,x1 x M n) M Các điều kiện sau là tương đương

(i) x x1, 2, ,x là M - dãy chính quy n

(ii) x không là ước của không trong R - môđun i M / ( , ,x1 x i1)M , với mọi i1, ,n

(iii) ( , ,x1 x i1)M x: i( , ,x1 x i1)M , với mọi i1, ,n

1.6.3 Định nghĩa (i) Giả sử x x1, 2, ,x là M - dãy chính quy Khi đó n được n

gọi là độ dài của dãy

(ii) Cho I là một iđêan tùy ý của vành R sao cho IM M và

1, 2, , n

x x x thuộc I là một M - dãy chính quy Khi đó x x1, 2, ,x được gọi là n dãy chính quy cực đại trong I nếu không tồn tại y sao cho I x x1, 2, ,x y n,

là M - dãy chính quy

Ta biết rằng mọi dãy chính quy cực đại trong cùng một iđêan I đều có

độ dài bằng nhau Độ dài này được gọi là độ sâu của M đối với iđêan I và

được ký hiệu là depth( ,I M Đặc biệt, khi (R,m) là vành địa phương và )

I  m thì depth(m,M được gọi là độ sâu của M và ký hiệu là depth() M )Nếu x x1, 2, ,x là một dãy chính quy của M thì nó cũng là một phần hệ n

tham số của M Do đó depth( M)dimM

1.6.4 Mệnh đề Các phát biểu sau đây là đúng

(i) Nếu x x1, 2, ,x là một M - dãy chính quy thì n 1

1k , , k n

n

x x cũng là M - dãy chính quy với mọi số tự nhiên k1, ,k n

(ii) Nếu (R,m) là vành địa phương thì mọi hoán vị của một M - dãy chính quy là một M - dãy chính quy

1.7 Dãy chính quy lọc

Giả thiết R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m và M là R

- môđun hữu hạn sinh Khái niệm dãy chính quy lọc được định nghĩa năm

1978 bởi N T Cường, P Schenzel và N V Trung là một mở rộng của khái

niệm dãy chính quy

1.7.1 Định nghĩa. (i) Một phần tử a  m được gọi là phần tử chính quy lọc đối với M hay M - chính quy lọc nếu a  p với mọi pAss (R M) \ { }m

(ii) Một dãy các phần tử x x1, 2, ,x của R được gọi là một dãy chính n quy lọc của M hay M - dãy lọc chính quy nếu x là phần tử chính quy lọc của i

(ii) Phần tử a  m là M - chính quy lọc nếu và chỉ nếu dim(0 : M a  ) 0

(iii) Phần tử M - chính quy lọc trong m luôn tồn tại Hơn nữa, với mỗi số

tự nhiên n luôn tồn tại một M - dãy chính quy lọc trong m có độ dài n

(iv) Cho I là iđêan của R Nếu dim( M / IM  thì mỗi dãy M - chính ) 0

quy lọc trong I có thể mở rộng thành một dãy chính quy lọc tối đại, và các M - dãy chính quy lọc tối đại trong I đều có chung độ dài

1.8 Dãy chính quy suy rộng

Khái niệm dãy chính quy suy rộng được định nghĩa bởi L.T.Nhàn (2005) là một mở rộng của khái niệm dãy lọc chính quy

1.8.1 Định nghĩa (i) Một phần tử a  được gọi là phần tử chính quy suy R rộng đối với M nếu a  p với mọi pAss (R M) thỏa mãn tính chất dim( / ) 1R p 

(ii) Một dãy các phần tử x1, ,x của R được gọi là M - dãy chính quy n suy rộng nếu x là phần tử chính quy suy rộng của i M / ( , ,x1 x i1)M với mọi 1, ,

(iii) Cho I là iđêan của R Nếu dim( M / IM ) 1 thì mỗi M - dãy chính quy suy rộng trong I có thể mở rộng thành một M - dãy chính quy suy rộng tối đại, và các M - dãy chính quy suy rộng tối đại trong I đều có chung độ dài

1.9 Môđun Ext

1.9.1 Định nghĩa Cho M, N là các R - môđun, và n  là số tự nhiên 0

Môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử Hom(M , -) ứng với M được gọi là

môđun mở rộng thứ n của M và N , ký hiệu là Ext ( n R M N , )

Cụ thể để xây dựng Ext (n R M N ta lấy một giải nội xạ của N , )

0Hom(M N, )Hom(M I, )u Hom(M I, )u

Khi đó Ext (n R M N, )Ker u n*/ Imu(n1)* là môđun đối đồng điều thứ n

của đối phức trên (môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của

N)

Dưới đây là một số tính chất cơ bản của các môđun Ext

1.9.2 Mệnh đề (i) Ext (n R M N, ) Hom( M N, )

(ii) Nếu M là xạ ảnh hoặc N là nội xạ thì Ext (n R M N  , với mọi , ) 01

với mọi iđêan nguyên tố p của R

1.10 Môđun đối đồng điều địa phương

1.10.1 Định nghĩa Cho Rlà vành Noether, địa phương với m là iđêan cực

đại duy nhất và M là R - môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M d

(i) Cho I là một iđêan của R, với mỗi R - môđun M Đặt