Về lớp môđun min nội xạ và ứng dụng đặc trưng một số lớp vành

Trong [8] đã giới thiệu một hướng mở rộng khác của khái niệmnội xạ đó là min nội xạ hay nội xạ tối tiểu mininjective: Cho R làvành, một R - môđun phải MR được gọi là min - nội xạ mininje

2.1 Môđun min nội xạ và các tính chất 122.2 Một kết quả về đặc trưng QF-vành 17

LỜI NÓI ĐẦU

Môđun nội xạ là một trong những lớp môđun đóng vai trò quantrọng trong nghiên cứu lý thuyết vành Theo thời gian và nhu cầu củaviệc nghiên cứu chuyên sâu, khái niệm này đến nay đã được mở rộngtheo nhiều hướng khác nhau như: nội xạ chính, giả nội xạ, cốt yếu giảnội xạ, Trong [8] đã giới thiệu một hướng mở rộng khác của khái niệmnội xạ đó là min nội xạ hay nội xạ tối tiểu (mininjective): Cho R làvành, một R - môđun phải MR được gọi là min - nội xạ (mininjective)nếu với mọi iđêan phải đơn K của R, mọi đồng cấu: ϕ : K → MR đều

có thể mở rộng thành đồng cấu ϕ : R → MR Rõ ràng Min nội xạ làmột khái niệm mở rộng của nội xạ, nội xạ suy ra min nội xạ, tuy nhiênđiều ngược lại không hoàn toàn đúng Tương tự khái niệm nội xạ, từkhái niệm min nội xạ chúng ta có các khái niệm kéo theo min CS vàmột số kết quả đặc trưng vành Như chúng ta đã biết, vành là QF khi

và chỉ khi nó là vành Artin hai phía và tự nội xạ hai phía Khi thay thếđiều kiện tự nội xạ bởi khái niệm min nội xạ kết quả trên có còn đúnghay không Mục đích nghiên cứu chính của đề tài này là tìm hiểu vềkhái niệm min nội xạ và các ứng dụng của nó trong đặc trưng một sốlớp vành, đặc biệt là lớp vành QF Từ các lý do đã nêu trên, đề tài củachúng tôi có tựa đề là: "Về lớp môđun min nội xạ và ứng dụngđặc trưng một số lớp vành"

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luậnvăn được trình bày trong 2 chương:

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị Chương này chủ yếu dành đểtrình bày các kiến thức cơ sở có liên quan đến nội dung của chương 2,đặc biệt là các kiến thức về môđun nội xạ và một số tính chất liên quan

Chương 2 Môđun min nội xạ và một số ứng dụng Nội dung củachương 2 được trình bày trong hai phần:

2.1 Môđun min nội xạ và các tính chất Phần này chủ yếu trình bày vềkhái niệm min nội xạ và các tính chất cơ bản của môđun min nội xạđồng thời có sự so sánh giữa khái niệm nội xạ và min nội xạ

2.2 Một kết quả về đặc trưng QF- vành Như chúng ta đã biết, lớp vành

QF là một trong những lớp vành dành được sự quan tâm đặc biệt củacác nhà nghiên cứu Số lượng các bài báo và đầu sách chuyên khảo vềlớp vành này như [4], [5], [8] và [9] phần nào đã nói lên tầm quan trọngcủa nó Vành R là QF khi và chỉ khi nó là vành Artin hai phía và tựnội xạ hai phía Trong tiết này chúng tôi cố gắng tìm hiểu việc thay thếđiều kiện tự nội xạ bởi điều kiện min nội xạ và thu được kết quả tương

tự trên lớp vành QF và một số lớp vành khác

Luận văn được bắt đầu thực hiện từ tháng 2 năm 2010, dưới sựhướng dẫn của PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc tới Thầy, người đã định hướng nghiên cứu, tận tình giúp đỡ,thường xuyên quan tâm tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trongsuốt quá trình học tập, nghiên cứu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số,khoa Toán, khoa Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh

Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu, tham khảo các tàiliệu cũng như tiếp thu các ý kiến đóng góp nhưng luận văn khó tránhkhỏi những hạn chế, thiếu sót Kính mong các ý kiến đóng góp của quýthầy cô và các bạn

Vinh, tháng 10 năm 2010

Tác giảĐinh Hồng Đức

CHƯƠNG 1CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong suốt luận văn, các vành luôn được giả thiết là vành kết hợp

và có đơn vị Các môđun trên vành luôn được hiểu là unita phải (nếukhông nói gì thêm )

Ở chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản và các kếtquả đã biết sẽ được sử dụng trực tiếp trong nội dung các chương sau.Các khái niệm, tính chất cơ bản và ký hiệu, chúng tôi chủ yếu thamkhảo trong các tài liệu [1], [2], [6] và [8]

Chúng ta giới thiệu một số khái niệm liên quan

1.1.1 Định nghĩa Môđun con A của R- môđun M được gọi là môđuncon cốt yếu (bé), ký hiệu A ⊂∗ M (t.ư., A ⊂◦ M ) nếu và chỉ nếu với mọimôđun con U ⊂ M , A ∩ U = 0 ⇒ U = 0 (t.ư A + U = M ⇒ U = M )

Từ định nghĩa của môđun con cốt yếu và môđun con bé ta có một

5 0 ⊂◦ M và M ⊂∗ M với mọi R môđun M

1.1.3 Định nghĩa Cho R- môđun M khác không Một dãy hữu hạn

n + 1 các môđun con của M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = 0 được gọi làdãy hợp thành có độ dài n (composition series of length n) nếu Mi−1/Mi

là đơn

Liên quan đến dãy hợp thành và là cơ sở của việc hình thành kháiniệm về độ dài của một môđun, chúng ta có định lý Jordan- H¨older:1.1.4 Định lý Nếu môđun M có sự phân tích thành các dãy hợp thành

có độ dài hữu han thì mọi cặp dãy hợp thành đó đều có độ dài bằngnhau

1.1.5 Định nghĩa Một môđun M có sự phân tích thành dãy hợp thànhđược gọi là môđun có độ dài hữu hạn và độ dài của dãy hợp thành đượcgọi là độ dài của M Ký hiệu l(M ) hoặc length(M )

1.1.6 Định nghĩa Cho vành R và A ⊂ R là tập con khác rỗng Linhhóa tử (annihilator) phải (trái) của tập A trong R là tập hợp r(A) :={b ∈ R|ab = 0; ∀a ∈ A} (tư., l(A) := {b ∈ R|ba = 0; ∀a ∈ A})

Một cách tự nhiên chúng ta có linh hóa tử của phần tử a là trường hợpđặc biệt khi tập A = {a} và linh hóa tử của tập A là tập hợp thỏa mãntính chất linh hóa tử cả hai phía trái và phải

Đối với linh hóa tử ta có một số tính chất cơ bản sau:

1.1.7 Bổ đề Cho A là một tập con khác rỗng của vành R Khi đó tacó:

1 Linh hóa tử trái l(A) là iđêan trái của R Tương tự đối với linh hóa

tử phải r(A)

2 Nếu A là tập con của Z(R) (tâm của vành R) thì l(A) = r(A) làmột iđêan của vành R

3 Nếu A là một iđêan trái (phải) của vành R thì l(A) (t.ư., r(A)) làmột iđêan của vành R.

1.1.8 Định nghĩa

• Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện ACC (Ascending ChainCondition) nếu với mọi dãy tăng các môđun con M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆

Mn ⊆ , tồn tại số n sao cho Mn+i = Mn với mọi i = 1, 2,

• Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện DCC(Descending ChainCodition) nếu với mọi dãy giảm các môđun con M1 ⊇ M2 ⊇ ⊇

Mn ⊇ , tồn tại số n sao cho Mn+i = Mn với mọi i = 1, 2, 1.1.9 Định nghĩa

• Môđun M được gọi là môđun Artin (Noether) nếu M thoả mãn điềukiện DCC (ACC)

• Vành R được gọi là vành Artin phải (trái) nếu RR(RR) là môđunArtin Chúng ta định nghĩa hoàn toàn tương tự cho vành Noetherphải(trái)

1.1.10 Định nghĩa • Trên vành R, một R- môđun phải M đượcgọi là môđun đơn (simple) nếu M 6= 0 và không có môđun connào khác ngoại trừ 0 và chính nó Môđun M được gọi là môđunnửa đơn (semisimple) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện tươngđương sau:

1 Mọi môđun con của M là một tổng của các môđun con đơn

2 M là tổng của các môđun con đơn

3 M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn

4 Mọi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M

• Tổng tất cả các môđun con đơn của R- môđun phải M được gọi là

đế phải của môđun MR Ký hiệu Soc(MR) hoặc Sr(M )

1.2 Môđun nội xạ và một số tính chất

1.2.1 Định nghĩa R-môđun N được gọi là M -nội xạ nếu với mọimôđun con X của M , mọi đồng cấu ϕ : X → N đều có thể mở rộngđược thành một đồng cấu ψ : M → N Môđun N được gọi là tựa nội

xạ nếu N là N - nội xạ Môđun N được gọi là môđun nội xạ nếu N làA-nội xạ với mọi A trong Mod-R

Như vậy chúng ta có, môđun N là nội xạ nếu và chỉ nếu N là RR-nội xạ Môđun N là nội xạ khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong cácđiều kiện tương đương sau:

1 Với mọi môđun A và với mọi môđun con X của A, mọi đồng cấu

f : X → N đều có thể mở rộng được thành một đồng cấu từ

4 R-môđun N không có mở rộng cốt yếu thực sự

1.2.2 Định nghĩa Hai R-môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhaunếu M là N -nội xạ và ngược lại

1.2.3 Định nghĩa Nếu N là một môđun con cốt yếu của môđun nội

xạ E thì E được gọi là bao nội xạ hay R-bao nội xạ của môđun N Kíhiệu E(N )

Chúng ta có một số tính chất của môđun nội xạ

1.2.4 Mệnh đề Tích trực tiếp và các hạng tử trực tiếp của môđun nội

xạ là môđun nội xạ

1.2.5 Định lý Cho Q là một R- môđun phải Các điều kiện sau tươngđương.

(i) Q là môđun nội xạ;

(ii) Mỗi đơn cấu ϕ : Q → B chẻ ra (nghĩa là Im(ϕ) là một hạng tửtrực tiếp của B);

(iii) Với mỗi đơn cấu α : A → B, ánh xạ Hom(α, 1Q) : HomR(B, Q) →HomR(A, Q) là toàn cấu

1.2.6 Định nghĩa Môđun P được gọi là M -xạ ảnh nếu với mọi toàncấu g : M → N và đồng cấu f : P → N đều tồn tại một đồng cấu

h : P → M sao cho f = gh Môđun P được gọi là xạ ảnh nếu P là

M -xạ ảnh với mọi môđun M thuộc Mod-R

Nhóm aben Q được gọi là chia được (divisible) nếu Q = nQ với mọi

n là một số nguyên khác không Một số kết quả sau là mối liên hệ giữalớp nhóm này với môđun nội xạ

1.2.7 Bổ đề Nhóm aben Q là chia được nếu và chỉ nếu Q là Z- môđunnội xạ

1.2.8 Bổ đề Nếu Q là nhóm aben chia được thì R- môđun trái HomZ(RR, Q)

là nội xạ

1.2.9 Mệnh đề Mọi R- môđun phải (trái) đều có thể nhúng được trongmột R- môđun nội xạ phải (trái)

Từ Định lý 1.2.5 ta có một đặc trưng của lớp vành nửa đơn

1.2.10 Hệ quả Vành R là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi R- môđun lànội xạ

Một khái niệm khá quan trọng của môđun nội xạ đó là bao nội xạ(xem Định nghĩa 1.2.3) Ví dụ từ Q là chia được, Q là nhóm cộng các

số hữu tỷ như một Z- môđun do đó Q là Z- nội xạ Mặt khác đồng cấu

bao hàm i : Z → Q là đồng cấu cốt yếu do đó (Q, i) là bao nội xạ của

Z Định lý sau là một trong những kết qủa khẳng định sự tồn tại baonội xạ của các môđun

1.2.11 Định lý Mọi R- môđun phải MR (trái RM ) đều có bao nội xạE(MR) (E(RM )) và sự tồn tại đó là duy nhất theo nghĩa sai khác nhaumột đẳng cấu

Giữa các tính chất khác của bao nội xạ ta có bổ đề sau

1.2.12 Mệnh đề Trong phạm trù các R- môđun phải (trái) trên vành

R ta có:

1 M là nội xạ nếu và chỉ nếu M = E(M )

2 Nếu M ⊂∗ N thì E(M ) = E(N )

3 Nếu ⊕AE(Mα) là nội xạ, với A là tập hữu hạn các chỉ số, thìE(⊕AMα) = ⊕AE(Mα)

Như chúng ta đã có trong Mệnh đề 1.2.4, hạng tử trực tiếp của mộtmôđun nội xạ là môđun nội xạ Vấn đề đặt ra là, liệu tổng trực tiếp củacác môđun nội xạ có là môđun nội xạ hay không Điều này chỉ đúngtrong một số trường hợp cụ thể Chẳng hạn chúng ta có câu trả lời trongmệnh đề sau

1.2.13 Mệnh đề Trên vành R, các điều kiện sau là tương đương:

1 Mọi tổng trực tiếp của các R- môđun nội xạ phải (trái) là môđunnội xạ phải (trái)

2 Nếu (Mα)α∈A là một họ các R- môđun phải (trái) thì E(⊕AMα) =

⊕AE(Mα)

3 R là vành Noether phải (trái)

Khái niệm nội xạ có nhiều hướng mở rộng khác nhau, chẳng hạn như:

mở rộng thông qua các điều kiện C1, C2, C3 chúng ta có các khái niệmCS-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục

Cho MR là R- môđun phải Ta xét các điều kiện sau:

• (C1) : Mọi môđun con của MR là cốt yếu trong một hạng tử trựctiếp của MR Hay nói cách khác, mọi môđun con đóng trong MR

là hạng tử trực tiếp của MR

• (C2) : Nếu A và B là các môđun con của MR đẳng cấu với nhau và

A là hạng tử trực tiếp của MR thì B cũng là hạng tử trực tiếp của

MR được gọi là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu MR thỏa mãn cácđiều kiện (C1) và (C3) Môđun MR được gọi là (1 − C1)- môđun (uniformextending) nếu MR thỏa mãn điều kiện (1 − C1)

Từ các định nghĩa trên chúng ta có dãy kéo theo sau đây:

Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1 − C1)

Sử dụng các khái niệm trên cho vành R khi xét R như một R-môđuntrên chính nó chúng ta có các khái niệm tương ứng

1.2.15 Định nghĩa Vành R được gọi là CS (liên tục, tựa liên tục)vành phải nếu RR là một CS (liên tục, tựa liên tục) môđun phải trênchính nó.

Tương tự chúng ta có các khái niệm CS-vành trái, vành liên tục trái

và vành tựa liên tục trái

CHƯƠNG 2MÔĐUN MIN NỘI XẠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Các kết quả ở chương này chúng tôi chủ yếu tham khảo trong tàiliệu [8] và được trình bày lại một cách cụ thể hơn theo sự hiểu biết củamình

2.1.1 Định nghĩa Cho vành R Môđun MR được gọi là min nội xạ(mininjective) hay nội xạ tối tiểu nếu với mọi iđêan phải đơn K của R,mỗi đồng cấu f : K → MR đều tồn tại một đồng cấu f : R → M saocho f = f ◦ i , trong đó i là phép nhúng K vào R Hay nói cách khác

f = m∗ là một phép nhân bởi phần tử m ∈ M Vành R được gọi làvành min nội xạ phải nếu RR là môđun min nội xạ

2.1.2 Nhận xét (i) Vành R là min nội xạ phải nếu và chỉ nếu với mọiiđêan phải đơn K của R, mọi R- đồng cấu f : K → RR đều có thể mởrộng thành đồng cấu f : RR → RR

(ii) Mọi vành tự nội xạ phải là min nội xạ phải

(iii) Vành thỏa mãn điều kiện mọi iđêan phải đơn là hạng tử trực tiếp

là vành min nội xạ phải Do đó, mọi vành có đế phải bằng không là minnội xạ phải

2.1.3 Ví dụ 1 Vành nửa nguyên tố (giao của tất cả các iđêan nguyên

tố của vành R bằng 0) là vành min nội xạ hai phía vì mọi iđêanphải hoặc trái của vành nửa nguyên tố đều là hạng tử trực tiếp củachính nó

2 Vành các số nguyên Z là vành giao hoán, noether, min nội xạ nhưngkhông là vành tự nội xạ.

3 Mọi vành đa thức R[x] là vành min nội xạ hai phía

Chúng ta có một số tính chất của lớp vành min nội xạ qua bổ đề sau:2.1.4 Bổ đề Cho vành R Các điều kiện sau tương đương:

1 Vành R là min nội xạ phải

2 Nếu kR là iđêan đơn, k ∈ R, thì lr(k) = Rk

3 Nếu kR là iđêan đơn và r(k) ⊆ r(a), k, a ∈ R, thì Ra ⊆ Rk

4 Nếu kR là iđêan đơn và f : kR → R là một đồng cấu tuyến tính,

k ∈ R, thì f (k) ∈ Rk

Chứng minh Chúng ta sẽ chứng minh (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1).(1) ⇒ (2) : Ta luôn có Rk ⊆ lr(k) (1) Để chứng minh chiều ngược lại

ta giả sử a ∈ lr(k) thì r(k) ⊆ r(a) Đặt f : kR → R xác định như sau:

f (kr) = ar Do R là vành min nội xạ phải và kR là một iđêan đơn nêntheo định nghĩa ta có f = c∗, trong đó c∗ là phép nhân trái bởi phần tử

c nào đó thuộc R Khi đó a = f (k) = ck ∈ Rk, suy ra lr(k) ⊆ Rk (2)

Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét một đặc trưng khác của lớp môđunnửa đơn (xem 1.1.10)

2.1.5 Định nghĩa Một môđun nửa đơn được gọi là không chính phương(square- free) nếu nó chứa nhiều nhất một môđun đơn nào đó.

Với kí hiệu Sr là đế phải của vành R, chúng ta có kết quả sau

2.1.6 Bổ đề Trên vành R, các điều kiện sau là tương đương:

1 Đế phải Sr của vành R là không chính phương

2 Nếu kR là iđêan đơn và γ : kR → R là một đồng cấu tuyến tính,

k ∈ R, thì γ(k) ∈ kR

3 Nếu kR là iđêan đơn, k ∈ R, thì lr(k) ⊆ kR

Chứng minh Chúng ta sẽ chứng minh theo lược đồ sau:

(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1)

• (1) ⇒ (2): Giả sử γ : kR → R là một đồng cấu tuyến tính, khi đóγ(k)R = γ(kR) Theo (1), đế phải Sr của vành R là không chínhphương nên ta có γ(kR) ⊆ kR

• (2) ⇒ (3): Giả sử a ∈ lr(k), lấy linh hóa tử phải hai vế ta cór(k) ⊆ r(a) Từ tính chất (2), γ(kr) = ar và γ là đồng cấu tuyếntính nên γ(kr) = γ(k).r Suy ra a = γ(k) ∈ kR

• (3) ⇒ (1): Đặt đế phải Sr = M Do kR là một iđêan đơn (giả thiết(3)) nên hiển nhiên chúng ta có kR ⊆ Sr = M (1) Xét đẳng cấugiữa các iđêan phải đơn γ : kR → M Theo cách chứng minh ởtrên, ta có thể viết γ(k) = m, với m là phần tử nào đó trong M Khi đó r(k) ⊆ r(m), suy ra m ∈ lr(k) ⊆ kR, theo tính chất (3)

Do vậy ta có M = Sr ⊆ kR (2) Từ (1) và (2) ta thấy Sr = M = kR

là một iđêan đơn và do vậy Sr không chính phương

Tương tự khái niệm vành chính quy mạnh (strongly regular), vành Rđược gọi là vành C2 phải mạnh (strongly right C2) nếu Mn(R) là vành

C2 phải với mọi n ≥ 1 Nếu vành R là C2 phải mạnh thì R là vành C2phải (xem Theorem 7.14, [8]) Tuy nhiên, điều ngược lại không hoàntoàn chính xác (xem Theorem 7.15, [8])

Đối với lớp vành min nội xạ mối liên hệ này như thế nào Câu trả lời

sẽ được đưa ra trong Định lý 2.1.10 Để đưa ra chứng minh của định lý,trước hết ta cần làm sáng tỏ một số bổ đề sau

2.1.7 Bổ đề Nếu R là vành min nội xạ phải và với mọi e ∈ R thỏamãn e2 = e, thì ReR = R

Chứng minh Đặt S = eRe và ký hiệu rS(k), rS(a) lần lượt là linh hóa

tử phải của k và a trong S Khi đó, rS(k) ⊆ rS(a), k, a ∈ S và kS là mộtiđêan phải đơn của S Trước hết ta khẳng định rằng kR là một iđêanphải đơn trong R Nếu kr 6= 0, r ∈ R thì krReR 6= 0 và khi đó tồn tại

t ∈ R sao cho 0 6= krte = (ke)rte ∈ kS Suy ra k ∈ krteS ⊆ krR, trong

đó kR là iđêan đơn Sử dụng Bổ đề 2.1.4 ta có rR(k) ⊆ rR(a) và do đó

a ∈ Rk, a = ea ∈ eRk = Sk Điều chúng ta cần chứng minh

Nếu kx = 0, x ∈ R, ta biểu diễn 1 = Σni=1aiebi, trong đó ai, bi ∈ R.Khi đó k(exaie) = 0 với mỗi i, và do đó a(exaie) = 0 Mặt khác, do

a = ae nên ax = Σni=1axaiebi = 0 Ta kết thúc chứng minh bổ đề

2.1.8 Định nghĩa Một iđêan phải T của vành R được gọi là mở rộngđược (extensive) nếu mọi R - đồng cấu γ : T → RR đều có thể mở rộngđược thành đồng cấu từ RR → RR

Như vậy, vành R là min nội xạ phải nếu và chỉ nếu mọi iđêan phảiđơn K của R đều là các iđêan có thể mở rộng được

2.1.9 Bổ đề Cho K là một iđêan phải đơn của vành R Nếu dK 6= 0

là một iđêan có thể mở rộng được, với d nào đó trong R, thì K cũng làiđêan có thể mở rộng được