về lớp môđun đối cohen - macaulay dãy

Cấu trúc của lớp môđunnày đã được biết đến thông qua dãy đối chính quy, đồng điều địa phương,xem [3], [4], [6], [19],....Tương tự như các ý tưởng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay trongph

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————-ĐỖ THỊ THU GIANG

VỀ LỚP MÔĐUN ĐỐI COHEN - MACAULAY DÃY

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ DUNG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

phương 131.5 Dãy đối chính quy và môđun đối Cohen-Macaulay 16

2.1 Môđun Cohen-Macaulay 182.2 Môđun Cohen-Macaulay dãy 19

3.1 Lọc chiều cho môđun Artin 283.2 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy 353.3 Đặc trưng của môđun đối Cohen-Macaulay dãy 38

Tài liệu tham khảo 48

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trườngĐại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy

và khích lệ, động viên tôi vượt qua được những lúc khó khăn trong họctập

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đạihọc Thái Nguyên, khoa Sau đại học, sở GD - ĐT và trường THPT CaoBình tỉnh Cao Bằng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốtthời gian tôi học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộtôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học củamình

Đã có nhiều hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay để cho tanhững lớp môđun mới, chứa thực sự và vẫn còn có nhiều tính chất tương tựlớp môđun Cohen-Macaulay Trước tiên phải kể đến lớp môđun Buchsbaum

và lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng do các nhà toán học W Vogel và

J Stuckrad, Nguyễn Tự Cường, P Schenzel và Ngô Việt Trung phát hiệnvào những năm 1970, khi trả lời giả thuyết của D A Buchsbaum

Một trong những hướng mở rộng khác của lớp môđun Cohen-Macaulay

là lớp môđun Cohen-Macaulay dãy lần đầu tiên được đưa ra bởi R P.Stanley [18] cho các môđun phân bậc hữu hạn sinh, sau đó được P Schenzel[15], Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [6] định nghĩa cho trường hợpvành địa phương Lớp các môđun Cohen-Macaulay dãy cũng chứa thực sựlớp các môđun Cohen-Macaulay và cấu trúc của chúng đã được biết đếnbởi [6], [15], [18], thông qua dãy, đầy đủ theo tô pô m-adic, địa phươnghóa, đối đồng điều địa phương, và hiện nay, lớp môđun này vẫn đangđược quan tâm nghiên cứu

Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đóng vai trò quan trọngtương tự như lớp môđun Cohen-Macaulay đã được nhiều nhà toán họcnghiên cứu và gọi là môđun đối Cohen-Macaulay Cấu trúc của lớp môđunnày đã được biết đến thông qua dãy đối chính quy, đồng điều địa phương,(xem [3], [4], [6], [19], ).

Tương tự như các ý tưởng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay trongphạm trù các môđun Noether, hai lớp môđun đối Cohen-Macaulay suyrộng và đối Buchsbaum đã được đưa ra và chúng chứa thực sự lớp môđunđối Cohen-Macaulay và có những đặc trưng, tính chất tương tự như lớpmôđun Cohen-Macaulay suy rộng và Buchsbaum đã quen biết trong phạmtrù các môđun Noether Tiếp theo đó, thông qua lý thuyết chiều Noether,lọc chiều cho môđun Artin đã được xây dựng, từ đó dẫn đến việc đưa ralớp môđun đối Cohen-Macaulay dãy như là một sự mở rộng khác của lớpmôđun đối Cohen-Macaulay (xem [7])

Mục đích của luận văn là trình bày lại một số nghiên cứu về hai lớpmôđun Cohen-Macaulay dãy và môđun đối Cohen-Macaulay dãy tronghai bài báo "On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules" của N T Cuong and L T Nhan [6] và "On sequentiallyco-Cohen-Macaulay modules" của N T Dung [7]

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 3 chương

Để tiện theo dõi, chương 1 dành để tóm tắt lại những kết quả chungnhất về môđun Artin được sử dụng trong các chương tiếp theo: Phươngpháp nghiên cứu môđun Artin, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, hệ tham

số, số bội, đồng điều địa phương cho môđun Artin, dãy đối chính quy vàmôđun đối Cohen-Macaulay

Toàn bộ nội dung chính của luận văn nằm trong chương 2 và chương 3.Chương 2 trình bày lại một phần trong bài báo [6] Đó là một số kết quả

về lớp môđun được gọi là Cohen-Macaulay dãy có tính chất là tồn tại một

(a) Mỗi thương Ni/Ni−1 là Cohen-Macaulay

(b) dim(N1/N0) < dim(N2/N1) < < dim(Nt/Nt−1)

Lớp môđun này có quan hệ chặt chẽ với các lớp môđun Cohen-Macaulay,Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng, giả Cohen-Macaulay, đã đượcnghiên cứu trước đây Cấu trúc của lớp môđun này được đặc trưng quađịa phương hóa, đầy đủ theo tô pô m-adic, đặc biệt chúng được đặc trưngqua đối đồng điều địa phương như sau

Định lý 2.2.9 Cho 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M là một lọc chiều của

M và dim Mi = di với mọi i = 1, , t Giả sử R là vành có phức đốingẫu Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) M là Cohen-Macaulay dãy

(ii) Với mọi j = 0, 1, , d các môđun Kj(M ) hoặc bằng không hoặc làCohen-Macaulay chiều j

(iii) Với mọi j = 0, 1, , d − 1 các môđun Kj(M ) hoặc bằng khônghoặc là Cohen-Macaulay chiều j

Chương 3 dành để trình bày lại các kết quả về một mở rộng của lớpmôđun đối Cohen-Macaulay: R-môđun Artin A được gọi là đối Cohen-Macaulay dãy nếu A có một lọc các môđun con

0 = B0 ⊂ B1 ⊂ ⊂ Bt−1 ⊂ Bt = A

sao cho Bi/Bi−1 là môđun đối Cohen-Macaulay, với mọi i = 1, , t và

N-dim A/Bt−1 < N-dim A/Bt−2 < < N-dim A/B0 = d

Lớp môđun này chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay và cũng

có nhiều tính chất tương tự lớp môđun Cohen-Macaulay dãy Nội dungchương này nằm trong bài báo [7], trong đó đưa ra các khái niệm lọc chiềucho môđun Artin, môđun đối Cohen-Macaulay dãy và một số đặc trưng,

tính chất của chúng Hơn nữa, với cấu trúc đặc biệt của môđun Artin, ta

có thể thấy rằng A là R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi

A là bR-môđun đối Cohen-Macaulay dãy, trong khi đó lại không có tínhchất tương tự như vậy đối với môđun Cohen-Macaulay dãy (xem [15, Ví

dụ 6.1]) Một trong những kết quả chính của Chương 3 là đặc trưng đồngđiều của môđun đối Cohen-Macaulay dãy như sau

Định lý 3.3.3 Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) A là môđun đối Cohen-Macaulay dãy

(ii) Với mọi j = 0, 1, , d, môđun Hjm(A) hoặc bằng 0 hoặc là bRmôđun Cohen-Macaulay chiều j

-(iii) Với mọi j = 0, 1, , d − 1, môđun Hjm(A) hoặc bằng 0 hoặc làb

R-môđun Cohen-Macaulay chiều j

Ta đã biết rằng nếu xlà một phần tử chính quy của M thìM là môđunCohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M/xM cũng là môđun Cohen-Macaulay

P Schenzel [15] đã chứng minh một kết quả tương tự cho môđun Macaulay dãy Tuy nhiên, đã có phản ví dụ chỉ ra rằng điều trên là khôngđúng (Chú ý 3.3.10) Vì vậy, ở đây lại đặt ra vấn đề là tìm điều kiện chophần tử tham số x để có thể đặc trưng được tính đối Cohen-Macaulay dãykhi chia cho phần tử tham số Các kết quả thu được như sau

Cohen-Định lý 3.3.5 Cho x ∈ m Giả sử rằng x /∈ p với mọi p ∈ Att A \ {m}

Khi đó A là môđun đối Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu hai điều kiệnsau thoả mãn

(a) x /∈bp, với mọi bp ∈

(b) 0 :A x là môđun đối Cohen-Macaulay dãy

Từ Định lý 3.3.5, ta thu lại được một kết quả cho môđun Macaulay dãy, (Hệ quả 3.3.8), đồng thời chỉ ra rằng Định lý 4.7 của P.Schenzel trong [15] là không đúng

Cohen-Chương 1

Môđun Artin

Như chúng ta đã biết, môđun Noether đóng vai trò quan trọng trongĐại số giao hoán và Hình học đại số mà cấu trúc của chúng đã được biết

rõ thông qua các lý thuyết cơ bản của Đại số giao hoán: phân tích nguyên

sơ, bội, chiều Krull, đối đồng điều địa phương, Đã có nhiều tác giảnghiên cứu về môđun Artin và đưa ra một số lý thuyết - theo một nghĩanào đó được xem là tương ứng đối ngẫu với một số lý thuyết quen biếttrong phạm trù các môđun Noether: biểu diễn thứ cấp, bội, chiều Noether,đồng điều địa phương, (xem [3], [4], [5], [8], [9], [10], [13], [14], [19], ).Mục đích của chương này là hệ thống lại một số kết quả về môđunArtin được dùng trong các chương sau Trong toàn bộ chương này, ta luôn

ký hiệu R là vành giao hoán, Noether không nhất thiết địa phương (giảthiết địa phương khi cần sẽ được nêu trong từng trường hợp cụ thể), A là

R-môđun Artin

A = Γm1(A) ⊕ ⊕ Γmr(A) và Supp A = {m1, ,mr}.

(ii) Với mỗi j ∈ {1, , r}, nếu s ∈ R \ mj, thì phép nhân bởi s cho tamột tự đẳng cấu của Γmj(A) Do đó Γmj(A) có cấu trúc tự nhiên của một

Rmj-môđun và với cấu trúc này, một tập con của Γmj(A) là một R-môđuncon nếu và chỉ nếu nó là Rmj-môđun con Đặc biệt

Amj ∼= Γ

m j(A), với mọi j = 1, , r

Kí hiệu 1.1.2 Để cho thuận tiện, từ giờ trở đi ta đặt

Cho (R,m) là vành địa phương Nhắc lại rằng đầy đủ theo tô pô m-adiccủaR, ký hiệu bởi bR, là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy theoquan hệ tương đương xác định bởi cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan

mt, t = 0, 1, 2, bR được trang bị hai phép toán hai ngôi: phép cộng,phép nhân các dãy Cauchy và cùng với hai phép toán này, bR làm thànhmột vành Mỗi phần tử r ∈ R có thể đồng nhất với lớp tương đương củadãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r (xem [11]).

Mệnh đề 1.1.3 [16, Bổ đề 1.11, Hệ quả 1.12] Cho A là R-môđun Artinkhác không trên vành địa phương (R,m) Khi đó, A có cấu trúc tự nhiêncủa bR-môđun, trong đó bR là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R và mọitập con của A là R-môđun con của A nếu và chỉ nếu nó là bR-môđun concủa A Do đó, A có cấu trúc tự nhiên của bR-môđun Artin

Cho (R,m) là vành địa phương, đầy đủ Đặt E = E(R/m) là bao nội

xạ của trường thặng dư R/m Kí hiệu D() = HomR(, E) Khi đó ta cókết quả sau của E Matlis (xem [16, Định lý 2.1])

Mệnh đề 1.1.4 (i) R-môđun E là Artin Với mỗi f ∈ HomR(E, E), tồntại duy nhất af ∈ R : f (x) = afx, ∀x ∈ E

(ii) Nếu N là R-môđun Noether, thì D(N ) là Artin

(iii) Nếu A là R-môđun Artin, thì D(A) là Noether

(iv) Ann M = Ann D(M ), và nếu M là R-môđun sao cho `R(M ) < ∞,thì `R(D(M )) = `R(M )

Khái niệm phân tích đối nguyên sơ cho các môđun Artin được nghiêncứu bởi D Kirby và D G Northcott Sau đó I G Macdonald [10] đã trìnhbày lại khái niệm này một cách tổng quát cho môđun tuỳ ý và ông gọi đó

là biểu diễn thứ cấp để tránh nhầm lẫn với khái niệm đối nguyên sơ đãđịnh nghĩa cho các môđun Noether Trong luận văn này, chúng tôi dùngtheo thuật ngữ của I G Macdonald [10]

Định nghĩa 1.2.1 (i) Một R-môđun M được gọi là thứ cấp nếu M 6= 0

và nếu với mọi x ∈ R, phép nhân bởi x trên M là toàn cấu hoặc luỹ linh.Trong trường hợp này Rad(AnnRM ) là iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p,

và ta gọi M là p-thứ cấp

(ii) Cho M là R-môđun Một biểu diễn thứ cấp của M là một phân tích

M = N1 + + Nn thành tổng hữu hạn các môđun con pi-thứ cấp Ni

được Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên

tố pi là đôi một khác nhau và không có hạng tử Ni nào là thừa, với mọi

i = 1, , n

Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể đưa được vềdạng tối thiểu Khi đó tập hợp {p1, ,pn} là độc lập với việc chọn biểudiễn thứ cấp tối thiểu của M và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắnkết của M, kí hiệu bởi AttRM Các hạng tử Ni, i = 1, , n, được gọi làcác thành phần thứ cấp của M

Mệnh đề 1.2.2 i) ChoM là một R-môđun biểu diễn được Khi đóM 6= 0

khi và chỉ khi AttRM 6= ∅ Trong trường hợp này tập các iđêan nguyên

tố tối thiểu của R chứa Ann(M ) chính là tập các phần tử tối thiểu của

AttRM

(ii) Cho 0 −→ M0 −→ M −→ M00 −→ 0 là dãy khớp các R-môđun biểudiễn được Khi đó ta có

AttRM00 ⊆ AttRM ⊆ AttRM0∪ AttRM00

Cho A là một R-môđun Artin Khi đó, A là biểu diễn được Hơn nữa,theo Mệnh đề 1.1.1 và Mệnh đề 1.1.3, A có cấu trúc tự nhiên của Rmj-môđun Artin và bRmj-môđun Artin, với mj ∈ Supp A, j = 1, , r Từ đó

ta có các kết quả sau (xem [16, Bổ đề 1.8, Hệ quả 1.12, Hệ quả 2.7]).Mệnh đề 1.2.3 Các mệnh đề sau là đúng

(i) AttRmj A = {pRmj : p ∈ AttRA}.

(ii) AttRmj A = {bq∩ R :bq ∈ Att

b

Rmj A}

(iii) Nếu R là vành địa phương, đầy đủ, thì ta có

a) Nếu N là R-môđun Noether, thì AttR(D(N )) = AssR(N )

b) Nếu A là R-môđun Artin, thì AssR(D(A)) = AttR(A)

Nhắc lại rằng một dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊆ p1 ⊆ ⊆ pn, trong

đó pi 6= pi+1 được gọi là dãy nguyên tố có độ dài n Khi đó chiều Krull củavành R, ký hiệu là dim R là cận trên của độ dài của các dãy iđêan nguyên

tố trong R Chiều Krull của môđun M, ký hiệu là dim M là cận trên củacác số n sao cho có một dãy nguyên tố có độ dài n trong Supp M Vì M

là môđun hữu hạn sinh nên ta có Supp M = V (AnnRM ), do đó

Định nghĩa 1.3.1 Chiều Noether của môđun ArtinA, ký hiệu bởiN-dimRA,

được định nghĩa bằng quy nạp như sau:

N-dimRA < d là sai và với mỗi dãy tăng A0 ⊆ A1 ⊆ các môđuncon của A, tồn tại số nguyên n0 sao cho N-dimR(An+1/An) < d, với mọi

n > n0

Đã có nhiều tác giả nghiên cứu cấu trúc của các môđun Artin A thôngqua chiều Noether của chúng và một số tính chất của chiều Noether chomôđun Artin được xem là đối ngẫu với một số tính chất của chiều Krullcho môđun hữu hạn sinh đã được đưa ra (xem [5], [9], [14], ) Đặc biệt

là kết quả sau được R N Roberts [14, Định lý 6] chứng minh cho trườnghợp vành tựa địa phương và sau đó được Nguyễn Tự Cường và Lê ThanhNhàn [4, Định lý 2.6] chứng minh cho trường hợp vành giao hoán bất kỳ.Định lý 1.3.2 `R(0 :A JAn) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n  0 và

N-dim A = deg(`(0 :A JAn))

= inf{t : ∃x1, , xt ∈ JA saocho `(0 :A (x1, , xt)R) < ∞}

Các kết quả sau đây (xem [5, Mệnh đề 2.4, Hệ quả 2.5, Định lý 3.1, Hệquả 3.6], [9, Mệnh đề 2.3] và [16, Hệ quả 1.6, Hệ quả 1.12]) thường đượcdùng trong các chứng minh về sau của luận văn

Bổ đề 1.3.3 i) Giả sử rằng A = A1⊕ ⊕ Ar là một phân tích A thànhtổng trực tiếp các môđun con Aj như trong Kí hiệu 1.1.2 Khi đó,

N-dimRAj = N-dimRmj(Aj),với mọi j = 1, , r

(ii) Cho (R,m) là vành địa phương và A là R-môđun Artin Khi đó A cócấu trúc tự nhiên của bR-môđun Artin và ta có

là dãy khớp các R-môđun Artin thì

N-dimRA = max{N-dimRA0, N-dimRA”}

(ii) N-dim A 6 dim R/ AnnRA = max{dim R/p : p ∈ AttRA} và tồntại môđun Artin A sao cho N-dim A < dim R/ AnnRA.

(iii) N-dim A = dimR/ Annb

b) N-dim Hmi(M ) 6 i với mọi i 6 d − 1

Định lý 1.3.2 cho phép ta đưa ra khái niệm hệ bội, số bội, hệ tham sốcủa một môđun Artin A (xem [4]) Nhắc lại rằng một hệ x = (x1, , xt)

các phần tử trong JA sao cho `(0 :A xR) < ∞ được gọi là một hệ bội của

A Trường hợp t = 0 thì ta hiểu `R(A) < ∞ Khi t = N-dim A = d thì hệ

x = (x1, , xd) được gọi là hệ tham số của A Một phần tử x ∈ JA đượcgọi là phần tử tham số củaAnếu và chỉ nếuN-dim(0 :A x) = N-dim A − 1

Bằng cách mở rộng chứng minh trong [19, Bổ đề 2.14] lên vành giao hoán,chúng ta có kết quả sau

Bổ đề 1.3.5 Cho A = B1 + + Bn là một biểu diễn thứ cấp tối thiểucủa A, với Bi là pi-thứ cấp Khi đó x ∈ JA là phần tử tham số của A nếu

và chỉ nếu x /∈ pi, với mọi pi sao cho N-dim Bi = d, với mọi i 6 n

đồng điều địa phương

Trước hết, ta nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa phương củamột môđun tuỳ ý

Định nghĩa 1.4.1 Cho I là một iđêan của vành Noether R và M là một

R-môđun Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với iđêan I,

ký hiệu là HIi(M ) được định nghĩa bởi

HIi(M ) = Ri(ΓI(M )),

trong đó Ri(ΓI(M )) là môđun dẫn suất phải thứ i của hàm tử I-xoắn

ΓI() ứng với M

Khi đó, do tính chất δ-hàm tử đối đồng điều của môđun đối đồng điều địaphương, với mọi i ∈ N ta có dãy khớp dài

Tiếp theo là tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương

Định lý 1.4.3 [1, Định lý 7.1.3, Định lý 7.1.6] (i) Cho (R,m) là vành địaphương, M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, R-môđun Hmi(M ) là Artinvới mọi i ∈ N0

(ii) Cho (R,m) là vành địa phương, I là một iđêan bất kì của R, M là

R-môđun hữu hạn sinh, khác không có chiều Krull dim M = d Khi đó,

phương HIi(M )là Artin, với mọi i = 1, , t.Khi đó với mọii = 0, 1, , t

ta có

N-dimR(HIi(M )) 6 i

(ii) Cho M là môđun hữu hạn sinh với dim M = d và I là iđêan của R

sao cho môđun Artin HId(M ) là khác 0 Khi đó

N-dimR(HId(M )) = d

và do đó, HId(M ) không là hữu hạn sinh nếu d > 0

Mệnh đề 1.4.5 Cho (R,m) là vành địa phương, M hữu hạn sinh vớichiều dim M = d Khi đó

AttR(Hmd(M )) = {p ∈ AssRM | dim R/p = d}

Tiếp theo là khái niệm và một số tính chất của môđun đồng điều địaphương được đưa ra bởi Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam [3]

Định nghĩa 1.4.6 [3, Định nghĩa 3.1] Cho I là một iđêan của vànhNoether R và M là một R-môđun Môđun đồng điều địa phương thứ i

HiI(M ) của M ứng với iđêan I được định nghĩa bởi

nhắc ở tiết trước, chiều Noether là một khái niệm được dùng để đi đến cáckhái niệm hệ tham số, số bội cho môđun Artin Ở đây, khái niệm chiềuNoether một lần nữa lại được sử dụng để chứng minh tính triệt tiêu củamôđun đồng điều địa phương như sau.

Mệnh đề 1.4.8 [3, Mệnh đề 4.8] HiI(A) = 0, với mọi i > N-dim A

Khái niệm dãy đối chính quy cho một môđun tuỳ ý được nghiên cứubởi A Ooishi [13], ở đó ông đã đưa ra một số tính chất cơ bản của dãy đốichính quy khi môđun là Artin Các khái niệm và tính chất này theo mộtnghĩa nào đó đối ngẫu với các khái niệm và tính chất của dãy chính quycho môđun hữu hạn sinh trên vành Noether

Định nghĩa 1.5.1 Cho M là một R-môđun tuỳ ý Một dãy các phần tử

x1, , xr trong R được gọi là dãy đối chính quy của M (hay M-dãy đốichính quy) nếu thoả mãn các điều kiện sau

(i) (0 :M (x1, , xr)R) 6= 0

(ii) xi(0 :M (x1, , xi−1)R) = (0 :M (x1, , xi−1)R), với 16 i 6 r

Đặc biệt, phần tử x ∈ R gọi là phần tử M-đối chính quy nếu xM = M

Chú ý rằng, đối với môđun Artin A khác không trên vành giao hoán R,nếu các phần tử x1, , xn ∈ JA, thì điều kiện (0 :A (x1, , xr)R) 6= 0

trong Định nghĩa 1.5.1 luôn được thoả mãn

Cho Alà R-môđun Artin và I là một iđêan của R sao cho(0 :A I) 6= 0

Khi đó độ dài của mỗi A-dãy đối chính quy trong I là hữu hạn và hai dãyđối chính quy tối đại trong I có chung độ dài Vì thế ta có định nghĩa sau.Định nghĩa 1.5.2 Độ rộng của A trong I, ký hiệu là WidthIA, là độdài của một A-dãy đối chính quy tối đại trong I Đặc biệt, nếu I = m thì

ta gọi WidthmA là độ rộng của A trong m và ký hiệu là Width A

Mệnh đề 1.5.3 (xem [19, Mệnh đề 1.12]).

(i) WidthI(A) = inf{n : TorRn(A; R/I) 6= 0}

(ii) Nếu x ∈ JA là phần tử A-đối chính quy thì

Do đó, mỗi A-dãy đối chính quy là một phần hệ tham số của A và vì thế

WidthJA(A) 6 N-dim A

Khái niệm môđun đối Cohen-Macaulay được giới thiệu bởi [19, Địnhnghĩa 2.12] trên vành tựa địa phương như sau

Định nghĩa 1.5.4 Cho (R,m) là vành tựa địa phương Một R-môđunArtin A được gọi là môđun đối Cohen-Macaulay nếu

(i) A là môđun đối Cohen-Macaulay

(ii) Tồn tại một hệ tham số của A là A-dãy đối chính quy

(iii) Tồn tại một hệ tham số của A sao cho e(x; A) = `(0 :A xR)

(iv) Him(A) = 0, với mọi i 6= N-dim A

Chương 2

Môđun Cohen-Macaulay dãy

Trong toàn bộ chương này, ta luôn ký hiệu (R,m) là vành địa phươngNoether, M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Mụcđích của chương này là giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy

và một số tính chất của lớp môđun này Kết quả chính của chương là đưa

ra đặc trưng của lớp môđun Cohen-Macaulay dãy qua đối đồng điều địaphương

Lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò quan trọng và chúng đã đượcbiết đến một cách khá trọn vẹn thông qua nhiều lý thuyết quan trọng củaĐại số giao hoán: Phân tích nguyên sơ, đối đồng điều địa phương Định nghĩa 2.1.1 Một R-môđun hữu hạn sinh M được gọi là môđunCohen-Macaulay nếu depth M = dim M

Sau đây là một số tính chất của môđun Cohen-Macaulay thông quachiều, dãy chính quy và địa phương hoá

Mệnh đề 2.1.2 Cho M là môđun Cohen-Macaulay trên vành địa phương

(R,m), với dim M = d Khi đó

(ii) Nếu (x1, , xt) là một dãy chính quy của M thì M là Macaulay nếu và chỉ nếu Mt = M/(x1, , xt)M cũng là Cohen-Macaulay.

Cohen-(iii) Mp là Cohen-Macaulay, với mọi p ∈ SuppRM

Tiếp theo là đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay qua hệ tham số vàđối đồng điều địa phương

Định lý 2.1.3 Cho M là R-môđun, với dim M = d Khi đó các mệnh đềsau tương đương:

(i) M là R-môđun Cohen-Macaulay

(ii) Mọi hệ tham số của M đều là dãy chính quy

(iii) Hmi(M ) = 0 với mọi i 6= d

Môđun Cohen-Macaulay dãy được giới thiệu đầu tiên bởi R P Stanley[18, Định nghĩa 2.9] cho các môđun phân bậc hữu hạn sinh Sau đó, kháiniệm này được giới thiệu cho trường hợp môđun trên vành địa phương.Các kết quả trong tiết này được trích từ [6] và [15]

Định nghĩa 2.2.1

(i) Một lọc 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt = M các môđun con của M đượcgọi là lọc chiều củaM nếu Mi−1 là môđun con lớn nhất củaMi và có chiềunhỏ hơn thực sự dim Mi với mọi i = 1, , t

(ii) Một lọc 0 = N0 ⊂ N1 ⊂ ⊂ Nt = M các môđun con của M đượcgọi là một lọc Cohen-Macaulay nếu

(a) Mỗi thương Ni/Ni−1 là Cohen-Macaulay

(b) dim(N1/N0) < dim(N2/N1) < < dim(Nt/Nt−1)

Định nghĩa 2.2.2 Ta nói M là một môđun Cohen-Macaulay dãy nếutồn tại một lọc Cohen-Macaulay của M

Bổ đề sau cho thấy lọc chiều luôn tồn tại và ta có thể tính toán cácmôđun con trong lọc chiều thông qua phân tích nguyên sơ của môđun con

Chứng minh (i) Đặt M0 = 0 Kí hiệu Ω là tập tất cả các môđun con của

M có chiều nhỏ hơn dim M = d Khi đó Ω 6= ∅ vì 0 = M0 ⊂ M Vì M làNoether nênΩ có phần tử cực đại, chẳng hạn làMt−1.Ta chứng minhMt−1

là môđun con lớn nhất trong Ω Thật vậy, giả sử N là một phần tử tuỳ ýcủa Ω, khi đó dim N < d Từ dãy khớp 0 −→ Mt−1∩ N −→ Mt−1⊕ N ta

có dim(Mt−1∩N ) 6 dim(Mt−1⊕N ) < dim M = d.Do đó, Mt−1∩N ∈ Ω

Vì Mt−1 là phần tử cực đại nên N ⊆ Mt−1.Khi đó Mt−1 là môđun con lớnnhất trongΩ Tương tự như vậy, ta tìm được Mt−2 là môđun con lớn nhấtcủa Mt−1 có tính chất dim Mt−2 < dim Mt−1 Tiếp tục quá trình trên, tatìm được M2, M1 Vậy lọc chiều của M luôn tồn tại và duy nhất

(ii) Giả sử 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt0 = M là lọc chiều của M và

dim(N1/N0) < dim(N2/N1) < < dim(Nt/Nt−1)

Do có dãy khớp ngắn 0 −→ N0 −→ N1 −→ N1/N0 −→ 0 nên ta có

dim N1 = max{dim N0, dim N1/N0}, vì N0 = 0 nên dim N0 = −1, suy ra

dim N1 = dim N1/N0 Tương tự, từ dãy khớp ngắn

ta có dim N2 = max{dim N1, dim N2/N1}, từ chứng minh trên ta có

dim N1 = dim N1/N0 < dim N2/N1 do đó dim N2 = dim N2/N1 Vậy

dim N1 < dim N2 Tiếp tục quá trình trên ta được dim Ni−1 < dim Ni, vớimọii = 1 , t.Từ định nghĩa lọc chiều, ta có Mt0 −1là môđun con lớn nhấtcủa M sao cho dim Mt0 −1 < dim M = d do đó Mt0 −1 ⊇ Nt−1 Vì M/Nt−1

là Cohen-Macaulay, do đó các môđun con của M/Nt−1 hoặc bằng khônghoặc có chiều d Mà Mt0 −1/Nt−1 ⊆ M/Nt−1 và dim(Mt0 −1/Nt−1) < d,

do đó Mt0 −1/Nt−1 = 0 tức là Mt0 −1 = Nt−1 Chứng minh tương tự tađược Mt0 −2 = Nt−2, Mt0 −3 = Nt−3, Do đó t = t0 và Mi = Ni với mọi

i = 0, , t

Sau đây là một số ví dụ về môđun Cohen-Macaulay dãy

Ví dụ 2.2.4 (i) Mọi môđun Cohen-Macaulay đều là môđun Cohen-Macaulaydãy với lọc Cohen-Macaulay là 0 = M0 ⊂ M1 = M

(ii) Mọi môđun M có chiều 1 đều là môđun Cohen-Macaulay dãy

Chứng minh (ii) Ta có 0 = M0 ⊂ M1 = Hm0(M ) ⊂ M2 = M là lọcCohen-Macaulay của M Thật vậy, vì Hm0(M ) là môđun có độ dài hữu hạnnên dim M1 = dim Hm0(M ) = 0, vì vậy ta có

−1 = dim M0 < dim M1 = 0 < dim M2 = 1

Hơn nữa, M1/M0 = Hm0(M ) luôn là Cohen-Macaulay Ta chỉ cần chứng

Nhắc lại rằng với mỗi môđun hữu hạn sinh M trên vành địa phương

(R,m)và iđêan q củaRsao cho`R(M/qM ) < ∞, hàm độ dài`R(M/qn+1M )

luôn là đa thức theo n và có bậc dim M với hệ số hữu tỷ khi n  0 Ta

có thể biểu diễn đa thức này dưới dạng

`R(M/qn+1M ) = e(q; M )

d+ đa thức có bậc nhỏ hơn d,

khi n  0, trong đó e(q; M ) là số nguyên dương Đa thức trên được gọi

là đa thức Hilbert - Samuel và e(q; M ) được gọi là số bội của M ứng vớiiđêan q Một số tính chất sau của số bội cho môđun Noether được đưa ranhằm phục vụ cho việc chứng minh mệnh đề tiếp theo

Bổ đề 2.2.5 Cho x = (x1, , xt) là một hệ bội của M và n1, , nt làcác số nguyên dương Đặt x(n) = (xn1

1 , , xnt

t ) Khi đó ta có các tính chấtsau

(i) e(x(n); M ) = n1 nte(x; M )

(ii) Cho dãy khớp các R-môđun Noether 0 −→ M0 −→ M −→ M00 −→ 0

Khi đó x là một hệ bội của M nếu và chỉ nếu x là một hệ bội của M0 và

M00 và ta có e(x; M ) = e(x; M0) + e(x; M00)

(iii) Ta luôn có 0 6 e(x; M ) 6 `(M/xM ) Hơn nữa e(x; M ) > 0 nếu vàchỉ nếu t = d = dim M.

Sau đây là một lớp ví dụ khác về môđun Cohen-Macaulay dãy

Mệnh đề 2.2.6 Tổng trực tiếp của hữu hạn các môđun Cohen-Macaulaydãy là Cohen-Macaulay dãy

Chứng minh Bằng quy nạp, ta chỉ cần chứng minh khẳng định đúng vớitổng trực tiếp của hai môđun Cohen-Macaulay dãy Giả sử dim M = d và

Ta chứng minh M là môđun Cohen-Macaulay dãy bằng quy nạp theo d.Với d = 0, khẳng định đúng Với d = 1, theo Ví dụ 2.2.4 (ii), khẳng địnhđúng

nhất của M, M0 và M00 có chiều nhỏ hơn thực sự d Khi đó M0/N0 và

M00/N00 bằng không hoặc là Cohen-Macaulay Trước tiên ta cần chứngminh N = N0⊕ N00 Thật vậy, nếu dim N0⊕ N00 < d, ta có N ⊇ N0⊕ N0

với mỗi r ∈ R Ta có p ⊇ Ann(ra) và do đó dim Ra> dim R/p = d Điềunày dẫn đến mâu thuẫn, vìa ∈ N Vậydim Rb < d Tương tựdim Rc < d

Khi dó Rb ⊕ Rc ⊆ N0 ⊕ N00 Do đó a ∈ N0 ⊕ N00 tức là N ⊆ N0 ⊕ N00.Vậy N = N0 ⊕ N00

Tiếp theo, ta chứng minh M/N là Cohen-Macaulay Cho x là một hệtham số của M, vì dim N < d, dim N0 < d, dim N00 < d, theo Bổ đề 2.2.5

trong đó f (b + c) = c + N00, với mọi b ∈ M0, c ∈ M00 Do đó

0⊕ M00(xM0 ⊕ xM00) + N) 6 `( M

00/N00x(M00/N00)) + `(ker f ).

Rõ ràng rằng ker f = (M0⊕ (xM00+ N00))/((xM0⊕ xM00) + N ) Hơn nữa,

Tiếp theo là tính chất của môđun Cohen-Macaulay dãy khi chuyển quađịa phương hoá

Mệnh đề 2.2.7 Nếu M là Cohen-Macaulay dãy thì Mp cũng là Macaulay dãy với mọi p ∈ Supp M

Cohen-Chứng minh Cho 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ ⊂ Mt−1 ⊂ Mt = M là lọc chiềucủa M Vì M là Cohen-Macaulay dãy, theo Bổ đề 2.2.3 (ii) ta có Mi/Mi−1

là Cohen-Macaulay với mọi i = 1, , t Ta cần chứng minh

0 = M0 ⊂ (M1)p ⊂ ⊂ (Mt−1)p ⊂ (Mt)p = Mp (∗)

là lọc Cohen-Macaulay với mọi p∈ Supp M, nghĩa là hoặc (Mi)p/(Mi−1)p

bằng không hay (Mi)p = (Mi−1)p, hoặc dim(Mi−1)p < dim(Mi)p Không