Các định lý về điểm bất động xấp xỉ trong không gian định chuẩn xác suất

Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành đen Ban Giám hi¾uTrưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các quý thaycô trong nhà trưòng và các quý thay cô giáo day cao hoc chuyên

Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành đen Ban Giám hi¾uTrưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các quý thay

cô trong nhà trưòng và các quý thay cô giáo day cao hoc chuyên ngànhToán Giái tích đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc totđep chương trình cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p

Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ngviên và tao moi đieu ki¾n tot nhat đe tác giá an tâm hoc t¾p và hoànthành bán lu¾n văn này

Hà N®i, tháng 6 năm 2012

Tác giáNguyen Th% Thanh Hái

LèI CAM ĐOAN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2dưói sn hưóng dan cna TS Hà Đúc Vưong

Trong quá trình nghiên cúu và hoàn thành lu¾n văn, tác giá đã

sú dung và ke thùa nhung thành quá cna các nhà khoa hoc vói sn trântrong và biet ơn

Hà N®i, tháng 6 năm 2012

Tác giá

Nguyen Th% Thanh Hái2

Mnc lnc

1.1

Không gian metric 5

1.2 Không gian đ%n h chuan 16

1.3 Không gian Banach 23

2.1 Không gian metric xác suat 26

2.2 Không gian metric xác suat Menger 33

2.3 Không gian đ%n h c huan xác suat 37

3 Các đ%nh lý ve điem bat đ®ng xap xí trong không gian đ

3.1 Điem bat đ®ng xap xí trong không gian đ%nh chuan xác

suat 413.2 Điem bat đ®ng xap xí trong không gian metric xá c suat

Mé ĐAU

Cho M là m®t t¾p hop nào đó, ánh xa T : M → M là ánh xa đi

tù t¾p M vào chính nó Điem x ∈ M thóa mãn phương trình Tx =

x đưoc goi là điem bat đ®ng cna ánh xa T trên t¾p M

Lý thuyet điem bat đ®ng đã và đang phát trien gan lien vói tên tuoi

cna các nhà toán hoc lón trên the giói như: Banach, Brouwer, Schauder,Tykhonov, Kakutani, Ky Fan,

Tuy nhiên, vói nhieu bài toán thnc te đieu ki¾n cna các đ%nh lý

điem bat đ®ng đoi vói ánh xa T có the quá ch¾t đe ta có Tx = x Khi đó vói đieu ki¾n khác ta có Tx ≈ x thì x đưoc goi là điem bat

đ®ng xap xí cna ánh xa T Chang han trong không gian metric (X, d), ánh xa T : X → X, vói ε > 0 ta có d(T x, x) < ε thì x là điem bat đ®ng xap xí cna ánh xa T trên X Hay x còn đưoc goi là ε −điem bat

đ®ng cna ánh xa T

Vi¾c nghiên cúu ve điem bat đ®ng, điem bat đ®ng xap xí có ýnghĩa rat lón cá ve lý thuyet và úng dung nên đã thu hút đưoc nhieunhà toán hoc quan tâm

Năm 1942 Menger đã đưa ra khái ni¾m metric xác suat Đó là

sn mó r®ng khái ni¾m metric thông thưòng: thay cho vi¾c xét khoáng

cách d(x, y), ngưòi ta xét hàm phân bo F x,y (t) bieu dien xác suat

đe d(x, y) < t, vói t là m®t so thnc Khái ni¾m này đã thu hút sn

quan

tâm cna nhieu nhà toán hoc, đ¾c bi¾t là Schweizer và Sklar đã xây dnngthành lý thuyet ve không gian metric xác suat, viet thành sách chuyênkháo xuat bán năm 1983.

Sau đó đã xuat hi¾n các khái ni¾m không gian đ%nh chuan xácsuat, không gian Banach xác suat,

Các ket quá ve điem bat đ®ng, điem bat đ®ng xap xí đã đưocnhieu tác giá mó r®ng sang lóp các không gian này Gan đây m®t ketquá mói ve điem bat đ®ng xap xí đưoc hai tác giá ngưòi Malaysia

công bo trong “ Proceedings of the 2nd IMT-GT Regional

Conference on Mathematics, Statistics and Applications University Sains Malaysia, Penang, June 13-15, 2006 ”.

Vói mong muon tìm hieu sâu hơn ve van đe này, đưoc sn giúp đõ

và hưóng dan t¾n tình cna TS Hà ĐÚc Vưang, tôi manh dan chon

đe tài nghiên cúu:

“CÁC бNH LÝ VE ĐIEM BAT Đ®NG XAP XÍ

TRONG KHÔNG GIAN бNH CHUAN XÁC SUAT ”

Lu¾n văn đưoc trình bày gom ba chương n®i dung và m®t danh muc tàili¾u tham kháo

Chương 1 trình bày các khái ni¾m cơ bán ve không gian metric,không gian metric đay đn, không gian đ%nh chuan và không gian Banach

"Nguyên lý ánh xa co Banach (1922)" là ket quá kinh đien cna "Lý thuyet điem bat đ®ng" ket quá đó đưoc trình bày trong Đ%nh lý 1.1.1.

6

Phan cuoi cna chương trình bày ve không gian Banach.

Chương 2 trình bày ve không gian đ%nh chuan xác suat Phan đaucna chương, trình bày các khái ni¾m ve hàm phân bo, chuan tam giác.Sau đó trình bày đ%nh nghĩa ve không gian metric xác suat, không gianmetric xác suat Menger và không gian đ%nh chuan xác suat

Phan cuoi cna chương trình bày khái ni¾m đưòng kính xác suat,bán kính xác suat cna m®t t¾p khác rong

Chương 3 trình bày ve khái ni¾m điem bat đ®ng xap xí trongkhông gian metric xác suat, không gian đ%nh chuan xác suat và ket quá

ve điem bat đ®ng xap xí

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2dưói sn hưóng dan cna TS Hà Đúc Vưong

Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói TS HàĐúc Vưong, ngưòi thay đã hưóng dan và truyen cho tác giá nhung kinhnghi¾m quý báu trong hoc t¾p và nghiên cúu khoa hoc Thay luôn quantâm, đ®ng viên, khích l¾ và t¾n tình hưóng dan đe tác giá vươn lên tronghoc t¾p và vưot qua nhung khó khăn trong quá trình hoàn thành lu¾nvăn Tác giá xin bày tó lòng kính trong, biet ơn chân thành và sâu sacnhat đen thay

Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành đen Ban Giám hi¾uTrưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các quý thay

cô trong nhà trưòng và các quý thay cô giáo day cao hoc chuyên ngànhToán Giái tích đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot

đep chương trình cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p.

Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ngviên và tao moi đieu ki¾n tot nhat đe tác giá an tâm hoc t¾p và hoànthành bán lu¾n văn này

Chương 1

Kien thNc chuan b%

Trong chương này chúng tôi trình bày m®t so khái ni¾m cơ bán vekhông gian metric, không gian metric đay đn, không gian đ%nh chuan vàkhông gian Banach

1.1 Không gian metric

Đ%nh nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là m®t t¾p hop X ƒ= ∅ cùng vói m®t ánh xa d tù X × X vào t¾p hop so thnc R, thoá mãn các đieu ki¾n sau:

1 d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X;

2 d (x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;

3 d (x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.

Ánh xa d goi là metric trên X.

So d (x, y) goi là khoáng cách giua hai phan tú x và y

Các phan tú cúa X goi là các điem.

Không gian metric đưoc kí hi¾u là (X, d).

Ví dn 1.1.1.

Trong t¾p C [a,b] các hàm so thnc liên tnc trên đoan [a, b], ta đ¾t

d (x, y) = max |x (t) − y (t)| (1.1.1)

a≤t≤b

vói moi x = x(t), y = y(t) ∈ C [a,b]

Khi đó (C [a,b] , d ) là m®t không gian metric.

CHÚNG MINH:

Vì ∀x = x(t) ∈ C [a,b] , ∀y = y(t) ∈ C [a,b] nên x(t) − y(t) là hàm

liên tuc ∀t ∈ [a, b], do đó ton tai max |x (t) − y (t)| hay d(x, y)

xác đ%nh

a≤t≤b

∀x, y ∈ C [a,b]

Ta kiem tra các đieu ki¾n ve metric

1 Vói ∀x = x(t) ∈ C [a,b] , ∀y = y(t) ∈ C [a,b] , ta có:

| x(t) − y(t) |≥ 0, ∀t ∈ [a, b].

Ta suy ra: max |x (t) − y (t)| ≥ 0, ∀t ∈ [a, b].

a≤t≤b V¾y d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C [a,b]

Hien nhiên d(x, y) = 0 hay max |x (t) − y (t)| = 0.

a≤t≤b

Do đó ta có: | x(t) − y(t) |= 0, ∀t ∈ [a, b].

V¾y x(t) = y(t), ∀t ∈ [a, b], hay x = y.

2 Vói ∀x = x(t) ∈ C [a,b] , ∀y = y(t) ∈ C [a,b]:

| x(t) − y(t) |=| y(t) − x(t) |, ∀t ∈ [a, b].

Ta suy ra:

max |x (t) − y (t)| = max |y (t) − x (t)| , ∀t ∈ [a, b].

Hay d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ C [a,b]

3 Vói ∀x = x(t) ∈ C [a,b] , ∀y = y(t) ∈ C [a,b] , ∀z = z(t) ∈ C [a,b], ta có:

Hay d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ C [a,b]

Do đó công thúc (1.1.1) xác đ%nh m®t metric trên C [a,b]

V¾y (C [a,b] , d) là m®t không gian metric

Đ%nh nghĩa 1.1.2 [1] Cho không gian metric (X, d), dãy {xn } ⊂ X, điem x0 ∈ X Dãy {x n } goi là h®i tn tói điem x0 khi n → ∞ neu vói

Điem x0 đưoc goi là giói han cúa dãy {x n } trong X.

Đ%nh nghĩa 1.1.3 [1] Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn } ⊂ X đưoc goi là dãy Cauchy, neu vói ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N ∗ , ∀n, m ≥ n0 thì

n

1

1dt =

n

Cho n → ∞ ta đưoc d(x n , x m) → 0.

V¾y {x n } là m®t dãy Cauchy trong (C [0,1] , d)

Đ%nh nghĩa 1.1.4 [1] Không gian metric (X, d) đưoc goi là không

gian metric đay đú, neu moi dãy Cauchy trong X đeu h®i tn tói m®t điem thu®c X.

Ví dn 1.1.3.

Không gian C [a,b] là không gian metric đay đú.

CHÚNG MINH:

Giá sú {x n(t)} là dãy Cauchy tuỳ ý trong không gian C [a,b] Theo đ%nh

nghĩa dãy Cauchy vói ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N ∗ , ∀n, m ≥ n0 :

d (x (n) , x (m)) = max

a≤t≤b | x n (t) − x m (t) |< ε.

⇒| x n (t) − x m (t) |< ε, ∀n, m ≥ n0, ∀t ∈ [a, b].

Các bat đang thúc trên chúng tó vói moi t co đ%nh thu®c đoan [a, b]

thì dãy {x n(t)} là dãy so thnc cơ bán, nên phái ton tai giói han

Túc là dãy {x n (t)} h®i tu đeu tói x(t), ∀t ∈ [a, b].

Do v¾y x(t) là liên tuc và x(t) ∈ C [a,b] , đong thòi {x n(t)} h®i tu tói

là không gian metric không đay đú.

Trong không gian C L ta xét dãy xn(t) như sau:

[0,1

]

[0,1

]

V¾y nên {x n } là m®t dãy Cauchy

Tuy nhiên dãy Cauchy này không h®i tu tói m®t điem thu®c C L

≤

[0,1

]

Th¾t v¾y :

Giá sú x n(t) h®i tu tói x(t) nào đó trong C [0,1 L , túc là

]

V¾y không gian C L là không gian metric không đay đn.

Đ%nh nghĩa 1.1.5 [1] Cho không gian metric (X, d) Ánh xa T

tù không gian (X, d) vào chính nó goi là ánh xa co, neu ton tai so k ∈ [0, 1)

sao

cho

d (T x, T y) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X.

Đ%nh lý 1.1.1 [1] Moi ánh xa T là ánh xa co tù không gian metric đay

đú (X, d) vào chính nó đeu có điem bat đ®ng duy nhat x ∗ , nghĩa là ton tai x ∗ ∈ X thoá mãn T x ∗ = x ∗

Chúng minh.

Lay điem x0 bat kỳ, x0 ∈ X và l¾p dãy x n = T x n−1 , ∀n = 1, 2,

Vì T là ánh xa co nên ton tai hang so k ∈ [0, 1) thoá mãn

đn nên theo Nguyên lý điem bat đ®ng Banach thì ánh xa T có điem bat

đ®ng duy nhat, nghĩa là phương trình đã cho có nghi¾m duy nhat

1.2 Không gian đ%nh chuan

Đ%nh nghĩa 1.2.1 [1] Cho X là không gian tuyen tính trên trưòng K

(thnc ho¾c phúc) M®t ánh xa " " xác đ%nh trên X, có giá tr% thnc, huu han đưoc goi là m®t chuan neu:

1 " x "≥ 0, ∀x ∈ X.

" x "= 0 ⇔ x = θ.

2 " λx "=| λ | " x ", ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K.

3 " x + y "≤" x " + " y ", ∀x, y ∈ X.

So " x " đưoc goi là chuan cúa vectơ x.

Đ%nh nghĩa 1.2.2 [1] Cho X là không gian tuyen tính trên trưòng

K(thnc ho¾c phúc) Không gian X cùng vói chuan " " xác đ%nh trên X đưoc goi là không gian đ%nh chuan.

Kí hi¾u : Không gian đ%nh chuan (X, " ")

Các phan tú thu®c X đưoc goi là các điem.

" x k "

‚

" λx k "

= |λ|

n

k= 1

k= 1

" y k "

=" x " + " y "

Suy ra " " là m®t chuan trên E n

V¾y (En , " ") là m®t không gian đ%nh chuan.

Đ%nh lý 1.2.1 [1] Moi không gian đ%nh chuan đeu là không gian

2

2

Giá sú (X, " ") là không gian đ%nh chuan Vói moi x, y ∈ X ta đ¾t

d (x, y) =" x − y " Khi đó d là m®t metric trên X

≤" x − z " + " z − y "

= d(x, z) + d(z, y).

V¾y (X, d) là m®t không gian metric

Đ%nh nghĩa 1.2.3 [1] Cho không gian đ%nh chuan X và dãy điem

{x n } ⊂ X Dãy {x n } goi là h®i tn tói x neu

n→∞

lim

lim

Nên suy ra

lim

" x n "=" x " Nói cách khác " x " là m®t hàm liên tnc cúa x.

Th¾t v¾y: Vói moi x, y theo bat đang thúc tam giác ta luôn có

Áp dung bat đang thúc trên ta có

V¾y " x " là m®t hàm liên tuc cna x.

Đ%nh nghĩa 1.3.1 [1] Cho không gian đ%nh chuan X, dãy {x n } ⊂ X đưoc goi là dãy Cauchy neu

lim

n,m→∞ " x n − x m "= 0.

Hay vói ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N ∗ sao cho ∀n ≥ n0, ∀m ≥ n0 Ta có

" x n − x m "< ε.

Đ%nh nghĩa 1.3.2 [1] Không gian đ%nh chuan X đưoc goi là không

gian Banach, neu moi dãy Cauchy trong X đeu h®i tn tói m®t điem thu®c X.

Ví dn 1.3.1.

Không gian C [a,b] là không gian các hàm thnc liên tnc trên đoan [a, b]

cùng vói ánh xa

3 ∀x = x(t) ∈ C [a,b] , ∀y = y(t) ∈ C [a,b] , ta có

|x(t) + y(t)| ≤ |x(t)| + |y(t)|, ∀t ∈ [a, b].

Suy ra max |x(t) + y(t)| ≤ max |x(t)| + max |y(t)|.

Hay

" x + y "≤" x " + " y "

V¾y C [a,b] là m®t không gian đ%nh chuan

Giá sú {x n(t)} là dãy Cauchy tuỳ ý trong C [a,b], túc là vói moi

ε > 0, ∃n0 ∈ N ∗ , ∀m, n ≥ n0 :

" x m − x n "= max |x m(t) − xn(t)| < ε.

Suy ra |x m(t) − xn(t)| < ε, ∀t ∈ [a, b]. (1.3.1)

Bat đang thúc (1.3.1) chúng tó vói moi t co đ%nh thu®c đoan [a, b], dãy

{x n (t)} là dãy so thnc cơ bán nên phái ton tai giói han

Chương 2

Không gian đ%nh chuan xác suat

Trong chương này chúng tôi trình bày m®t so khái ni¾m cơ bán

ve không gian metric xác suat, không gian metric xác suat Menger vàkhông gian đ%nh chuan xác suat

2.1 Không gian metric xác suat

Đ%nh nghĩa 2.1.1 [5] Cho X và Y là hai không gian tôpô Ánh xa

T : X → Y đưoc goi là núa liên tnc trên (upper semicontinuous) tai

x0 ∈ X neu vói moi t¾p mó G chúa T x0 đeu ton tai lân c¾n U cúa

x0 sao cho:

T (U ) ⊂ G.

Neu ánh xa T núa liên tnc trên tai moi điem x thu®c X thì T là núa liên tnc trên trên X.

Đ%nh nghĩa 2.1.2 [5] Cho X và Y là hai không gian tôpô Ánh xa

T : X → Y đưoc goi là núa liên tnc dưói (lower semicontinuous) tai

x0 ∈ X neu vói moi t¾p mó G ∩ T x0 đeu ton tai lân c¾n U cúa x0sao cho

T (U ) ∩ G ƒ= φ.

Neu ánh xa T núa liên tnc dưói tai moi điem x thu®c X thì T là núa liên tnc dưói trên X.

Đ%nh nghĩa 2.1.3 [10] M®t ánh xa F : R → [0, 1] đưoc goi là m®t

hàm phân bo (distribution function) neu nó không giám, núa liên tnc

dưói và

inf F (t) = 0, sup F (t) = 1.

Ta ký hi¾u F là t¾p hop gom tat cá các hàm phân bo

Thú tn b® ph¾n cúa F là thú tn thông thưòng cho các hàm vói giá tr% thnc.

Phan tú cnc đai cúa F là H0 xác đ%nh bói:

Cho R+ là không gian metric vói d (x, y) = |x − y|, ∀x, y ∈ R+.

Hàm F : R+ → [0, 1] đưoc xác đ%nh như sau:

Ta có F x,y(t1) ≤ Fx,y(t2).

V¾y Fx,y(t) là hàm không giám.

Tiep theo, ta chúng minh F x,y(t) là hàm núa liên tuc dưói

Do Fx,y(t) là hàm liên tuc nên Fx,y(t) là núa liên tuc dưói.

Cuoi cùng ta tính sup Fx,y (t) và

V¾y F x,y (t) là hàm phân bo.

Ta xét m®t so chuan tam giác cơ bán thưòng g¾p sau đây:

Đ%nh nghĩa 2.1.5 [10] M®t hàm tam giác τ (triangular function) là

phép toán hai ngôi liên tnc trên F có tính chat giao hoán, ket hop, không giám theo tùng bien và H0 như là ánh xa đong nhat.

Vói τ∆ ta có :

τ∆(F, G)(x) =

sup

x =u+v

∆(F (u), G(v)), ∀F, G ∈ F.

Đ%nh nghĩa 2.1.6 [10] Không gian metric xác suat (probabilistic

met-ric space) là m®t c¾p sap thú tn (X, F ), trong đó X là t¾p khác rong

Cho không gian metric (X, d) và xác suat P Vói moi x, y thu®c X,

moi so thnc t, đ¾t F x,y (t) = P {d(x, y) < t} Ho các hàm phân bo

F = {F x,y (.) : ∀x, y ∈ X}

là m®t metric xác suat trên X Khi đó (X, F ) là m®t không gian

metric xác suat.