ác định lý về điểm bất động xấp xỉ trong không gian định chuẩn xác suất

Điểm bất động xấp xỉ trong không gian định chuẩn xác suất... tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar đã xây dựngthành lý thuyết về không gian metric xác suất, viết thà

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS HàĐức Vượng, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinhnghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học Thầy luôn quantâm, động viên, khích lệ và tận tình hướng dẫn để tác giả vươn lên tronghọc tập và vượt qua những khó khăn trong quá trình hoàn thành luậnvăn Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắcnhất đến thầy

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệuTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các quý thầy

cô trong nhà trường và các quý thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngànhToán Giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốtđẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã độngviên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả an tâm học tập và hoànthành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Tác giảNguyễn Thị Thanh Hải

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tác giả đã

sử dụng và kế thừa những thành quả của các nhà khoa học với sự trântrọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hải

2.1 Không gian metric xác suất 262.2 Không gian metric xác suất Menger 332.3 Không gian định chuẩn xác suất 37

3 Các định lý về điểm bất động xấp xỉ trong không gian

3.1 Điểm bất động xấp xỉ trong không gian định chuẩn xác

suất 41

3.2 Điểm bất động xấp xỉ trong không gian metric xác suất

Menger 44

Cho M là một tập hợp nào đó, ánh xạ T : M → M là ánh xạ đi

từ tập M vào chính nó Điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình T x = xđược gọi là điểm bất động của ánh xạ T trên tập M

Lý thuyết điểm bất động đã và đang phát triển gắn liền với tên tuổicủa các nhà toán học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Schauder,Tykhonov, Kakutani, Ky Fan,

Tuy nhiên, với nhiều bài toán thực tế điều kiện của các định lýđiểm bất động đối với ánh xạ T có thể quá chặt để ta có T x = x Khi

đó với điều kiện khác ta có T x ≈ x thì x được gọi là điểm bất độngxấp xỉ của ánh xạ T Chẳng hạn trong không gian metric (X, d), ánh xạ

T : X → X, với ε > 0 ta có d(T x, x) < ε thì x là điểm bất động xấp xỉcủa ánh xạ T trên X Hay x còn được gọi là ε−điểm bất động của ánh

xạ T

Việc nghiên cứu về điểm bất động, điểm bất động xấp xỉ có ý nghĩarất lớn cả về lý thuyết và ứng dụng nên đã thu hút được nhiều nhà toánhọc quan tâm

Năm 1942 Menger đã đưa ra khái niệm metric xác suất Đó là

sự mở rộng khái niệm metric thông thường: thay cho việc xét khoảngcách d(x, y), người ta xét hàm phân bố Fx,y(t) biểu diễn xác suất đểd(x, y) < t, với t là một số thực Khái niệm này đã thu hút sự quan

tâm của nhiều nhà toán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar đã xây dựngthành lý thuyết về không gian metric xác suất, viết thành sách chuyênkhảo xuất bản năm 1983.

Sau đó đã xuất hiện các khái niệm không gian định chuẩn xácsuất, không gian Banach xác suất,

Các kết quả về điểm bất động, điểm bất động xấp xỉ đã được nhiềutác giả mở rộng sang lớp các không gian này Gần đây một kết quả mới

về điểm bất động xấp xỉ được hai tác giả người Malaysia công bố trong

“ Proceedings of the 2nd IMT-GT Regional Conference onMathematics, Statistics and Applications University SainsMalaysia, Penang, June 13-15, 2006 ”

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, được sự giúp đỡ

và hướng dẫn tận tình của TS Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn

đề tài nghiên cứu:

“CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG XẤP XỈ

TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN XÁC SUẤT ”

Luận văn được trình bày gồm ba chương nội dung và một danh mục tàiliệu tham khảo

Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gian metric,không gian metric đầy đủ, không gian định chuẩn và không gian Banach

"Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922)" là kết quả kinh điển của "Lýthuyết điểm bất động" kết quả đó được trình bày trong Định lý 1.1.1

Phần cuối của chương trình bày về không gian Banach.

Chương 2 trình bày về không gian định chuẩn xác suất Phần đầucủa chương, trình bày các khái niệm về hàm phân bố, chuẩn tam giác.Sau đó trình bày định nghĩa về không gian metric xác suất, không gianmetric xác suất Menger và không gian định chuẩn xác suất

Phần cuối của chương trình bày khái niệm đường kính xác suất,bán kính xác suất của một tập khác rỗng

Chương 3 trình bày về khái niệm điểm bất động xấp xỉ trong khônggian metric xác suất, không gian định chuẩn xác suất và kết quả về điểmbất động xấp xỉ

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS HàĐức Vượng, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinhnghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học Thầy luôn quantâm, động viên, khích lệ và tận tình hướng dẫn để tác giả vươn lên tronghọc tập và vượt qua những khó khăn trong quá trình hoàn thành luậnvăn Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắcnhất đến thầy

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệuTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các quý thầy

cô trong nhà trường và các quý thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngànhToán Giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt

đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã độngviên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả an tâm học tập và hoànthành bản luận văn này

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản vềkhông gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian định chuẩn vàkhông gian Banach

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là một tập hợp X 6= ∅ cùngvới một ánh xạ d từ X × X vào tập hợp số thực R, thoả mãn các điềukiện sau:

1 d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X;

2 d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;

3 d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X

Ánh xạ d gọi là metric trên X.

Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y

Các phần tử của X gọi là các điểm

Không gian metric được kí hiệu là (X, d)

Ví dụ 1.1.1

Trong tập C[a,b] các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b], ta đặt

d (x, y) = max

a≤t≤b|x (t) − y (t)| (1.1.1)với mọi x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b]

Khi đó (C[a,b], d) là một không gian metric

CHỨNG MINH:

Vì ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b] nên x(t) − y(t) là hàm liên

tục ∀t ∈ [a, b], do đó tồn tại max

a≤t≤b|x (t) − y (t)| hay d(x, y) xác định

∀x, y ∈ C[a,b]

Ta kiểm tra các điều kiện về metric

1 Với ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b] , ta có:

Vậy x(t) = y(t), ∀t ∈ [a, b], hay x = y.

2 Với ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b]:

| x(t) − y(t) |=| y(t) − x(t) |, ∀t ∈ [a, b]

Ta suy ra:

max

a≤t≤b|x (t) − y (t)| = max

a≤t≤b|y (t) − x (t)| , ∀t ∈ [a, b]

Hay d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ C[a,b]

3 Với ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b], ∀z = z(t) ∈ C[a,b], ta có:

Do đó công thức (1.1.1) xác định một metric trên C[a,b]

Vậy (C[a,b], d) là một không gian metric

Định nghĩa 1.1.2 [1] Cho không gian metric (X, d), dãy {xn} ⊂ X,điểm x0 ∈ X Dãy {xn} gọi là hội tụ tới điểm x0 khi n → ∞ nếu với

Điểm x0 được gọi là giới hạn của dãy {xn} trong X.

Định nghĩa 1.1.3 [1] Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn} ⊂ Xđược gọi là dãy Cauchy, nếu với ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀n, m ≥ n0 thì

1 2

Z

1 2

| xn(t) − xm(t) | dt ≤

1

2 + 1 n

Z

1 2

1dt = 1

n.Suy ra :

0 ≤ d(xn, xm) ≤ 1

n.Cho n → ∞ ta được d(xn, xm) → 0

Vậy {xn} là một dãy Cauchy trong (C[0,1], d)

Định nghĩa 1.1.4 [1] Không gian metric (X, d) được gọi là không gianmetric đầy đủ, nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ tới một điểmthuộc X

Ví dụ 1.1.3

Không gian C[a,b] là không gian metric đầy đủ

CHỨNG MINH:

Giả sử {xn(t)} là dãy Cauchy tuỳ ý trong không gian C[a,b] Theo địnhnghĩa dãy Cauchy với ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀n, m ≥ n0 :

Tức là dãy {xn(t)} hội tụ đều tới x(t), ∀t ∈ [a, b]

Do vậy x(t) là liên tục và x(t) ∈ C[a,b], đồng thời {xn(t)} hội tụ tới x(t)trong C[a,b]

Vậy C[a,b] là không gian đầy đủ

2 +

12n < t ≤ 1.

Z

1 2

| xn(t) − xm(t) | dt ≤

1

2 + 1 2n

Z

1 2

Vậy nên {xn} là một dãy Cauchy

Tuy nhiên dãy Cauchy này không hội tụ tới một điểm thuộc C[0,1]L Thật vậy :

Giả sử xn(t) hội tụ tới x(t) nào đó trong C[0,1]L , tức là

2 ,1] : hai hàm x(t) và 0 cùng là giới hạn của xn(t).

Vì vậy x(t) không thuộc C[0,1]L Do đó dãy {xn(t)} không có giới hạn nàotrong C[0,1]L

Vậy không gian C[0,1]L là không gian metric không đầy đủ

Định nghĩa 1.1.5 [1] Cho không gian metric (X, d) Ánh xạ T từkhông gian (X, d) vào chính nó gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại số k ∈ [0, 1)

sao cho

d(T x, T y) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X

Định lý 1.1.1 [1] Mọi ánh xạ T là ánh xạ co từ không gian metric đầy

đủ (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động duy nhất x∗, nghĩa là tồntại x∗ ∈ X thoả mãn T x∗ = x∗

Chứng minh

Lấy điểm x0 bất kỳ, x0 ∈ X và lập dãy xn = T xn−1, ∀n = 1, 2,

Vì T là ánh xạ co nên tồn tại hằng số k ∈ [0, 1) thoả mãn :

= kn−1d(T x1, T x0) ≤ knd(x1, x0) = knd(T x0, x0), ∀n = 1, 2,

Bây giờ ta chứng minh x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T.Giả sử tồn tại điểm y∗ ∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ T.

Thế thì

d(x∗, y∗) = d(T x∗, T y∗) ≤ kd(x∗, y∗)

Vì a ∈ [0, 1), suy ra T là ánh xạ co Hơn nữa R là không gian metric đầy

đủ nên theo Nguyên lý điểm bất động Banach thì ánh xạ T có điểm bấtđộng duy nhất, nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

1.2 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.1 [1] Cho X là không gian tuyến tính trên trường K(thực hoặc phức) Một ánh xạ k k xác định trên X, có giá trị thực, hữuhạn được gọi là một chuẩn nếu:

1 k x k≥ 0, ∀x ∈ X

k x k= 0 ⇔ x = θ

2 k λx k=| λ | k x k, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K

3 k x + y k≤k x k + k y k, ∀x, y ∈ X

Số k x k được gọi là chuẩn của vectơ x.

Định nghĩa 1.2.2 [1] Cho X là không gian tuyến tính trên trườngK(thực hoặc phức) Không gian X cùng với chuẩn k k xác định trên Xđược gọi là không gian định chuẩn

Kí hiệu : Không gian định chuẩn (X, k k)

Các phần tử thuộc X được gọi là các điểm

Vậy (En, k k) là một không gian định chuẩn.

Định lý 1.2.1 [1] Mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric

Chứng minh

Giả sử (X, k k) là không gian định chuẩn

Với mọi x, y ∈ X ta đặt

d(x, y) =k x − y k Khi đó d là một metric trên X.

d(x, y) = d(y, x)

3 ∀x, y, z ∈ X theo Định nghĩa về chuẩn ta có

k x + y k≤k x k + k y k Suy ra

d(x, y) =k x − y k=k x − z + z − y k

≤k x − z k + k z − y k

= d(x, z) + d(z, y)

Vậy (X, d) là một không gian metric

Định nghĩa 1.2.3 [1] Cho không gian định chuẩn X và dãy điểm{xn} ⊂ X Dãy {xn} gọi là hội tụ tới x nếu

0 ≤k (xn+ yn) − (x + y) k≤k xn − x k + k yn− y k

Mà

lim

n→∞ k xn − x k= 0,lim

n→∞ k yn− y k= 0

Nên

lim

n→∞ k (xn+ yn) − (x + y) k= 0

n→∞ k xn − x k= 0,lim

n→∞ k xn k=k x k Nói cách khác k x k là một hàm liên tục của x.

Thật vậy: Với mọi x, y theo bất đẳng thức tam giác ta luôn có

k x k≤k y k + k x − y k

Ta lại có

k y k≤k x k + k x − y k Suy ra

k y k − k x k≤k x − y k

Từ (1) và (2) suy ra

− k x − y k≤k x k − k y k≤k x − y k Hay

| k x k − k y k | ≤k x − y k

Vậy k x k là một hàm liên tục của x.

Định nghĩa 1.3.1 [1] Cho không gian định chuẩn X, dãy {xn} ⊂ Xđược gọi là dãy Cauchy nếu

3 ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b], ta có

|x(t) + y(t)| ≤ |x(t)| + |y(t)|, ∀t ∈ [a, b]

Giả sử {xn(t)} là dãy Cauchy tuỳ ý trong C[a,b], tức là với mọi

lim

n→∞xn(t) = x(t), ∀t ∈ [a, b]

Cho m → ∞ từ (1.3.1) ta có:

|xn(t) − x(t)| ≤ ε, ∀n ≥ n0, ∀t ∈ [a, b] (1.3.2)Bất đẳng thức (1.3.2) chứng tỏ dãy số {xn(t)} hội tụ đều tới x(t) trên

C[a,b] nên x(t) ∈ C[a,b]

Vậy C[a,b] là không gian Banach

Chương 2

Không gian định chuẩn xác suất

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản

về không gian metric xác suất, không gian metric xác suất Menger vàkhông gian định chuẩn xác suất

2.1 Không gian metric xác suất

Định nghĩa 2.1.1 [5] Cho X và Y là hai không gian tôpô Ánh xạ

T : X → Y được gọi là nửa liên tục trên (upper semicontinuous) tại

x0 ∈ X nếu với mọi tập mở G chứa T x0 đều tồn tại lân cận U của x0sao cho:

T (U ) ⊂ G

Nếu ánh xạ T nửa liên tục trên tại mọi điểm x thuộc X thì T là nửaliên tục trên trên X

Định nghĩa 2.1.2 [5] Cho X và Y là hai không gian tôpô Ánh xạ

T : X → Y được gọi là nửa liên tục dưới (lower semicontinuous) tại

x0 ∈ X nếu với mọi tập mở G ∩ T x0 đều tồn tại lân cận U của x0 saocho

Cho R+ là không gian metric với d(x, y) = |x − y|, ∀x, y ∈ R+

Hàm F : R+ → [0, 1] được xác định như sau:

t2

t2 + d(x, y) − t1

t1 + d(x, y) ≥ 0

Ta có

Fx,y(t1) ≤ Fx,y(t2)

Vậy Fx,y(t) là hàm không giảm

Tiếp theo, ta chứng minh Fx,y(t) là hàm nửa liên tục dưới

Do Fx,y(t) là hàm liên tục nên Fx,y(t) là nửa liên tục dưới

Định nghĩa 2.1.4 [10] Một ánh xạ ∆ : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] được gọi

là một chuẩn tam giác (triangular norm) hay viết tắt t− chuẩn nếu nóthoả mãn điều kiện sau:

Ta xét một số chuẩn tam giác cơ bản thường gặp sau đây:

Với τ∆ ta có :

Fx,y(t) = P {d(x, y) < t} = P {d(y, x) < t} = Fy,x(t).

Vậy Fx,y(t) = Fy,x(t)

2.2 Không gian metric xác suất Menger

Định nghĩa 2.2.1 [11] Không gian metric xác suất Menger (Mengerprobabilistic metric space) là một bộ ba có thứ tự (X, F , ∆), trong đó(X, F ) là không gian metric xác suất, ∆ là t− chuẩn thoả mãn các điềukiện sau:

của không gian metric xác suất Bởi vì các điều kiện 1,2,3 của định nghĩa2.1.6 và định nghĩa 2.2.1 là giống nhau nên ta chỉ cần kiểm tra điều kiện

1 Fx,y = H0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X

2 Fx,y = Fy,x, ∀x, y ∈ X

3 Fx,z ≥ τ (Fx,y, Fy,z), ∀x, y, z ∈ X

(Ký hiệu giá trị của F tại cặp (x, y) ∈ X × X là Fx,y )

Nếu τ = τ∆ thì (X, F, ∆) được gọi là không gian metric xác suất Menger

Định nghĩa 2.2.3 [6] Cho không gian metric xác suất Menger (X, F , ∆).Dãy {xn} ⊂ X được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu với ε > 0, λ > 0 tuỳ ý,tồn tại một số nguyên dương N = N (ε, λ) sao cho Fxn,x(ε) > 1 − λ với

Ví dụ 2.2.1

Cho không gian metric xác suất Menger (X, F , ∆) và dãy {xn} ⊂ X

Giả sử ∆(a, b) = min{a, b} Nếu tồn tại một hằng số k ∈ (0, 1) sao cho

≥ minnFxn,xn+1(t

2), Fxn+1 ,xn+2(t

4), Fxn+2 ,xn+m(t

4)o

Từ (2.2.1) và (2.2.2) ta có

Fxn,xn+m(t) ≥ Fx1,x2( t

2mkn−1)

Vậy {xn} là dãy Cauchy.

2.3 Không gian định chuẩn xác suất

Định nghĩa 2.3.1 [10] Cho Xlà không gian tuyến tính trên trường K(thực hoặc phức), F = {Fx : x ∈ X} là một họ hàm phân bố Khi đó

bộ ba sắp thứ tự (X, F , min) được gọi là một không gian định chuẩn xácsuất nếu các điều kiện sau được thoả mãn:

4 Fx+y(t + s) ≥ min

n

Fx(t), Fy(s)

o, ∀x, y ∈ X, ∀t, s ∈ R

Định nghĩa 2.3.2 [10] Không gian định chuẩn xác suất là bộ ba(X, F, τ ), trong đó X là không gian tuyến tính thực, hàm phân bố F :

X → F được gọi là một chuẩn xác suất (probabilistic norm), ký hiệu giátrị của F tại x ∈ X là Fx và τ là một hàm tam giác liên tục thoả mãn:

1 Fx(t) = H0(t) ⇔ x = θ (vectơ không trong X)

2 Fαx(t) = Fx

 t

|α|

, ∀x ∈ X, ∀α ∈ K, α 6= 0, ∀t ∈ R

3 Fx+y(t + s) ≥ τ



Fx(t), Fy(s)

, ∀x, y ∈ X, ∀t, s > 0

Nếu hàm tam giác liên tục τ = min ta có Định nghĩa 2.3.1

Định nghĩa 2.3.3 [11] Trong không gian định chuẩn xác suất (X, F , min),dãy {xn} ⊂ X được gọi là hội tụ tới x ∈ X, nếu với mọi ε > 0 và

λ ∈ (0, 1) tồn tại một số nguyên dương N = N (ε, λ) sao cho với mọi

Fxn−xm(ε) > 1 − ε

n,m→∞Fxn−xm(ε) = 1