Không gian sn đối xứng với cs mạng đếm được

Đóng góp của đề tài Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài liệu thamkhảo dành cho những ai đang quan tâm nghiên cứu về các lớp không gian sn-đối xứng... Giả sửX, dlà

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS Lương Quốc Tuyển

Đà Nẵng - Năm 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu,kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trongbất kì công trình nào khác

Tác giả

Đinh Thị Phượng

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầygiáo hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn tác giảđọc, tìm hiểu trong suốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hoàn thànhđược luận văn này đúng tiến độ

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy

cô giáo trong khoa đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tậpcủa khóa học

Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em tronglớp cao học Toán K32- Giải tích Đại học Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ tácgiả trong quá trình học tập tại lớp

Đà Nẵng, ngày 20 tháng 03 năm 2018

Tác giả

Đinh Thị Phượng

Mục lục

1.1 Không gian mêtric 3

A Không gian mêtric Sự hội tụ trong không gian mêtric 3

B Tập hợp mở và phần trong của một tập hợp 5

C Tập hợp đóng, bao đóng và biên của một tập hợp 7

1.2 Không gian tôpô 11

A Đại cương về không gian tôpô 11

B Bao đóng của tập hợp 15

C Vị trí tương đối giữa một điểm và một tập hợp 16

D Phần trong của một tập hợp 17

E Biên và tập dẫn xuất của một tập hợp 19

2 Không gian sn-đối xứng với cs-mạng đếm được 21 2.1 Các mạng trong không gian tôpô 21

2.2 Mối liên hệ giữa các mạng 23

2.3 Không gian sn-đối xứng với cs-mạng đếm được và bài toán của S Lin, Y Ge và J S Gu 28

LỜI NÓI ĐẦU

Trong [4], Shou Lin đã chứng minh một kết quả trên T1-không gianchính quy rằng, không gian X có mạng σ-mạnh gồm các cs∗

-phủ đếm đượckhi và chỉ khi X có mạng σ-mạnh gồm cs-phủ hữu hạn, khi và chỉ khi X làkhông gian đối xứng có cơ sở yếu đếm được Nhưng tác giả nghi ngờ rằng kếtquả trên vẫn đúng cho trường hợp X là T2-không gian Bởi thế, Shou Lin đãđặt ra bài toán mở sau

Bài toán 1 ([2], Question 3.2.12) Nếu X là một T2-không gian đối xứng với

cơ sở yếu đếm được, thì X có mạng σ-mạnh gồm các cs∗-phủ hữu hạn haykhông?

Đến năm 2004, Y Ge và J S Gu đã chứng minh được rằng nếu X

là T1-không gian chính quy với sn-mạng đếm được, thì X có mạng σ-mạnhgồm cáccs-phủ hữu hạn Ngoài ra, các tác giả đã đưa ra ví dụ chứng tỏ rằngkết quả trên không đúng trên T2-không gian và đã đặt ra bài toán mở sau.Bài toán 2 ([1], Question 3.2) NếuX là không gian sn-đối xứng vớisn-mạngđếm được, thì X có mạng σ-mạnh gồm các cs∗

-phủ hữu hạn hay không?Hai bài toán trên đã được Trần Văn Ân và Lương Quốc Tuyển đưa racâu trả lời khẳng định trong [2] Ngoài ra, trong [5], Lương Quốc Tuyển đãđặt ra bài toán mở sau, và bài toán này đến nay vẫn còn mở

Bài toán 3 ([5], Question 2.8) Nếu X là không gian đối xứng với sn-mạngđếm được, thì X có mạng σ-mạnh gồm các cf p-phủ hữu hạn hay không?

Với mong muốn tìm hiểu phép chứng minh chi tiết cho lời giải các bàitoán trên, cùng với sự định hướng của thầy giáo Lương Quốc Tuyển, chúngtôi đã quyết định chọn đề tài: “Không gian sn-đối xứng với sn-mạng đếmđược” làm đề tài luận văn thạc sỹ

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu: Nghiên cứu nhằm tìm hiểu và làm rõ các vấn đề sau:

(1) Định nghĩa và các tính chất của mạng, cs-mạng, sn-mạng, cơ sở yếu vàmạng σ-mạnh.

(2) Định nghĩa và các tính chất của không gian sn-đốixứng, sn-đối xứngCauchy

(3) Mối quan hệ giữa các tính chất mạng trên không gian tôpô

(4) Lời giải chi tiết cho Bài toán 1 và Bài toán 2

Nội dung: Luận văn sẽ được trình bày trong 2 chương

• Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trìnhbày những kiến thức cơ bản về không gian tôpô, tập mở, tập đóng,

• Chương 2: Không gian sn- đối xứng với cs-mạng đếm được Chương nàytrình bày các kết quả liên quan đến không gian vớisn-mạng đếm được,mạng σ-mạnh gồm các tính chất phủ, sn-mạng đếm được địa phương,lời giải chi tiết cho Bài toán 1 và Bài toán 2, quan tâm đến Bài toán 3

3 Phương pháp nghiên cứu

- Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức

- Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu liên quan đến

“Không gian sn-đối xứng với cs-mạng đếm được”

- Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài

- Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn

4 Đóng góp của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài liệu thamkhảo dành cho những ai đang quan tâm nghiên cứu về các lớp không gian

sn-đối xứng

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Chương này trình bày về những kiến thức cơ bản cần thiết cho cácphần sau như: không gian topo, tập mở, tập đóng, Trong toàn bộ luận vănnày chúng tôi quy ước N = {1, 2, 3, } , ω = N∪ {0}

1.1 Không gian mêtric

A Không gian mêtric và sự hội tụ trong không gian mêtric

Định nghĩa 1.1.1 Không gian mêtric là một cặp(X, d),trong đó X là mộttập hợp khác rỗng, d : X × X →R là một hàm xác định trên X × X thoảmãn ba tiên đề sau:

(1) d(x, y)> 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇔ x = y

(2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X

(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X

Khi đó:

• Hàm d được gọi là một mêtric trên tập X

• Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của không gian X

• d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y

Chú ý 1.1.2 Trên một tập hợp khác rỗng có thể có nhiều mêtric khác nhau

Do đó, nó sinh ra các không gian mêtric khác nhau

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử (X, d) là một không gian mêtric, Y ⊂ X Khi

đó, hàm số dY = dY ×Y là một mêtric trên tập hợp Y Không gian mêtric

(Y, dY) được gọi là không gian con của không gian mêtric (X, d), dY đượcgọi là mêtric cảm sinh bởi mêtric d trên Y.

Định nghĩa 1.1.4 Ta nói dãy {xn} những phần tử của không gian mêtric

(X, d) hội tụ đến phần tử x0 ∈ X nếu:

d(xn, x0) −−−→ 0n→∞ hay lim

n→∞d(xn, x0) = 0

Khi đó, ta viết: lim

n→∞xn = x0, hoặc xn → x0 Ta nói {xn} là dãy hội tụ vàgọi x0 là điểm giới hạn của dãy {xn}

Bổ đề 1.1.5 Giả sử (X, d) là không gian mêtric, {xn} , {yn} ⊂ X và

(2) Với mọi n ∈ N ta đều có

được gọi là hình cầu đóng tâm x0, bán kính r.

Định nghĩa 1.1.7 Giả sử A là một tập con của không gian mêtric (X, d).Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại r > 0 saocho S(x0, a) ⊂ A

Định nghĩa 1.1.8 Giả sử(X, d)là một không gian metric, tập hợp E ⊂ X

được gọi là tập mở nếu mọi điểm của A đều là điểm trong của nó

Nhận xét 1.1.9 Cho (X, d) là không gian mêtric Khi đó,

(1) Tập X và tập ∅ đều là những tập mở trong (X, d)

(2) Mỗi hình cầu mở là tập mở trong (X, d)

Định lý 1.1.10 Giả sử (X, d) là không gian mêtric Khi đó,

(1) Hợp của một họ tuỳ ý những tập mở là một tập mở

(2) Giao của một số hữu hạn những tập mở là một tập mở

Chứng minh (1) Giả sử {Eα}α∈I là một họ tùy ý những tập con mở trongkhông gian mêtric (X, d) Ta chứng minh E = S

Ta đặt

r = min

ri, i = 1, n

.Khi đó, r > 0 và S(x, r) ⊂

U ⊂ X Khi đó, U được gọi là lân cận của x nếu x là điểm trong của U,

nghĩa là tồn tại r > 0 sao cho S(x0, r) ⊂ U Ngoài ra U được gọi là một lâncận mở của x nếu U là lân cận của x và U là tập hợp mở

Nhận xét 1.1.13 Cho (X, d) là không gian mêtric, U ⊂ X Khi đó,

U mở ⇔ x là điểm trong của U với mọi x ∈ U

⇔ tồn tại rx > 0 sao cho S(x, rx) ⊂ U với mọi x ∈ U

⇔ tồn tại lân cận Ux sao cho x ∈ Ux ⊂ U với mọi x ∈ U

Định nghĩa 1.1.14 Tập tất cả các điểm trong của tập A được gọi là phầntrong của A và kí hiệu là: IntA hoặc A.o

Nhận xét 1.1.15 Cho (X, d) là không gian mêtric, A ⊂ X Khi đó,

(1) IntA có thể bằng ∅

(2) IntA là tập mở và là tập mở lớn nhất nằm trong A.

(3) A mở ⇔ IntA = A

(4) IntA = ∪

E ⊂ A : E mở (5) Nếu A ⊂ B, thì IntA ⊂ IntB

C Tập hợp đóng, bao đóng và biên của một tập hợp

Định nghĩa 1.1.16 Trong không gian mêtric (X, d), tập hợp E ⊂ X đượcgọi là tập đóng nếu phần bù X \ A của nó là một tập hợp mở

Nhận xét 1.1.17 Cho (X, d) là không gian mêtric Khi đó,

(1) Tập X và tập ∅ đều là những tập đóng trong (X, d)

(2) Mỗi hình cầu đóng là tập đóng trong (X, d)

Định lý 1.1.18 Giả sử (X, d) là không gian mêtric Khi đó,

Bởi vì mỗi Fi đóng nên (X \ Fi) là một tập mở với mọi i = 1, n Do đó, theoĐịnh lí 1.1.10 ta suy ra Tn

Định lý 1.1.20 Giả sử (X, d) là một không gian mêtric, F ⊂ X Khi đó,

F đóng khi và chỉ khi với mọi dãy {xn} ⊂ F sao cho xn → x0 thì x0 ∈ F.Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử F đóng và {xn} ⊂ F sao cho xn → x0

Ta chứng minh rằng x0 ∈ F

Thật vậy, giả sử ngược lại rằng x0 ∈ F/ , kéo theo x0 ∈ X \ F mở Khi

đó, tồn tại r > 0 sao chox0 ∈ S(x0, r) ⊂ X \ F Mặt khác, vì xn → x0 nêntồn tại n0 ∈ N∗ sao cho

d(xn 0, x0) < r với mọi n> n0

Suy ra

xn ∈ S(x0, r) ⊂ X \ F với mọi n> n0

Điều này mâu thuẫn với {xn} ⊂ F

Điều kiện đủ: Giả sử với mọi dãy {xn} ⊂ F sao cho xn → x0 ta đều

có x0 ∈ F Ta chứng minh rằng F đóng Thật vậy, giả sử ngược lại rằng F

không đóng Khi đó, X \ F không mở Suy ra tồn tại x0 ∈ X \ F không làđiểm trong của X, kéo theo

F

Như vậy, tồn tại {xn} ⊂ F sao cho xn → x0 ∈ F/

Định nghĩa 1.1.21 Giả sử A là một tập con của không gian mêtric X.Khi đó, giao của tất cả các tập hợp đóng chứa A được gọi là bao đóng củatập hợp A Kí hiệu: A hoặc ClA.

Định lý 1.1.22 Cho (X, d) là không gian mêtric, A ⊂ X Khi đó,

Ta chứng minh rằng

U T

F 6= ∅

Thật vậy, giả sử ngược lại U ∩ F 6= ∅, kéo theo U ∩ F = ∅ Mặt khác,

vì U là lân cận của x nên tồn tại r > 0 sao cho

U T

F 6= ∅

n hay xn → x.Điều kiện đủ: Giả sử tồn tại dãy{xn}củaF sao choxn → x Ta chứngminh rằng x ∈ F Thật vậy, vì F là tập đóng, {xn} ⊂ F ⊂ F và xn → x

nên theo Định lý 1.1.20 ta suy ra x ∈ F

Định nghĩa 1.1.25 Cho (X, d) là một không gian mêtric, x0 ∈ X và

F ⊂ X Khi đó, x0 được gọi là điểm biên của F nếu với mọi số dương r tađều có

S(x0, r)T

F 6= ∅; S(x0, r)T

(X \ F ) 6= ∅

Tập tất cả các điểm biên của F được gọi là biên của F Kí hiệu: ∂F

Định lý 1.1.26 Cho (X, d) là một không gian mêtric, F ⊂ X và x0 ∈ X.Khi đó,

1.2 Không gian tôpô

A Đại cương về không gian tôpô

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X là một tập hợp và τ là họ gồm tất cả các tậpcon nào đó của X thoả mãn ba điều kiện sau:

• Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm

• Mỗi tập hợp thuộc τ được gọi là tập hợp mở

i∈I

(ai, bi) : ai ≤ bi



Khi đó, τ là một tôpô trên X = R Ta nói, τ là tôpô tự nhiên hay tôpô thôngthường trên X = R.

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử τ1 và τ2 là các tôpô trên X Ta nói,

(1) τ1 mạnh hơn τ2 nếu τ2 ⊂ τ1 Lúc này ta cũng nói τ2 yếu hơn τ1

(2) τ1 và τ2 là tương đương với nhau nếu τ1 = τ2

Ví dụ 1.4 Trong Ví dụ 1.2 ta có τ1 ⊂ τ2 nên τ2 mạnh hơn τ1 hay τ1 yếuhơn τ2

Ví dụ 1.5 Cho(X, d1)là không gian mêtric bất kỳ và(X, d2)là không gianmêtric rời rạc Khi đó, tôpô sinh bởi d2 mạnh hơn tôpô sinh bởi d1

Chú ý 1.2.4 Không phải mọi tôpô trên X đều so sánh được với nhau

Ví dụ 1.6 Giả sử X 6= ∅, A, B là các tập con thực sự khác rỗng của X saocho A 6= B Ta đặt

τ1 = {∅, A, X} và τ2 = {∅, B, X}

Dễ dàng kiểm tra được τ1 và τ2 là hai không gian tôpô trênX, nhưng τ1 6⊂ τ2

và τ2 6⊂ τ1 nên τ1, τ2 không so sánh được với nhau

Định nghĩa 1.2.5 Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô Tập hợp F ⊂ X

được gọi là một tập hợp đóng trong X nếu phần bù của nó X\F là một tậphợp mở trong X

Định lý 1.2.6 Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô Khi đó,

(1) ∅, X là các tập hợp đóng trong X

(2) Nếu F1 và F2 là hai tập hợp đóng trong X, thì F1∪ F2 cũng là một tậphợp đóng trong X

(3) Giao tuỳ ý các tập hợp đóng trong X là tập hợp đóng trong X

Chứng minh (1) Bởi vì X\∅ = X ∈ τ và X\X = ∅ nên ta suy ra ∅ và X

là các tập con đóng trong X

(2) Giả sử F1 và F2 là hai tập hợp đóng trong X Khi đó, theo côngthức De-morgan ta có

X\(F1 F2) = (X\F1) (X\F2) ∈ τ.

Do vậy, X\(F1∪ F2) là tập hợp mở, kéo theo F1∪ F2 là tập hợp đóng

(3) Giả sử Fα là tập hợp đóng với mọi α ∈ I Khi đó, ta có X\Fα ∈ τ

với mọi α ∈ I Suy ra

(2) U là lân cận mở của A nếu U là lân cận của A và U ∈ τ

(3) Nếu A chỉ có một điểm x, thì U được gọi là lân cận của điểm x

Nhận xét 1.2.8 Cho (X, τ ) là một không gian tôpô, A ⊂ X Khi đó,(1) Nếu U là lân cận của A, thì U là lân cận của mọi điểm x ∈ A

(2) Nếu U, V là hai lân cận của A, thì U ∩ V cũng là lân cận của A

Bổ đề 1.2.9 Cho (X, τ ) là một không gian tôpô, A ⊂ X Khi đó, các mệnh

đề sau tương đương

(1) A là tập con mở trong X

(2) Với mọi x ∈ A, tồn tại lân cận V của x sao cho x ∈ V ⊂ A

(3) A là lân cận của mọi điểm thuộc nó

Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử A là tập con mở Ta chứng minh với mọi

x ∈ A, tồn tại lân cận V của x sao cho

x ∈ V ⊂ A

Thật vậy, giả sử x ∈ A Nếu ta đặt V = A, thì V là lân cận của x và

x ∈ V ⊂ A

(2) ⇒ (3) Giả sử với mọi x ∈ A, tồn tại lân cận V của x sao cho

x ∈ V ⊂ A

Ta chứng minh Alà lân cận của mọi điểm thuộc nó Thật vậy, giả sử x ∈ A.Lúc đó, theo giả thiết ta suy ra tồn tại V là lân cận của x sao cho

x ∈ V ⊂ A

Lại vì V là lân cận của x nên tồn tại W ∈ τ sao cho x ∈ W ⊂ V Như vậy,

x ∈ W ⊂ A hay A là lân cận của x

(3)⇒(1) Giả sử Alà lân cận của mọi điểm thuộc nó Ta chứng minhA

là tập con mở trong X Thật vậy, vì A là lân cận của X nên với mọi x ∈ A,

tồn tại Vx ∈ τ sao cho x ∈ Vx ⊂ A Lại vì

nếu với mọi U ∈ U(x), tồn tại V ∈ V(x) sao cho x ∈ V ⊂ U

Định nghĩa 1.2.11 Cho không gian tôpô (X, τ ) Khi đó, họ B ⊂ τ đượcgọi là cơ sở của không gian tôpô X nếu mỗi phần tử của τ là hợp nào đócác phần tử của B, nghĩa là với mỗi U ∈ τ, tồn tại {Vα}α∈I ⊂ B sao cho

Do đó, với mọiU ∈ τ với mọix ∈ U, tồn tạiB ∈ Bsao chox ∈ B ⊂ U.

(2) Điều kiện đủ: Giả sử với mọi U ∈ τ, với mọix ∈ U, tồn tại B ∈ B

sao cho x ∈ B ⊂ U.Ta chứng minh B là cơ sở của τ Thật vậy, giả sửU ∈ τ

Khi đó, theo giả thiết ta suy ra rằng với mọi x ∈ U, tồn tại Bx ∈ B sao cho

Định nghĩa 1.2.13 Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô và A ⊂ X Khi

đó, giao của tất cả các tập hợp đóng chứa A được gọi là bao đóng của tậphợp A Kí hiệu: A hoặc ClA

Nhận xét 1.2.14 Cho (X, τ ) là một không gian tôpô và A ⊂ X Khi đó,(1) A luôn tồn tại, ∅ = ∅, A ⊂ A

Chứng minh (1) Bởi vì A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B nên A ⊂ A ∪ B và

B ⊂ A ∪ B Do đó,

A ∪ B ⊂ A ∪ B (1.2.1)Mặt khác, ta có A ∪ B ⊂ A ∪ B và A ∪ B là một tập hợp đóng chứa A ∪ B

nên theo Nhận xét 1.2.14 (2) ta suy ra

Định lý 1.2.16 Cho (X, τ ) là một không gian tôpô, F ⊂ X và x ∈ X Khi

đó, X ∈ F khi và chỉ khi mọi lân cận U của x ta đều có U ∩ F 6= ∅

Chứng minh (1) Điều kiện cần: Giả sử x ∈ F , U là lân cận của x Ta chứngminh rằng U ∩ F 6= ∅ Thật vậy, giả sử ngược lại rằng U ∩ F = ∅ Khi đó,

F ⊂ X\U Mặt khác, vì U là lân cận của x nên tồn tại V ∈ τ sao cho

x ∈ V ⊂ U Do đó,

F ⊂ X\U ⊂ X\V

Hơn nữa, vì V mở nên X\V đóng Theo Nhận xét 1.2.14 (2) ta suy ra

F ⊂ X\V ⊂ X\V

Như vậy, F ∩ V = ∅ Điều này mâu thuẫn với giả thiết x ∈ F ∩ V

(2) Điều kiện đủ: Giả sử mọi lân cận U của x ta đều có U ∩ F 6= ∅

Ta chứng minh rằng x ∈ F Thật vậy, giả sử ngược lại x /∈ F Khi đó,

x ∈ X\F Đặt V = X\F Khi đó, V là lân cận mở của x và

V ∩ F ⊂ V ∩ F = ∅,

kéo theo V ∩ F = ∅ Điều này mâu thuẫn với giả thiết

C Vị trí tương đối giữa một điểm và một tập hợp

Định nghĩa 1.2.17 Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô, A ⊂ X và

x ∈ X Khi đó,

(1) x được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại lân cận V của x sao cho

(1) Mỗi điểm tụ là một điểm dính

(2) x là điểm tụ của A khi và chỉ khi x ∈ A\ {x}

(3) x là điểm dính của A khi và chỉ khi x ∈ A

D Phần trong của một tập hợp

Định nghĩa 1.2.19 Giả sử(X, τ ) là một không gian tôpô, A ⊂ X Khi đó,hợp của tất cả các tập hợp mở nằm trong A được gọi là phần trong của A

Kí hiệu: IntA hoặc Ao

Nhận xét 1.2.20 Cho (X, τ ) là một không gian tôpô, A ⊂ X và x ∈ X.Khi đó,

(1) IntA ⊂ A,Int∅ = ∅,IntX = X

(2) IntA là tập mở lớn nhất nằm trong A

(3) A là tập con mở trong X khi và chỉ khi IntA = A.

(4) x ∈ IntA khi và chỉ khi x là một điểm trong của A

(5) Nếu A ⊂ B, thì IntA ⊂ IntB

Định lý 1.2.21 Nếu A là một tập hợp con của không gian tôpô (X, τ ) thì

IntA = X\X A

Chứng minh Ta có X\X A là một tập hợp mở chứa trong A nên

X\X A ⊂ IntA (1.2.3)Mặt khác, vì IntA ⊂ A nên X\A ⊂ X\ IntA Hơn nữa, vì X\IntA là mộttập đóng nên ta suy ra

X\A ⊂ X\IntA = X\IntA

(2) Int(A ∩ B) =IntA ∩IntB

(3) IntA ∪IntB ⊂Int(A ∪ B)

Chứng minh (1) Bởi vì IntA mở nên theo Nhận xét 1.2.20 (3) ta suy ra

Int(IntA) = IntA

(2) Bởi vì A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B nên theo Nhận xét 1.2.20 (5) tasuy ra

Int(A ∩ B) ⊂ IntA và Int(A ∩ B) ⊂ B

Do đó,

Int(A ∩ B) ⊂IntA ∩IntB (1.2.5)

Mặt khác, vì IntA ⊂ A và IntB ⊂ B nên IntA ∩IntB ⊂ A ∩ B Hơn nữa,

vì IntA∩IntB là tập hợp mở nằm trong A∩ B nên theo Nhận xét 1.2.20 (2)

ta suy ra

IntA ∩IntB ⊂ Int(A ∩ B) (1.2.6)

Từ (1.2.5) và (1.2.6) ta suy ra đẳng thức cần chứng minh

(3) Ta có A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B nên theo Nhận xét 1.2.20 (5) tasuy ra

IntA ⊂ Int(A ∪ B) và IntB ⊂ Int(A ∪ B)

Do đó, IntA ∪IntB ⊂ Int(A ∪ B)

E Biên và tập dẫn xuất của một tập hợp

Định nghĩa 1.2.23 Giả sử(X, τ ) là một không gian tôpô, A ⊂ X Khi đó,tập hợp tất cả các điểm biên của A được gọi là biên của A Kí hiệu: ∂A

Nhận xét 1.2.24 Cho (X, τ ) là một không gian tôpô, A ⊂ X và x ∈ X

Khi đó, x ∈ ∂A khi và chỉ khi với mỗi lân cận U của x, ta đều có

(1) ∂A = A ∩ X\A (4) A = A ∪ ∂A

(2) ∂A = ∂(X\A) (5) ∂(A ∪ B) ⊂ ∂A ∪ ∂B

(3) IntA = A\∂A (6) ∂(A ∩ B) ⊂ ∂A ∪ ∂B

Chứng minh (1) Từ Nhận xét 1.2.5 và Định lý 1.2.3 ta suy ra đẳng thức cầnchứng minh