Không gian đối xứng với sn mạng σ hữu hạn địa phương

Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp.. • Tìm hiểu một số tính chất của không gian đối xứng, không giang-trảiđược mạnh, ℵ-không gian và mối liên hệ giữa chúng.. Đối tượn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

TÔ THỊ NGỌC HUYỀN

KHÔNG GIAN ĐỐI XỨNG VỚI sn-MẠNG

σ-HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - NĂM 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

TÔ THỊ NGỌC HUYỀN

KHÔNG GIAN ĐỐI XỨNG VỚI sn-MẠNG

σ-HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lương Quốc Tuyển

ĐÀ NẴNG - NĂM 2017

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các sốliệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả

TÔ THỊ NGỌC HUYỀN

Lời đầu tiên của luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáohướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn em trong suốtquá trình thực hiện để em có thể hoàn thành được luận văn này.

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy côgiáo đã tận tình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập của khóa học.Đồng thời, em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị trong lớp Cao họcToán giải tích K31-KonTum đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình họctập tại lớp

Tô Thị Ngọc Huyền

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 Cơ sở lý thuyết 4

1.1 Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp 4

1.2 Cơ sở và cơ sở lân cận của không gian topo 8

1.3 Tập hợp đóng và bao đóng của một tập hợp 10

1.4 Phần trong của một tập hợp 16

1.5 T 1 -không gian và T 2 -không gian 19

CHƯƠNG 2 Không gian đối xứng với sn-mạng σ-hữu hạn địa phương 21

2.1 Cơ sở yếu, sn-mạng và cs-mạng 21

2.2 Không gian đối xứng, không gian g-trải được mạnh và ℵ-không gian 27

2.3 Không gian đối xứng với sn-mạng σ-hữu hạn địa phương 31

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Năm 2002, Y Ikeda, C Liu và Y Tanaka đã đưa ra khái niệm mạng

σ-mạnh và xét các tính chất ảnh thương của không gian metric nhờ mạng

σ-mạnh Bằng cách sử dụng mạng σ-mạnh, các tác giả đã thu được nhiềuđặc trưng ảnh thương của không gian mêtric (xem trong [4]), và đã đặt racác bài toán sau

Bài toán 1 ([6], Question 3.2.12) Nếu X là không gian đối xứng với

cs∗-mạng đếm được, thì X có mạng σ-mạnh gồm các cs∗-phủ hữu hạn haykhông?

Bài toán 2([5], Question 2) Nếu X là không gian đối xứng vớics-mạng

σ-hữu hạn theo điểm, thì X có cs-mạng σ-hữu hạn theo điểm mạnh haykhông?

Đến năm 2006, Y Tanaka và Y Ge đã giới thiệu khái niệm không gian

g-trải được mạnh như là sự mở rộng của không gian trải được và đã chứngminh được rằng, mọi không gian g-trải được mạnh là không gian đối xứngCauchy ℵ-không gian Các tác giả nghi ngờ chiều ngược lại của kết quảnày vẫn đúng và đã đặt ra câu hỏi sau

Bài toán 3 ([7], Question 3.5) Mỗi không gian đối xứng Cauchy và

ℵ-không gian có là không gian g-trải được mạnh hay không?

Đến nay, L Q Tuyển đã đưa ra câu trả lời khẳng định cho Bài toán 1trong [2], Bài toán 3 trong [8], và đã cho câu trả lời riêng cho Bài toán 2trong [9]

Với mong muốn tìm hiểu phép chứng minh cho Bài toán 3, cũng như nhờ

sự định hướng của thầy giáo Lương Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết địnhchọn đề tài: “Không gian đối xứng với sn-mạng σ-hữu hạn địa phương”làm đề tài luận văn thạc sỹ

2 Mục đích nghiên cứu

• Tìm hiểu mối quan hệ giữa cơ sở, cơ sở yếu, sn-mạng và cs-mạng

• Tìm hiểu một số tính chất của không gian đối xứng, không giang-trảiđược mạnh, ℵ-không gian và mối liên hệ giữa chúng

• Tìm hiểu phép chứng minh chi tiết cho Bài toán 3

3 Đối tượng nghiên cứu

Không gian đối xứng với các tính chất mạng, không gian g-trải đượcmạnh, ℵ-không gian và mối liên hệ giữa chúng

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về mối liên hệ giữa cơ sở yếu, sn-mạng, cs-mạng, cũng nhưtìm hiểu phép chứng minh chi tiết Bài toán 3

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trìnhthực hiện đề tài Bằng cách thu thập những bài báo liên quan với đề tàicủa các tác giả đi trước nhằm hiểu được phép chứng minh chi tiết cho Bàitoán 3

6 Tổng quan và cấu trúc luận văn

Trong luận văn này, chúng tôi chứng minh chi tiết mối liên hệ giữa cơ

sở, cơ sở yếu, sn-mạng, cs-mạng; Chứng minh một số tính chất của khônggian đối xứng với các tính chất mạng; Chứng minh chi tiết cho Bài toán

3 Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương Ngoài ra, luận văn

có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở đầu, phần Kết luận vàKiến nghị, Tài liệu tham khảo

Chương 1, trình bày về các kiến thức cơ bản của topo đại cương nhằmphục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2

Chương 2, trình bày về mối quan hệ giữa các mạng, tính chất củakhông gian đối xứng, không gian đối xứng Cauchy và lời giải chi tiết choBài toán 3

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức về topo đạicương, các khái niệm và các tính chất trong chương này được chúng tôitrình bày và chứng minh chi tiết nhằm hiểu thấu đáo hơn các kiến thức

về topo đại cương, cũng như nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kếtquả chính của chương sau

Sau đây là những ký hiệu được chúng tôi sử dụng trong toàn bộ luận văn

N = {1, 2, }, ω = N∪ {0}

1.1 Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử τ là họ gồm các tập con nào đó của tập hợp

X thỏa mãn các điều kiện sau

(a) ∅, X ∈ τ;

(b) Nếu {Uα}α∈Λ ⊂ τ, thì S

α∈Λ

Uα ∈ τ;(c) Nếu U, V ∈ τ, thì U ∩ V ∈ τ

Khi đó,

1) τ được gọi là một topo trên X

2) Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo

3) Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở

4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó

Nhận xét 1.1.2 Từ Định nghĩa 1.1.1 ta suy ra rằng

1) ∅, X là các tập hợp mở;

2) Giao hữu hạn tập hợp mở là một tập hợp mở;

3) Hợp tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử τ1, τ2 là các topo trên tập hợp X Ta nói rằng

τ1 mạnh hơn τ2 hay τ2 yếu hơn τ1 nếu τ2 ⊂ τ1

Ví dụ 1.1.4 Giả sử X là một tập hợp, τ1 là họ gồm tất cả các tập concủa X và τ2 = {∅, X} Khi đó,

• τ1, τ2 là các topo trên X

• τ1 mạnh hơn τ2

• Trong (X, τ1), mỗi tập con vừa đóng vừa mở

Lúc này, ta nói rằng τ1 là topo rời rạc và τ2 là topo thô trên X

Ví dụ 1.1.5 Giả sử (X, d) là một không gian metric và

τ = {A ⊂ X : A là tập con mở trong (X, d)}.Khi đó, τ là một topo trên X và ta nói rằng τ là topo được sinh bởimetric d Đặc biệt, nếu X = R và metric d là khoảng cách thông thườngtrên R, nghĩa là

d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ R,

thì ta nói rằng τ là topo thông thường trên R

Định nghĩa 1.1.6 Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ).Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của A nếu tồn tại V ∈ τ

sao cho

A ⊂ V ⊂ U

Ngoài ra, nếu U ∈ τ, thì ta nói rằng U là lân cận mở của A Đặc biệt,nếu A = {x}, thì ta nói rằng U là lân cận của x.

Nhận xét 1.1.7 Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập hợp

mở, nhưng mỗi tập hợp mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó

Chứng minh (1) Giả sử X = {a, b, c} và

τ = ∅, X, {a}, {b, c} Khi đó, τ là một topo trên X và {a, b} là lân cận của a nhưng {a, b} /∈ τ.(2) Giả sử U là một tập hợp mở và x ∈ U Khi đó, nếu ta lấy V = U,thì V ∈ τ và

x ∈ V ⊂ U.Điều này chứng tỏ rằng U là một lân cận của x

Bổ đề 1.1.8 Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ ) Khi đó,giao hữu hạn lân cận của A là lân cận của A

Chứng minh Giả sử U1, U2, , Un là các lân cận của A và U =

n

T

i=1

Ui.Khi đó, với mọi i = 1, 2, , n, tồn tại Vi ∈ τ sao cho

Điều này chứng tỏ rằng U là một lân cận của A

Nhận xét 1.1.9 Giao của một họ tùy ý gồm các lân cận của A có thểkhông là một lân cận của A

Chứng minh Giả sử R là tập hợp gồm các số thực với topo thông thườngτ,

với mọi n ∈ N.

• {0} không là lân cận của điểm 0 trong R

Từ chứng minh trên ta suy ra rằng tồn tại dãy gồm các lân cận mở của

0 trong R nhưng giao chúng lại không là lân cận của 0 trong R

Bổ đề 1.1.10 Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau làtương đương

1) U là tập hợp mở;

2) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó;

3) Với mọi x ∈ U, tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U

Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử U mở và x ∈ U Khi đó, nếu ta chọn

V = U ∈ τ, thì x ∈ V ⊂ U Như vậy, U là lân cận của x

(2) =⇒ (3) Giả sử U là lân cận của mọi điểm thuộc nó và x ∈ U.Khi đó, U là một lân cận của x Như vậy, nếu ta chọn Vx = U, thì Vx làlân cận của x và

x ∈ Vx ⊂ U.(3) =⇒ (1) Giả sử với mọi x ∈ U, tồn tại lân cận Vx của x sao cho

x ∈ Vx ⊂ U.Khi đó, vì Vx là lân cận của x nên tồn tại Wx ∈ τ sao cho

x ∈ Wx ⊂ Vx.Hơn nữa, ta có

U = S

x∈U

Wx.Như vậy, theo Định nghĩa 1.1.1 ta suy ra rằng U ∈ τ

1.2 Cơ sở và cơ sở lân cận của không gian topo

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và B ⊂ τ Tanói rằng B là cơ sở của (X, τ ) (hay là cơ sở của τ) nếu mỗi phần tử của

và với mọi x ∈ U, tồn tại V ∈ B sao cho

x ∈ V ⊂ U

Chứng minh (1) Bởi vì B ⊂ τ nên mỗi phần tử của B là tập hợp mở.Bây giờ, giả sử X = {a, b, c}, τ là topo rời rạc, nghĩa là τ là họ gồm tất

Điều kiện đủ Giả sử với mọi U ∈ τ và với mọi x ∈ U, tồn tại V ∈ B

sao cho x ∈ V ⊂ U và W ∈ τ Khi đó, với mọi x ∈ W, tồn tại Vx ∈ B saocho x ∈ Vx ⊂ W Do đó,

Định lí 1.2.3 Giả sử B là một cơ sở của không gian topo (X, τ ) Khi đó,các khẳng định sau là đúng

1) Với mỗi x ∈ X, tồn tại U ∈ B sao cho x ∈ U;

2) Nếu U, V ∈ B, thì với mọi x ∈ U ∩ V, tồn tại W ∈ B sao cho

x ∈ W ⊂ U ∩ V

Chứng minh (1) Giả sử x ∈ X Khi đó, vì x ∈ X ∈ τ và B là cơ sở của

X nên tồn tại U ∈ B sao cho x ∈ U ⊂ X

(2) Giả sử U, V ∈ B và x ∈ U ∩ V Khi đó, vì B ⊂ τ nên U, V ∈ τ,kéo theo U ∩ V ∈ τ Mặt khác, vì B là cơ sở của X nên tồn tại W ∈ B

sao cho x ∈ W ⊂ U ∩ V

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử Ux là một họ gồm tất cả các lân cận của x

trong X Ta nói rằng họ Bx ⊂ Ux là một cơ sở lân cận tại x nếu với mọi

U ∈ Ux, tồn tại V ∈ Bx sao cho

x ∈ V ⊂ U

Định lí 1.2.5 Giả sử x ∈ X, Bx là một cơ sở lân cận của x Khi đó,1) x ∈ U với mọi U ∈ Bx và Bx 6= ∅ với mọi x ∈ X;

2) Nếu U, V ∈ Bx, thì tồn tại W ∈ Bx sao cho W ⊂ U ∩ V

Chứng minh (1) Giả sử U ∈ Bx Khi đó, vì Bx ⊂ U nên U là một lân cậncủa x Điều này chứng tỏ rằng x ∈ U Ngoài ra, vì X là một lân cận của

x nên tồn tại B ∈ Bx sao cho x ∈ B ⊂ X Như vậy, Bx 6= ∅

(2) Giả sử U, V ∈ Bx Khi đó, U, V là các lân cận của x, kéo theo

U ∩ V là một lân cận của x Bởi vì Bx là cơ sở lân cận tại x nên tồn tại

W ∈ Bx sao cho W ⊂ U ∩ V

1.3 Tập hợp đóng và bao đóng của một tập hợp

Định nghĩa 1.3.1 Tập con A của một không gian topo (X, τ ) được gọi

là tập hợp đóng trong X nếu X\A ∈ τ

Định lí 1.3.2 Đối với không gian topo(X, τ ), các khẳng định sau là đúng.1) ∅, X là các tập hợp đóng;

Định lí 1.3.5 Giả sử A, B là các tập con của không gian topo (X, τ ).Khi đó, các khẳng định sau là đúng.

1) A luôn tồn tại và A ⊂ A;

(1) Bởi vì X là tập hợp đóng chứa A nên X ∈ F, kéo theo F 6= ∅.

Do đó, A luôn tồn tại Hơn nữa, vì A ⊂ F với mọi F ∈ F nên

(3) Giả sử A đóng Khi đó, vì A ⊂ A nên ta suy ra A ∈ F, kéo theo

A = T

{F : F ∈ F } ⊂ A.Kết hợp khẳng định (1) ta suy ra rằng A = A

Ngược lại, giả sử A = A Khi đó, nhờ khẳng định (2), A là tập hợpđóng, kéo theo A là tập hợp đóng trong X.

A ∪ B ⊂ A ∪ B

Mặt khác, theo khẳng định (2), A, B là các tập hợp đóng Do đó, nhờĐịnh lí 1.3.2 ý (2), A ∪ B là tập hợp đóng Như vậy, sử dụng khẳng định(3) và (5) ta suy ra rằng

Hơn nữa, vì A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B nên theo khẳng định (5) ta có

A ⊂ A ∪ B; B ⊂ A ∪ B.Điều này kéo theo rằng

Như vậy, từ (1.1), (1.2) ta suy ra A ∪ B = A ∪ B

(7) Theo Khẳng định (1) ta có A ⊂ A và B ⊂ B, kéo theo

A ∩ B ⊂ A ∩ B.Mặt khác, theo khẳng định (2),A vàB là các tập hợp đóng Hơn nữa, nhờĐịnh lí 1.3.2 ý (3), A ∩ B là tập hợp đóng Do đó, sử dụng khẳng định (3)

và (5) ta suy ra rằng

A ∩ B ⊂ A ∩ B = A ∩ B

Bây giờ, giả sử X =R với topo thông thường và

A = (0, 1), B = (1, 2).Khi đó, vì A = [0, 1], B = [1, 2] nên ta có

A ∩ B = ∅ = ∅ 6= {1} = A ∩ B.Như vậy, không xẩy ra đẳng thức trong khẳng định (7)

Định lí 1.3.6 Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau làtương đương

1) x ∈ A;

2) U ∩ A 6= ∅ với mọi lân cận U của x;

3) Tồn tại một cơ sở Bx của x sao cho U ∩ A 6= ∅ với mọi U ∈ Bx.Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử x ∈ A Ta chứng minh rằng với mọi lâncận U của x ta đều có

U ∩ A 6= ∅.Thật vậy, giả sử ngược lại rằng tồn tại lân cậnU củax sao cho U ∩ A = ∅.Bởi vì U là lân cận của x nên tồn tại V ∈ τ sao cho

Điều này mâu thuẫn với x ∈ A.

(2) =⇒ (3) Ta gọi Bx là họ gồm tất cả các lân cận của x Khi đó, hiểnnhiên rằng Bx là một cơ sở lân cận của x và

U ∩ A 6= ∅ với mọi U ∈ Bx

(3)=⇒ (1) Giả sử rằng tồn tại cơ sở lân cận Bxtạix sao choU ∩A 6= ∅

với mọi U ∈ Bx nhưng x /∈ A Khi đó, X \ A là một lân cận mở của x.Mặt khác, vì Bx là cơ sở lân cận tại x nên tồn tại U ∈ Bx sao cho

x ∈ U ⊂ X \ A.Suy ra U ∩ A ⊂ U ∩ A = ∅ Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiếtrằng U ∩ A 6= ∅

1.4 Phần trong của một tập hợp

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ).Khi đó, hợp của tất cả các tập hợp mở nằm trongA được gọi là phần trongcủa A và ký hiệu là IntA

Nhận xét 1.4.2 Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ )

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử x ∈ IntA Khi đó, tồn tại U ∈ G(A)

sao cho x ∈ U Bởi vì U ∈ G(A) nên U mở và U ⊂ A Như vậy, tồn tạilân cận U của x sao cho U ⊂ A

Điều kiện đủ Giả sử rằng tồn tại lân cận U của x sao cho U ⊂ A Bởi

vì U là lân cận của x nên tồn tại V ∈ τ sao cho

x ∈ V ⊂ U.Như vậy, V ∈ G(A) và x ∈ IntA

Định lí 1.4.4 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, A và B là các tậpcon của X Khi đó, các khẳng định sau là đúng

1) IntA là tập hợp mở lớn nhất nằm trong A;

2) Nếu A ⊂ B, thì IntA ⊂IntB;

3) A mở khi và chỉ khi IntA = A;

4) Int(A ∩ B) = IntA ∩IntB

Chứng minh (1) Suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.4.1

(2) Giả sử A ⊂ B Khi đó, G(A) ⊂ G(B) Suy ra IntA ⊂IntB

(3) Giả sử A mở Khi đó, vì A ⊂ A nên A ∈ G(A) Suy ra A ⊂ IntA.Nhờ khẳng định (1) ta suy ra A = IntA

Bây giờ, giả sử A = IntA Khi đó, theo khẳng định (1) ta suy ra A làtập hợp mở

(4) Theo khẳng định (1) ta có IntA ⊂ A và IntB ⊂ B, kéo theo

IntA ∩IntB ⊂ A ∩ B.Mặt khác, theo khẳng định (1), Int(A ∩ B) là tập hợp mở lớn nhất nằmtrong A ∩ B nên

IntA ∩IntB ⊂ Int(A ∩ B) (1.3)

Ngược lại, vì A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B nên theo Khẳng định (2) tasuy ra rằng

Int(A ∩ B) ⊂ IntA và Int(A ∩ B) ⊂ IntB

Do đó,

Int(A ∩ B) ⊂ IntA ∩IntB (1.4)

Từ (1.3) và (1.4) ta suy ra Int(A ∩ B) =IntA ∩IntB

Định lí 1.4.5 Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ) Khi

1.5.T1-không gian và T2-không gian

Định nghĩa 1.5.1 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Khi đó,

1) (X, τ ) được gọi là T1-không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y, tồntại các lân cận U của x và V của y sao cho x /∈ V và y /∈ U

2) (X, τ ) được gọi là T2-không gian hay là không gian Hausdorff nếu vớimọi x, y ∈ X mà x 6= y, tồn tại các lân cận U của x và V của y saocho U ∩ V = ∅

Định lí 1.5.2 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Khi đó,

1) T2-không gian =⇒ T1-không gian;

2) T1-không gian 6=⇒ T2-không gian

Chứng minh (1) Suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.5.1

(2) Giả sử X là tập hợp vô hạn và

τ = A ⊂ X : A = ∅ hoặc X \ A hữu hạn Khi đó, (X, τ ) là T1-không gian nhưng không là T2-không gian Thật vậy,(a) τ là một topo trên X

• Hiển nhiên rằng∅ ∈ τ Hơn nữa, vìX \ X = ∅ là hữu hạn nên X ∈ τ

• Giả sử A, B ∈ τ Khi đó, nếu A = ∅ hoặc B = ∅, thì

A ∩ B = ∅ ∈ τ

Bây giờ, nếu A 6= ∅ và B 6= ∅, thì X \ A và X \ B là các tập hữu hạn

Do đó, từ đẳng thức

X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B)

ta suy ra X \ (A ∩ B) là tập hữu hạn Như vậy, A ∩ B ∈ τ.

A 6= ∅, B 6= ∅, A ∩ B = ∅.Khi đó, A ⊂ X \ B Bởi vì B ∈ τ và B 6= ∅ nên X \ B là tập hữu hạn.Như vậy, A là tập con hữu hạn của X Hơn nữa, vì A 6= ∅, A ∈ τ nên

X \ A hữu hạn Điều này chứng tỏ rằng X là tập hữu hạn, đây là mộtmâu thuẫn

CHƯƠNG2 KHÔNG GIAN ĐỐI XỨNG VỚI sn-MẠNG

σ-HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về các mạng vàcác phủ trong không gian topo Nghiên cứu không gian đối xứng, ℵ-khônggian và không gian g-trải được mạnh Chứng minh chi tiết một số mốiliên hệ giữa các tính chất mạng trong không gian topo Nhờ đó, chúng tôichứng minh chi tiết được mối liên hệ giữa không gian đối xứng và ℵ-khônggian với không gian g-trải được mạnh Mục đích chính của chương này làtìm hiểu phép chứng minh chi tiết trong lời giải của Bài toán 3

Ngoài ra, trong toàn bộ chương này chúng tôi quy ước rằng tất cả cáckhông gian là Hausdorff

2.1 Cơ sở yếu, sn-mạng và cs-mạng

Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm về mạng và phủ.Chứng minh chi tiết một số kết quả liên quan đến cơ sở yếu, sn-mạng và

cs-mạng cũng như mối quan hệ giữa chúng

Định nghĩa 2.1.1 ([6]) Giả sử{xn}là một dãy trong không gian topoX

Ta nói rằng {xn} là dãy hội tụ đến x nếu với mọi lân cận U của x, tồn tại

{xi : i ≥ ik} ⊂ Pk

Như vậy, nếu ta đặt

m = max{ik : k = 1, 2, , n},thì ta suy ra rằng

{x} ∪ {xi : i ≥ m} ⊂ P

Điều này chứng tỏ rằng P là lân cận dãy của x trong X

Định nghĩa 2.1.4 ([6]) Giả sử P là họ gồm các tập con nào đó củakhông gian topo X Khi đó,

1) P được gọi là một mạng tại x trong X, nếu x ∈ P với mọi P ∈ P,

và với mọi tập con mở U trong X và với mọi x ∈ U, tồn tại P ∈ P

sao cho x ∈ P ⊂ U

2) P được gọi là một cs-mạng của X, nếu với mỗi dãy S hội tụ đến

x ∈ U với U mở trong X, tồn tại P ∈ P sao cho S từ một lúc nào

đó nằm trong P ⊂ U

3) P được gọi là một cs-phủ của X, nếu với mọi dãy L hội tụ đến x

trong X, tồn tại P ∈ P sao cho L từ một lúc nào đó nằm trong P.4) P được gọi là họ hữu hạn địa phương nếu với mọi x ∈ X, tồn tại mộtlân cận V của x sao cho V giao nhiều nhất hữu hạn phần tử của P.Định nghĩa 2.1.5 ([5]) Giả sử rằng

P = S

{Px : x ∈ X}

là một phủ của không gian topo X thỏa mãn các điều kiện sau với mọi

x ∈ X

(a) Px là một mạng tại x trong X

(b) Nếu P1, P2 ∈ Px, thì tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ P1 ∩ P2

Khi đó,

1) P được gọi là một cơ sở yếu của X, nếu với mọi tập con G ⊂ X, G

là mở trong X khi và chỉ khi với mọi x ∈ G, tồn tại P ∈ Px sao cho

P ⊂ G Lúc này ta nói rằng Px là một cơ sở lân cận yếu tại x.2) P được gọi là một sn-mạng của X, nếu mỗi phần tử của Px là lâncận dãy tại x với mọi x ∈ X Ta nói rằng Px là một sn-mạng tại x.Định lí 2.1.6 ([6]) Giả sử X là một không gian topo Khi đó,

1) Cơ sở là cơ sở yếu;

(1.1) Bx là mạng tại x.

Thật vậy, giả sử x ∈ U với U mở trong X Khi đó, vì B là cơ sở của X

nên tồn tại B ∈ B sao cho

x ∈ B ⊂ U.Điều này chứng tỏ rằng tồn tại B ∈ Bx sao cho

x ∈ B ⊂ U.Như vậy, Bx là mạng tại x

(1.2) Nếu B1, B2 ∈ Bx, thì tồn tại B ∈ Bx sao cho B ⊂ B1 ∩ B2

Thật vậy, vì B1 ∩ B2 là lân cận mở của x và B là cơ sở của X nên tồntại B ∈ B sao cho

x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2

Như vậy, tồn tại B ∈ Bx sao cho B ⊂ B1 ∩ B2

(2) Giả sử P = S

{Px : x ∈ X} là một sn-mạng của X Nhờ Địnhnghĩa 2.1.5 ta suy ra rằng để chứng minh P là sn-mạng ta chỉ cần chứng

tỏ mỗi phần tử củaPx là lân cận dãy củax Thật vậy, giả sử ngược lại rằngtồn tại x ∈ X và Px ∈ Px sao cho Px không là lân cận dãy của x Do đó,