Không gian tôpô đối xứng

và chứng minh một số tính chất tương tự như đối với khônggian mêtric vẫn đứng cho các không gian này.. Mục đích của khoá luận là nghiên cứu các tính chất của khônggian tôpô đối xứng, từ

LỜI MỞ ĐẦU

Không gian mêtric là một không gian tôpô đặc biệt, nó có nhiềutính chất và trực quan Để mở rộng lớp không gian này người ta thườnggiảm nhẹ các điều kiện trong mêtric Từ đó người ta thu được các khônggian giả mêtric, nửa mêtric, o-mêtric, không gian đối xứng, không gian

τ -đối xứng và chứng minh một số tính chất tương tự như đối với khônggian mêtric vẫn đứng cho các không gian này

Không gian tôpô đối xứng và không gian τ -đối xứng là hai lớpkhông gian rộng hơn không gian mêtric

Mục đích của khoá luận là nghiên cứu các tính chất của khônggian tôpô đối xứng, từ đó nghiên cứu xem các tính chất của không giantôpô đối xứng có còn thoả mãn với lớp không gian rộng hơn là không gian

τ -đối xứng nữa hay không? Với mục đích trên, khoá luận được trình bàytheo ba phần

§1 Các khái niệm cơ bản

Mục này dành cho giới thiệu lại một số khái niệm và kết quả cơbản cần dùng trong luận văn

§2 Không gian tôpô đối xứng

Mục này dành cho việc định nghĩa và chứng minh các tính chấtcủa không gian tôpô đối xứng, mối quan hệ của nó với một số không giantôpô đặc biệt

§3 Không gian τ -đối xứng

Đây là nội dung chính của luận văn Trong mục này, chúng tôi đềxuất và chứng minh một số tính chất của không gian τ -đối xứng, nghiêncứu mối quan hệ của nó với không gian tôpô đối xứng và các không giantôpô đặc biệt khác Sau đó, xét đến tính d-hội tụ và tính Cauchy của cácdãy trong không gian τ -đối xứng

Trong quá trình tìm tòi nghiên cứu thực hiện khoá luận, chúng tôicòn đặt ra một số vấn đề khác nữa nhưng do điều kiện thời gian và năng

lực cùng khuôn khổ của khoá luận không cho phép nên chúng chưa đượcgiải quyết Chúng tôi hy vọng sẽ giải quyết trong thời gian tiếp theo.

Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đếnthầy giáo PGS TS Đinh Huy Hoàng, người đã trực tiếp tận tình hướngdẫn tôi hoàn thành khoá luận này Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy,

cô giáo trong Khoa Toán, trường Đại Học Vinh đã quan tâm, giúp đỡ tôitrong suốt quá trình học tập, đặc biệt là các thầy, cô giáo trong tổ Giảitích

Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên khoá luận nàychắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được thầy, cô

và các bạn góp ý bổ sung Tôi xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 5 năm 2009

Tác giả

§1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trước khi đi vào nội dung chính,chúng ta cần nhắc lại một số kháiniệm và kết quả cơ bản của tôpô đại cương được sử dụng trong luận văn

ở đây, chúng ta chỉ trình bày các kết quả, còn phần chứng minh có thểtham khảo trong các tài liệu

1.1 Định nghĩa ([1]) Họ P các tập con của không gian X được gọi là phủcủa tập con A trong X nếu A ⊂ ∪{P : P ∈ P}.Ta viết ∪{P : P ∈ P}

Họ P các tập con của không gian X được gọi là một phủ của khônggian X nếu X ⊂ ∪ P

Phủ P của không gian tôpô X được gọi là phủ đếm được theo điểmnếu mỗi điểm x ∈ X chỉ thuộc nhiều nhất là đếm được tập thuộc P.1.2 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là T1-không gian nếu vớihai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x 6= y tồn tại các lân cận tương ứng Ux, Uy của

x và y sao cho y /∈ Ux và x /∈ Uy

Không gian tôpô X được gọi là T2-không gian nếu với hai điểm bất kỳ

x, y ∈ X, x 6= y tồn tại các lân cận tương ứng Ux, Uy của x và y sao cho

Chúng ta giới thiệu một số khái niệm về phủ

Cho không gian tôpô X, P là một phủ của X Ký hiệu P<w là họ tất

cả các tập con hữu hạn của P Ta có các định nghĩa sau

1.4 Định nghĩa P được gọi là một lưới nếu với bất kỳ U mở trong X,

x ∈ U thì tồn tại F ∈ P<w sao cho x ∈ ∪ F ⊂ U

1.5 Định nghĩa Giả sử phủ P của không gian tôpô X được xác địnhbởi P = ∪{Px : x ∈ X} trong đó mỗi Px là họ các tập con chứa x của Xsao cho

i) Mỗi Px đều là một lưới tại x, nghĩa là với mọi lân cận U của x đềutồn tại P ∈ Px mà P ⊂ U

ii) Nếu P1, P2 ∈ Px thì đều tồn tại P3 ∈ Px mà P3 ⊂ P1 ∩ P2

Phủ P được gọi là một sn-lưới của X nếu mỗi P ∈ Px là một lân cậndãy của x

Phủ P được gọi là một cơ sở yếu của X nếu mỗi tập con G của X làtập mở khi và chỉ khi với mỗi x ∈ G luôn tồn tại P ∈ Px mà P ⊂ G.1.6 Định nghĩa Tập con P của không gian tôpô X được gọi là một lâncận dãy của x trong X nếu với mọi dãy {xn} hội tụ về x thì luôn tồn tại

n0 sao cho xn ∈ P với mọi n ≥ n0

1.7 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là không gian dãy nếuthoả mãn: mỗi tập con A của X là đóng khi và chỉ khi không có dãy {xn}trong A hội tụ về điểm x không thuộc A

Không gian tôpô X được gọi là không gian Frechet nếu với mỗi tậpcon A của X và mọi phần tử x ∈ A luôn tìm được dãy {xn} trong A hội

tụ về x

1.8 Định nghĩa Cho X là một không gian tôpô Tập con M của X đượcgọi là một cái quạt tại x của X, nếu M có thể biểu diễn dưới dạng:

M = {x} ∪ { ∪ {xnm : m ∈ N} : n ∈ N},trong đó {xnm : m ∈ N}n∈N là vô hạn đếm được dãy rời nhau của X, màmỗi dãy đều hội tụ về x

Tập con C của quạt M tại x được gọi là một đường chéo của M nếu

C có giao với vô hạn dãy của quạt M và đồng thời C là một dãy hội tụ

về một điểm trong quạt M

Một quạt mà không có đường chéo nào được gọi là một tập Sw.

Không gian tôpô X được gọi là α4-không gian nếu với mỗi điểm x trong

X, mọi cái quạt tại x đều có đường chéo hội tụ về x

1.9 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là snf-không gian đếmđược nếu X có một sn-lưới ∪{Px : x ∈ X} trong đó mỗi Px là tập đếmđược

Không gian tôpô X được gọi là gf-không gian đếm được nếu X có một

cơ sở yếu P = ∪{Px : x ∈ X} trong đó mỗi Px là tập đếm được

Không gian tôpô X được gọi là A-không gian nếu {An : n ∈ N} là mộtdãy giảm với x ∈ An\{x} với mọi n ∈ N thì tìm được Bn ⊂ An sao cho

∪{Bn : n ∈ N} không đóng trong X

§2 KHÔNG GIAN TÔPÔ ĐỐI XỨNG

Trong mục này, ta sẽ trình bày một loại không gian đặc biệt, đó làkhông gian tôpô đối xứng Nó được nghiên cứu bởi G.Grnenhage [3] vànhiều nhà toán học khác ở đây, ta sẽ đưa ra và chứng minh một số tínhchất của không gian tôpô đối xứng, không gian nửa mêtric trong mối quan

hệ với các loại không gian đã đưa ra trong các mục trước và các phủ, đặcbiệt là các phủ đếm được theo điểm.Các kết quả trong mục này được lấytrong các tài liệu [1] và [4]

2.1 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là không gian đối xứngnếu tồn tại hàm số d : X × X → R thoả mãn

2.4 Mệnh đề Không gian tôpô đối xứng là T1-không gian

Chứng minh Ta cần chứng minh với mọi x ∈ X thì {x} là tập đóng,hay M = X\{x} là tập mở Thật vậy, với mọi y ∈ M thì y 6= x nênd(x, y) = ε > 0 Khi đó tồn tại n ∈ N sao cho 1

n < ε Do đó x /∈ Sn(y) ={z ∈ X : d(y, z) < 1

n} Vì thế nên Sn(y) ⊂ X\{x} = M Vậy M là tậpmở

2.5 Mệnh đề [1] Không gian tôpô đối xứng không phải là T2-không gian.2.6 Nhận xét a.Không gian tôpô đối xứng không phải là không gianchính quy

b.Tập Sn(x) = {y ∈ X : d(x, y) < 1

n} không đóng, không mở

c.Tập Sn0(x) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ 1

n} không đóng, không mở

d.Không gian tôpô đối xứng không phải là không gian chuẩn tắc

Chứng minh a Trong Mệnh đề 2.4, dễ thấy tập một điểm {x} là tậpđóng vì X\{x} ∈ τ Kết hợp với (X, τ ) không phải là T2 - không gian tasuy ra (X, τ ) không phải là không gian chính quy

b Với không gian tôpô (X, τ ) trong Ví dụ 2.3

Lấy x = 1 ∈ Ox Ta có S1(1) = (0, 2)x∪ (0, ∞)y ∈ τ , trong đó (0, 2)/ x ⊂

Ox, (0, ∞)y ∈ Oy Do đó S/ 1(1) không mở

Vì X\S1(1) = [2, ∞)x ∈ τ nên S/ 1(1) không là tập đóng

c Với không gian tôpô (X, τ ) trong Ví dụ 2.3

Lấy x = 1 ∈ Ox Ta có S10(1) = (0, 2]x ∪ (0, ∞)y ∈ τ X\S/ 0

1(1) =(2, ∞)x ∈ τ Do đó S/ 0

1(1) không đóng, không mở

d Vì X không chính quy nên X không chuẩn tắc

2.7 Mệnh đề Không gian tôpô đối xứng là gf-không gian đếm được.Chứng minh Giả sử X là không gian tôpô đối xứng Xét phủ P =

∪{Px : x ∈ X}, trong đó Px = {Sn(x) : n ∈ N} Giả sử U là lân cận của

x Khi đó tồn tại V mở sao cho x ∈ V ⊂ U Do đó tồn tại n ∈ N sao cho

Sn(x) ⊂ V ⊂ U , hay tồn tại P = Sn(x) ∈ Px sao cho P ⊂ U Vậy Px làmột lưới tại x

Giả sử U, V ∈ Px với U = Sn(x), V = Sm(x), m ≤ n Ta có U ∩ V =

U = Sn(x) Chọn n0 ∈ N sao cho n0 > n Khi đó

W = Sn0(x) ⊂ Sn(x) ⊂ U ∩ V Vậy với U, V ∈ Px thì tồn tại W ∈ Px sao cho W ⊂ U ∩ V

Với G ⊂ X, ta có G mở khi và chỉ khi mỗi x ∈ G luôn tồn tại P =

Sn(x) ∈ Px sao cho P ⊂ G

Như vậy P là một cơ sở yếu của X Mặt khác, với mỗi x thì Px là tậpđếm được Vậy X là gf -không gian đếm được

2.8 Hệ quả Mọi không gian tôpô đối xứng là A-không gian

2.9 Mệnh đề Không gian tôpô đối xứng Hausdorff là không gian dãy.Chứng minh Giả sử X là không gian tôpô đối xứng Xét phủ P =

∪{Px : x ∈ X}, trong đó Px = {Sn(x) : n ∈ N} Theo chứng minh Mệnh

đề 2.7 thì P là một cơ sở yếu của X

Bây giờ ta chứng minh rằng mỗi tập con A của X là đóng khi và chỉkhi mọi dãy trong A nếu hội tụ thì hội tụ về một điểm trong A Thậtvậy, giả sử A là tập con đóng của X Khi đó X\A là tập mở nên với mọi

x ∈ X\A, tồn tại lân cận U của x sao cho U ⊂ X\A Do đó không thểtồn tại một dãy trong A hội x ∈ X\A, bởi vì nếu xn → x thì tồn tại n0sao cho xn ∈ U với mọi n ≥ n0 Vì thế mọi dãy trong A nếu hội tụ thì sẽhội tụ về một điểm trong A

Ngược lại, giả sử mọi dãy hội tụ trong A đều hội tụ về một điểm trong

A Ta chứng minh A đóng bằng phản chứng Giả sử A không đóng Khi

đó X\A không mở nên tồn tại x ∈ X\A sao cho Sn(x) ∩ A 6= ∅ với mọi

n ∈ N Từ đó ta xây dựng dãy {xn : n ∈ N} trong A như sau: Với mỗi

n ∈ N ta lấy xn ∈ Sn(x) ∩ A Khi đó với U là lân cận bất kỳ của x, tồntại n0 ∈ N sao cho Sn 0(x) ⊂ U , suy ra

xn ∈ Sn(x) ∩ A ⊂ Sn0(x) ⊂ U, ∀n ≥ n0.hay xn ∈ U với mọi n ≥ n0 Do đó {xn : n ∈ N} là dãy hội tụ về x Mặtkhác, {xn} ⊂ A nên x ∈ A, mâu thuẫn với x ∈ X\A Từ đó suy ra A

Vậy X là không gian dãy

2.10 Mệnh đề Không gian tôpô đối xứng Hausdorff là snf-không gianđếm được

Chứng minh Giả sử X là không gian tôpô đối xứng Hausdorff Xét phủ

P = ∪{Px : x ∈ X}, trong đó Px = {Sn(x) : n ∈ N} Ta có P là một cơ sởyếu của X Ta chứng minh P là một sn-lưới, hay mỗi P ∈ Px là một lâncận dãy của x Giả sử tồn tại P0 ∈ Px mà P0 không phải là lân cận dãycủa x Khi đó ắt tồn tại dãy {xn : n = 1, 2, } ⊂ X\P0 sao cho xn → x

Từ đó {xn : n = 1, 2, } không phải là tập đóng vì x /∈ {xn : n = 1, 2, }.Suy ra X\{xn : n = 1, 2, } không phải là tập mở Mặt khác, ta lại có{xn : n = 1, 2, } ∪ {x} là tập đóng nên X\({xn : n = 1, 2, } ∪ {x}) làtập mở Khi đó, lấy một điểm bất kỳ y ∈ X\{xn : n = 1, 2, }

Nếu y = x thì tồn tại P0 ∈ Px sao cho P0 ⊂ X\{xn : n = 1, 2, }.Nếu y 6= x thì y ∈ X\({xn : n = 1, 2, } ∪ {x}) Do đó tồn tại P ∈ Pysao cho y ∈ P ⊂ X\({xn : n = 1, 2, } ∪ {x}) ⊂ X\{xn : n = 1, 2, }.Vậy với mọi y ∈ X\{xn : n = 1, 2, } tồn tại P ∈ Py sao cho y ∈ P ⊂X\{xn : n = 1, 2, } hay với mọi y ∈ X\{xn : n = 1, 2, } tồn tại n ∈ Nsao cho Sn(y) ⊂ X\{xn : n = 1, 2, }, suy ra X\{xn : n = 1, 2, } mở.Đây là điều mâu thuẫn Do đó P là một sn-lưới

Hiển nhiên Px là đếm được với mỗi x ∈ X Vậy ta có X là snf -khônggian đếm được

2.11 Mệnh đề Không gian tôpô đối xứng Hausdorff là α4-không gian.Chứng minh Giả sử X là không gian tôpô đối xứng Hausdorff Ta cầnchứng minh với mỗi x ∈ X, mọi cái quạt tại x đều có đường chéo hội tụtới x

Giả sử M là cái quạt tại điểm x bất kỳ trong X Khi đó M có thểbiểu diễn dưới dạng M = {x} ∪ {∪{xnm : m ∈ N} : n ∈ N}, trong đó

{xnm : m ∈ N}n∈N là đếm được dãy rời nhau của X và xnm → x khi

m → ∞; n = 1, 2,

Do X là không gian tôpô đối xứng nên phủ P = ∪{Px : x ∈ X}, trong

đó Px = {Sn(x) : n ∈ N} là một sn-lưới Do đó mỗi Sn(x) là một lân cậndãy của x Suy ra với mỗi k ∈ N và mỗi Sn(x) ắt tồn tại mnk sao cho

xkm ∈ Sn(x) với mọi m ≥ mnk Vì thế với mỗi k ∈ N và mỗi n ∈ N thì{xkm : m ∈ N} ∩ Sn(x) 6= ∅

Ta xây dựng đường chéo như sau: C = {yn : n ∈ N} như sau: với mỗi

n ∈ N chọn yn ∈ Sn(x) ∩ {xnm : m ∈ N} Khi đó, với mỗi n ∈ N thì

C ∩ {xnm : m ∈ N} = {yn} 6= ∅ Do đó C là tập có giao với vô hạn dãycủa M

Nếu U là lân cận của x thì tồn tại n0 ∈ N sao cho Sn0(x) ⊂ U Suy ra

yn ∈ Sn(x) ⊂ Sn0(x) ⊂ U với mọi n ≥ n0 hay yn ∈ U với mọi n ≥ n0 Từ

đó ta có {yn} là một dãy hội tụ về x Như vậy, mọi cái quạt tại x ∈ Xđều có đường chéo hội tụ về x Vậy X là α4-không gian

2.12 Mệnh đề Không gian nửa mêtric là không gian Frechet

Chứng minh Giả sử X là không gian nửa mêtric và A ⊂ X Ta chứngminh với mọi x ∈ A luôn tồn tại dãy {xn} trong A hội tụ về x Thật vậy,nếu x ∈ A thì d(x, A) = 0 Ta xây dựng dãy {xn} ⊂ A hội tụ về x nhưsau:

Xét hình cầu Sn(x) = {y ∈ X : d(x, y) < 1

n} Từ d(x, A) = 0 suy ra

Sn(x) ∩ A 6= ∅ với mọi n ∈ N Lấy xn ∈ Sn(x) ∩ A, n = 1, 2, , ta xâydựng được {xn} ⊂ A

Giả sử U là lân cận của x Khi đó tồn tại tập mở V ⊂ U sao cho x ∈ V ,

do đó tồn tại n0 ∈ N sao cho Sn 0(x) ⊂ V ⊂ U Vì thế xn ⊂ Sn(x) ⊂ V ⊂ Uvới mọi n ≥ n0, tức là xn → x khi n → ∞

Vây X là không gian Frechet

2.13 Mệnh đề Không gian nửa metric là không gian tôpô đối xứng,Frechet

Chứng minh Giả sử X là không gian nửa mêtric Khi đó tồn tại hàm số

d : X × X → R, thoả mãn ba điều kiện:

Giả sử A ⊂ X, A mở Khi đó X\A đóng nên X\A = X\A Từ đó, ta

có y ∈ X\A khi và chỉ khi d(y, X\A) = 0 và x ∈ X\A khi và chỉ khid(x, X\A) > 0 Từ đó, với x ∈ A ta có d(x, X\A) = ε > 0 Chọn n ∈ Nsao cho 1

n < ε Khi đó

Sn(x) = {y ∈ X : d(x, y) < 1

n} ⊂ A

Vậy tồn tại n ∈ N sao cho Sn(x) ⊂ A

Ngược lại, giả sử A ⊂ X sao cho với mọi x ∈ A, tồn tại n ∈ N sao cho

Sn(x) ⊂ A Ta chứng minh A là tập mở Đặt H = X\A \(X\A) Giả sử

H 6= ∅ Khi đó tồn tại x ∈ H Điều này tương đương với



x ∈ X \ A

x ∈ A

Do x ∈ A nên tồn tại n ∈ N sao cho Sn(x) ⊂ A Vì thế d(x, X\A) > 0

Mà x ∈ X\A nên d(x, X\A) = 0 Đây là một điều mâu thuẫn Do đó

H = ∅, tức là X\A = X\A vì thế X\A đóng, hay A mở

Vậy (X, d) là không gian tôpô đối xứng

Giả sử A ⊂ X và x ∈ A khi đó d(x, A) = 0, với mọi n = 1, 2, vìd(x, A) = 0 nên Sn(x) ∩ A 6= ∅ Lấy xn ∈ Sn(x) ∩ A, n = 1, 2, Ta được{xn} ⊂ A Giả sử U là một lân cận của x Khi đó tồn tại m ∈ N sao cho

Sm(x) ⊂ U

Do đó xn ∈ Sm(x) ⊂ U với mọi n > m Như vậy xn → x và do đó X làkhông gian Frechet

2.14 Mệnh đề Giả sử X là không gian tôpô đối xứng Khi đó X là khônggian nửa mêtric khi và chỉ khi với

U ⊆ B(x, r) Lấy z ∈ U , thế thì z ∈ X\E nên z /∈ E Vì vậy z /∈ E chonên z ∈ B(r, x) Từ đó U ⊆ B(x, r)

Vậy B(x, r) là lân cận của x

Ngược lại, giả sử B(x, r) là lân cận của x với mọi r > 0 Ta chứng minh

A = Ad

Ta có A ⊆ Ad Vì với x ∈ A thì tồn tại dãy {xn} ⊂ A hội tụ tới x, do

đó d(xn, x) → 0 nên d(x, A) = 0 hay x ∈ Ad

Ta chứng minh Ad ⊆ A Thật vậy:

Lấy x ∈ Ad thì d(x, A) = 0 Giả sử x /∈ A thế thì x ∈ X\A - mở Khi

đó tồn tại B(x, r) ⊂ X\A nên d(x, A) ≥ d(x, A ≥ r(vô lý) Do đó x ∈ Acho nên Ad ⊆ A

Vậy A = Ad

§3 KHÔNG GIAN τ - ĐỐI XỨNG

Trong §2, chúng ta đã nghiên cứu một số tính chất của không gianđối xứng Trong mục này, chúng ta sẽ xây dựng một lớp không gian tổngquát hơn không gian đối xứng và xét xem các tính chất tương tự như đốivới không gian đối xứng còn đúng cho lớp không gian này nữa hay không?3.1 Định nghĩa ([2]) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô và hàm d :

X × X → R Hàm d được gọi là hàm τ -đối xứng trên X nếu thoả mãncác điều kiện sau

Không gian tôpô (X, τ ) cùng với một hàm τ -đối xứng trên nó được gọi

là không gian τ -đối xứng

3.2 Nhận xét Từ định nghĩa không gian đối xứng và Định nghĩa 3.1 suy

ra rằng, mỗi không gian đối xứng là không gian τ -đối xứng Ví dụ sau chothấy tồn tại không gian τ -đối xứng nhưng không đối xứng

3.3 Ví dụ ([2]) Cho X = [0, ∞) và d(x, y) = |x − y|(mêtric thôngthường) Xét hàm p : X × X → R+ được xác đinh bởi