Bài toán biên Elip mở rộng trong nửa không gian cho phương trình với hệ số hằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -LÊ THỊ CHUNG BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC MỞ RỘNG TRONG NỬA KHÔNG GIAN CHO PHƯƠNG TRÌNH VỚI HỆ SỐ HẰNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC... Mục lục1 Các đ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

-LÊ THỊ CHUNG

BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC MỞ RỘNG TRONG NỬA KHÔNG GIAN CHO PHƯƠNG TRÌNH VỚI HỆ SỐ HẰNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Mục lục

1 Các đánh giá đối với bài toán biên trên nửa đường thẳng 3

1.1 Bài toán biên trên nửa đường thẳng Các đánh giá 3

1.1.1 Toán tử vi phân với hệ số hằng 3

1.1.2 Bài toán biên trên nửa đường thẳng 3

1.1.3 Đánh giá trên nửa đường thẳng 5

1.2 Một số bổ đề 6

1.3 Chứng minh Định lý 1.1 12

2 Bài toán biên cho nửa không gian 17 2.1 Biến đổi Fourier và một số không gian hàm 17

2.1.1 Toán tử vi phân đạo hàm riêng với hệ số hằng 17

2.1.2 Biến đổi Fourier trên Rn 18

2.1.3 Không gian S (Rn) 19

2.1.4 Không gian Hs(Rn) , s ∈ R 19

2.1.5 Không gian Hr,s(Ω) , s ∈ R, r ∈ N 19

2.2 Đánh giá đối với bài toán biên với điều kiện biên thuần nhất 20 2.2.1 Bài toán biên với điều kiện biên thuần nhất 20

2.2.2 Đánh giá đối với bài toán biên trong nửa không gian 21 2.2.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán biên 22

2.3 Một số ví dụ 24

2.4 Bài toán biên với điều kiện biên không thuần nhất 30

Kết luận 34

Tài liệu tham khảo 35

Luận văn gồm Mở đầu, hai chương, Kết luận và Tài liệu tham khảo.

Chương I: Nghiên cứu bài toán biên cho phương trình vi phân thường trênnửa đường thẳng với hệ số hằng Trong chương này đã đưa ra đánh giá đốivới nghiệm trên nửa đường thẳng

Chương II: Trình bày bài toán biên cho phương trình eliptíc với cấp bất

kỳ trong nửa không gian Trong đó số điều kiện biên sẽ bằng số các nghiệmđặc trưng của phương trình với phần ảo dương Trên cơ sở kết quả Chương

I, Luận văn đã trình bày đánh giá tiên nghiệm của bài toán, phát biểu vàchứng minh định lý về tồn tại duy nhất nghiệm sau đó đưa ra một số ví dụminh họa

Luận văn được hoàn thành với tài liệu tham khảo chính là chương 7 cuốn

M Schechter, 1977, Modern Methods in Partial Differential Equations, AnIntroduction, McGraw-Hill Inc

1.1.1 Toán tử vi phân với hệ số hằng

Trong chương này ta ký hiệu t là biến độc lập, biến thiên trên đườngthẳng R Toán tử vi phân thường với hệ số hằng có dạng:

được gọi là đa thức đặc trưng của toán tử P (Dt)

1.1.2 Bài toán biên trên nửa đường thẳng

Xét bài toán biên trên nửa đường thẳng sau đây

Ta có toán tử

P (Dt)u = f (t) t > 0 (1.1)với điều kiện biên

Qi(Dt) u|t=0 = Ui, i = 1, 2, 3, , r (1.2)trong đó

Giả sử phương trình P(z)=0 không có nghiệm thực và có r nghiệm phức kể

cả bội với phần ảo dương

Do đó, nếu τ1, τ2, , τm là các nghiệm, chúng ta có thể sắp thứ tự chúng saocho

chúng ta có r đa thức như vậy Đặt

1.1.3 Đánh giá trên nửa đường thẳng

Dưới đây ta phát biểu định lý quan trọng nhất của Chương 1

Xét ma trận Hermitian A = (αij) , B = (βij) trong đó αij và βij được xácđịnh tương ứng bởi (1.7) và (1.8) Chúng ta sẽ chứng minh định lý sau đây

Định lý 1.1 Giả sử tồn tại ma trận A−1 và tồn tại một hằng số K1, saocho

Nếu R(z) là đa thức bất kỳ thoả mãn

|R (τ )| 6 C1|P (τ )| τ R (1.10)thì tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc vào C1 và K1, sao cho

Ui = Qi(Dt) u (0) 1 ≤ i ≤ r (1.12)Bất đẳng thức (1.9) có nghĩa là với mọi véc tơ U = (U1, , Ur), ta có

U∗BA−1BU ≤ K1U∗BU

Phần chứng minh sẽ được trình bày trong Mục 1.3

Dưới đây ta sẽ thường dùng f (h) sẽ là biến đổi Fourier của hàm h thay vì

thì G(z) là một hàm nguyên bị chặn trong nửa mặt phẳng phức với Imz ≤ 0

Tương tự, nếu f ∈ S (−∞, 0) và H(z) được cho bởi

Từ Bổ đề 1.1 hàm G(z) = (Dt − i)2w là một hàm nguyên bị chặn trong nửamặt phẳng dưới Do đó chúng ta có

∞

R

−∞

˜wdτ =

∞

R

−∞

G(τ )dτ (τ −i)2 − iu (0)

∞

R

−∞

τ dτ (τ −i)2

Hơn thế nữa, từ Bổ đề 1.2, hàm H(z) = (Dt + i)2g là hàm nguyên và bịchặn Do đó

∞

Z

−∞

H (τ ) dτ(τ + i)2 = 0

Kết hợp 4 đẳng thức cuối cùng, chúng ta có được kết quả mong muốn



Các bổ đề trên có những hệ quả sau

Hệ quả 1.1 Với các giả thiết của Bổ đề 1.1 ta có

Hệ quả 1.2 Với các giả thiết tương tự, nêú P(z) là một đa thức của m, thì

F (P (Dt) w) = P (τ ) ˜w + T1(τ ) (1.27)

F (P (Dt) g) = P (τ ) ˜g + T2(τ ) (1.28)trong đó T1(z) và T2(z) là các đa thức có bâc nhỏ hơn m

Chứng minh Sử dụng Hệ quả 1.1 

Hệ quả 1.3 Giả sử u ∈ S (0, +∞) , v ∈ S (−∞, 0) và

Dtku (0) = Dtkv (0) ; 0 ≤ k ≤ m (1.29)Đặt

g

Dtth = Dgttw +Dgttg = τk(w +e eg) = τkeh

Hệ quả 1.4 Nếu j<k và w được cho bởi đẳng thức (1.13), thì

Q (τ ) F [(P (Dt) w)] − P (τ ) F [(Q (Dt) w)] (1.32)Chứng minh Sử dụng đẳng thức (1.25) 

Hệ quả 1.5 Giả sử P (z) = Pm

k=0akzk Q (z) = Pm

k=0bjzj là các đathức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng m Nếu w đươc cho bởi (1.13), thì

với g được cho bởi phương trình (1.16)

Chứng minh Do tất cả các nghiệm của P(z) có phần ảo âm, chúng ta cócách tính tích phân sau

RkeikθiReiθdθ

Tích phân trên sẽ có giới hạn là −π i

a r khi R → ∞ trong trường hợp k = r-1

và có giới hạn là 0 khi R → ∞ trong trường hợp 0 ≤ k < r − 1,

trong đó ar là một hệ số của zr trong P(z) Hơn nữa, từ Hệ quả 1.5, vế tráicủa đẳng thức (1.33) bằng

Bây giờ, từ đẳng thức (1.22)

F P+(Dt) P (Dt) g
= P+(τ ) F (P (Dt) g) − T (τ ) (1.39)trong đó T(z) là đa thức có bậc nhỏ hơn r Do đó, từ (1.36)

G = F (P (Dt) g) = T (τ )

P+(τ ) (1.40)

Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng các đa thứcQj+ là các đa thứcđộc lập tuyến tính Thật vậy, giả sử tồn tại các hằng sốγ1, , γr không đồng

thời bằng không, sao cho

mà điều này mâu thuẫn với giả thiết ma trận A là không suy biến Do các

đa thức Qj+ là độc lập tuyến tính và có bậc nhỏ hơn r và có r đa thứcnhư vậy Chúng là một cơ sở cho không gian véc tơ các đa thức có bậc nhỏhơn r Do đó, tồn tại các hằng số λk, sao cho

trong đó V là véctơ cột với các phần tử Vj

Từ đa thức P(z) không có nghiệm thực và Qj− có bậc không nhỏ hơn m-r,các hàm Qj−

P− thuộcL2(−∞, ∞) Không gian con gồm tất cả các hàm có dạng

là hữu hạn chiều và đóng Do các phần tử của L2(−∞, ∞) có biểu diễn như

là tổng của hai phần tử, một chứa không gian con nói trên và một trực giaovới nó Đặt F (P (Dt) w) Do đó

R (τ ) ˜h

2

dτ

≤ C2 1

+∞

R

−∞

P (τ ) ˜h

... khơng gian cho phươngtrình với hệ số hằng& #34; trình bày tốn biên mở rộng cho phương trìnhelliptic thơng thường với hệ số cấp phương trình ellipticđược xét khơng thiết phải số chẵn số điều kiện biên. .. đượcquyết định số nghiệm đặc trưng với phần ảo dương

Trước hết toán biên xét nửa đường thẳng phươngtrình vi phân thường Sau mở rộng sang phương trình đạo hàm riêngelliptic nửa không gian với việc... data-page="21">

Với r số tự nhiên s số thực ta đưa vàoS (Ω) tích vơ hướng sau

2.2 Đánh giá toán biên với điều kiện biên< /h3>

thuần nhất

2.2.1 Bài toán biên với điều kiện biên