Không gian với cs∗ mạng chính quy theo điểm và bài toán của shou lin

Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp.. Arhangel’skii đã chứngminh rằng một không gian X là ảnh compact mở của một không gianmetric khi và chỉ khi X có cơ sở chính quy t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

——————————–

HUỲNH QUANG TÂM

KHÔNG GIAN VỚI cs∗-MẠNG CHÍNH QUY

CỦA SHOU LIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

——————————–

HUỲNH QUANG TÂM

THEO ĐIỂM VÀ BÀI TOÁN

CỦA SHOU LIN

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lương Quốc Tuyển

Đà Nẵng - 2018

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các sốliệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả

HUỲNH QUANG TÂM

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáohướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốtquá trình thực hiện để tôi có thể hoàn thành được luận văn này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy côgiáo đã tận tình dạy bảo tôi trong suốt thời gian học tập của khóa học.Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị trong lớp Cao họcToán giải tích K32-Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình họctập tại lớp

Huỳnh Quang Tâm

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 Cơ sở lý thuyết 4

1.1 Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp 4

1.2 Tập hợp đóng và bao đóng của một tập hợp 8

1.3 Phần trong của một tập hợp 14

1.4 Cơ sở và cơ sở lân cận của không gian topo 16

1.5 T 1 -không gian và T 2 -không gian 18

CHƯƠNG 2 Không gian với cs∗-mạng chính quy theo điểm và bài toán của Shou Lin 21

2.1 Các mạng trong không gian topo 21

2.2 Không gian với các mạng σ-mạnh 27

2.3 Không gian với cs∗-mạng chính quy theo điểm 30

2.4 Lời giải cho bài toán của Shou Lin 34

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Khái niệm cơ sở chính quy theo điểm đã được P S Alexandroff đưa ravào năm 1960 (xem trong [1]) Năm 1962, A V Arhangel’skii đã chứngminh rằng một không gian X là ảnh compact mở của một không gianmetric khi và chỉ khi X có cơ sở chính quy theo điểm (xem trong [2]) Sau

đó, S Lin đã đưa ra khái niệm ánh xạ 1-phủ-dãy vào năm 1996 (xem trong[6]), và tác giả cùng với P Yan đã chứng minh được rằng một không gian

X là ảnh compact 1-phủ-dãy của một không gian metric khi và chỉ khi X

có cs-mạng chính quy theo điểm, khi và chỉ khi X có sn-mạng chính quytheo điểm (xem trong [9]) Đến năm 2002, Y Ikeda, C Liu và Y Tanaka

đã chứng minh được một kết quả rằng nếu X là một không gian dãy với

cs∗-mạng chính quy theo điểm, thì X là π, s-ảnh thương của một khônggian metric (xem trong [4]), và các tác giả đã đặt ra bài toán mở sau

Bài toán 1 ([4], Question 18) Giả sử X là không gian dãy vớics∗- mạngchính quy theo điểm Hãy đặc trưng X bởi ảnh đẹp của một không gianmetric?

Ngoài ra, trong [4], các tác giả đã đưa ra khái niệm mạng σ-mạnh đểnghiên cứu tính chất ảnh của một không gian metric, và đã chứng minhđược rằng một không gian X là ảnh compact phủ-dãy của một khônggian metric khi và chỉ khi X có mạng σ-mạnh gồm các cs∗-phủ hữu hạntheo điểm Bởi vì mọi ảnh compact phủ-dãy của một không gian metric làkhông gian có cs∗-mạng chính quy theo điểm nên S Lin đã cho rằng chiềungược lại của mệnh đề này vẫn đúng và đã đặt ra bài toán mở sau

Bài toán 2 ([5], Question 3.3.20(2); [8], Question 4) Nếu X là khônggian với cs∗-mạng chính quy theo điểm, thì X có mạng σ-mạnh gồm các

cs∗-phủ hữu hạn theo điểm hay không?

Hai bài toán này đã được Trần Văn Ân và Lương Quốc Tuyển cho câu trảlời khẳng định vào năm 2011 trong [3]

Với mong muốn tìm hiểu về các tính chất của mạng σ -mạnh và lời giảichi tiết cho Bài toán 1 và Bài toán 2 cùng với sự định hướng của thầy giáoLương Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài: “Không gian với

cs∗-mạng chính quy theo điểm và bài toán của Shou Lin” làm đề tài luậnvăn thạc sỹ

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm tìm hiểu và làm rõ các vấn đề sau:

• Định nghĩa và các tính chất của mạng, cs∗-mạng, cs-mạng và cácmạng σ-mạnh

• Các phủ chính quy theo điểm và các tính chất của cs∗-mạng chínhquy theo đểm trên không gian topo

• Mối quan hệ giữa các mạng σ-mạnh, các mạng chính quy theo điểm

• Lời giải chi tiết cho Bài toán 2

3 Đối tượng nghiên cứu

Không gian với cs∗-mạng chính quy theo điểm và các tính chất của

cs∗-mạng chính quy theo đểm trên không gian topo, mối quan hệ giữa cácmạng σ-mạnh, các mạng chính quy theo điểm

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trìnhthực hiện đề tài Bằng cách thu thập những bài báo liên quan với đề tàicủa các tác giả đi trước nhằm tìm được phép chứng minh chi tiết cho Bàitoán 2.

6 Tổng quan và cấu trúc luận văn

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày trong 2 chương Ngoài ra,luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở đầu, phần Kếtluận và Kiến nghị, Tài liệu tham khảo

Chương 1 : Một số kiến thức chuẩn bị

Trình bày về những kiến thức cơ bản cần thiết cho các phần sau như:không gian topo, tập mở, tập đóng,

Chương 2 : Không gian với cs∗-mạng chính quy theo điểm vàbài toán của Shou Lin

Chương này trình bày kiến thức về mạng, cs∗-mạng, cs-mạng, mạng

σ-mạnh, mạng chính quy theo điểm, các kết quả liên quan đến không gianvới cs∗-mạng, cs-mạng, mạng σ-mạnh, mạng chính quy theo điểm và lờigiải chi tiết cho các Bài toán 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức về topo đạicương, các khái niệm và các tính chất trong chương này được chúng tôitrình bày và chứng minh chi tiết nhằm hiểu thấu đáo hơn các kiến thức

về topo đại cương, cũng như nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kếtquả chính của chương sau

Sau đây là những ký hiệu được chúng tôi sử dụng trong toàn bộ luận văn

N = {1, 2, }, ω = N∪ {0}

1.1 Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử τ là họ gồm các tập con nào đó của tậphợp X thỏa mãn các điều kiện sau

(a) ∅, X ∈ τ;

(b) Nếu {Uα}α∈Λ ⊂ τ, thì S

α∈Λ

Uα ∈ τ;(c) Nếu U, V ∈ τ, thì U ∩ V ∈ τ

Khi đó,

1) τ được gọi là một topo trên X

2) Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo

3) Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở

4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó

• τ1, τ2 là các topo trên X.

• τ1 mạnh hơn τ2

• Trong (X, τ1), mỗi tập con vừa đóng vừa mở

Lúc này, ta nói rằng τ1 là topo rời rạc và τ2 là topo thô trên X

Ví dụ 1.1.5 Giả sử (X, d) là một không gian metric và

Khi đó, τ là một topo trên X và ta nói rằng τ là topo được sinh bởimetric d Đặc biệt, nếu X = R và metric d là khoảng cách thông thườngtrên R, nghĩa là

thì ta nói rằng τ là topo thông thường trên R

Định nghĩa 1.1.6 Giả sử A là một tập con của không gian topo

A ⊂ V ⊂ U

Ngoài ra, nếu U ∈ τ, thì ta nói rằng U là lân cận mở của A Đặc biệt,

Nhận xét 1.1.7 Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tậphợp mở, nhưng mỗi tập hợp mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó

Chứng minh (1) Giả sử X = {a, b, c} và

τ = ∅, X, {a}, {b, c} Khi đó, τ là một topo trên X và {a, b} là lân cận của a nhưng {a, b} /∈ τ.(2) Giả sử U là một tập hợp mở và x ∈ U Khi đó, nếu ta lấy V = U,

Điều này chứng tỏ rằng U là một lân cận của x

Bổ đề 1.1.8 Giả sử A là tập con của không gian topo (X, τ ) Khi đó,giao hữu hạn lân cận của A là lân cận của A

Chứng minh Giả sử U1, U2, , Un là các lân cận của A và U =

n

T

i=1

Ui.Khi đó, với mọi i = 1, 2, , n, tồn tại Vi ∈ τ sao cho

Điều này chứng tỏ rằng U là một lân cận của A

Nhận xét 1.1.9 Giao của một họ tùy ý gồm các lân cận của Acó thểkhông là một lân cận của A

Chứng minh Giả sử R là tập hợp gồm các số thực với topo thông thườngτ,

với mọi n ∈ N.

Từ chứng minh trên ta suy ra rằng tồn tại dãy gồm các lân cận mở của

0 trong R nhưng giao chúng lại không là lân cận của 0 trong R

Bổ đề 1.1.10 Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau làtương đương

1) U là tập hợp mở;

2) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó;

3) Với mọi x ∈ U, tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U

Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử U mở và x ∈ U Khi đó, nếu ta chọn

(2) =⇒ (3) Giả sử U là lân cận của mọi điểm thuộc nó và x ∈ U.Khi đó, U là một lân cận của x Như vậy, nếu ta chọn Vx = U, thì Vx làlân cận của x và

x ∈ Vx ⊂ U.(3) =⇒ (1) Giả sử với mọi x ∈ U, tồn tại lân cận Vx của x sao cho

x ∈ Vx ⊂ U.Khi đó, vì Vx là lân cận của x nên tồn tại Wx ∈ τ sao cho

x ∈ Wx ⊂ Vx.Hơn nữa, ta có

x∈U

Wx.Như vậy, theo Định nghĩa 1.1.1 ta suy ra rằng U ∈ τ

Như vậy, ∅ và X là các tập hợp đóng.

(2) Giả sử F1, F2, , Fn là các tập hợp đóng Khi đó,

X \ Fi ∈ τ với mọi i = 1, 2, , n.Hơn nữa, theo Định nghĩa 1.1.1 ta suy ra

Nhận xét 1.2.3 Hợp tùy ý các tập hợp đóng trong không gian topo

có thể không đóng Do đó, giao tùy ý các tập hợp mở có thể không mở.Chứng minh Giả sử R là tập hợp số thực với topo τ thông thường và

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử A là một tập con của không gian topo

là bao đóng của A và ký hiệu là A

Định lí 1.2.5 Giả sử A, B là các tập con của không gian topo (X, τ ).Khi đó, các khẳng định sau là đúng

7) A ∩ B ⊂ A ∩ B, và đẳng thức không xảy ra.

Chứng minh Giả sử rằng

Khi đó,

(1) Bởi vì X là tập hợp đóng chứa A nên X ∈ F, kéo theo F 6= ∅

Do đó, A luôn tồn tại Hơn nữa, vì A ⊂ F với mọi F ∈ F nên

(6) Theo khẳng định (1), A ⊂ A; B ⊂ B, kéo theo

A ∪ B ⊂ A ∪ B

Mặt khác, theo khẳng định (2), A, B là các tập hợp đóng Do đó, nhờĐịnh lí 1.2.2(2), A ∪ B là tập hợp đóng Như vậy, sử dụng khẳng định (3)

Như vậy, từ (1.1), (1.2) ta suy ra A ∪ B = A ∪ B

(7) Theo khẳng định (1) ta có A ⊂ A và B ⊂ B, kéo theo

Mặt khác, theo khẳng định (2), A và B là các tập hợp đóng Hơn nữa,nhờ Định lí 1.2.2(3), A ∩ B là tập hợp đóng Do đó, sử dụng khẳng định(3) và (5) ta suy ra rằng

Bây giờ, giả sử X =R với topo thông thường và

A = (0, 1), B = (1, 2).Khi đó, vì A = [0, 1], B = [1, 2] nên ta có

Như vậy, không xảy ra đẳng thức trong khẳng định (7)

Định lí 1.2.6 Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau làtương đương.

3) Tồn tại một cơ sở Bx của x sao cho U ∩ A 6= ∅ với mọi U ∈ Bx.Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử x ∈ A Ta chứng minh rằng với mọi lâncận U của x ta đều có

U ∩ A 6= ∅.Thật vậy, giả sử ngược lại rằng tồn tại lân cậnU củax sao cho U ∩ A = ∅.Bởi vì U là lân cận của x nên tồn tại V ∈ τ sao cho

Điều này mâu thuẫn với x ∈ A

(2) =⇒ (3) Ta gọi Bx là họ gồm tất cả các lân cận của x Khi đó, hiểnnhiên rằng Bx là một cơ sở lân cận của x và

(3)=⇒ (1) Giả sử rằng tồn tại cơ sở lân cận Bxtạix sao choU ∩A 6= ∅

với mọi U ∈ Bx nhưng x /∈ A Khi đó, X \ A là một lân cận mở của x.Mặt khác, vì Bx là cơ sở lân cận tại x nên tồn tại U ∈ Bx sao cho

x ∈ U ⊂ X \ A.Suy ra U ∩ A ⊂ U ∩ A = ∅ Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiếtrằng U ∩ A 6= ∅.

1.3 Phần trong của một tập hợp

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử A là một tập con của không gian topo

phần trong của A và ký hiệu là IntA

Nhận xét 1.3.2 Giả sử Alà một tập con của không gian topo (X, τ )

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử x ∈ IntA Khi đó, tồn tại U ∈ G(A)

sao cho x ∈ U Bởi vì U ∈ G(A) nên U mở và U ⊂ A Như vậy, tồn tạilân cận U của x sao cho U ⊂ A

Điều kiện đủ Giả sử rằng tồn tại lân cận U của x sao cho U ⊂ A Bởi

vì U là lân cận của x nên tồn tại V ∈ τ sao cho

Như vậy, V ∈ G(A) và x ∈ IntA

Định lí 1.3.4 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, A và B là cáctập con của X Khi đó, các khẳng định sau là đúng.

1) IntA là tập hợp mở lớn nhất nằm trong A;

2) Nếu A ⊂ B, thì IntA ⊂IntB;

3) A mở khi và chỉ khi IntA = A;

4) Int(A ∩ B) = IntA ∩IntB

Chứng minh (1) Suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.3.1

(2) Giả sử A ⊂ B Khi đó, G(A) ⊂ G(B) Suy ra IntA ⊂IntB

(3) Giả sử A mở Khi đó, vì A ⊂ A nên A ∈ G(A) Suy ra A ⊂ IntA.Nhờ khẳng định (1) ta suy ra A = IntA

Bây giờ, giả sử A = IntA Khi đó, theo khẳng định (1) ta suy ra A làtập hợp mở

(4) Theo khẳng định (1) ta có IntA ⊂ A và IntB ⊂ B, kéo theo

Mặt khác, theo khẳng định (1), Int(A ∩ B) là tập hợp mở lớn nhất nằmtrong A ∩ B nên

Ngược lại, vì A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B nên theo Khẳng định (2) tasuy ra rằng

Do đó,

Từ (1.3) và (1.4) ta suy ra Int(A ∩ B) =IntA ∩IntB

Định lí 1.3.5 Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ).Khi đó, ta có

Chứng minh Theo Định lí 1.2.5(1) ta có X \ A ⊂ X \ A, kéo theo

X \ X \ A ⊂ X \ (X \ A) = A

Nhờ Định lí 1.2.5(2), X \ A là tập hợp đóng, kéo theo X \ X \ A là tậphợp mở nằm trong A Do đó, X \ X \ A ∈ G(A), kéo theo

1.4 Cơ sở và cơ sở lân cận của không gian topo

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và B ⊂ τ

Ta nói rằng B là cơ sở của (X, τ ) (hay là cơ sở của τ) nếu mỗi phần tửcủa τ là hợp nào đó các phần tử của B

Nhận xét 1.4.2 Giả sử(X, τ )là một không gian topo, B ⊂ τ Khi đó,1) Nếu B là cơ sở của τ, thì mỗi phần tử của B là một tập hợp mởtrong X, nhưng mỗi tập hợp mở trong X có thể không thuộc B

2) B là cơ sở của không gian topo (X, τ ) khi và chỉ khi với mọi U ∈ τ

và với mọi x ∈ U, tồn tại V ∈ B sao cho

Điều kiện đủ Giả sử với mọi U ∈ τ và với mọi x ∈ U, tồn tại V ∈ B

sao cho x ∈ V ⊂ U và W ∈ τ Khi đó, với mọi x ∈ W, tồn tại Vx ∈ B sao

Như vậy, W là hợp nào đó các phần tử của B

Định lí 1.4.3 Giả sử B là một cơ sở của không gian topo (X, τ ).Khi đó, các khẳng định sau là đúng

1) Với mỗi x ∈ X, tồn tại U ∈ B sao cho x ∈ U;

2) Nếu U, V ∈ B, thì với mọi x ∈ U ∩ V, tồn tại W ∈ B sao cho

x ∈ W ⊂ U ∩ V.

Chứng minh (1) Giả sử x ∈ X Khi đó, vì x ∈ X ∈ τ và B là cơ sở của

X nên tồn tại U ∈ B sao cho x ∈ U ⊂ X

(2) Giả sử U, V ∈ B và x ∈ U ∩ V Khi đó, vì B ⊂ τ nên U, V ∈ τ,kéo theo U ∩ V ∈ τ Mặt khác, vì B là cơ sở của X nên tồn tại W ∈ B

sao cho x ∈ W ⊂ U ∩ V

Định nghĩa 1.4.4 Cho (X, τ ) là một không gian tôpô Khi đó, Giả

được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U ∈ U (x), tồn tại B ∈ B saocho

Định lí 1.4.5 Giả sử x ∈ X, Bx là một cơ sở lân cận của x Khi đó,

2) Nếu U, V ∈ Bx, thì tồn tại W ∈ Bx sao cho W ⊂ U ∩ V

Chứng minh (1) Giả sử U ∈ Bx Khi đó, vì Bx ⊂ U (x) nên U là một lâncận của x Điều này chứng tỏ rằng x ∈ U Ngoài ra, vì X là một lân cậncủa x nên tồn tại B ∈ Bx sao cho x ∈ B ⊂ X Như vậy, Bx 6= ∅

(2) Giả sử U, V ∈ Bx Khi đó, U, V là các lân cận của x, kéo theo

1.5.T1-không gian và T2-không gian

Định nghĩa 1.5.1 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Khi đó,

1) (X, τ ) được gọi là T1-không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y, tồntại các lân cận U của x và V của y sao cho x /∈ V và y /∈ U;

Định lí 1.5.2 Giả sử (X, τ ) là một không gian topo Khi đó,

1) T2-không gian =⇒ T1-không gian;

2) T1-không gian 6=⇒ T2-không gian

Chứng minh (1) Suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.5.1

(2) Giả sử X là tập hợp vô hạn và

Khi đó, (X, τ ) là T1-không gian nhưng không là T2-không gian Thật vậy,(a) τ là một topo trên X

• Hiển nhiên rằng∅ ∈ τ Hơn nữa, vìX \ X = ∅ là hữu hạn nên X ∈ τ

• Giả sử A, B ∈ τ Khi đó, nếu A = ∅ hoặc B = ∅, thì

X \

S

Thật vậy, giả sử x, y ∈ X mà x 6= y Khi đó, ta đặt

U = X \ {y}; V = X \ {x}

Khi đó, X \ U = {y}và X \ V = {x} là các tập hữu hạn Suy ra U, V ∈ τ.Như vậy, U là lân cận mở của x và V là lân cận mở của y thỏa mãn rằng

y /∈ U ; x /∈ V

tập mở khác rỗng bất kỳ trong X đều có giao khác rỗng Thật vậy, giả sửngược lại rằng tồn tại A, B ∈ τ sao cho

A 6= ∅, B 6= ∅, A ∩ B = ∅.Khi đó, A ⊂ X \ B Bởi vì B ∈ τ và B 6= ∅ nên X \ B là tập hữu hạn.Như vậy, A là tập con hữu hạn của X Hơn nữa, vì A 6= ∅, A ∈ τ nên

mâu thuẫn