Định lý thác triển và hội tụ đối với họ ánh xạ chuẩn tắc vào không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN VĂN MINH ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN VÀ HỘI TỤ ĐỐI VỚI HỌ ÁNH XẠ CHUẨN TẮC VÀO KHÔNG GIAN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN MINH

ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN VÀ HỘI TỤ ĐỐI VỚI HỌ ÁNH XẠ CHUẨN TẮC

VÀO KHÔNG GIAN PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN MINH

ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN VÀ HỘI TỤ ĐỐI VỚI HỌ ÁNH XẠ CHUẨN TẮC

VÀO KHÔNG GIAN PHỨC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS LÊ TÀI THU

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Tài Thu Thầy đã trực tiếpgiảng dạy, tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luậnvăn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2; các thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡtôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ và động viên

để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Nguyễn Văn Minh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này do tôi hoàn thành dưới sự hướng dẫn của

TS Lê Tài Thu

Trong quá trình hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà toán học với sự trân trọng và biết ơn sâu sắc Luận văn này khôngtrùng lặp với bất kỳ luận văn, luận án khác Các kết quả trích dẫn trong luậnvăn này đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Nguyễn Văn Minh

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Lời mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian metric 3

1.2 Không gian topo 6

1.2.1 Một số khái niệm 6

1.2.2 Tập bị chặn và tập compact 8

1.3 Không gian hyperbolic 10

1.3.1 Không gian phức 10

1.3.2 Không gian hyperbolic 11

1.3.3 k-metric Kobayashi trong không gian phức 15

1.3.4 Không gian phức nhúng hyperbolic 17

Chương 2 Định lý thác triển và hội tụ đối với họ ánh xạ chuẩn tắc vào không gian phức 19

2.1 Một số khái niệm cơ bản 21

2.2 Định lý thác triển và hội tụ 25

Kết luận 33

Tài liệu tham khảo 34

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được Kobayashi xây dựng lầnđầu tiên vào những năm 70 của thế kỷ 20 là một trong những hướng nghiêncứu quan trọng của giải tích phức Trong những năm gần đây, lý thuyết này đãthu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới Một số kết quả sâusắc và đẹp đẽ của lý thuyết này đã được chứng minh bởi Kobayashi, Kwack,Noguchi, Zaidenberg, Demailly, Những công trình nghiên cứu đó đã thúcđẩy hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ và đã hình thành nên mộtchuyên ngành mới của giải tích toán học, đó là giải tích phức hyperbolic.Trong những năm gần đây, lý thuyết này đã tìm thấy những mối liên hệbất ngờ và sâu sắc với những lĩnh vực khác của toán học, đặc biệt là bài toánthác triển ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức và bài toán về tính hữu hạncủa tập tất cả các ánh xạ phân hình giữa hai lớp nào đó các không gian phức.Theo quan điểm của A Weil, S Lang và P Vojta, bài toán sau cùng này cóliên quan mật thiết với hình học đại số và hình học số học Có thể nói giảitích phức hyperbolic đang là một lĩnh vực nghiên cứu nằm ở chỗ giao nhaucủa nhiều bộ môn lớn của toán học: Hình học vi phân phức, Giải tích phức,Hình học đại số và Lý thuyết số

Một trong những ứng dụng quan trọng của giải tích phức hyperbolic là bàitoán thác triển ánh xạ chỉnh hình Việc mở rộng định lý Picard lớn, định lýthác triển và hội tụ Noguchi đã được nhiều nhà toán học quan tâm

Với mong muốn tìm hiểu việc mở rộng định lý Picard lớn, định lý tháctriển và hội tụ Noguchi, được sự hướng dẫn của TS Lê Tài Thu em đã lựa

chọn đề tài nghiên cứu: “Định lý thác triển và hội tụ đối với họ ánh xạ

chuẩn tắc vào không gian phức”.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu việc mở rộng định lý Picard lớn vàtổng quát định lý thác triển và hội tụ Noguchi

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống các kiến thức cơ bản về không gian mêtric, không gian tô pô vàkhông gian hyperbolic

Nghiên cứu việc mở rộng định lý Picard lớn và tổng quát định lý thác triển

và hội tụ Noguchi

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là các vấn sau:

Mở rộng định lý Picard lớn cho họ đa tạp phức có divisors với giao chuẩntắc

Tổng quát định lý thác triển và hội tụ Noguchi

Phạm vi nghiên cứu của luận văn là không gian phức nhiều chiều

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp và hệ thống lại cáckiến thức có liên quan

6 Giả thuyết khoa học

Trình bày một cách tổng quan về việc mở rộng định lý Picard lớn và tổngquát định lý thác triển và hội tụ Noguchi

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về khônggian mêtric, không gian tô pô và không gian hyperbolic nhằm phục vụ chochương sau của luận văn

Nội dung trình bày ở chương này chủ yếu được đưa vào từ các tài liệu (xem[1,2])

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1 Một metric trong X là một ánh xạ

d : X × X → Rcủa tích X × X vào đường thẳng thực R, thỏa mãn các điều kiện sau đây:1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X và d (x, y) = 0 ⇔ x = y;

2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X;

3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác).Tập hợp X cùng với d là một không gian metric, ánh xạ d là hàm khoảngcách (hay metric) trong X Các phần tử của một không gian metric gọi là cácđiểm của không gian ấy, số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y

Ví dụ 1.1.1 C [a, b] là một không gian metric với khoảng cách

d (xn, xm) < ε

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản

Định nghĩa 1.4 Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu với mọi

dãy cơ bản trong X đều hội tụ đến một phần tử trong X

Định nghĩa 1.5 Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý Ánh xạ A :

X → Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu như với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0sao cho với mọi x ∈ X thỏa mãn d (x, x0) < δ thì

d (A (x) , A (x0)) < ε

Định lý 1.1 Đối với một ánh xạ f từ một không gian metric X vào một không

gian metric Y thì ba mệnh đề sau đây là tương đương:

(i) f liên tục;

(ii) Nghịch ảnh của mọi tập đóng (trong Y ) đều là tập đóng (trong X); (iii)Nghịch ảnh của mọi tập mở (trong Y ) đều là tập mở (trong X).

Chứng minh.

(i) ⇒ (ii) Cho F là một tập đóng bất kỳ của Y , f−1(F ) là nghịch ảnh của

nó bởi f Nếu xn ∈ f−1(F ), xn → x0thì f (xn) ∈ F và f (xn) → f (x0) do giảthiết f liên tục Nhưng F là đóng trong Y nên f (x0) ∈ F , do đó x0 ∈ f−1(F )chứng tỏ rằng f−1(F ) là đóng trong X

(ii) ⇒ (iii) Cho G là một tập mở bất kỳ của Y , f−1(G) là nghịch ảnh của

nó bởi f Vì G mở nên Y \ G đóng trong Y Vậy nếu có (ii) thì f−1(Y \ G)đóng trong X Nhưng f−1(Y \ G) = X \ f−1(G), vậy f−1(G) mở

(iii) ⇒ (i) Cho một điểm bất kỳ x0 ∈ X Do (iii) nên nghịch ảnh của mỗiε−lân cận của f (x0) là một tập W mở trong X Dĩ nhiên, x0 ∈ W nên theotính chất của tập mở, phải có một δ−lân cận nào đó của x0 nằm trọn trong

W Ảnh của δ− lân cận này nằm trọn trong ε−lân cận nói trên của f (x0), do

đó với mỗi x ∈ X : dX(x, x0) < δ ⇒ dY(f (x), f (x0)) < ε Vì ε tùy ý, điềunày có nghĩa f liên tục Một tập M trong không gian metric X gọi là bị chặn (giới nội) nếu nónằm trọn trong một hình cầu nào đó, nghĩa là nếu có một điểm a ∈ X và một

số C > 0 sao cho ρ(x, a) ≤ C với mọi x ∈ M

Định nghĩa 1.6 Một tập M trong không gian metric X được gọi là compact

nếu mọi dãy {xn} ⊂ M đều có chứa một dãy con {xn k} hội tụ tới một điểmthuộc M

Một tập bất kỳ mà có bao đóng compact thì gọi là một tập compact tươngđối

Định lý 1.2 (Hausdorff) Một tập compact thì đóng và hoàn toàn bị chặn.

Ngược lại một tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong một không gian metric đủ thì compact.

Định nghĩa 1.7 Một không gian metric X được gọi là không gian compact

nếu nó là một tập compact trong chính nó, nghĩa là mọi dãy {xn} trong Xđều có chứa một dãy con hội tụ

Định nghĩa 1.8 Cho hai không gian metric X và Y (metric trên X kí hiệu

bằng dX, metric trên Y bằng dY) Một ánh xạ f từ X vào Y gọi là liên tục tại

điểm x0 ∈ X nếu (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ X) :

dX(x, x0) < δ ⇒ dY(f (x), f (x0)) < ε

Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X

1.2 Không gian topo

Tập hợp X cùng với topo trên X được gọi là một không gian topo Ký hiệu

là (X, τ )

Ví dụ 1.2.1 Cho X là tập hợp tùy ý khác rỗng Họ τ = (∅, X) là một topo

trên X (X, τ ) được gọi là không gian topo thô (không gian phản rời rạc)

Họ τ = {A|A ⊂ X} là một topo trên X (X, τ ) gọi là không gian toporời rạc

Cho tập hợp X vô hạn τ = {A ⊂ X|A = ∅ hoặc X \ A hữu hạn} τ

là một topo trên X Tập X với topo này được gọi là không gian topo bù hữuhạn

Các điểm trong không gian topo

Cho không gian topo (X, τ ), x ∈ X và A ⊂ X

+ x được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại G ∈ τ : x ∈ G ⊂ A (nghĩa

là A là lân cận của x)

+ x là điểm ngoài của A nếu tồn tại G ∈ τ : x ∈ G ⊂ X \ A

+ x là điểm biên của A nếu với mọi V ∈ Vx ⇒ V ∩A 6= ∅ và V ∩(X\A) 6=

∅

+ x là điểm giới hạn của A nếu với mọi V ∈ Vx ⇒ V ∩ (A \ {x}) 6= ∅

Định nghĩa 1.9 Cho hai không gian topo (X, τX) và (Y, τY) và ánh xạ f :

X → Y

f được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mỗi lân cận W của f (x0)(trong Y ) luôn tồn tại một lân cận V của x0 (trong X) sao cho f (V ) ⊂ W

f là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x thuộc X

Định lý 1.3 Cho X, Y là hai không gian topo và ánh xạ f : X → Y Khi đó

ánh xạ f liên tục tại điểm x0 thuộc X khi và chỉ khi với mỗi lân cận W của

f (x0) (trong Y ) thì f−1(W ) là lân cận của x0 (trong X).

∗ Lân cận của một điểm a ∈ C là tập bất kỳ bao hàm hình tròn D(a, r)tâm a bán kính r > 0

D(a, r) = {z ∈ C : |z − a| < r}

Đặc biệt D(a, r) là một lân cận của a và được gọi là r lân cận Rõ ràng:a) Nếu U là lân cận của a ∈ C thì mọi tập hợp bao hàm U là lân cận củaa

b) Giao hữu hạn và hợp của họ bất kỳ các lân cận của a là lân cận của a.c) Nếu U là lân cận của a thì tồn tại lân cận V của a sao cho V là lân cậncủa mọi z ∈ V và V ⊂ U

Định nghĩa 1.10 Tập G ∈ C gọi là mở nếu G là lân cận của mọi điểm của

nó Hiển nhiên ∅ và C là các tập mở, hợp của một họ bất kỳ và giao của một

c) Mội tập con đóng của một tập compact là tập compact

Định lý 1.4 (Heine - Borel) Giả sử X là tập con của C Các điều kiện sau

(i) ⇒ (ii) Giả sử tồn tại phủ mở {Gi}i∈I của X sao cho mọi hệ hữu hạncác tập Gi không đủ phủ X Vậy với mọi n ≥ 1 tồn tại hình tròn Dnbán kính1/n sao cho Dn ∩ X không thể phủ bởi một số hữu hạn các tập Gi Lấy tùy

ý zn ∈ Dn∩ X Vì X compact, tồn tại a ∈ X là điểm tụ của dãy {zn} Chọn

i0 ∈ I để a ∈ Gi 0 Do Gi 0 là mở nên tồn tại r > 0 để D = D(a, r) ⊂ Gi 0.Lấy N và n0 đủ lớn để 2/N < r,n1

0 < r4 và |zn 0 − a| < N1 Với một điểm zbất kỳ của Dn 0 ta có |z − a| < r, do đó Dn 0 ⊂ D ⊂ Gi0 Điều này mâu thuẫnvới giả thiết Dn 0 không bị phủ bởi Gi 0

(ii) ⇒ (iii) Lấy tùy ý z ∈ C \ X Đặt Gk = C \ D z, 1k
Khi đó

Gk là mở và Sn

k=1Gk ⊃ X Theo giả thiết tồn tại Gk 1, , Gkn sao cho

X ⊂ Gk1 ∪ ∪ Gkn Vì vậy X ⊂ GN với N = max

1≤j≤nkj Điều này nghĩa là

D z,N1
∩ X = ∅, tức là z /∈ X Điều này chứng tỏ X đóng Ta cần chứngminh X là bị chặn Phủ X bởi họ {D(z, 1) : z ∈ X} Từ giả thiết có z1, , zp

sao cho {D(zi, 1) : 1 ≤ i ≤ p} phủ X Đặt R = max{|zi| : 1 ≤ i ≤ p} thìvới mọi z ∈ X : |z < R

(iii) ⇒ (i) Lấy tùy ý {zn} ⊂ X và viết zn = xn+ iyn Vì X bị chặn nêncác dãy số thực {xn} và {yn} cũng bị chặn Theo bổ đề Bolzano-Weierstrassdãy {xn} và {yn} có điểm tụ lần lượt là x và y Hiển nhiên z = x + iy là điểm

tụ của dãy {zn} do X đóng nên z = x + iy ∈ X 

Định nghĩa 1.12 Cho X và Y là hai không gian topo Một ánh xạ f từ X

vào Y được gọi là liên tục tại x0, nếu với mọi lân cận U của điểm y0 = f (x0)đều có một lân cận V của điểm x0 sao cho f (V ) ⊂ U , nghĩa là x ∈ V ⇒

f (x) ∈ U Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X

Định lý 1.5 Một ánh xạ f từ không gian tôpô X vào một không gian tôpô Y

là liên tục khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

(i) Nghịch ảnh (bởi f ) của mọi tập mở (trong Y ) đều là tập mở (trong X) (ii) Nghịch ảnh (bởi f ) của mọi tập đóng (trong Y ) đều là tập đóng (trong

X).

Định nghĩa 1.13 Cho hai không gian topo X và Y Ánh xạ f : X → Y được

gọi là ánh xạ đóng (tương ứng mở) nếu mọi tập A đóng (tương ứng mở) trong

X đều có f (A) là tập đóng (tương ứng mở) trong Y

1.3 Không gian hyperbolic

1.3.1 Không gian phức

Định nghĩa 1.14 Giả sử M, N là các đa tạp phức Ánh xạ liên tục f : M →

N được gọi là chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương (U, ϕ) của

M và mọi bản đồ địa phương (V, ψ) của N sao cho f (U ) ⊂ V thì ánh xạ

ψ ◦ f ϕ−1 : ϕ(U ) → ψ(V ) là ánh xạ chỉnh hình

Giả sử f : M → N là song ánh giữa các đa tạp phức Nếu f và f−1 là cácánh xạ chỉnh hình thì f được gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N

Định nghĩa 1.15 Giả sử Z là đa tạp phức Một không gian phức đóng X là

một tập con đóng của Z mà về mặt địa phương được xác định bởi hữu hạncác phương trình giải tích Tức là, với x0 ∈ X tồn tại lân cận mở V của x0

trong Z và hữu hạn các hàm chỉnh hình ϕ1, , ϕm trên V sao cho

X ∩ V = {x ∈ V : ϕi(x) = 0, i = 1, , m}

Giả sử X là một không gian con phức trong đa tạp phức Z Hàm f :

X → C được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi điểm x ∈ X tồn tại một lân cận

U (x) ⊂ Z và một hàm chỉnh hình ˜f trên U sao cho ˜f |U ∩X = f |U ∩X

Giả sử f : X → Y là ánh xạ giữa hai không gian phức X và Y f đượcgọi là chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình g trên một tập con mở V của

Y , hàm hợp g ◦ f là hàm chỉnh hình trên f−1(V )

Kí hiệu H(X, Y ) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y được trang bịtopo compact mở

Định lý 1.6 Giả sử fn : X → Y là dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các

không gian phức X và Y Nếu {fn} hội tụ đều tới f trong H(X, Y ) thì f là

ánh xạ chỉnh hình.

Divisor với giao chuẩn tắc

Giả sử Y là một không gian phức Một divisor Catier A trên Y là mộtkhông gian con đóng mà về mặt địa phương tại mỗi điểm có thể được xácđịnh bởi một phương trình giải tích Tức là, với mỗi điểm x ∈ A tồn tại mộtlân cận V của x trong Y sao cho A ∩ V được xác định bởi phương trình ϕ = 0với ϕ là một hàm chỉnh hình nào đó trên V

Giả sử M là một đa tạp phức m chiều và A là một divisor Ta nói A cógiao chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức z1, , zm trong

M sao cho về mặt địa phương

M \ A = D∗r × Ds với r + s = m

Từ đó về mặt địa phương A được xác định bởi phương trình z1 zr = 0

Định nghĩa 1.16 Giả sử X là tập con compact của một không gian metric và

Y là một không gian metric đầy C(X, Y ) là tập các ánh xạ liên tục từ X vào

Y với chuẩn sup Họ Φ ⊂ C(X, Y ) được gọi là đồng liên tục tại một điểm

x0 ∈ X nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X, d(x, x0) < δthì

d (f (x), f (x0)) < ε, với mọi f ∈ Φ

Họ Φ được gọi là đồng liên tục trên X nếu Φ là đồng liên tục tại mọi điểm

x ∈ X

1.3.2 Không gian hyperbolic

Định nghĩa 1.17 D = {z ∈ C : |z| < 1} là đĩa đơn vị trên mặt phẳng phức.

Trên D ta xét khoảng cách Bergman Poincaré cho bởi

ρD(0, z) = log 1 + |z|

1 − |z|, với mọi z ∈ D

Lấy a, b ∈ D, phép biến đổi w = 1−¯z−bbz là một tự đẳng cấu của D mà biến

b thành 0 và biến a thành 1−a¯a−bb, vì vậy

ρD(a, b) = log 1 + |

a−b 1−a¯ b|

1 − |1−a¯a−bb|, với mọi a, b ∈ D.

Định nghĩa 1.18 Giả khoảng cách d trên tập X là một hàm

d : X × X → X(x, y) 7→ d(x, y)thỏa mãn 3 điều kiện sau:

(i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X

(ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X

Nếu d chỉ thỏa mãn (ii) và (iii) và d(x, y) > 0 với mọi x, y ∈ X, x 6= ythì d được gọi là khoảng cách trên X

Giả sử X là không gian phức x, y là hai điểm tùy ý của X Xét dãy cácđiểm p0 = x, p1, , pk = y của X, dãy các điểm a1, a2, , akcủa D và dãycác ánh xạ chỉnh hình f1, f2, , fk trong H(D, X) thỏa mãn

pi(0) = pi−1, fi(ai) = pi, ∀i = 1, , k

Tập hợp α = {p0, , pk ∈ X, a1, , ak ∈ D, f1, f2, , fk ∈ H(D, X)}thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và

Dễ thấy dX thỏa mãn các tiên đề về giả khoảng cách, tức là

• dX(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X.

• dX(x, y) = dX(y, x) với mọi x, y ∈ X

• dX(x, y) ≤ dX(x, z) + dX(z, y) với mọi x, y, z ∈ X

Nói cách khác dX : X × X → X là giả khoảng cách trên không gian

X và gọi là giả khoảng cách Kobayashi Tổng

k

P

i=1

ρD(0, ai) được gọi là tổngKobayashi của dây chuyền chỉnh hình

Tính chất

i) Nếu f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f làgiảm khoảng cách tức là

dX(x, y) ≥ dY(f (x), f (y)) với mọi x, y ∈ X

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f là song chỉnh hình Hơn nữa dX làgiả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn ánh xạ chỉnh hình f : D → X làgiảm khoảng cách

ii) Giả sử X là không gian phức Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi

dX : X × X → X là hàm liên lục

iii) Nếu D là đĩa đơn vị trong X thì giả khoảng cách Kobayashi trùng với giảkhoảng cách Bergman Poicaré

Định nghĩa 1.19 Không gian phức X gọi là không gian hyperbolic (theo

nghĩa Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên Xtức là

dX(p, q) = 0 ⇔ p = q, ∀p, q ∈ X

Một số tính chất của không gian phức hyperbolic

Tính chất 1.3.1 Nếu X, Y là các không gian phức thì X × Y là không gian

hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic.

Chứng minh.

Vì phép chiếu π : X × Y → X là ánh xạ chỉnh hình nên π là giảm khoảngcách đối với giả khoảng cách Kobayashi trên X × Y và trên X Tức là ta có:

dX×Y ((x, y), (x0, y0)) ≥ dX(x, x0)

Lý luận tương tự với phép chiếu π0 : X × Y → Y ta có

dX×Y ((x, y), (x0, y0)) ≥ dY(y, y0)

Do đó dX×Y((x, y), (x0, y0)) ≥ max{dX(x, x0), dY(y, y0)} Như vậy ta có

Tính chất 1.3.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y

Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic Hay nói cách khác, không gian con của một không gian hyperbolic là không gian hyperbolic.

Chứng minh.

Vì phép nhúng chính tắc i : X → Y là ánh xạ chỉnh hình nên theo tínhchất giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi ta có ngay điều phải

Ví dụ 1.3.1. + Đĩa ∆r và đa đĩa ∆mr là hyperbolic

+ Một miền bị chặn trong ∆m là hyperbolic, vì nó là tập hợp con mở củacác đa đĩa

+ ∆m không là hyperbolic vì d∆ m ≡ 0

Định nghĩa 1.20 Giả sử X là không gian phức với hàm khoảng cách d Một

cặp (X, d) được gọi là tight nếu họ H(M, X) là đồng liên tục đối với d và

mọi đa tạp phức M

Định lý 1.7 Giả sử X là không gian phức và H là hàm độ dài trên X Khi

đó X là hyperbolic nếu và chỉ nếu với mỗi p ∈ X tồn tại lân cận U của p và hằng số C > 0 sao cho FX(ξx) ≥ CH(ξx) với mọi ξx ∈ TxX với x ∈ U